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三角形的中位线教学课件--北师大版初中数学八年级(下)
理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的
对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，
连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
课堂小结
１、三角形中位线的定义
2、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三 边的一半
3、会利用三角形中位线定理解决一些实际 问题
D
E
F
B
DE和边BC关系
C
位置关系： DE∥BC
数量关系： DE= 1 BC. 2
知识讲授
知识讲授
2.三角形的中位线定理
定理：三角形的中位线平行于第三边,
并且等于它的一半.
∵AD=DB,AE=EC
A
符号语言：∴DE∥BC,
D
E
1
DE= BC
2
B
C
知识讲授
已 求知 证：：DDEE∥是B△CA，BCD的E＝中12位B线C
随堂训练
随堂训练
1.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中
点， 且AD=10cm，那么OE= 5 cm.
2.三角形的周长为18cm，面积为48cm2 ，这 个三角形的三条中位线围成三角形的周长
是 9cm ，面积是 12cm2 .
思考:
①图中有几个平行四边形？ ②图中有几个三角形？它们有什么关系？
A
A
10
D
E5 O
D
E C
B
C
BF
随堂训练
D B
D
A
3.三角形的中位线__平__行_于__第三边,并 且__等__于__第三边的____一__半______
E 4．如图：在△ABC中，DE是中位 线。 C （1）若∠ADE=60°，则∠B= 60° ;
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一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据 就越稳定.
☞ 铭记于心
求方差和标准差的步骤： 1、求平均数 2、求偏差 3、求偏差的平方
4、求偏差的平方的平均数 5、求平均数的算数平方根
☞ 巩固新知
完成下列各题： 1. 数据1，6，3，9，8的极差是__ 2. 数据-1，3 ，1，0，x，2，极差是5，则x=__ 3. 一组数据2，-1，0，1，-2，则它的方差和标准差分别是__ 4.某中学人数相等的甲乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179 乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支依仗队更为整齐？你是怎么判断的？
甲、乙两支仪仗队队员的身高的平均数都是178cm, 极差分别是2cm、4cm,方差分别是0.6、1.8,可以认为， 甲仪仗队更为整齐一些.
差是 ¯甲=82，¯乙=82；S²甲=245，S²乙=190，那么成绩较为整齐的是__班。 5.从国家射击队中选拔参加奥运会的队员，两名队员在相同条件下各射靶5次
命中的环数如下： 甲：7 8 8 8 9 乙：10 6 10 6 8
如果你是王义夫你会选谁去参加比赛？为什么？
随堂练习P199
展现自我
甲乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
北师大版八年级数学下册第五章
霍山矿泉水
“霍山牌”纯天然优质矿泉水 产地：广东 .龙川 .黎咀.梅子坑 产品规格：霍山矿泉桶装水、330ml 与 550ml瓶
装水
☞ 领悟新知
龙川县矿泉水有限公司在五一前举行一次评优秀车间活 动，对甲、乙两个车间对装置330ml的矿泉水水瓶进行容 量检测。 质检员分别从甲、乙车间的产品中抽样调查了10瓶规格 为330ml的瓶装矿泉水瓶，它们的容量(单位:ml)如下：
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等腰三角形性质
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对
等角”）；
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）
作顶角的平分线 证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. B D C 证明：作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中， A 12
A
C
课堂小结
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底 边.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合. ―三线合一”
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通过本节课的学习，你有哪些收获？ 等腰三角形
性质1：等边对等角 常用来证明两 角相等，求等 腰三角形各角 的度数．
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等（等边 对等角）
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC， 且∠B=80° ，则∠C= ___度， ∠A=____度？
∵AB=AC（已知）
2等腰三角形顶角的 平分线，底边上的 ∴∠B=∠C（等边对等角） 中线和底边上的高 ∵∠B=80° （已知） 互相重合（等腰三 ∴∠C=80° 角形三线合一） 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C ∠A=20° B
图形关于这条直线对称,那么这个图形就
叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.互相重
合的点是对应点,叫做对称点.
设问：你发现了什么现象，
猜想等腰△ABC有哪些性质？ 结论: 等腰三角形是轴对称图形；
角:个底角相等
→ AD为顶角∠BAC的平分线
北师大版八年级数学下册全册教学课件
1.1 不等关系教学目的和要求：理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系教学重点和难点：重点：对不等式概念的理解难点：怎样建立量与量之间的不等关系。
从问题中来，到问题中去。
1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？（3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？（4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为22⎪⎭⎫ ⎝⎛ππl 。
（1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4(2≤l ，即25162≤l 。
（2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是22⎪⎭⎫ ⎝⎛ππl ＞100， 即 π42l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(416822cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π， 4＜5.1，此时圆的面积大。
当l =12时，正方形的面积为)(9161222cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。
（4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即π42l ＞162l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位。
某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。
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（2）求∠BAD的度数.
解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD， B
C
D
∴∠ACB=∠ACD=90°．
∴△ACB≌△ACD．
∴AB=AD．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．
∴∠B=∠D=45°．
∴∠BAD=90°．
课堂小结, 畅谈收获：
A
推论: 等腰三角形顶角的平分
线、底边上的中线、底边上的高互
相重合. (三线合一)
BD C
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等； 2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、 底边上高三条线重合；
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，
AC=BC=CD，
A
（1）求证： △ABD是等腰三角形;
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
求证：∠B=∠C.
证法三: 证明：在△ABC和△ACB中
B
C
∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB,
∴ △ABC≌△ACB (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等 的基本性质。
想一想
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么? 由此你能得到什么结论?
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法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. 在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， B
A
D
C
还有其他的 证法吗？
最新北师大版（BS）八年级数学下册
内含大量动画全真演绎教学内容 打造中学数学高效课堂的首选教学课件
可效课堂首选课件
八年级数学下（BS） 教学课件
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
二 等腰三角形的性质及其推论
问题引入 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?首发 打造中学高效课堂首选课件
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A 等腰三角形的两个底角相等. 已知：△ABC中，AB=AC, B C 求证：∠B=C.
如何证明两个 角相等呢？
可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？首发 打造中学高效课堂首选课件
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方
法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相
等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两
个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的―平行线的证明‖这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. 在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， B
A
D
C
还有其他的 证法吗？
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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
二 等腰三角形的性质及其推论
问题引入 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?首发 打造中学高效课堂首选课件
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A 等腰三角形的两个底角相等. 已知：△ABC中，AB=AC, B C 求证：∠B=C.
如何证明两个 角相等呢？
可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？首发 打造中学高效课堂首选课件
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方
法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相
等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两
个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的―平行线的证明‖这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)精选全文
第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定 性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的___一__半____； 性质(2)：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一 不等式的性质 例1 ＞
＞
＜ ＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的 方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二 一元一次不等式(组)的解法 例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与 技能
全等三角形
等腰三角形 及直角三角
形
直角三角形 和勾股定理
及逆定理
线段的垂直 平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24
北师大版初中数学八年级下册全册优质课件
在上面的证法中都是先假设命题的结论不成立然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾从而证明命题的结论一定成立
北师大版八年级下册
数学
全册优质课件
等腰三角形(1)
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果__同__位__角__相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及__其_夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
隋堂练习 1
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，BD、CE是高， ∴∠ADB=∠AEC=90°，
分析：要 证BD=CE， 就需证BD 和CE所在
在△ABD和△ACE中，
的两个三
∠ADB＝∠AEC ，∠A＝∠A ，AB＝AC ， 角形的全
∴△ABD≌△ACE（AAS），
等．
∴BD=CE．
A
E
D
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
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等腰三角形(1)
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果__同__位__角__相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及__其_夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
隋堂练习 1
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，BD、CE是高， ∴∠ADB=∠AEC=90°，
分析：要 证BD=CE， 就需证BD 和CE所在
在△ABD和△ACE中，
的两个三
∠ADB＝∠AEC ，∠A＝∠A ，AB＝AC ， 角形的全
∴△ABD≌△ACE（AAS），
等．
∴BD=CE．
A
E
D
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
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想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C 之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和 你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
A
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的
性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，
∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， B D C 即AD是等腰△ABC底边BC上∠A.
2x
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内
2x
角和用含x的式子表示出来.
B
C
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
讲授新课
一 全等三角形的判定和性质
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）. 问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上 面的推论吗？
证弄一明清个一楚命个证题命明的题的一般步骤: (1一)弄般清步题骤设是和结论； (2解)根题据的题关意键画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结归纳
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
A 综上可得：如图,在△ABC中,
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A 等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=C.
B
C
可以运用全等三 角形的性质“对
如何证明两个 角相等呢？
应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方 法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相 等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两 个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
12
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. B D C
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
典例精析
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. A
D
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B CE F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
B DC
还有其他的 证法吗？
∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A 分析：（1）找出图中所有相等的角；
∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
D
△ABC, △ABD, △BCD.
B
C
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关
系，∠ABC、∠C呢？
A
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
x
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
七思下考“：轴你对能称证”中明学等过腰的三等角腰形三的角“三形线的合“三一线”吗合？一”.
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ),
B DC
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
总结归纳 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
二 等腰三角形的性质及其推论
问题引入 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
[义务教育教科书]
北师大版初中数学八年级下册
（完整版.含练习、小结与复习）
优 翼
北师大版八年级数学下教学课件
第一章 《三角形的证明》
优质单元课件（含小结训练）
导入新课 当堂练习
讲授新课 课堂小结
【北师大版八年级数学下册】
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
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当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用
其解决基本的几何问题.(重点)
导入新课
情境引入 问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
埃及金字塔
斜拉桥梁
体育观看台架
问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放 在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经 过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中 反映了什么数学原理?