第九章第三节电磁感应中的电路和图象问题分析

第三节 电磁感应中的电路和图象问题

, [学生用书P200])

一、电磁感应中的电路问题

1．内电路和外电路

(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．

(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电阻． 2．电源电动势和路端电压 (1)电动势：E ＝Bl v 或E ＝n ΔΦ

Δt ．

(2)路端电压：U ＝IR ＝E

R ＋r

·R ．

1.(多选)

用均匀导线做成的正方形线圈边长为l ，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示，当磁场以ΔB

Δt

的变化率增强时，则( )

A ．线圈中感应电流方向为acbda

B ．线圈中产生的电动势E ＝ΔB Δt ·l 2

2

C ．线圈中a 点电势高于b 点电势

D ．线圈中a 、b 两点间的电势差为ΔB Δt ·l 2

2

答案：AB

二、电磁感应中的图象问题

1．图象类型

(1)随时间t 变化的图象，如B －t 图象、Φ－t 图象、E －t 图象和i －t 图象． (2)随位移x 变化的图象，如E －x 图象和i －x 图象． 2．问题类型

(1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象．

(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量． (3)利用给出的图象判断或画出新的图象．

2.(单选)(2016·泉州模拟)如图甲所示，光滑导轨水平放置在与水平方向夹角

为60°的斜向下的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所示(规定斜向下为正方向)，导体棒ab 垂直导轨放置，除电阻R 的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab 在水平外力F 作用下始终处于静止状态．规定a →b 的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力F 的正方向，则在0～t 1时间内，选项图中能正确反映流过导体棒ab 的电流i 和导体棒ab 所受水平外力F 随时间t 变化的图象是( )

答案：D

考点一 电磁感应中的电路问题

1．对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等．这种电源将其他形式的能转化为电能．

2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成．

3．解决电磁感应中电路问题的一般思路

(1)确定等效电源，利用E ＝n ΔΦ

Δt 或E ＝Bl v sin θ求感应电动势的大小，利用右手定则

或楞次定律判断电流方向．

(2)分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图．

(3)利用电路规律求解．主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解．

一般电磁感应电路的分析与计算[学生用书P201]

(2016·石家庄质检)如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN 、PQ 被固

定在水平面上，导轨间距l ＝0.6 m ，两导轨的左端用导线连接电阻R 1及理想电压表V ，电阻为r ＝2 Ω的金属棒垂直于导轨静止在AB 处；右端用导线连接电阻R 2，已知R 1＝2 Ω，R 2＝1 Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域CDFE 内有竖直向上的磁场，CE ＝0.2 m ，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．开始时电压表有示数，当电压表示数变为零后，对金属棒施加一水平向右的恒力F ，使金属棒刚进入磁场区域时电压表的示数又变为原来的值，金属棒在磁场区域内运动的过程中电压表的示数始终保持不变．求：

(1)t ＝0.1 s 时电压表的示数； (2)恒力F 的大小；

(3)从t ＝0时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量．

[审题突破] (1)在0～0.2 s 内，R 1、R 2和金属棒是如何连接的？电压表示数等于感应电动势吗？

(2)电压表示数始终保持不变，说明金属棒做什么运动？

[解析] (1)设磁场宽度为d ＝CE ，在0～0.2 s 的时间内，有E ＝ΔΦΔt ＝ΔB

Δt ld ＝0.6 V

此时，R 1与金属棒并联后再与R 2串联

R ＝R 并＋R 2＝1 Ω＋1 Ω＝2 Ω U ＝E

R

R 并＝0.3 V.

(2)金属棒进入磁场后，R 1与R 2并联后再与r 串联，有 I ′＝U R 1＋U

R 2

＝0.45 A

F A ＝BI ′l

F A ＝1.00×0.45×0.6 N ＝0.27 N

由于金属棒进入磁场后电压表的示数始终不变，所以金属棒做匀速运动， 所以恒力F 的大小F ＝F A ＝0.27 N. (3)在0～0.2 s 的时间内有 Q ＝E 2

R t ＝0.036 J

金属棒进入磁场后，有

R ′＝R 1R 2R 1＋R 2＋r ＝8

3 Ω

E ′＝I ′R ′＝1.2 V

E ′＝Bl v ，v ＝2.0 m/s t ′＝d v ＝0.2

2

s ＝0.1 s

Q ′＝E ′I ′t ′＝0.054 J

Q 总＝Q ＋Q ′＝0.036 J ＋0.054 J ＝0.09 J. [答案] (1)0.3 V (2)0.27 N (3)0.09 J

含容电磁感应电路的分析与计算[学生用书P201]

在同一水平面的光滑平行导轨P 、Q 相距l ＝1 m ，导轨左端接有如图所示的电路．其中水平放置的平行板电容器两极板M 、N 相距d ＝10 mm ，定值电阻R 1＝R 2＝12 Ω，R 3＝2 Ω，金属棒ab 的电阻r ＝2 Ω，其他电阻不计．磁感应强度B ＝0.5 T 的匀强磁场竖直穿过导轨

平面，当金属棒ab 沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容器两极板之间，质量m ＝1×10－

14 kg ，

电荷量q ＝－1×10－

14 C 的微粒恰好静止不动．取g ＝10 m/s 2，在整个运动过程中金属棒与导轨接触良好．且速度保持恒定．试求：

(1)匀强磁场的方向； (2)ab 两端的路端电压； (3)金属棒ab 运动的速度．

[审题突破]本题可按以下思路进行求解:

微粒静止，重力等于电场力→电场强度的大小和方向 →电路中的电流和电动势 →金属棒的运动速度

Ｋ [解析] (1)负电荷受到重力和电场力的作用处于静止状态，因为重力竖直向下，所以电

场力竖直向上，故M 板带正电．ab 棒向右做切割磁感线运动产生感应电动势，ab 棒等效于电源，感应电流方向由b →a ，其a 端为电源的正极，由右手定则可判断，磁场方向竖直向下．

(2)微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，根据平衡条件有 mg ＝Eq

又E ＝U MN

d

所以U MN ＝mgd

q

＝0.1 V

R 3两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得通过R 3的电流为I ＝U MN

R 3＝0.05 A

则ab 棒两端的电压为U ab ＝U MN ＋I R 1R 2

R 1＋R 2＝0.4 V.

(3)由法拉第电磁感应定律得感应电动势E ＝BL v 由闭合电路欧姆定律得E ＝U ab ＋Ir ＝0.5 V 联立解得v ＝1 m/s.

[答案] (1)竖直向下 (2)0.4 V (3)1 m/s

1．对等效于电源的导体或线圈，两端的电压一般不等于感应电动势，只有在其电阻不计时才相等．

2．沿等效电源中感应电流的方向，电势逐渐升高.

考点二 电磁感应中的图象问题

1．题型特点：一般可把图象问题分为三类

(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象；

(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量； (3)根据图象定量计算．

2．解题关键：弄清初始条件，正、负方向的对应，变化范围，所研究物理量的函数表达式，进、出磁场的转折点是解决问题的关键．

3．解决图象问题的一般步骤

(1)明确图象的种类，即是B －t 图象还是Φ－t 图象，或者是E －t 图象、I －t 图象等； (2)分析电磁感应的具体过程；

(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系；

(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画出图象或判断图象．

“由因及果”类图象的选择[学生用书P202]

(单选)(2016·山西太原期中测试)如图所示，有一等腰直角三角形的区域，其斜边

长为2L ，高为L .在该区域内分布着如图所示的磁场，左侧磁场方向垂直纸面向外，右侧磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B .一边长为L 、总电阻为R 的正方形导线框abcd ，从图示位置开始沿x 轴正方向以速度v 匀速穿过磁场区域．取沿顺时针方向的感应电流为正，下列表示线框中电流i 随bc 边的位置坐标x 变化的图象正确的是( )

[解析] bc 边的位置坐标x 在L ～2L 过程中，线框bc 边有效切割长度l ＝x －L ，感应电动势E ＝Bl v ＝B (x －L )v ，感应电流i ＝E R ＝B （x －L ）v

R ，根据楞次定律判断出感应电流方向

沿a →b →c →d →a ，为正值；x 在2L ～3L 过程中，ad 边和bc 边都切割磁感线，产生感应电

动势，穿过线框的磁通量增大，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a →d →c →b →a ，为负值，线框有效切割长度l ＝L ，感应电动势E ＝Bl v ＝BL v ，感应电流i ＝－BL v

R ；x 在3L ～4L

过程中，线框ad 边有效切割长度l ＝L －(x －3L )＝4L －x ，感应电动势E ＝Bl v ＝B (4L －x )v ，感应电流i ＝B （4L －x ）

R ，根据楞次定律判断出感应电流方向沿a →b →c →d →a ，为正值，

由数学知识得D 正确．

[答案] D

“由果索因”类图象的选择[学生用书P202]

(单选)(2016·河北唐山模拟)矩形导线框abcd 固定在变化的磁场中，产生了如图

所示的电流(电流方向沿abcda 为正方向)．若规定垂直纸面向里的方向为磁场正方向，能够产生如图所示电流的磁场为( )

[解析] 由题图可知，0～t 内，线圈中的电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感

应定律可知，线圈中的磁通量的变化率相同，故0～t内磁感应强度与时间的关系是一条斜线．又由于0～t时间内电流的方向为正，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场方向垂直纸面向里，与原磁场方向相同，所以是向里的磁场减小，或向外的磁场增大；同理，在t～2t的时间内，是向里的磁场增大，或向外的磁场减小．只有选项D正确．[答案] D

解决图象类选择题的最简方法——分类排除法．首先对题中给出的四个图象根据大小或方向变化特点分类，然后定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是用物理量的方向，排除错误选项，此法最简捷、最有效.

,[学生用书P203])

方法技巧——电磁感应电路与图象综合问题的求解

(18分)如图甲所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径为r的金属圆盘绕过圆心O的轴转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接．电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件．流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图乙所示，其中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点．ω>0代表圆盘逆时针转动．已知：R＝3.0 Ω，B＝1.0 T，r＝0.2 m．忽略圆盘、电流表和导线的电阻．

(1)根据图乙写出ab、bc段对应的I与ω的关系式；

(2)求出图乙中b、c两点对应的P两端的电压U b、U c；

(3)分别求出ab、bc段流过P的电流I P与其两端电压U P的关系式．

[审题突破](1)审电路

(2)审图象

(1)由题图乙可知，在ab 段 I ＝

ω

150

(－45 rad/s ≤ω≤15 rad/s)(2分) 在bc 段 I ＝

ω

100

－0.05(15 rad/s<ω≤45 rad/s)．(2分) (2)由题意可知，P 两端的电压U P 等于圆盘产生的电动势，U P ＝1

2Br 2ω(2分)

b 点时ωb ＝15 rad/s ，U b ＝1

2Br 2ωb ＝0.3 V(2分)

c 点时ωc ＝45 rad/s ，U c ＝1

2

Br 2ωc ＝0.9 V ．(2分)

(3)由题图乙中电流变化规律可知电子元件P 在b 点时开始导通，则：在ab 段 I P ＝0(－0.9 V ≤U P ≤0.3 V)(2分) 在bc 段 I P ＝I －

U P

R

(2分) 而I ＝ω100－0.05，U P ＝1

2

Br 2ω(2分)

联立可得I P ＝

U P

6

－0.05(0.3 V

解决电路与图象综合问题的思路

1．电路分析：弄清电路结构，画出等效电路图，明确计算电动势的公式． 2．图象分析

(1)弄清图象所揭示的物理规律或物理量间的函数关系；

(2)挖掘图象中的隐含条件，明确有关图线所包围的面积、图线的斜率(或其绝对值)、截距所表示的物理意义．

3．定量计算：运用有关物理概念、公式、定理和定律列式计算.