用比较法证明不等式.许兴华

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数列中的不等式(许兴华)

数列中的不等式数列中的不等式是高考中的一个重要内容。

本文介绍用“放缩法”证明数列中的不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

1. 裂项放缩（即先放缩后裂项或先裂项再放缩）若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例1已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。

证明：因为122121nn nn n n n =++-=--＜（），则11213+++…＜（）（）…（）＜++-+-++--=-1122123221212nn n n n 所以原不等式成立。

例2 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。

证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2)1n (n n 21a n +=+++> ，又2)1()1(+<+n n n n ，所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。

2. 公式放缩（利用基本不等式、二项式定理放缩）利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例3已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n nn f 。

证明：由题意知)12)(1()12(212211)111()1221(112121)(+++-=+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f 又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n，又因为，1n 21n 2)1n (n n 1C C C C C )11(2nn 1n n2n 1n 0n n n +>+++-++=+++++=+=- 所以1)(+>n nn f 。

高中不等式的常用证明方法归纳总结

不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 222≥+的变式应用。

常用2222ba b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1、已知a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444c b a abc c b a ++>++证：∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明：∵)(22222222)(22b a b a b a b aab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a b a+≥+，两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加，得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。

证明不等式的基本方法—比较法五篇范文

证明不等式的基本方法—比较法五篇范文第一篇：证明不等式的基本方法—比较法§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法【学习目标】能熟练运用比较法来证明不等式。

【新知探究】1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a－b＞0⇒a＞b，a－b＜0⇒a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1⇒a＞b.b a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若【自我检测】1中最大的一个是 1-xA.aB.bC.cD.不能确定2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是．．．abB.ab＜b2 A.a2＜b2C.ba+＞2D.|a|+|b|＞|a+b| ab4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a －b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a【典型例题】3322例1、已知a,b都是正数，并且a≠b，求证：a+b>ab+ab.-1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”变式训练：当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．例2、已知a,b都是正数，求证：aabb≥abba, 当且仅当a=b时，等号成立。

平面几何问题的复数解法.许兴华

平面几何问题的复数解法.许兴华复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理.1.用于证三角形为正三角形典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必为正三角形.证明思路分析以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,03321=++z zz 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得22123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴故321,,z z z 在复平面上是正三角形.2.用于证明几何中的角度相等典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠21. 证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设,1||=OD 则,1=OD ,,431,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是OD 与OE 的夹角，有),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又)],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21.3.用于证明几何中的不等式典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CDAB ⋅≥⋅+⋅.证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是.,,321z z z 则|,||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -=||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ⋅-+-⋅=⋅+⋅||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ⋅=-=4.用于求解几何中的轨迹问题典型4.如图，A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正三角形APQ ，求点Q 的轨迹.证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设,||a AC =圆的半径为r,),,(,1R y x yi x z AQ z AP ∈+===则).60sin 60(cos ,||11︒±︒==-i z z r a z 于是，,|)60sin 60(cos |r a i z =-︒±︒即,|)2321)((|r a i yi x =-±+整理得： (*))23()2(222 r y a x =±+-因此，点Q 的轨迹是圆：当点Q 在AP 上方时，(*)式取“－”号；当点Q 在AP 下方时，(*)式取“＋”号.典型5.设A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正方形APMN ，求点M 的轨迹.此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法第1节比较法创新应用教学案新人教A版选修4-5-新人教A

第1节比较法创新应用[核心必知]比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法定义要证明a>b，只要证明a－b>0要证明a<b，只要证明a－b<0要证明a>b>0，只要证明ab＞1 要证明b＞a＞0，只要证明ba>1步骤作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论[问题思考]1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系．求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；(2)假设a>b>c，那么bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.[精讲详析] 此题考查作差比较法的应用．解答此题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论．(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0.∴(b－a)(c－a)(c－b)<0.∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.——————————————————(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式〞的符号，常将“差式〞变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式〞是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．(江苏高考)a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0 ，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .a ＞2，求证：log a (a －1)＜log (a ＋1)a .[精讲详析] 此题考查作商比较法的应用，解答此题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小．∵a ＞2，∴a －1>1.∴log a (a －1)>0，log (a ＋1)a ＞0，由于log a 〔a －1〕log 〔a ＋1〕a＝log a (a －1)·log a (a ＋1)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a 〔a －1〕＋log a 〔a ＋1〕22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a 〔a 2－1〕22. ∵a ＞2，∴0<log a (a 2－1)＜log a a 2＝2.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a 〔a 2－1〕22<⎝ ⎛⎭⎪⎫log a a 222＝1，即log a 〔a －1〕log 〔a ＋1〕a＜1.∵log (a ＋1)a ＞0，∴log a (a －1)＜log (a ＋1)a .——————————————————(1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法．(2)在作商比较法中ab >1⇒a >b 是不正确的，这与a 、b 的符号有关，比如假设b >0，由a b>1，可得a >b ，但假设b <0，那么由a b>1得出的反而是a <b ，也就是说，在作商比较法中，要对a 、b 的符号作出判断，否那么，结论将有可能是错误的．对于此类问题，不外乎可分为含参数变量的和大小固定的两类，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程．2．设a >0，b >0，求证：a a b b≥(ab )a ＋b2.证明：∵a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，∴a a b b 〔ab 〕a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a ＝b 时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1. 当a >b >0时，a b>1，a －b2>0. 当b >a >0时，0<a b<1，a －b2<0.由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.综上可知，对任意实数a 、b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精讲详析] 此题考查比较法在实际问题中的应用，解答此题需要设出从出发点到指定地点的路程s ，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t 1、t 2，然后利用作差法比较t 1，t 2的大小即可．设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1、t 2，依题意有：t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n ＝t 2. ∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s 〔m ＋n 〕2mn. ∴t 1－t 2＝2s m ＋n －s 〔m ＋n 〕2mn＝s[4mn －〔m ＋n 〕2]2mn 〔m ＋n 〕＝－s 〔m －n 〕22mn 〔m ＋n 〕.其中s ，m ，n 都是正数，且m≠n， ∴t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2. 从而知甲比乙先到达指定地点． ——————————————————应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论．3．证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同)的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．证明：设截面的周长为L.依题意，截面是圆的水管的截面面积为π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2，截面是正方形的水管的截面面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42. ∵π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42＝L 24π－L 216＝L 2〔4－π〕16π>0，∴π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，∴原结论得证．作差比较法在高考中单独考查的可能性不大，一般是在比较数与式的大小时作为解决问题的工具使用．[考题印证](安徽高考)(1)设x≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ；(2)设1<a≤b≤c，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c.[命题立意] 此题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证的能力．[证明] (1)由于x≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇒⇐ xy(x ＋y)＋1≤y＋x ＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy)2]－[xy(x ＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x ＋y)－(x ＋y)]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y)(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy.于是，所要证明的不等式即为 x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．一、选择题1．以下关系中对任意a ＜b ＜0的实数都成立的是( ) A ．a 2＜b 2B ．lg b 2<lg a 2C.b a >1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2解析：选B ∵a＜b ＜0， ∴－a>－b>0. (－a)2>(－b)2>0. 即a 2>b 2>0. ∴b2a2＜1. 又lg b 2－lg a 2＝lg b2a2＜lg 1＝0.∴lg b 2＜lg a 2. 2．P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P 、Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P<Q C ．P ≥Q D ．P ≤Q解析：选D 法一：Q P ＝(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋a 2＋1≥1，又∵a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Q ≥P.法二：P －Q ＝1－〔a 2－a ＋1〕〔a 2＋a ＋1〕a 2＋a ＋1＝－〔a 4＋a 2〕a 2＋a ＋1， ∵a 2＋a ＋1＞0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q≤0，即Q≥P. 3．a ＞0，b ＞0，m ＝ab ＋b a，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，那么m ，n ，p 的大小顺序是( ) A ．m ≥n>p B ．m>n ≥p C ．n>m>p D ．n ≥m>p 解析：选A 由，知m ＝a b ＋b a，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B 、C.比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，那么m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m ＞n ，可排除D.4．设m>n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m＋(lg x )－m，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n，x ＞1，那么a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A 要比较a 与b 的大小，通常采用比较法，根据a 与b 均为对数表达式，只有作差，a 与b 两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a 与b 的大小．a －b ＝lg m x ＋lg －m x －lg n x －lg －n x＝(lg m x －lg nx )－⎝⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x＝(lg mx －lg nx )－lg mx －lg nxlg m x lg nx ＝(lg m x －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x＝(lg m x －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .∵x ＞1，∴lg x ＞0. 当0＜lg x ＜1时，a >b ；当lg x ＝1时，a ＝b ；当lg x >1时，a >b . ∴应选A. 二、填空题5．假设x ＜y ＜0，M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，那么M ，N 的大小关系为________．解析：M －N ＝(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )． ∵x <y <0， ∴xy ＞0，x －y <0， ∴－2xy (x －y )>0， ∴M －N >0，即M >N . 答案：M >N6．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，假设P >Q ，那么实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a ) ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝a 2b 2－2ab ＋1＋4＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2，∵P ＞Q ， ∴P －Q ＞0，即(ab －1)2＋(a ＋2)2＞0， ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－27．假设－1<a <b <0，那么1a ，1b，a 2，b 2中值最小的是________．解析：依题意，知1a >1b，a 2>b 2，故只需比较1b与b 2的大小．因为b 2>0，1b<0，∴1b<b 2.答案：1b8．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009 元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初〞或“月末〞)．解析：设这种商品的成本费为a 元．月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，月末售出的利润为L 2＝120－2%a ，那么L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a ＝0.045⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3 5009，∵a <3 5009，∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末三、解答题9．a ≥1，求证：a ＋1－a <a －a －1.证明：∵(a ＋1－a )－(a －a －1) ＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1 ＝a －1－a ＋1〔a ＋1＋a 〕〔a ＋a －1〕＜0， ∴a ＋1－a <a －a －1.10．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b＝〔a －b 〕[〔a ＋b 〕2－〔a 2＋b 2〕]〔a 2＋b 2〕〔a ＋b 〕＝2ab 〔a －b 〕〔a 2＋b 2〕〔a ＋b 〕>0，所以原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0.故左边>0，右边>0.∴左边右边＝〔a ＋b 〕2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b2>1. ∴原不等式成立．11．函数f (x )＝log 2(x ＋m )，且f (0)、f (2)、f (6)成等差数列．(1)求f (30)的值；(2)假设a 、b 、c 是两两不相等的正数，且a 、b 、c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：(1)由f (0)、f (2)、f (6)成等差数列，得2log 2(2＋m )＝log 2m ＋log 2(6＋m )，即(m ＋2)2＝m (m ＋6)(m ＞0)．∴m ＝2，∴f (30)＝log 2(30＋2)＝5.(2)f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：2f (b )＝2log 2(b ＋2)＝log 2(b ＋2)2， f (a )＋f (c )＝log 2[(a ＋2)(c ＋2)]，又b2＝ac，∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b.∵a＋c＞2ac＝2b(a≠c)，∴2(a＋c)－4b>0，∴log2[(a＋2)(c＋2)]＞log2(b＋2)2，即f(a)＋f(c)>2f(b)．。

均值不等式的多种证明方法许兴华数学

均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。

在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。

1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。

一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。

2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。

下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。

2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。

在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。

对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。

许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。

解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。

那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。

2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。

在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。

在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。

3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。

均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。

浅谈不等式的证明策略

浅谈不等式的证明策略（南宁三中许兴华数学）在高二学习“不等式证明”这个内容时，很多同学还是觉得学习上碰到很多困难的。

因为我们知道，不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相互结合. 而在有时的高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，这个难点着重培养考生数学式子的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.（注：需要数学更多精彩文章的读者，请关注微信公众号“许兴华数学”查看！）命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于中上级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属中上级的题目.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.【证题妙计点拨】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”。

两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，则宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.。

运用类比思维方法于数学教学之中.许兴华

运用类比思维方法于数学教学之中（ 530021广西南宁三中许兴华）2011/1/1关键词:类比思维,合情推理,数学教学,发现,新结论.数学家G ·波利亚说：“类比是一个伟大的引路人.”在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法.它是大自然中各种事物之间的一种相似：当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系统进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去猜测和发现另一系统的相应的新结果；在我们分析问题解决问题的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法.在我们平时的学习与生活中处处充满着类比.可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力.如果A ，B 是两个在某些方面类似的事物，从A 具有某些性质推想B 也有类似的性质，这种思维叫做类比思维.如学生在学不等式的加减移项法则时，应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题.但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误.有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”，根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来.这也说明类比的结果不一定正确.类比推理只是一种可能性的合情推理，而不是一种必然性的正确推理；要得到正确的结论，我们还必须经过严格的证明才行.一.运用类比方法温故知新类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具.在学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新.如在学习三棱锥的体积时，教师应引导学生与三角形的面积进行类比：因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形底边上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，而二维空间里的三角形的面积公式ah A 21=，所以由类比方法推测，三维空间里的三棱锥的体积应为SH V 31=.证明三角形面积公式可以把三角形补成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半.类似地，要求三棱锥的体积，应把它补全成一个三棱柱，然后再分割成三个等体积的三棱锥，这就是课本上的方法——如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考，那么他们对这种方法的理解就会毫无困难.另外，梯形的中位线公式)(21b a L +=,可以与台体的中截面面积公式)(21210S S S +=进行类比，这样可以加深学生的记忆.在不等式的学习中，我们有①22b a +≥2ab （a 、b ∈R ），这是大家熟悉的，证明也相当容易.特别地，②a+b ≥),(2+∈R b a ab .运用类比方法，我们与学生进行讨论：是否也有 ③a 3+b 3+c 3≥3abc （a 、b 、c ∈R ）？经探索，我们发现这是个假命题（例如a ＜0，b ＜0，c=0时不真！），只有当a 、b 、c 都为非负实数时才成立.尽管课本上用“配方法”给出了一种证明，我们现在的问题是：能否应用刚刚学过的②式证明？又如何证明呢？[思考一]∵a 3+b 3=(a+b)(a 2+b 2－ab)≥(a+b)(2ab －ab)=(a+b)ab,同理可得:b 3+c 3≥(b+c)bc ，a 3+c 3≥(a+c)ac∴2(a 3+b 3+c 3)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(a+c)ac 即2(a 3+b 3+c 3 )≥a(b 2+c 2)+b(a 2+c 2)+c(a 2+b 2)≥6abc∴a 3+b 3+c 3≥3abc.[思考二]设A=)(31333c b a ++ , 则A ＞0 , 4A=a 3+b 3+c 3+A, 所以 4333333333333)(21)22(214A c b a A c b a A c b a A c b a A ≥+≥+++=+++= 从而A 4≥a 3b 3c 3A , ∴A ≥abc 即 a 3+b 3+c 3≥3abc.以上是通过换元后,由于与公式②进行类比,别出心裁地采用了“公式法”进行证明，达到了“出奇制胜”的良好效果.通过类比，还可以将以上结论推广为n 个正数的情形.二.通过类比发现新结论和编制数学命题数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出来的.事实上，在平面几何和立体几何中，通过类比推广，可以得到一系列相近或相似的结论：（1）三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于它们对应边的平方比.(1')棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于它们的对应高(或对应侧棱)的立方比.把勾股定理进行类比推广，可以得到以下各定理：i ）在Rt △ABC 中，C=90°，则a 2+b 2=c 2 .ii ）长方体的对角线的平方等于从它的一个端点出发的三条棱的平方和,即.2222c b a l ++=.iii)在以D-ABC 为三直三面角的四面体ABCD 中,第四个面的面积的立方等于三直三面角的三个面的面积的立方和,即3332313S S S S ++=.iv ）长方体的一条对角线与它的一个端点出发的三条棱所成的角分别为α、β、Υ，则 cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=1.v ）长方体的一条对角线与它相邻的三个面所成的角分别为α、β、Υ，则cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=2.运用类比方法，是编制数学新命题的一个主要工具.例如，由公式a+b ≥2ab (a 、b ∈R +）, a+b+c ≥33abc （a 、b 、c ∈R +），可编制以下命题：1.设ab ＞0 , 求证：ba ab +≥2 . 2.设a 、b 、c ∈R +，求证：))((ca b c a b a c c b b a ++++≥9. 在上式中,令,,,z a c y c b x b a ===,则有 3.设x 、y 、z ∈R +，求证：)111)((zy x z y x ++++≥9. 在上式中,令x= a+b , y = b+c , z = c+a , (a 、b 、c ∈R +)，得 (2a+2b+2c) (ac c b b a +++++111)≥ 9 .即 ⇔≥+++++++++++29a c c b a c b c b a b a c b a 23≥+++++c b a a c b b a c 于是可得到新命题,这就是北京市的一个数学竞赛题:4.设a 、b 、c ∈R+，求证：23≥+++++c b a a c b b a c . 运用类比方法,可将以上命题推广为:5.设a i ＞0(i=1,2,…,n) , n ≥2 , 且a 1+a 2+…+ a n =S , 求证: (1).12211-≥-++-+-n n a S a a S a a S a n n (2) .1221-≥-++-+-n n a S S a S S a S S n 三.通过类比发现解题的思维方向类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用，教学中应引起足够的重视.1.在立体几何中,这样的一个问题曾难倒了部分学生:“求证:正四面体A-BCD 内的任意一点P 到各个面的距离之和等于常数.”其实,只要与平面几何的问题类比：“求证:等边三角形内的任意一点P 到三角形的三边的距离之和等于常数.”由于平几中该命题的证明可采用“面积法”，类似地，这个立几问题应采用“体积法”，于是问题迎刃而解.2.事实上，当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候，如果能构造一个类似的熟悉问题，从这个熟悉问题的解答过程中得到启发，那么就很有可能悟出原问题的解法.下面的这个问题是非常典型的:“设A={1，2，3，4，5}，从A 到B 的映射中，满足：f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射一共有多少个？”乍看起来，有些学生感到这个问题好象无从下手.你见过一个类似的问题吗？启发学生进行对比联想：“方程x+y+z+u=100总共有多少组正整数解？”这个问题你是怎么解决的？立即有学生想到：相当于用三块隔板将100个排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一个球，有多少种方法？显然是有3100C 种方法.由此，从A 到B 的映射，共分为三类：①五对一的映射有13C 个；②五对二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成两部分，这两部分再分别与6、7、8中选出两个元素对应，共有23C 14C 个；③五对三的映射，先把1、2、3、4、5用两块板分成三部分，分别对应6、7、8三个元素，共有24C 个.因此这样的映射总共有21个.问题获解.类比思维在数学知识延伸和拓广过程中常借助于比较、联想用作启发诱导以寻求思维的变异和发散.在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容，以帮助理解和记忆.在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，都是产生猜测、获得命题的推广和引伸的原动力.因此，类比方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索发现性两个方面.在数学教学中引导学生运用类比思维进行数学学习与探索过程中，我们通常还要结合与之非常类似的“见微知著联想法则”.见微知著联想法则也就是：一看到新问题的假设与结论，已知或未知，或一看到反拐弯转化出来的中间结果或猜想中间法，与某公式，定理，定理之外的基本问题，或解决的老问题有某些相同的成分或相同的结构，甚至仅仅有类似之处，就立即回想其解法，考虑移植的可能性，并立即作出快速的反应，就按此方法试一试，从而走出一条“由尝试走向成功”的道路.数学发展史上大胆的类比，令人惊奇的类比，天天在进行着：曲与直的类比，有限与无限的类比，数与式的类比，数与形的类比，平面与空间的类比……一般来说，差别愈大的对象间的类比，风险也愈大，那么自然地，导致重大发现的可能性也愈大.世界著名的数学家华罗庚在他的《从孙子的神奇妙算谈起》这本著名的小册子中，运用类比的方法，作出了令人惊奇的发现.在数学的应用中只有有限个数据，怎样从这有限个数据出发来确定描述客观事物的函数？这是一门叫做“插入法”的学问.在高等数学中，是用“拉格朗日插值公式”来解决的.怎样用初等方法简单地推导这个公式？华罗庚经过大量的研究，通过类比的方法，使插值问题求解成功.接着，他联想到具有类似结构的许多问题：多项式的神奇妙算，多变数的内插法，一次同余式组的求解，线性不定方程等，都可类似处理.在成功地解决这些问题之后，他把它们的基本思想概括成一个重要原则，这就是著名的华罗庚“合成原则”或称为“孙子——华原则”.总而言之，类比大体可分为如下几个阶段：①知识积累：对系统A 有比较系统的研究；对系统B 有了初步的研究，还有待深入.②发现A、B两系统拟同构：利用见微知著联想，突然认出B的某些属性在结构上与A的某些属性类似.于是原以为没有联系的两系统A、B之间便有了相当程度的拟同构关系.③试图扩大A、B之间的类似程度：盯住尚未参与对比的属性P，竭力找出类似的B的属性P'.④为此，先在A、B的元素间建立对应关系——实际上相当于由系统A到系统B的映射法则.⑤利用这个映射法则，把A的P“翻译”成B的P'.⑥找出P'的证明，或找反例推倒它，进而修改或补充一些题设，使P'为真并给出证明——至此，新知识终于诞生了！通过类比，人们把自然数加法法则，算律推广到整数，有理数，实数，复数；通过类比，人们从线段的性质推测出直线的性质，把有限个自然数的性质推广到所有的自然数；通过类比，人们把正方形面积概念“顺理成章”地推到三角形、一般四边形、多边形和曲边封闭图形；应用类比，人们把平面图形的研究引向三维空间，甚至高维空间.类比的成功激励着人们，人们运用类比策划着，争取着更多的、更大的成功！[参考文献]1. 许兴华,《数学美育的初步认识与实践》,北京《数学通报》,2001第11期2.马忠林,郑毓信,《数学方法论》,广西教育出版社,1996.12.（附:个人简历)许兴华,男,1963年生,中学高级教师,曾任上思中学副校长,1998年调入南宁三中。

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——高中数学教案
课题：用比较法证明不等式
（５３００２１广西南宁三中许兴华）
教学目标：1、通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商
比较法）”证题的基本原理；
2、学会“比较法”证题的基本步骤；
3、初步学生培养分析问题解决问题的能力. 重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤；难点是掌握变形的思路和技巧. 教学过程：一、复习引入：
1、实数大小比较的依据是什么？（让学生回答）主要依据是：
①a －b ＞0 ＞b
②a －b ＝0 b
③a －b ＜0 b
2、由以上法则我们知道：
① 要证a ＞b ，只需证a －b ＞0；
② 要证a ＜b ，只需证a －b ＜0.于是我们得到不等式证明的一种方法：作差
比较法.
二、新授课：
1、“作差比较法”证明不等式：例1：求证：x 2+3>3x
（1）分析：欲证x 2+3>3x ，只需证x 2+3－3x ＞0
（2）于是配方即得:04
3
)23(2>+-x ,此不等式显然成立.
（3）证明：板书证明过程（略）. 例2：已知a ，b ∈R +，并且a ≠b ，求证：
a 5＋
b 5＞a 3b 2＋a 2b 3
(1)分析：要证a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ,只要证明(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)>0 而(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)=(a 5－a 3b 2)+(b 5－a 2b 3)
=a 3(a 2－b 2)－b 3 (a 2－b 2)= (a 2－b 2)(a 3－b 3)
= (a －b)2(a+b)(a 2+ab+b 2)>0 (),,b a R b a ≠∈+
(2)：板书证明过程(略).
引导学生进行小结:用“作差比较法”证不等式的步骤是： ①作差 ②恒等变形 ③ 判断符号 ④结论
其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”的目的.证明的实质：进行实数大小比较. （3）为了确定差的正负，“变形”的目标一般是： ① 一个常数；
② 一个常数与一个或几个平方的和的形式； ③ 几个因式的积的形式.
课堂练习：设a ＞b ＞0，比较2
222b
a b a +-与 b a b
a +-的大小. （要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评）
（1）分析：作差通分变形即可.
（2）证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”. 2、“作商比较法”证明不等式：
比较法还有“作商比较法”：若已知b>0 , 则要证.1,>>b
a
b a 只要证明
例3．已知+∈R b a ,，求证：a
b b a b a b a ≥.
分析：0,,>∴∈+
a
b
b a R b a ，故只要证明1≥a b b
a b
a b a .
不妨设b a ≥,则.1,0,1≥⎪
⎭⎫
⎝⎛==∴≥-≥---b
a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b a
（板书证明过程）（略）
三、课堂练习：
课本：P.7之1、2、3、4.
5.(补充练习):已知,0>>>c b a 求证:3
)(c b a c
b a ab
c c b a ++>.
练习后，当堂讲评:
证明:
3
3
3
3
3
3
33
3
3
23
23
23)
(c b c a b a b c a c c b a b c a b a b
a c c
a b c
b a
c b a c b a c b c a b a c
c
b
b
a
a
c
b
a
abc c b a ---------------++⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅⋅⋅==
,1)
(,1,0,03
>∴>>-∴>>>-b
a b
a
b a b a
c b a 同理可证:.0)
(,0)
(3
3
>>--c b c a c
b c
a
13
3
3
>⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛---c b c a b a c b c a b a ,
因此, 3
)(c b a c
b
a
abc c b a ++>.
四、小结：
（1）“比较法”分为 “作差比较法”与“作商比较法”两种；
（3）何时采用“作差比较法”或“作商比较法”？这两种方法证明不等式
的步骤如何？请同学们思考.
五、作业：
课本P .15之 5、6、7、9 补充练习：
1.设,,0,0N n b a ∈>>,求证:).(2))((11
+++≤++n n n
n
b a
b a b a
2.若,0>≥≥c b a 求证:
b a a
c c b c b a c b a c b a +++≥222.。