2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版必修一学案：章末复习课1

学习目标 1.梳理构建集合的知识网络.2.系统理解和掌握集合的基础知识.3.能运用集合间的关系和集合的基本运算解决问题．
知识点一元素与集合、集合与集合之间的关系
元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a∉A)，不能模棱两可．对于两个集合A，B，可分成两类A⊆B，A B，其中A⊆B又可分为A B与A＝B两种情况，在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形．
知识点二集合与集合之间的运算
并、交、补是集合之间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
类型一集合的概念及表示法
例1下列集合中M，N相等的是________．(填序号)
①M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}；
②M＝{2,1}，N＝{1,2}；
③M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}；
④M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}．
反思与感悟要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
跟踪训练1设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.
类型二集合间的基本关系
例2若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．
反思与感悟(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
跟踪训练2下列说法中不正确的是________．(填序号)
①若集合A＝∅，则∅⊆A；
②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；
③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a>2.
类型三集合的交、并、补运算
命题角度1用符号语言表示的集合运算
例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.
反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)＝________.
命题角度2用图形语言表示的集合运算
例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为________．
反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．
跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
类型四关于集合的新定义题
例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．
①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；
②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；
③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；
④若A为封闭集，则一定有0∈A.
其中正确结论的序号是________．
反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．
跟踪训练5设数集M＝{x|m≤x≤m＋3
4}，N＝{x|n－
1
3≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}
的子集，如果b－a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．
1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有________个．2．下列关系中正确的是________．(填序号)
①
2
2∈R；②0∈N
*；③{－5}⊆Z.
3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝________.
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于________．
5．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．
答案精析
题型探究 例1 ②
解析 ①中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相等；
②中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ； ③中M ，N 均为数集，显然有M N ；
④中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的y 的取值．
跟踪训练1 {(4,4)}
例2 解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为 x ＝－1a ，
为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3或－1
a ＝2，
即a ＝13或a ＝－1
2.
故所求集合为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫0，13，－12.
跟踪训练2 ③
例3 解 把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下：
由图知，A ∪B ＝{x |2<x <10}， ∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥10}， ∵∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．
∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}． 跟踪训练3 {3,6} 例4 {x |1≤x <2}
解析 图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )，因为∁U B ＝{x |x ≥1}，画出数轴，如图所示，所以A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．
跟踪训练4 解 设A ＝{x |x 为参加排球赛的同学}，B ＝{x |x 为参加田径赛的同学}，则A ∩B ＝{x |x 为参加两项比赛的同学}．画出Venn 图(如图)，
则没有参加过比赛的同学有 45－(12＋20－6)＝19(名)．
答 这个班共有19名同学没有参加过比赛． 例5 ②④
解析 ①集合A ＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A 中，所以不是封闭集；②设x ，y ∈A ，则x ＝2k 1，y ＝2k 2，k 1，k 2∈Z ，故x ＋y ＝2(k 1＋k 2)∈A ，x －y ＝2(k 1－k 2)∈A ，xy ＝4k 1k 2∈A ，故②正确；③反例是：集合A 1＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，A 2＝{x |x ＝3k ，k ∈Z}为封闭集，但A 1∪A 2不是封闭集，故③不正确；④若A 为封闭集，则取x ＝y ，得x －y ＝0∈A .故填②④. 跟踪训练5
1
12
解析 方法一 由已知可得
⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥0，m ＋3
4
≤1，⎩⎪⎨⎪⎧
n －13≥0，
n ≤1，
解得0≤m ≤14，1
3
≤n ≤1.
取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1， 可得M ＝{x |0≤x ≤3
4}，
N ＝{x |2
3
≤x ≤1}，
所以M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}∩{x |23≤x ≤1}＝{x |23≤x ≤3
4}，
此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝1
12
.
方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为1
3.
由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，
由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是(34＋13)－1＝1
12.
当堂训练
1．4 2.①③ 3.(－1,3) 4.∅ 5.－3。