【高斯数学思维训练】第02讲基本应用题.李春芳
高思数学_4年级上-第2讲-还原问题(彩色)
5. 有甲、乙、丙三袋水果糖，先取出甲袋的一半，平均放入乙、丙两袋中；再取出 乙袋的一半，平均放入甲、丙两袋中；最后取出丙袋的一半，平均放入甲、乙两袋中， 这时三袋糖正好都是 32 块．请问：原来甲、乙、丙三袋中各有多少块水果糖？
练习
4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的 人的糖数增加一倍．经过四次这样的操作以后，甲有 7 块糖，乙有 12 块糖．两个人原来 的糖数分别是多少？
10
还原问题
课本
例题 5
甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些 钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 2 倍，结果乙的钱最多；接着 乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加 2 倍，结果丙的钱最多；最 后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加 2 倍，结果三人的钱数 一样多．如果他们三人共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？
例题 4
甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的 人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍．经过三次这样的操作以后，甲 有 5 块糖，乙有 12 块糖．两个人原来的糖数分别是多少？
分析 每操作一次，两人的糖的数量都在变化，大家可以像例题 3 那样自己列 表分析．每次都是糖多的人给糖少的人一些糖，让糖少的人的糖数加倍，那么 在最后一步操作中是甲给乙一些糖呢？还是乙给甲一些糖呢？
分析 大家能算出最后三人各有多少钱吗？试着列表倒推分析吧．
练习
5. 三堆苹果共有 48 个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果并入第二堆，再 从第二堆里拿出与第三堆个数相同的苹果并入第三堆，最后再从第三堆里拿出与这时第 一堆个数相同的苹果并入第一堆，结果三堆苹果数完全相同．问：原来这三堆苹果各有 多少个？
高思奥数导引小学六年级含详解答案第03讲 方程解应用题
第
兴趣篇
1.图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。已知 厘米， 厘米， 厘米，求图形的面积。
【分析】
2. 如图所示， 等于多少度？
【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为 ，列方程得
，
所以
3. 如图，平行四边形 的周长为75厘米。以 为底时高是14厘米，以 为底时高是16厘米。求平行四边形 的面积。
【分析】 ,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以 ,因此 ,平行四边形 的面积是 平方厘米
4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是 平方米、 平方米、 平方米和 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
【分析】 ,因此 , , ,所以 , ,因此 ,那么它的面积是 平方米
【分析】
从A点向BC做垂线交BC于F点，交BD于H点。
三角形ABH面积等于三角形CDE的面积，又四边形AEDH为平行四边形。
所以三角形AED的面积=75-45=30。
7. 在长方形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的点，将长方形的四个角分别沿着 、 、 、 对折后， 点与 点重合， 点与 点重合。已知 =3， =4，求线段 与 的长度比。
2. 如图， 是正五边形， 是正三角形， 等于多少度？
【分析】 ,因为 ,所以 ,因此
3. 一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示。问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？
【分析】设 ，有 ，解得 ，所以 平方厘米
4. 图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48。请问：图中阴影部分的面积是多少？
3年级高斯课本
3年级高斯课本 work Information Technology Company.2020YEAR目录第一讲差倍问题第二讲和差倍中隐藏的条件第三讲蜗牛爬行第四讲日期问题第五讲还原问题第六讲最不利原则第一讲差倍问题小热身画出线段图并求出(1)小高和墨莫一共挖了60个土豆，且小高是墨莫挖的3倍，那么墨莫挖了多少个土豆(2)小高和墨莫跳绳，一共跳了40个，且小高比墨莫多跳10个，那么墨莫跳了多少个?知识精讲我们已经学过和倍与和差问题，解决此类问题最常用的方法是画线段图。
画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。
这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。
例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。
那么在差倍问题中，这种方法还适用吗？例题2：羊村里住了一些羊和狼，羊的数量比狼的5倍多2只，且羊比狼多42只。
请问：羊村里羊和狼分别有多少只?练习2：狼村里住了一些狼和羊，狼比羊多23只，且狼的数量比羊的3倍多1只。
请问：狼村有多少只狼?例题3：米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的3倍少4个，且唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠多20个。
请问:唐老鸭挖了多少个土豆?练习3：阿呆的高思积分比阿瓜的多150分，且阿呆的高思积分比阿瓜的4倍少30分，阿呆和阿瓜分别有多少个高思积分?有暗差的差倍问题，做题一般步骤:(1)先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍。
(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。
【讲义】高斯杯初赛考辅材料_7年级_第2讲含答案
初赛考辅讲义高斯杯初赛考辅班7 年级第三讲 整式、定义新运算、方程知识概述本讲重点复习的知识点有：整式的化简与求值，定义新运算，方程．例题1. 解方程：（1）1373x x ++=-（2）2537x x -=+答案：（1）152x =-（2）12x =-2. 解方程：（1）1111620343x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）341138143242x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦答案：（1）3x =；（2）294x =-．3. 下列式子中：①21x +，②2a b -，③0a b +≈，④y x ，⑤343r π，⑥ah π，⑦2r h π-，⑧13，⑨2712xy π-，⑩6123a --，⑪1π-，⑫a b >． 代数式有__________________________； 单项式有__________________________； 多项式有__________________________； 整式有____________________________．答案：代数式有①②④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪；单项式有②⑤⑥⑦⑧⑨⑪； 多项式有①⑩；整式有①②⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪．初赛考辅讲义高斯杯初赛考辅班7年级4. （1）求当10x =-时，求代数式()()222332323x x x x -+--+-的值；（2）已知代数式23A a b =+，23B b a =-，22a x y xy =-，222b xy x y =+， 当1x =，1y =-时，求2A B -．答案：（1）化简结果为313x -+，值为43．（2）10-．5. 已知230x y +=，20y z -=，且0xyz ≠，则x y zx y z++=-+_____________．答案：0．提示：令3x =，则2y =-，1z =-．6. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，请你探索第2015次输出的结果为______________．答案：8． 7.定义一个新的数字i ，已知21i =-，4221i i i =⋅=，54i i i i =⋅=，以此类推，则2016i=______． 答案：1．初赛考辅讲义高斯杯初赛考辅班7 年级8. 运一批货物，如果单独由一个车队完成，第一车队10天运完，第二车队15天完成，第三车队20天运完，现在三个车队合运，第一车队因工作需要中途调走，结果任务完成共用了6天．问第一车队实际工作了多少天？ 答案：3天．提示：设工程总量为1，则第一车队每天完成110，第二车队每天完成115，第三车队每天完成120．设第一车队实际工作了x 天，根据题意，可列方程()11111611015201520x x ⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. 一艘轮船在静水中航行，每小时行15千米，水流速度为每小时3千米．这艘轮船顺水航行270千米到达目的地，用了几个小时？如果按原航道返回，需要几小时？答案：顺水用了15小时，返回需要22.5小时．提示：设轮船顺水航行270千米用了x 小时，根据题意，可列方程153270x x +=． 设按原航道返回需要y 小时，根据题意，可列方程153270y y -=．10. 古希腊数学家丢番图的墓志铭是一道数学题，墓志铭是这样写的：过路的人！里面安葬着丢番图．他的寿命有多长，下面这些文字可以告诉你．他的童年占一生的16，接着112是少年时期，又过了17的时光，他找到了终生伴侣．5年之后，婚姻之神赐给他一个儿子， 可是儿子命运不济，只活到父亲寿数的一半，就匆匆离去． 这对他是一个沉重的打击，后来4年，丢番图因为失去爱子而伤悲， 终于离开了人世．请问，丢番图去世时年龄是多少岁？ 答案：84岁．提示：设丢番图去世时年龄是x 岁，根据题意，可列方程5461272x x x xx +++++=．初赛考辅讲义高斯杯初赛考辅班7年级作业1． 解方程：（1）113322x x -=- （2）3142222x x -⨯=+答案：（1）1x =-（2）133x =-2． 方程32423223x x +--=+要去分母，具体的操作方式是_____________． 答案：等号两边同时乘以6，结果为：()()3321824212x x +-=-+3． （1）当3x =-时，代数式3226x x ax -++的值是0，那么a 的值为（）A ．1-B ．13-C ．0D ．6（2）已知2015x =，则2245142237x x x x x -+-++++=______________． （★）答案：（1）B ；（2）20150-．4． 定义运算：()()()()1111121a b a a a a b b ∆=++++++- ，（1）当4321x ∆=时，x =___________；（2）当2105y ∆=时，y =___________；（3）当20152016m n ∆=时，m =___________，n =___________．答案：（1）7；（2）2；（3）1、2016．初赛考辅讲义高斯杯初赛考辅班7 年级5． 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 答案：200千米．提示：设这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，根据题意，可列方程()3630406060x x =+。
数学思维训练导引 (三年级)之令狐文艳创作
第1讲四则运算一令狐文艳内容概述学习加减法运算中的各种计算技巧，例如凑整、带着符号搬家、加减相消、数的分拆与合并等等；掌握加减法运算中添、去括号的法则，并借此简化运算。
典型问题兴趣篇1．计算：(1)15+21+25+19；(2)70+63+81+37+30+19．2．计算：(1)17+19+234+21+183+26；(2)(1+11+21+31)+(9+19+29+39)．3．计算：(1)35+121-35-21；(2)152-19-13+19+223-32．4．计算：(1)25-(25-14)-(14-7)；(2)57-(50-28)+(44-28)-(57-26)．5．计算：(1)199+99+9；(2)9+98+397+247．6．计算：(1)321-199；(2)456-197-98．7．请大家先不要动笔，看能不能把下面的题目直接口算出来：(1)2580-2547；(2)1596-1296；(3)365+97；(4)365-97．8．计算：(1)150-85-15；(2)1450-375-203-625．9. 计算：(1)38+83-55；(2)(235+523+352)-(111+333+555)．10．计算：(1)11-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1；(2)100+102-104+106-108+110-112+114-116+118．拓展篇1．计算：(1)51+62+49+38；(2)64+127+129+23+71+136．2．计算：(1)2+13+224+3330+6670+676+87+8；(2)73+119+231+69+381+17．3．计算：(1)82-29-22+259；(2)375-138+247-175+139-237．4．计算：(1)162-(162-135)-(35-19)；(2)163-(50-18)-(153-76)+(124-18)．5．计算：(1)999+599+199；(2)3996+449+98+9．6．计算：(1)1365-598；(2)1206-199-297-398．7．请大家先不要动笔，看能不能把下面的题目直接口算出来：(1)93570-93534； (2)45235-38235；(3)465+197； (4)465-197．8．计算：(1)280-24-76-65-35；(2)267-162+84-38-147+116．9．计算：(1)267-136+36-167；(2)325-251-34+151-66．10．(1)在加法算式中，如果一个加数增加10，另一个加数减少5，两数的和如何变化?(2)在减法算式中，如果被减数增加15，差减少8，那么减数应如何变化?11．计算：(1)246+462+624-888；(2)125-24+251-240+512-402．12．计算：(1)21-20+19-18+17-16+15-14+13-12+11；(2)12+23-34+45-56+67-78+89-78+67-56+45-34+23+12．超越篇1. 计算下面4个算式：1+2+1，1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,1+2+3+4+5+4+3+2+1．观察这4个算式的结果，并找出规律，再用这个规律求出下面算式的结果：1+2+3+4+…+19+20+19+…+4+3+2+1．2. 计算：364-(476-187)+213-(324-236)-150．3. 如图1-1，教室里有4个书柜，每个书柜里都有4格书，图中标明了每格内书的册数. 一天，老师问小悦和冬冬：“不许用加法计算，你们马上回答，这4个书柜里，哪一个书柜里的书多一些?”两个人看了看书柜上标出的数，想了想齐声说：“4个书柜里的书同样多!”老师高兴地说：“完全正确!”请你说一说他们是怎样想的?4．计算：3355+4466+9977-3366-4477-9955．5. 已知1234+2345+3456+4567+5678-6543-5432-4321的计算结果是984．请问：1244+2355+3466+4577+5688-6513-5412-4311的计算结果是多少?6．如图1-2，除第一行外，每个圆圈中的数都等于它上面两个圆圈中数的和，请计算最下面的圆圈中应填的数．7．如图1-3，老师将9个数写在一个九宫格里，让同学们选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小悦选的5个数的和是120，冬冬选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是一样的，这个数是多少?8．计算：8457-(7630-4578)+(7845-3076)-(6307-5784)-763．第2讲基本应用题培养应用题的审题能力与分析能力，涉及的类型包括只需逐次应用已知条件求解的问题，简单和差与倍数关系的问题，归一问题等。
高斯小学奥数六年级下册含答案第02讲_余数问题综合提高
第二讲 余数问题综合提高本讲知识点汇总：一． 求余数1． 直接做除法．2． 特征求余（注意和整除特征对比）；3． 替换求余4． 周期求余5． 分解求余二． 物不知数问题（求被除数）1． 也称“韩信点兵”，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理”（也称“孙子定理”）．物不知数问题的基本解法是：逐步增加条件，逐步找寻2． 分解求余三． 同余1． 概念如果a 和b 除以c 的余数相同，则称a 、b 对c 同余，例如：10和28对9同余．2． 如果a 、b 对c 同余，则是c 的倍数．例1． （1）4188141616⨯⨯除以7、8、9、11的余数分别是多少？（2）892除以7的余数是多少？（3）89143的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以11和13的余数呢？「分析」（1）替换求余法；（2）周期求余法解这道题目；（3）同上．a b -练习1、的个位数字是多少？除以7的余数是多少？例2． 44443444421Λ200320032003032003200320个除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？「分析」截段求和法．练习2、201320132003200320032003n L 14444244443除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？例3． 有一种三位数，它除以9所得的余数等于它的各位数字的平方和，这样的三位数可能是多少？请写出所有可能答案．「分析」尝试枚举出一个符合题意数来，总结一下这样的数有什么特点．练习3、一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个；如果9个一包，最后还剩8个；…；如果5个一包，最后还剩4个．那么如果13个一包，最后还剩多少个？例4．（1）一个三位数除以9余2，除以12余2，那么这个三位数最小是多少？ （2）一个数除以4余3，除以6余5，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）一个三位数除以3余2，除以5余3，除以7余4，那么这个三位数最小是多少？ 「分析」（1）余数相同；（2）余数和除数的差相同；（3）逐步满足条件法．20132013练习4、（1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）一个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？例5．三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为多少？「分析」能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样的特点呢？例6．有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？「分析」如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点？作业1． 的个位数字是多少？除以7的余数是多少？2． （1）一个三位数除以4余2，除以6余2，那么这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以3余1，除以4余2，除以6余4，那么这个三位数最小是多少？（3）一个数除以9余2，除以12余5，那么这个数最小是多少？3． 一个盒子中装有棒棒糖100多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？4． 一个两位数去除531，得到的余数是69，这个两位数是多少？5． 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？36629第二讲 余数问题综合提高例7． 答案：（1）4、0、8、0；（2）4；（3）3；5；0；0．解答：（1）按替换求余计算即可；（2）按周期求余：2、22、32、42……、除以的余数依次是2、4、1、2、4……、每三个数一个周期，所以，892除以7的余数是4；（3）按周期求余即可，143=11×13，143是11和13的倍数．例8． 答案：7；1；34．解答：除以9的余数，按“特性求余”数字和为()2003200310015+++⨯=，而100157++++=，所以，200320032003200320032003n L 14444244443除以9的余数是7；除以11的余数，也可用“特性求余”法；除以99的余数，两位截段求和判断即可．例9．答案：100、101、110、111． 解答：一个数除以9的余数就是等于这个数的数字和除以9的余数，又要等于它的各位数字的平方和，所以只有上述的4种答案．例10． 答案：110；83；158．解答：（1）余数相同，9和12的最小公倍数时36，所以，除以9余2，除以12余2，的数最小是36238+=，又由于要符合三位数这个条件，所以，38362110+⨯=；（2）“差同”差为1，[]4,6,784=，84183-=；（3）逐步满足条件．例11． 答案：627．解答：一个数满足：是13的倍数，且加1后是11的倍数，那么这个数最小是65，下一个是65143208+=，而209、210分别是11、7的倍数，所以和最小是208209210627++=．例12． 答案：41．解答：157、234和324的和是715，减去100的差是615，615是这个整数的倍数，而615的约数有1、3、5、15、41、123、205、615，验算只有41满足余数和是100．练习：练习1、答案：3；1．简答：20132013的个位数字只与个位数字有关相当于20133的个位数字，3n 的个位数字依次3、9、7、1、……，每四个数一周期，20134÷余1，所以，20132013的个位数字是3；20137÷余1，1的2013次方除以7的余数也是1．练习2、答案：3；0；66．简答：同例题2．练习3、答案： 8．简答：布袋中的小球数除以10余9，除以9余8，除以8余7……，除以5余4，[][]5,6,7,8,9,105,7,8,957892520==⨯⨯⨯=，所以，布袋中球数是2520125205039-+=，503913÷余8．练习4、答案：（1）122；（2）104；（3）56．简答：同例题4．作业1.答案：1；1．简答：29n的个位数字依次是9、1、9……，所以，366÷余1，29的个位数字是1；297所以，36629除以7余1．2.答案：110；106；29．简答：（1）[]+⨯=；（2）按“差同”计算；（3）按“差同”=，141281104,612计算．3.答案：11．简答：除以5余4，除以4余3，除以3余2的数最小是59，满足上述条件的100以上的数是59加上若干个60，如119、179等，这些数除以12余11．4.答案：77．简答：53169462-=，462的约数中比69大的两位数只有77．5.答案：11．简答：61、90和130的和减去26得到255，255的约数中验证得满足条件的只有17，所以这个自然数是17，所以余数中最大的是130除以17的余数11．。
【高斯数学思维训练】第17讲 应用题综合二_by李才源
第17讲 应用题综合二兴趣篇1、有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米。
如图1，若把这批砖横着铺，则可铺897厘米长；如图2，若竖横相间铺，则可铺657厘米长。
请问：如图3这样铺，可铺多少厘米长？答案：442厘米2、一种商品的定价为整数元，100元最多能买3件，甲、乙两人各带了若干张百元钞票，甲带的钱最多能买7件这种商品，乙带的钱最多能买14件，两人的钱凑在一起就能多买1件。
求这件商品的定价。
答案：27元［分析］因为100元最多能卖3件，而甲、乙都带了整百元钱，那么甲买7件，带了200元；乙买14件，带了400元。
根据题意，甲乙共600元，可以买714122++=件。
那么这件商品的价格不低于[]662227÷=元；高于[]662326÷=元。
因此定价为27元3、小明要写152页字，小强要写150页字。
从暑假第一天起，小明一天写3页，天天写；小明第一天写4页，但是隔一天写一次。
请问：第多少天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍？答案：第39天4、现有甲、乙、丙三种食盐水各200克，浓度依次为42%、36%、30%，现在要配制浓度是34%的食盐水420克，至少要取甲种食盐水多少克？答案：40克5、要生产某种产品100吨，需用A 种原料200吨，或B 种原料200.5吨，或C 种原料195.5吨，或D 种原料192吨，或E 种原料180吨。
现知用A 种原料及另外一种（指B 、C 、D 、E 中的一种）原料共19吨生产此种产品10吨。
试分析所用另外一种原料是哪种，这两种原料各用了多少吨？答案：另一种原料为E ；A 用了10吨，E 用了9吨［分析］单用A 、B 、C 或D 生产10吨产品，均需多于19吨原料，因此要用19吨原料来生产10吨产品，必须用E （浓度与经济问题）。
接下来用方程的方法求解：设用了x 吨甲原料，19x -吨乙原料，那么()÷⨯+-÷⨯=2001001918010010x x解得，10x=因此，另一种原料为E.A原料用了10吨，E原料用了9吨。
高斯小学六年级下册奥数应用题综合练习答案
高斯小学六年级下册奥数应用题综合练习答案一、选择题(每题3分、共30分)1.四会市现在总人口43万多，数据43万用科学记数法表示为( )A.43×104B.4.3×105C.4.3×106D.0.43×1062.下列四个多边形：①等边三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④3.，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于( )A.20B.15C.10D.54.一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是( )A.2B.3C.4D.55.在平面中，下列命题为真命题的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形6.若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是( )A.m<﹣4b.m>﹣4C.m<4d.m>47.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为( )A.(x+2)2=9B.(x﹣2)2=9C.(x+2)2=1D.(x﹣2)2=18.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A.B.C.D.9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的可能为( )A.B.C.D.10.，抛物线y=x2与直线y=x交于A点，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是( )A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1二、填空题(每题3分、共30分)11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .12.已知一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 .13.分解因式：3ax2﹣3ay2= .14.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 .15.设x1、x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根，则3x12﹣2x1﹣x2的值等于 .16.某商品原价289元，经过两次连续降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则由题意所列方程 .17.若|a﹣3|+(a﹣b)2=0，则ab的倒数是 .18.在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则?ABCD的周长是 .19.A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为 .三、解答题(共60分)20.(﹣1)0+()﹣2﹣.21.先化简，再求值：，其中.22.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.23.某校初三(1)班的同学踊跃为“雅安芦山地震”捐款，根据捐款情况(捐款数为正数)制作以下统计图表，但生活委员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚.捐款人数0～20元21～40元41～60元61～80元681元以上4(1)全班有多少人捐款?(2)如果捐款0～20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°，那么捐款21～40元的有多少人?24.四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上.(1)从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率;(2)从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率.25.直线y=ax+b与双曲线相交于两点A(1，2)，B(m，﹣4).(1)求直线与双曲线的解析式;(2)求不等式ax+b>的解集(直接写出答案)26.(10分)(2013南通)某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时，y=1.4;当x=3时，y=3.6.信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以上信息，解答下列问题;(1)求二次函数解析式;(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少?27.(12分)(2008包头)阅读并解答：①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1.②方程2x2﹣x﹣2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=﹣1.③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣，x2=1，则有x1+x2=﹣，x1x2=﹣.(1)根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;(2)利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值.参考答案与试题解析一、选择题(每题3分、共30分)1.四会市现在总人口43万多，数据43万用科学记数法表示为( )A.43×104B.4.3×105C.4.3×106D.0.43×106考点：科学记数法—表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值是易错点，由于43万有6位，所以可以确定n=6﹣1=5.解答：解：43万=430000=4.3×105.故选B.点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.2.下列四个多边形：①等边三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④考点：中心对称图形;轴对称图形.分析：根据正多边形的性质和轴对称与中心对称的性质解答.解答：解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形;奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形.故选C.点评：此题考查正多边形对称性.关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，奇数边的正多边形只是轴对称图形.3.在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于( )A.20B.15C.10D.5考点：菱形的性质;等边三角形的判定与性质.分析：根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB.解答：解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选D.点评：本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定.4.是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是( )A.2B.3C.4D.5考点：由三视图判断几何体.分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可.解答：解：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4.故选C.点评：本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.5.在平面中，下列命题为真命题的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形考点：正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;命题与定理.分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例.解答：解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误;B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误;C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确;D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误.故选：C.点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.6.若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是( )A.m<﹣4b.m>﹣4C.m<4d.m>4考点：根的判别式.专题：计算题.分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围.解答：解：∵△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m<0，∴m>4.点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.7.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为( )A.(x+2)2=9B.(x﹣2)2=9C.(x+2)2=1D.(x﹣2)2=1考点：解一元二次方程-配方法.分析：移项后配方，再根据完全平方公式求出即可.解答：解：x2+4x﹣5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，(x+2)2=9，故选：A.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方.8.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A.B.C.D.考点：由实际问题抽象出分式方程.分析：题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式.解答：解：根据题意，得.点评：理解题意是解答应用题的关键，找出题中的.等量关系，列出关系式.9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )A.B.C.D.考点：二次函数的图象;一次函数的图象.专题：数形结合.分析：根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案.解答：解：根据题意可知二次函数y=ax2+bx的图象经过原点O(0，0)，故B选项错误;当a<0时，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，一次函数y=ax+b的斜率a为负值，故D选项错误;当a<0、b>0时，二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣>0，一次函数y=ax+b与y轴的交点(0，b)应该在y轴正半轴，故C选项错误;当a>0、b<0时，二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣>0，一次函数y=ax+b与y轴的交点(0，b)应该在y轴负半轴，故A选项正确.故选A.点评：本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题.10.抛物线y=x2与直线y=x交于A点，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是( )A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1考点：二次函数图象与几何变换.分析：首先根据抛物线y=x2与直线y=x交于A点，即可得出A点坐标，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式.解答：解：∵抛物线y=x2与直线y=x交于A点，∴x2=x，解得：x1=1，x2=0(舍去)，∴A(1，1)，∴抛物线解析式为：y=(x﹣1)2+1，故选：C.点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A 点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减.二、填空题(每题3分、共30分)11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2 .考点：二次根式有意义的条件.专题：计算题.分析：让二次根式的被开方数为非负数列式求解即可.解答：解：由题意得：3x﹣6≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2.点评：考查二次根式有意义的条件;用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数.12.已知一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是k<0 .考点：一次函数图象与系数的关系.分析：根据一次函数经过的象限确定其图象的增减性，然后确定k的取值范围即可.解答：解：∵一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限，∴k<0;故答案为：k<0.点评：本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据图象的位置确定其增减性.13.分解因式：3ax2﹣3ay2= 3a(x+y)(x﹣y) .考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解.解答：解：3ax2﹣3ay2=3a(x2﹣y2)=3a(x+y)(x﹣y).故答案为：3a(x+y)(x﹣y)点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底.14.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 .考点：概率公式.分析：由在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案.解答：解：∵在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是：=.故答案为：.点评：此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.15.设x1、x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根，则3x12﹣2x1﹣x2的值等于 .考点：根与系数的关系;一元二次方程的解.分析：根据题意可知，x1+x2=，然后根据方程解的定义得到3x12=x1+1，然后整体代入3x12﹣2x1﹣x2计算即可.解答：解：∵x1，x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根，∴x1+x2=，∵x1是方程x2﹣5x﹣1=0的实数根，∴3x12﹣x1﹣1=0，∴x12=x1+1，∴3x12﹣2x1+x2=x1+1﹣2x1﹣x2=1﹣(x1+x2)=1﹣=.故答案为：.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系x1+x2=﹣，x1x2=，以及一元二次方程的解.16.某商品原价289元，经过两次连续降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则由题意所列方程289×(1﹣x)2=256 .考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：增长率问题.分析：可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1﹣降低的百分率)=256，把相应数值代入即可求解.解答：解：第一次降价后的价格为289×(1﹣x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为289×(1﹣x)×(1﹣x)，则列出的方程是289×(1﹣x)2=256.点评：考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.17.若|a﹣3|+(a﹣b)2=0，则ab的倒数是 .考点：非负数的性质：偶次方;非负数的性质：绝对值.分析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.解答：解：根据题意得，a﹣3=0，a﹣b=0，解得a=b=3，所以，ab=33=27，所以，ab的倒数是.故答案为：.点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.18.如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则?ABCD的周长是4+2 .考点：解一元二次方程-因式分解法;平行四边形的性质.专题：计算题.分析：先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出?ABCD的周长即可.解答：解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴(x﹣1)(x+3)=0，即x=1或﹣3，∵AE=EB=EC=a，∴a=1，在Rt△ABE中，AB==a=，∴?ABCD的周长=4a+2a=4+2.故答案为：4+2.点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握.19.A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为y=﹣ .考点：待定系数法求反比例函数解析式;平行四边形的性质.专题：待定系数法.分析：设经过C点的反比例函数的解析式是y=(k≠0)，设C(x，y).根据平行四边形的性质求出点C的坐标(﹣1，3).然后利用待定系数法求反比例函数的解析式.解答：解：设经过C点的反比例函数的解析式是y=(k≠0)，设C(x，y).∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA;∵A(4，0)，B(3，3)，∴点C的纵坐标是y=3，|3﹣x|=4(x<0)，∴x=﹣1，∴C(﹣1，3).∵点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上，∴3=，解得，k=﹣3，∴经过C点的反比例函数的解析式是y=﹣.故答案为：y=﹣.点评：本题主要考查了平行四边形的性质(对边平行且相等)、利用待定系数法求反比例函数的解析式.解答反比例函数的解析式时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上.三、解答题(共60分)20.(﹣1)0+()﹣2﹣.考点：实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.专题：计算题.分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，即可得到结果.解答：解：原式=1+4﹣=4.点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.21.先化简，再求值：，其中.考点：分式的化简求值;约分;分式的乘除法;分式的加减法.专题：计算题.分析：先算括号里面的减法，再把除法变成乘法，进行约分即可.解答：解：原式=&pide;()=×=，当x=﹣3时，原式==.点评：本题主要考查对分式的加减、乘除，约分等知识点的理解和掌握，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键.22.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.考点：解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.专题：计算题.分析：分别解两个不等式得到x≥﹣2和x<1，再根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，然后用数轴表示解集.解答：解：，由①得：x≥﹣2，由②得：x<1，∴不等式组的解集为：﹣2≤x<1，在数轴上表示为：.点评：本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集.也考查了在数轴上表示不等式的解集.23.某校初三(1)班的同学踊跃为“雅安芦山地震”捐款，根据捐款情况(捐款数为正数)制作以下统计图表，但生活委员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚.捐款人数0～20元21～40元41～60元61～80元681元以上4(1)全班有多少人捐款?(2)如果捐款0～20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°，那么捐款21～40元的有多少人?考点：扇形统计图;统计表.分析：(1)根据扇形统计图中的捐款81元以上的认识和其所占的百分比确定全班人数即可;(2)分别确定每个小组的人数，最后确定捐款数在21﹣40元的人数即可.解答：解：(1)4&pide;8%=50答：全班有50人捐款.(2)∵捐款0～20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°∴捐款0～20元的人数为50×=10∴50﹣10﹣50×32%﹣6﹣4=14答：捐款21～40元的有14人.点评：本题考查了扇形统计图及统计表的知识，解题的关键是确定总人数.24.四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上.(1)从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率;(2)从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率.考点：列表法与树状图法;概率公式.分析：(1)利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率;(2)利用树状图列举出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率.解答：解：(1)根据数字2，3，4，8中一共有3个偶数，故从中随机抽取一张牌，这张牌的点数偶数的概率为：;(2)根据从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，列树状图如下：根据树状图可知，一共有12种情况，两张牌的点数都是偶数的有6种，故连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是：=.点评：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.25.直线y=ax+b与双曲线相交于两点A(1，2)，B(m，﹣4).(1)求直线与双曲线的解析式;(2)求不等式ax+b>的解集(直接写出答案)考点：反比例函数与一次函数的交点问题.分析：(1)先把先把(1，2)代入双曲线中，可求k，从而可得双曲线的解析式，再把y=﹣4代入双曲线的解析式中，可求m，最后把(1，2)、(﹣，﹣4)代入一次函数，可得关于a、b的二元一次方程组，解可求a、b的值，进而可求出一次函数解析式;(2)根据图象观察可得x>1或﹣<x<0.主要是观察交点的左右即可.<>解答：解：(1)先把(1，2)代入双曲线中，得k=2，∴双曲线的解析式是y=，当y=﹣4时，m=﹣，把(1，2)、(﹣，﹣4)代入一次函数，可得，解得，∴一次函数的解析式是y=4x﹣2;(2)可知，若ax+b>，那么x>1或﹣<x<0.<>点评：本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，并会求出不等式的解集.26.(10分)(2013南通)某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时，y=1.4;当x=3时，y=3.6.信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以上信息，解答下列问题;(1)求二次函数解析式;(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少?考点：二次函数的应用.分析：(1)把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可;(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10﹣m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答.解答：解：(1)∵当x=1时，y=1.4;当x=3时，y=3.6，∴，解得，所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x;(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10﹣m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3(10﹣m)=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1(m﹣6)2+6.6，∵﹣0.1<0，∴当m=6时，W有最大值6.6，∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元.点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，比较简单，(2)整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键.27.(12分)(2008包头)阅读并解答：①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1.②方程2x2﹣x﹣2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=﹣1.③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣，x2=1，则有x1+x2=﹣，x1x2=﹣.(1)根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;(2)利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值.考点：根与系数的关系;解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式.专题：压轴题;阅读型.分析：(1)由①②③中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比.(2)欲求k的值，先把代数式x12+x22变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求k值.解答：解：(1)猜想为：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则有，.理由：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，那么由求根公式可知，，.于是有，，综上得，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则有，.(2)x1、x2是方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两个实数根∴x1+x2=﹣(2k+1)，x1x2=k2﹣2，又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2﹣2x1x2=(x1+x2)2﹣2x1x2 ∴[﹣(2k+1)]2﹣2×(k2﹣2)=11整理得k2+2k﹣3=0，解得k=1或﹣3，又∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2﹣2)≥0，解得k≥﹣，∴k=1.点评：本题考查了学生的总结和分析能力，善于总结，善于发现，学会分析是学好数学必备的能力.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.。
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第2讲基本应用题本讲重点学习了等量代换和归一归总问题。
典型问题◇兴趣篇◇◇1. 班主任老师给同学们排座位，每排都恰好有3名男生和4名女生。
如果女生一共有32名，那么男生一共有多少名？【分析】因为“每排都恰好有3名男生和4名女生”，所以要求男生一共有多少名？就要先求出一共有几排。
一共有：3248（排），一共有男生：3824（名）。
2. 某班30名学生外出郊游，集体午餐时，规定：每人一碗饭，每2人一碗汤，每3人一碗菜。
这些学生一共需要使用多少个碗？【分析】要知道一共使用了多少个碗，先要把每种碗的个数分别计算。
饭碗：30130（个），汤碗：30215（个），菜碗：30310（个），一共需要：30151055（个）。
3. 甲仓库有大米2000千克，乙仓库有大米1000千克，如果以每天100千克的速度将甲仓库的大米运到乙仓库，那么多少天后甲仓库的大米和乙仓库的一样多？【分析】要使甲仓库的大米和乙仓库的一样多，先要求出甲仓库运多少千克大米到乙仓库，两个仓库的大米才能一样多。
（2000-1000）÷2=500（千克），从甲仓库运500千克大米到乙仓库，两个仓库的大米一样多。
因为每天运100千克，所需要的时间就是：500÷100=5（天）。
4. 冬冬在看一本总页数为150页的书。
在第二周结束时他发现自己还没有看的页数正好等于他第一周看的页数。
已知冬冬在第二周看了24页，他在第一周看了多少页书？【分析】如下图，第一周已看的和第二周未看的一样多，和起来是150-24=126（页），那么第一周看的就是：126÷2=63（页）。
5. 如果1个桃子能换4个苹果，2个苹果能换3个梨，那么2个桃子能换多少个梨？【分析】已知“１个桃子能换4个苹果”，那么我们就可以得到2个桃子能能换2×4=8个苹果，又因为“２个苹果能换3个梨”，那么8个苹果就可以换8÷2×4=12（个）梨，2个桃子=8个苹果=12个梨，所以得出2个桃子能换12个梨。
6. 如果买1把尺子的钱恰好可以买1块橡皮和2支铅笔，买1支铅笔的钱恰好可以买2块橡皮，那么买4把尺子的钱可以买几支铅笔？【分析】已知“１把尺子的钱=1块橡皮的钱+2支铅笔的钱”，那么可以得出4把尺子的钱=4块橡皮的钱+8支铅笔的钱。
又因为“１支铅笔的钱= 2块橡皮的钱，那么4块橡皮的钱=2支铅笔的钱，通过代换得到4把尺子的钱=2支铅笔+8支铅笔=10支铅笔的钱，最后得出买4把尺子的钱可以买10支铅笔.7. 冬冬4个小时完成了24道题目，按照这样的速度，他7个小时可以完成多少道题目？如果要完成96道题目需要多长时间？【分析】冬冬4小时完成24道题，可以求出1小时可以完成24÷4=6（道）题。
这样7小时就可以完成6×7=42（道），完成96道题需要96÷6=16（小时）。
8. 某部队的一个连有3个排，每个排有4个班，每个班有5个人。
这个连一顿饭吃了120个馒头，而且每个人吃的馒头一样多。
请问：每个班吃了几个馒头？每个人吃了几个馒头？【分析】先求出一共有多少个班：3×4=12（个）班，120个馒头每班吃：120÷12=10（个）。
每个班5个人，这样每人吃10÷5=2（个）。
9. 3只老鼠5天偷吃了30个玉米。
按照这样的速度，4只老鼠7天能偷吃多少个玉米？10只老鼠要偷吃80个玉米，需要多少天？【分析】已知“３只老鼠5天偷吃了30个玉米”这样可以求出1只老鼠1天吃：30÷3÷5=2（个）玉米。
要求4只老鼠7天偷吃了几个玉米，列式：2×4×7=56（个）。
要求10只老鼠要偷吃80个玉米，需要几天，列式：80÷10÷2=4（天）。
10. 海洋馆里有8只海象，总共运来170千克鱼给它们吃。
前两天这8只海象共吃了80千克鱼，两天后把其中的2只海象运走。
剩下的鱼还可以让余下的海象吃几天？【分析】已知“２天8只海象共吃了80千克鱼”，这样可以求吃1天1只海象吃多少千克的鱼，列式：80÷8÷2=5（千克）。
还剩下：170-80=90（千克）鱼，这90千克鱼是8-2=6（只）海象吃，因此可以求出90÷6÷5=3（天），剩下的鱼还可以让余下的海象吃3天.◇◇拓展篇◇◇1. 刺猬和松鼠共采了88个坚果。
刺猬采了8天，每天能采2个。
松鼠采了9天，松鼠每天能采几个？【分析】先求出松鼠应该采几个坚果，列式：88-8×2=72（个），72个坚果松鼠采了9天，72÷9=8（个），每天采8个。
2. 冬冬看一本漫画册，每天看同样多的页数，原计划5天看完。
现在他每天比原计划多看2页，结果提前一天看完。
这本漫画册共有多少页？【分析】已知“现在每天比原计划多看2页，结果提前一天看完。
”就说明原来5天看的现在4天就看完了，这样就可以算出原来一天看了2×4=8（页）,这本漫画册一共就有8×5=40（页）。
3. 甲、乙、丙、丁四个小学生站成一横排，他们手中共拿着35枝花。
已知站在甲右边的学生共拿着16枝花，站在丙右边的学生共拿着4枝花，站在丁右边的学生共拿着25枝花。
请问“手中花最多的人拿着多少枝花？【分析】根据已知条件可以得出这四个同学的排列顺序分别是：丁、甲、丙、乙（如下图）。
可以得出乙手中有4枝花，丙手中有：16-4=12（枝）花，甲手中有：25-16=9（枝）花，丁手中有：35-25=10（枝）花。
丙手中的花最多，是12枝花。
4. 有黑、白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。
其中只有1枚白子的共27堆，有2枚或3枚黑子的共42堆，有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。
在全部棋子中，白子共有多少枚？【分析】因每堆有3枚，可以得出有这样几种分配情况：3黑、3白、1黑2白、2黑1白。
已知1白2黑有27堆，3黑和1白2黑共42堆，可以得出3黑有：42-27=15（堆），3白也是15堆，进一步可以算出1黑2白有100-15-15-27=43（堆）。
这样白子的总数是：3×15+27×1+43×2=158（枚）。
5. 如果1只小狗的重量等于3只小猫的重量，1只小猫的重量等于2只鸭子的重量，那么24只鸭子的重量等于多少只小狗的重量？【分析】已知“１只小猫的重量=2只鸭子的重量”，进一步推理24只鸭子的重量就等于24÷2=12（只）小猫的重量，已知“１只小狗的重量=3只小猫的重量”，12只小猫的重量就等于12÷3=4（只）小狗的重量。
最后得出24只鸭子的重量等于4只小狗的重量。
6. 师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装了3个零件与大徒弟组装2个零件所用的时间相同，而大徒弟组装3个零件与小徒弟组装1个零件所用的时间相同。
请问：小徒弟组装4个零件的时间师傅能组装几个零件？【分析】已知“师傅组装3个零件的时间=大徒弟组装2个零件的时间，大徒弟组装3个零件的时间=小徒弟组装1个零件的时间”，从后往前推理，小徒弟组装4个零件的时间等于大徒弟组装（3×4=12）个零件的时间，而大徒弟组装12个零件的时间等于师傅组装（12÷2×3=18）个零件的时间。
所以小徒弟组装4个零件的时间师傅能组装18个零件.7. 冬冬和阿奇一起到文具店买东西，两人一共带了22元钱。
阿奇用他带的钱买了8个作文本，冬冬用他带的钱买了6个单线本，他们的钱都刚好花完。
已知买1个作文本的钱恰好可以买2个单线本，冬冬和阿奇分别带了多少钱？如果阿奇改买单线本，冬冬改买作文本，那么两人一共能买到多少个本子？【分析】已知“１个作文本的钱=2个单线本的钱”，那么6个单线本的钱=3个作文本的钱。
买8个作文本+6个单线本=22元，可以得出买8个作文本+3个作文本=22元。
作文本的单价是：22÷（8+3）=2（元），单线本的单价就是2÷2=1（元）。
阿奇一共带了：2×8=16（元），冬冬带了22-16=6（元）。
如果阿奇改买单线本可以买16÷1=16（个），冬冬该买作文本可以买6÷2=3（个），两人一共能买16+3=19（个）本子。
8. 汽车厂8名工人每天生产汽车零件48个。
按照这样的速度，10名工人3天能生产多少个零件？如果要用5天的时间生产出300个零件，需要多少名工人？【分析】8名工人每天生产汽车零件48个，可以求出每名工人每天生产汽车零件48÷8=6（个）。
那么10名工人3天能生产6×10×3=180（个）零件，5天生产300个零件就需要300÷5÷6=10（名）工人。
9. 若干盏相同的电灯点亮5小时要用40度电。
如果把其中一半的电灯关掉，那么120度电可以用多少小时？【分析】已知“若干盏相同的电灯点亮5小时要用40度电”，那么可以求出如果只有一半的灯亮1小时要用40÷2÷5=4（度），如果120度电一半的灯亮，可以用120÷4=30（小时）。
10. 一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40天。
轮船离港10天后在公海上又救起15名遇难的外国海员。
加入每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天？【分析】如果把每个海员每天用的水看成一份，那么用了10天后，剩下的30天一共还剩下：30×30=900（份）的水。
这900份的水现在改成30+15=45（人）来用，可以用900÷45=20（天），剩下的淡水可供船上的人再用20天。
11. 3只猴子3天吃了3个桃子。
按照这样的速度，6只猴子6天吃了几个桃子？9只猴子要吃9个桃子，需要多少天？【分析】3只猴子3天吃了3个桃子，说明1只猴子3天吃1个桃子。
那么6只猴子3天就要吃6个桃，6只猴子6天就要吃6×2=12（个）桃子。
9只猴子吃9个桃子，也就是1只猴子吃1个桃子，1只猴子吃1个桃子需要3天吃完，所以9只猴子要吃9个桃子需要3天。
12. 9个人6天可以完成12件作品。
按照这样的速度，3个人3天可以完成多少件作品？21个人12天可以完成多少件作品？【分析】已知9个人6天可以完成12件作品，可以得出3个人6天可以完成12÷3=4件作品，那么3个人3天可以完成4÷2=2件作品。
因为3个人6天可以完成4件作品，所以3个人12天就可以完成4×2=8件作品，21个人12天就可以完成8×7=56件作品。
◇◇超越篇◇◇1. 甲、乙、丙、丁、戊这五名同学站成一排。
已知丙在戊右边2米处，丁在甲右边3米处，丙在丁右边6米处，戊在乙左边3米处。