成都外国语学校九年级上期中数学试卷(有答案)
2023-2024学年四川省成都实验外国语西区学校九年级(上)期中数学试卷
2023-2024学年四川省成都实验外国语西区学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（）A．B．C．D．2．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠03．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（）A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形C．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形4．（4分）对于函数，下列说法错误的是（）A．点在这个函数图象上B．这个函数的图象位于第一、三象限C．这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形D．y随x的增大而减小5．（4分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（）A．cm B．cm C．cm D．cm6．（4分）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（）A．3B．4C．5D．67．（4分）要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出200条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（）A．1750条B．1250条C．5000条D．2500条8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）若，则＝．10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为．11．（4分）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，x1＞0＞x2，则y1与y2的大小关系是．12．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是米．13．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE ＝60°，BC＝6，则BF的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）用适当的方法解方程：（1）x2+4x﹣4＝0；（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．15．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；（3）求△A2B2C2的面积．16．（9分）根据国家教育部的教育方针：培养德智体美劳全面发展的优秀人才，七中育才中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《我爱川菜》开课以来引起讨论热潮，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对《我爱川菜》的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）九年级1班共有学生名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为；（2）九年级共有学生5600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？（3）九年级1班周末准备举行秋游活动，某小组在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游主厨”，用画树状图成列表的方法求出抽到的一男一女的概率．17．（9分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若，DE ＝4，求CE的长．18．（10分）已知一次函数y1＝x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（2，m）、B两点，交y轴于点C．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标x Q的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+2b﹣ab的值是．20．（4分）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为．21．（4分）已知a，b，c为非零实数，且满足，则一次函数y＝kx﹣k的图象一定经过象限．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过AE上的点A、F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为．23．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝4，按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M，且满足BM＝2BC，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点B'，则得到的第一条折痕EF的长为；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为D'，则点B'和D'之间的最小距离为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．25．（10分）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝2，求的值；拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝8，AC＝4，则AD的长为．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE．（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标．（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标．。
2020-2021学年四川省成都实验外国语学校九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年四川省成都实验外国语学校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列函数是二次函数的为（）A．y＝x2B．y＝x C．y＝D．y＝2x+12．一元二次方程x2+x﹣2＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根3．当k＜0，x＞0时，反比例函数y＝的图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．5．某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品25元降低到每件16元，则平均每月降低的百分率为（）A．10%B．5%C．15%D．20%6．如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若∠BCD＝∠A，则下列结论不正确的是（）A．△BCD∽△BAC B．∠ACD＝∠A C．∠BDC＝∠ACB D．BC2＝BD•BA 7．若∠A为锐角，则下列三角函数值可能为的是（）A．sin A B．sin2A C．cos A D．tan A8．点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝﹣x2+x+c（c为常数）的图象上，则y1、y2满足（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1、y2的大小不确定9．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（）A．﹣6B．﹣3C．3D．610．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则ab的值是．12．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知AE＝EF＝1，FB＝3，则＝．13．将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是．14．如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），分别以A、B为圆心，大于AB 的长度d为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与x轴相交于点C，连接BC，则BC 的长度为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）计算：（﹣2）2+|﹣tan60°|+2sin30°+；（2）解不等式组：；（3）解方程：＝2．16．先化简，再求值：1﹣（1﹣）2÷，其中x是最小的非负整数．17．为了防范新冠肺炎疫情，我校在网络平台开展防疫宣传，并出了6道选择题，对甲、乙两个班级学生（各有40名学生）的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：请根据以上信息，解答下列问题：0123456答对的题数023417122甲班答对人数015315142乙班答对人数（1）甲班学生答对的题数的众数为；（2）若答对的题数大于或等于5道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为；（3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取2人做学习防疫知识心得交流，通过画树状图或列表法，求抽到的2人来自同一个班级的概率．18．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝100m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．19．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m ≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）求m、a的值及一次函数表达式；（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．关于x的方程x2﹣kx+2＝0有两个实数根，一个根是1，另一个根为．22．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sin A﹣|+（﹣3tan B）2＝0，则∠C＝度．23．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，点E、F均在对角线BC上，且BE＝EF＝FD，若线段AE和CF之间的距离为6，则AB的长为．24．在直角坐标系中，已知A（0，4）、B（2，4），C为x轴正半轴上一点，且OB平分∠ABC，过B的反比例函数y＝交线段BC于点D，E为OC的中点，BE与OD交于点F，若记△BDF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为BC上一点，且BE＝2，P为AD上动点，将PE绕点P逆时针旋转90°至PQ，则AQ+EQ的最小值为．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利w（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？27．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，对角线AC上，连接AE，EF，且∠AED＝∠CEF，过F作FG⊥AE交边AD于点G，连接EG．（1）求证：∠AFG＝∠CFE；（2）设DE＝x，DG＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求DE的长．28．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P为抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若线段QF和线段PE关于抛物线的对称轴对称，当四边形PQFE为正方形时，求正方形PQFE的面积；（3）如图2，在y轴上点C的正下方取点H，使CH＝2DE，在函数图象上取点K，过点H作直线DK的垂线交直线PE于点G，若∠HDC＝∠KDG，∠CHG＝∠KGH，求点K 的坐标和点P的坐标．参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列函数是二次函数的为（）A．y＝x2B．y＝x C．y＝D．y＝2x+1【分析】根据二次函数的定义判断即可．解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意；B、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；C、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．故选：A．2．一元二次方程x2+x﹣2＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】计算出判别式的值即可得出答案．解：Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：D．3．当k＜0，x＞0时，反比例函数y＝的图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据反比例函数比例系数小于0，得到函数图象分别在二、四象限，根据自变量取值为正，得出函数图象只在第四象限．解：∵在反比例函数y＝中，k＜0，∴函数图象分别在二、四象限，又∵x＞0，∴函数图象在第四象限．故选：D．4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．【分析】根据黄金比值为计算即可．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：B．5．某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品25元降低到每件16元，则平均每月降低的百分率为（）A．10%B．5%C．15%D．20%【分析】降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是25（1﹣x），那么第二次后的价格是25（1﹣x）2，即可列出方程求解．解：设平均每月降低率为x，根据题意可得，25（1﹣x）2＝16，∴x1＝20%，x2＝180%（不合题意，舍去）．故选：D．6．如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若∠BCD＝∠A，则下列结论不正确的是（）A．△BCD∽△BAC B．∠ACD＝∠A C．∠BDC＝∠ACB D．BC2＝BD•BA 【分析】由“两角法”判定△BCD∽△BAC，结合相似三角形的性质进行推理即可．解：由∠B＝∠B，∠BCD＝∠A判定△BCD∽△BAC．故选项A不符合题意．由△BCD∽△BAC知，∠BDC＝∠ACB，故选项C不符合题意．由△BCD∽△BAC知，BC：BD＝BA：BC，即BC2＝BD•BA，故选项D不符合题意．无法判定∠ACD＝∠A，故选项B符合题意．故选：B．7．若∠A为锐角，则下列三角函数值可能为的是（）A．sin A B．sin2A C．cos A D．tan A【分析】根据正弦、余弦、正切函数的值的范围即可作出判断．解：∵对任意的∠α，都一定有sinα≤1，cosα≤1，tanα＞0，∴A、B、C一定是错误的．D正确．故选：D．8．点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝﹣x2+x+c（c为常数）的图象上，则y1、y2满足（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1、y2的大小不确定【分析】抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．解：∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+c，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x＝﹣＝．∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在二次函数y＝﹣x2+x+c（c为常数）的图象上，且﹣2＜﹣1＜，∴y1＞y2．故选：A．9．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（）A．﹣6B．﹣3C．3D．6【分析】根据菱形的对称性求出点A的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可得解．解：∵菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），∴点A的坐标为（3，2），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，∴＝2，解得k＝6．故选：D．10．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定判断即可．解：∵E，F，G，H是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，∴EF＝GH，FG＝HE，∴四边形EFGH为平行四边形，故A正确；∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，故C正确；当AC⊥BD时，∠BOC＝90°，∵∠BOC＞∠EHG，∴四边形EHGF不可能是矩形，故B错误；当E，F，G，H是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形，∵E，F，G，H是相应线段的三等分点，∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，∴，∴EH＝FG，∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故D正确；故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则ab的值是﹣1．【分析】根据根与系数的关系可得出ab＝﹣1，此题得解．解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，∴ab＝﹣1．故答案为：﹣1．12．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知AE＝EF＝1，FB＝3，则＝．【分析】由l1∥l2，根据根据平行线分线段成比例定理可得FG＝AC；由l2∥l3，根据根据平行线分线段成比例定理可得＝＝．解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l2∥l3，∴＝＝，∴＝＝，故答案为．13．将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是y＝（x﹣2）2．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：将抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是：y＝（x﹣1﹣1）2+1﹣1，即y＝（x﹣2）2．故答案为：y＝（x﹣2）2．14．如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），分别以A、B为圆心，大于AB 的长度d为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与x轴相交于点C，连接BC，则BC的长度为．【分析】由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，得到AC＝BC＝OC+2，在Rt△BCO 中，根据勾股定理求出OC即可求出BC的长度．解：由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC，∵A（2，0），B（0，3），∴OB＝3，OC＝2，∴BC＝AC＝OC+2，在Rt△BCO中，BC2＝OC2+OB2，∴（OC+2）2＝OC2+32，解得：OC＝，∴BC＝2+＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）计算：（﹣2）2+|﹣tan60°|+2sin30°+；（2）解不等式组：；（3）解方程：＝2．【分析】（1）首先对乘方、特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）原式＝4+|﹣|+2×+2＝4++1+2＝5+3；（2），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．（3）去分母得：x2+4x+4﹣3x2＝2x2+4x，整理得：x2＝1解得：x＝±1，检验：把x＝1代入得：x（x﹣2）＝1×（﹣1）＝﹣1≠0，把x＝﹣1代入得：x（x﹣2）＝﹣1×（﹣3）＝3≠0，∴分式方程的解为x＝1或x＝﹣1．16．先化简，再求值：1﹣（1﹣）2÷，其中x是最小的非负整数．【分析】先算括号内的减法，再算乘方，同时把除法变成乘法，算乘法，再算减法，最后把x＝﹣1代入求出答案即可．解：原式＝1﹣（）2÷＝1﹣•＝1﹣＝∵x是最小的非负整数，∴x＝0，当x＝﹣1时，原式＝＝1．17．为了防范新冠肺炎疫情，我校在网络平台开展防疫宣传，并出了6道选择题，对甲、乙两个班级学生（各有40名学生）的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：请根据以上信息，解答下列问题：0123456答对的题数023417122甲班答对人数015315142乙班答对人数（1）甲班学生答对的题数的众数为4；（2）若答对的题数大于或等于5道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为40%；（3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取2人做学习防疫知识心得交流，通过画树状图或列表法，求抽到的2人来自同一个班级的概率．【分析】（1）根据众数的概念直接得出答案；（2）用优秀的人数除以乙班的总人数即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽到的2人来自同一个班级的结果数，再根据概率公式求解可得．解：（1）甲班学生答对的题数的众数为4，故答案为：4．（2）乙班该次考试的优秀率为×100%＝40%，故答案为：40%；（3）把甲班答题全对的2名学生记为A、B，乙班答题全对的2名学生记为C、D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的2人来自同一个班级的结果有4种，∴抽到的2人来自同一个班级的概率为＝．18．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝100m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．【分析】设BD＝AD＝xm，利用x表示出CD的长，然后在直角△ACD中，利用三角函数即可得到AD和CD的比值，即可列方程求得x的值．解：设AD＝xm，∴BD＝xm，∵∠ACD＝30°，∠ABD＝45°，BC＝100m，∴tan31°＝＝＝0.51，解得：x＝150，∴他家到公路l的距离AD的长度约我150m．19．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m ≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）求m、a的值及一次函数表达式；（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出m＝﹣4×＝﹣2，再把B （﹣1，a）代入y＝﹣可求得a＝2，然后把A点坐标代入y＝x+b求出b，从而得到一次函数解析式；（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），根据三角形面积公式得到××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，然后计算自变量为时的一次函数值即可得到P点坐标．解：（1）∵反比例y＝的图象过点（﹣4，），∴m＝﹣4×＝﹣2，把B（﹣1，a）代入y＝﹣得﹣a＝﹣2，解得a＝2，∵y＝x+b的图象过点A（﹣4，）∴×（﹣4）+b＝，解得b＝，∴一次函数的表达式是y＝x+；（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，当x＝时，y＝x+＝，∴P点坐标是（﹣，）．20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．【分析】（1）根据翻折变换的性质可知∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD，∠AGB ＝∠DGC′，故可得出结论；（2）由（1）可知GD＝GB，故AG+GB＝AD，设AG＝x，则GB＝8﹣x，在Rt△ABG 中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值；（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD＝AD＝4，再根据tan ∠ABG即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF ＝EH+HF即可得出结论．【解答】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD，∠AGB＝∠DGC′，∴∠ABG＝∠ADE，在△ABG与△C′DG中，∵，∴△ABG≌△C′DG（AAS）；（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD＝GB，∴AG+GB＝AD，设AG＝x，则GB＝8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2＝BG2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得x＝，∴tan∠ABG＝＝＝；（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD，∴HD＝AD＝4，∴tan∠ABG＝tan∠ADE＝，∴EH＝HD×＝4×＝，∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线，∴HF＝AB＝×6＝3，∴EF＝EH+HF＝+3＝．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．关于x的方程x2﹣kx+2＝0有两个实数根，一个根是1，另一个根为2．【分析】设方程的另一个根为t，然后根据根与系数的关系得到1•t＝2，再解一次方程即可．解：设方程的另一个根为t，根据题意得1•t＝2，解得t＝2．故答案为：2．22．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sin A﹣|+（﹣3tan B）2＝0，则∠C＝105度．【分析】根据非负数的性质求出∠A，∠B，再根据三角形内角和求出∠C即可．解：∵|sin A﹣|+（﹣3tan B）2＝0，∴sin A﹣＝0，﹣3tan B＝0，∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故答案为：105．23．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，点E、F均在对角线BC上，且BE＝EF＝FD，若线段AE和CF之间的距离为6，则AB的长为．【分析】延长AE，DC交于点G，过点C作CH⊥AG于点H，可得CH＝6，证明△ABE ∽△GDE，可得＝＝，所以DG＝2AB，再证明△GCH∽△GAD，可得＝，所以HG＝AB，利用勾股定理即可求出AB的长．解：如图，延长AE，DC交于点G，过点C作CH⊥AG于点H，∴CH＝6，∵BE＝EF＝FD，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∠ADC＝90°，∴△ABE∽△GDE，∴＝＝，∴DG＝2AB，∴AB＝DC＝CG，∵∠CHG＝∠ADG＝90°，∠G＝∠G，∴△GCH∽△GAD，∴＝，∴＝，∴HG＝AB，在Rt△GCH中，根据勾股定理，得CG2＝CH2+HG2，∴AB2＝62+（AB）2，解得AB＝．故答案为：．24．在直角坐标系中，已知A（0，4）、B（2，4），C为x轴正半轴上一点，且OB平分∠ABC，过B的反比例函数y＝交线段BC于点D，E为OC的中点，BE与OD交于点F，若记△BDF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝．【分析】如图，过点B作BH⊥OC于H．首先证明CB＝OC，设BC＝OC＝m，利用勾股定理构建方程求出m，再根据一次函数，利用方程组确定交点坐标，分别求出D，F，E的坐标，即可解决问题．解：如图，过点B作BH⊥OC于H．∵A（0，4）、B（2，4），∴OA＝4，AB＝2，AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∴∠BOC＝∠OBC，∴CB＝OC，设BC＝OC＝m，∵BH⊥OC，AB∥OC，∴∠AOH＝∠OHB＝∠ABH＝90°，∴四边形ABHO是矩形，∴BH＝OA＝4，AB＝OH＝2，在Rt△BCH中，则有m2＝42+（m﹣2）2，∴m＝5，∴C（5，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，∵反比例函数y＝经过点B（2，4），∴k＝8，由，解得或，∴D（3，），∴直线OD的解析式为y＝x，∵OE＝EC，∴E（，0），∴直线BE的解析式为y＝﹣8x+20，由，解得，∴F（，2），∴S1＝2×1﹣×1×﹣×2×﹣××＝，S2＝××2＝，∴＝＝，故答案为：．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为BC上一点，且BE＝2，P为AD上动点，将PE绕点P逆时针旋转90°至PQ，则AQ+EQ的最小值为2．【分析】如图：过点E作EF⊥AD于F，延长AD至M，使得DM＝1，连接EM，EQ，QM，证明∠FME＝∠FMQ＝45°，推出点Q在射线QM上运动，如图，作点E关于直线QM的对称点E′，连接AE′交QM于点Q，此时AQ+EQ＝AE′的值最小．解：如图：过点E作EF⊥AD于F，延长AD至M，使得DM＝1，连接EM，EQ，QM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，∠B＝∠A＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝4，BE＝AF＝2，∴EF＝EM＝4，∵△EPQ，△EFN都是等腰直角三角形，∴EQ＝PE，EM＝EF，∵＝，∵∠PEQ＝∠FEM＝45°，∴∠PEF＝∠QEM，∴△PEF∽△QEM，∴∠PFE＝∠QME＝90°，∴∠FME＝∠FMQ＝45°，∴点Q在射线QM上运动，如图，作点E关于直线QM的对称点E′，连接AE′交QM于点Q，此时AQ+EQ＝AE′的值最小．过点E′作E′T⊥AM交AM的延长线于点T，在Rt△AET中，AE′＝＝＝2．∴AQ+QE的最小值为2故答案为：2．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利w（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？【分析】（1）设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为（60﹣x）元/件，根据用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（40﹣m）件，根据甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，可列出不等式组求解．（3）先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．解：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（60﹣x）元/件，根据题意，得，解得x＝24，经检验x＝24是原方程的解．则60﹣x＝36．答：甲、乙两种玩具分别是24元/件，36元/件；（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（40﹣m）件，由题意，得，解得10≤m＜20．∵m是整数，故商场共有10种进货方案；（3）设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具（40﹣m）件，根据题意得：w＝（32﹣24）m+（50﹣36）（40﹣m）＝﹣6m+560，∵k＝﹣6＜0，∴w随着m的增大而减小，∴当m＝10时，有最大利润w＝﹣6×10+560＝500元．27．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，对角线AC上，连接AE，EF，且∠AED＝∠CEF，过F作FG⊥AE交边AD于点G，连接EG．（1）求证：∠AFG＝∠CFE；（2）设DE＝x，DG＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求DE的长．【分析】（1）利用同角的余角相等可证∠AED＝∠AGF，再根据∠AED＝∠CEF，即可证明结论；（2）延长CD至M，使得DM＝DE，首先△AGF∽△CEF，得，再证明EF∥AM，得，从而AG＝2DE，即可解决问题；（3）分EF＝GF或EF＝EG两种情形分别求解，若EF＝GF时，可证△AGF≌△CEF（AAS），得AG＝CE，若EF＝EG时，过点E作EH⊥AC于H，可证AE垂直平分FG，则AG＝AF，进而解决问题．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∠ADC＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵FG⊥AE，∴∠AGF+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠AGF，∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠AGF，∵∠AFG＝180°﹣∠AGF﹣∠GAF＝135°﹣∠AGF，∠CFE＝180°﹣∠CEF﹣∠ECF＝135°﹣∠CEF，∴∠AFG＝∠CFE；（2）∵GAF＝∠ECF＝45°，∠AGF＝∠CEF，∴△AGF∽△CEF，∴，延长CD至M，使得DM＝DE，∵AD⊥DC，DM＝DE，∴AM＝AE，∴∠AME＝∠AEM，∵∠AEM＝∠CEF，∴∠AME＝∠CEF，∴EF∥AM，∴，∴AG＝2DE，∵DE＝x，DG＝y，∴AG＝2x，∵AG+DG＝2，∴2x+y＝2，∴y＝2﹣2x；（3）若EF＝GF时，在△AGF和△CEF中，，∴△AGF≌△CEF（AAS），∴AG＝CE，∵AG＝2DE，∴CE＝2DE，∴DE＝，若EF＝EG时，过点E作EH⊥AC于H，∵EF＝EG，AE⊥FG，∴AE平分FG，即AE垂直平分FG，∴AG＝AF，∴AE平分∠GAF，∵ED⊥AD，EH⊥AC，∴ED＝EH，在Rt△EHC中，∠EHC＝90°，∠ECH＝45°，∴EC＝EH＝ED，∵ED+EC＝2，∴ED+ED＝2，∴DE＝＝2（）＝2﹣2，∴DE的长为：或2﹣2．28．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P为抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若线段QF和线段PE关于抛物线的对称轴对称，当四边形PQFE为正方形时，求正方形PQFE的面积；（3）如图2，在y轴上点C的正下方取点H，使CH＝2DE，在函数图象上取点K，过点H作直线DK的垂线交直线PE于点G，若∠HDC＝∠KDG，∠CHG＝∠KGH，求点K 的坐标和点P的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3），利用正方形性质可求得|OF|＝﹣m2+m+3，F（m2﹣m﹣3，0），再根据抛物线对称轴建立方程求解即可得出m＝，进而可求得答案；（3）如图2，过点K和点D作y轴的垂线分别交y轴于R和T点，HG和KD相交于点M，根据平行线性质和直角三角形性质得出∠HDK＝45°，进而可得△HMD是等腰直角三角形，再证得△GDK是等腰三角形，从而证得：△KMH≌△DMH（SAS），△KHR≌△HDT（AAS），设点D的坐标为（m，3﹣m），建立方程求解即可．解：（1）∵已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（3，0），与y轴交于点C （0，3），∴将B（3，0）、C（0，3）两点坐标代入抛物线中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵P点在抛物线上，∴设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3），∵四边形QPEF为正方形，∴PE＝EF，∴|PE|﹣|OE|＝|OF|，∴|OF|＝﹣m2+2m+3﹣m＝﹣m2+m+3，∴F点坐标为（m2﹣m﹣3，0），∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝1，∴＝1，即＝1，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴E（，0），F（2﹣，0），∴EF＝﹣（2﹣）＝2﹣2，∴S正方形PQFE＝EF2＝（2﹣2）2＝24﹣8，故正方形PQFE的边长为2﹣2，面积为24﹣8；（3）如图2，过点K和点D作y轴的垂线分别交y轴于R和T点，HG和KD相交于点M，∵y轴∥PE，∴∠CHG＝∠HGD，∵HG⊥KD，∴∠HGD+∠GDK＝90°，∵∠GDK＝∠CDH，∴∠CHG+∠CDH＝90°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠OCD＝45°，∵y轴∥PE，∴∠KDG+∠CDK＝∠OCD＝45°，∵∠HDC＝∠KDG，∴∠HDC+CDK＝45°，即∠HDK＝45°，∵HG⊥KD，∴△HMD是等腰直角三角形，∵∠CHG＝∠HGD，∠CHG＝∠KGH，∴∠HGD＝∠KGH，∵HG⊥KD，∴△GDK是等腰三角形，∴KM＝MD，在△KMH和△DMH中，，∴△KMH≌△DMH（SAS），∴KH＝HD，∴△KHD是等腰直角三角形，∴∠KHC＝90°﹣∠DHO＝∠HDT，在△KHR和△HDT中，，∴△KHR≌△HDT（AAS），∴RH＝DT，KR＝HT，设点D的坐标为（m，3﹣m），则DT＝m，DE＝3﹣m，∵CH＝2DE，∴CH＝6﹣2m，∴OH＝OC﹣CH＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，∴HT＝OH﹣OT＝2m﹣3﹣（3﹣m）＝3m﹣6，∴H的坐标为（0，2m﹣3），∵OK＝OH+RH＝2m﹣3+m＝3m﹣3，∴K的坐标为（3m﹣6，3m﹣3），将点K的坐标代入抛物线y＝﹣x2+2x+3中，得：3m﹣3＝﹣（3m﹣6）2+2（3m﹣6）+3，解得：m1＝2，m2＝，∵点H在点C下方，∴2m﹣3＜3，∴m＜3，∴m＝2∴K的坐标为（0，3），P的坐标为（2，3）．。
2022-2023学年四川省成都外国语学校九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年四川省成都外国语学校九年级（上）期中数学试卷1. 如图所示几何体的左视图是( )A.B.C.D.2. 下列说法正确的是( )A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 对角线相等的菱形是正方形D. 一组对边平行的四边形是平行四边形3. 已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为( )A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：164. 要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出200条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为( )A. 1750条B. 1250条C. 5000条D. 2500条5. 关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A. k>−1B. k>−1且k≠0C. k<1D. k<1且k≠06. 对于函数y=4，下列说法错误的是( )xA. 点(2,6)在这个函数图象上3B. 这个函数的图象位于第一、三象限C. 这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形D. 当x>0时，y随x的增大而增大7. 有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的长方形？设长方形的长为xm，依题意，下列方程正确的是( )A. x(1−x)=0.06B. x(1−2x)=0.06C. x(0.5−x)=0.06D. 2x(1−2x)=0.068. 已知菱形的周长为4√5，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A. 2B. √5C. 3D. 49. 已知函数y=(m+3)x|m|−4是反比例函数，则m=．10. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20度，则∠BCD=______度．11. 如果a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个根是______ ．12. 把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为______cm．13. 如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．14. (1)计算：(√2)2−(1)−1+√8+(2−√3)0；2(2)计算：x2−2x=4x−5．15. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团(分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团)，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是多少？(2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．16. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，动点E在边BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．(1)求证：△CDE∽△DAF；(2)当FC=2时，求EC的长．17. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形(每个小方格都是边长为1的正方形).图中△ABC是格点三角形，点A、B、C的坐标分别是(−3,−1)，(−2,−3)，(0,−2)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；(3)△ABC内有一点P(a,b)，直接写出经过(2)位似变换后P的对应点P1的坐标______．18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x−2的图象与反比例函数y2=k(k≠0)的x图象交于A(−2,a)、B(m,2)两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接OA、OB．(1)求反比例函数y2=k(k≠0)的表达式；x(2)求△AOB的面积；(3)点N为坐标轴上一点，点M为y2的图象上一点，当以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．19. 设m、n分别为方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则m2+3m+n=______．20. 完全相同的四张卡片上分别印有正三角形、正方形、正五边形和正六边形，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后先由甲随机抽取一张，放回后，重新混合均匀再由乙随机抽取一张，则甲、乙两人抽到的图形都是中心对称图形的概率为______．21. 若以方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在的图象上，则满足条件的k值为______．反比例函数y=11x22. 如图，点P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，且CP=3BP，连接AP，作AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，则AM：AN的值为______．23. 如图，在边长为4正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG=3DG.连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H.连接DE交BH于点K.若AE2=BF⋅BH，则S△CDE=______．24. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．(1)求出这两次价格上调的平均增长率；(2)在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？25. 问题背景如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD =√3，求DFCF的值；拓展创新如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4，AC=2√3，直接写出AD的长．26. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,0)，B(4,0)，点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC，满足∠ACO=∠CBO．(1)求直线BC的解析式；(2)如图2，已知直线l1：y=32x−6经过点B．①若点D为直线l1上一点，直线AD与直线BC交于点H，若S△BDHS△ABH =23，求点D的坐标；②过点O作直线l2//BC，若点M、N分别是直线l1和l2上的点，且满足∠ABC=∠MNB.请问是否存在这样的点M、N，使得△ABC与△MBN相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：从左边看，是一个矩形，矩形内部有一条横向的虚线．故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．2.【答案】C【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；故选：C．利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解．本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定和性质是本题的关键．3.【答案】B【解析】解：因为两个相似三角形的相似比为1：4，所以这两个三角形的对应高的比为1：4．故选：B．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．首先求出有记号的2条鱼在200条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【解答】解：由题意可得：50÷2200=5000(条)．故选：C．5.【答案】B【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4×k×(−1)>0且k≠0，解得k>−1且k≠0，故选：B．由关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，知Δ=22−4×k×(−1)>0且k≠0，解之可得答案．本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．6.【答案】D【解析】解：∵6×23=4，∴点(23,6)在函数y=4x图象上，故A正确，不符合题意；∵y=4x中，4>0，∴函数y=4x图象位于第一、三象限，故B正确，不符合题意；反比例函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形，故C正确，不符合题意；当x>0时，y随x的增大而减小，故D不正确，符合题意；故选：D．根据反比例函数的性质逐项判断，即可得答案．本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．7.【答案】C【解析】解：设长方形的长为xm，则设长方形的宽为(0.5−x)m，由题意，得x(0.5−x)=0.06．故选C．设长方形的长为xm，则设长方形的宽为(0.5−x)m，根据长×宽=0.06m2列出方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设出长方形的长为xm，根据长方形的周长公式用含x的代数式正确表示长方形的宽是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，∴AB=√5，AC⊥BD，AO=12AC，BO=12BD，∴AO+BO=3，∴AO2+BO2=AB2，(AO+BO)2=9，即AO2+BO2=5，AO2+2AO⋅BO+BO2=9，∴2AO⋅BO=4，∴菱形的面积=12AC⋅BD=2AO⋅BO=4；故选：D．由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，(AO+BO)2=9，求出2AO⋅BO=4，即可得出答案．本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．9.【答案】3【解析】【分析】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=kx(k≠0)转化为y=kx−1(k≠0)的形式，注意k≠0.根据反比例函数的定义y=kx−1(k≠0)的形式求出m的值．【解答】解：由y=(m+3)x|m|−4是反比例函数，得|m|−4=−1，且m+3≠0．解得m=3，故答案为：3．10.【答案】70【解析】解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−20°=70°，故答案为：70．在Rt△ABC中，根据CD是斜边AB上的中线，得CD=AD，可求出∠ACD=20°即可解决问题．本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0满足a+b+c=0，所以当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0；综上可知，方程必有一根为1．故答案为：1．由ax2+bx+c=0满足a+b+c=0，可得：当x=1时，有a+b+c=0.故问题可求．本题考查了一元二次方程的解．此类题目的解法是常常将1或−1或0代入方程，来推理判断方程系数的关系．12.【答案】(6√5−6)【解析】解：∵把12cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，∴较长线段的长为=√5−1×12=(6√5−6)cm．2故答案为：(6√5−6)．直接由黄金分割的定义列式计算即可．此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．13.【答案】6【解析】解：根据题意，作△DFC，则树高为CE，∠DCF=90°，ED=3米，FE=12米，∵∠DCF=90°，∠DEC=∠FEC=90°，∴∠D+∠F=∠D+∠DCE，∴∠DCE=∠F，∴Rt△DEC∽Rt△CEF，∴ED EC =ECEF，即EC2=ED⋅EF，∴EC2=3×12=36，∴EC=6，答：树的高度为6米．故答案为：6．根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EC2=ED⋅FE，代入数据可得答案．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．14.【答案】解：(1)原式=2−2+2√2+1=2√2+1；(2)x2−6x+5=0，(x−1)(x−5)=0，解得：x1=1，x2=5．【解析】(1)直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而化简得出答案；(2)直接利用因式分解法解方程得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算以及因式分解法解方程，正确掌握相关解题方法是解题关键．15.【答案】解：(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率=14；(2)列表如下：由表可知共有12种等可能的结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率=612=12．【解析】(1)直接利用概率公式求解；(2)通过列表展示所有12种等可能的结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，又∵AH⊥DE，∴∠EDC=90°−∠DFA=∠DAF，∴△ADF∽△DCE；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=3，∵FC=2，∴DF=DC−FC=1，∵△ADF∽△DCE，∴AD DC =DFEC，∴EC=DC⋅DFAD =3×16=12．【解析】(1)根据矩形的性质得到∠ADC=∠BCD=90°.根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据矩形的性质得到DC=AB=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．17.【答案】(−2a,−2b)【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所求；(3)∵△ABC内有一点P(a,b)，∴P1(−2a,−2b)．故答案为：(−2a,−2b)．(1)根据轴对称的性质即可画出图形；(2)根据位似图形的性质即可画出图形；(3)根据位似图形的性质可得答案．本题主要考查了作图−轴对称变换，位似变换等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵点A(−2,a)在一次函数y 1=x −2的图象上，∴a =−2−2=−4， ∴A(−2,−4)，∵A(−2,−4)在反比例函数y 2=kx (k ≠0)的图象上，把A(−2,−4)代入y 2=kx 得：−4=k −2，解得：k =8，∴反比例函数y 2=kx 的解析式是y 2=8x ；(2)∵点B(m,2)在反比例函数y 2=8x的图象上， ∴2=8m，即m =4， ∴B(4,2)，令y 1=0，得x −2=0，x =2， ∴D(2,0)，∴S △AOB =S △AOD +S △BOD =12×OD ×|y A |+12×OD ×|y B |=12×2×4+12×2×2=6； (3)分四种情况：①如图1，四边形MNCD 是平行四边形，∴DM//y 轴，DM =CN ， ∴M(2,4)， ∴CN =DM =4， ∵C(0,−2)， ∴N(0,2)；②如图2，四边形CMDN是平行四边形，∴N(0,−6)；③如图3，四边形CMND是平行四边形，∴CM//DN，∴M(−4,−2)，∴DN=CM=4，∴N(−2,0)；④如图4，四边形CMDN是平行四边形，同理得：DN=CM=4，∴N(6,0)；综上，点N的坐标为(0,2)或(0,−6)或(−2,0)或(6,0)．(k≠0)即【解析】(1)根据一次函数y1=x−2求出A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数y2=kx可解决问题；(2)把点B(m,2)代入反比例函数y2=8中求出点B坐标，根据S△AOB=S△ADO+S△ODB计算即可；x(3)分四种情况：正确画图，根据平行四边形的性质和反比例函数上点的坐标可解答．本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法、三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】2023【解析】解：∵m、n分别为方程x2+2x−2025=0的两个实数根，∴m2+2m−2025=0，∴m2+2m=2025，∵m、n分别为方程x2+2x−2025=0的两个实数根，∴m+n=−2，∴m2+3m+n=(m2+2m)+(m+n)=2025+(−2)=2023，故答案为：2023．根据方程的解的定义得出m2+2m−2025=0，求出m2+2m=2025，根据根与系数的关系得出m+n=−2，变形后代入，即可求出答案．本题考查了根与系数的关系，正确记忆一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=c a解此题的关键．20.【答案】14【解析】解：由中心对称图形的概念得：在正三角形、正方形、正五边形和正六边形中，只有正方形和正六边形是中心对称图形，把四张卡片正三角形、正方形、正五边形和正六边形分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到的图形都是中心对称图形的结果有4种，即BB、BD、DB、DD，∴甲、乙两人抽到的图形都是中心对称图形的概率为416=14，故答案为：14．在正三角形、正方形、正五边形和正六边形中，只有正方形和正六边形是中心对称图形，再画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到的图形都是中心对称图形的结果有4种，再由概率公式求解即可．本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】−2【解析】解：设方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0的两个实数根为x1，x2，根据题意得：x1x2=11，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2−4k−1，∴k2−4k−1=11，解得k=−2或k=6，∵当k=6时，原方程没有实数根，∴k=−2．故答案为：−2．根据反比例函数的性质和一元二次方程根与系数的关系求出k的值．本题考查了反比例函数和性质，一元二次方程根与系数的关系，关键是反比例函数的性质的应用．22.【答案】5：7【解析】解：连接MP，NP，∵MN垂直平分AP，∴AM=PM，AN=PN，∴∠MAP=∠MPA，∠NAP=∠NPA，∴∠MPN=∠BAC=60°，∴∠BPM+∠CPN=120°，∵∠BMP+∠∠BPM=120°，∴∠CPN=∠BMP，∵∠B=∠C，∴△BPM∽△CNP，∴PM PN =C△BMPC△CPN，设等边△ABC的边长为4a，则BP=a，CP=3a，∴C△BMP=AB+BP=5a，C△CPN=AC+CP=7a，∴MP NP =57，∴AM：AN=5：7，故答案为：5：7．连接MP，NP，根据线段垂直平分线的性质得AM=PM，AN=PN，则∠MAP=∠MPA，∠NAP=∠NPA，可得∠MPN=∠BAC=60°，得出一线三等角基本模型，由△BPM∽△CNP，知PMPN =C△BMPC△CPN，设等边△ABC的边长为4a，进而解决问题．本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．23.【答案】165【解析】解：作EM ⊥AB 于M ，EM 交CD 于N ，如图，则EN ⊥CD ， ∵CG =3DG ， ∴DG =1，CG =3，在Rt △BCG 中，BG =√32+42=5， ∵DG//AB ， ∴△HDG∽△HAB ， ∴HG HB=DG AB ，即HB−5HB=14，解得HB =203，∵AE 2=BF ⋅BH ，而AB =AE ，∴AB 2=BF ⋅BH ，即AB ：BF =BH ：AB ， 而∠ABF =∠HBA ， ∴△BAF∽△BHA ， ∴∠BFA =∠BAH =90°， ∴BF ⊥EM ， ∵BF =42203=125，∴ME =BF =125， ∴EN =4−125=85， ∴S △CDE =12×4×85=165． 故答案为165．作EM ⊥AB 于M ，EM 交CD 于N ，如图，利用勾股定理计算出BG =5，再证明△HDG∽△HAB ，利用相似比计算出HB =203，再证明△BAF∽△BHA 得到∠BFA =∠BAH =90°，接着求出BF 得到ME =BF =125，然后计算出EN 后利用三角形面积公式计算．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了正方形的性质．24.【答案】解：(1)设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：10(1+x)2=16.9，解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)．答：这两次价格上调的平均增长率为30%．(2)设每包应该降价m元，则每包的售价为(10−m)元，每天可售出(30+5m)包，依题意得：(10−m)(30+5m)=315，整理得：m2−4m+3=0，解得：m1=1，m2=3．又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3．答：每包应该降价3元．【解析】(1)设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格=原价×(1+这两次价格上调的平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)设每包应该降价m元，则每包的售价为(10−m)元，每天可售出(30+5m)包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴AB AD =ACAE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，ABAC =ADAE，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，∴△ABC∽△ADE，由(1)知△ABD∽△ACE，∴AE EC =ADBD=√3，∠ACE=∠ABD=∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴ADAE=√3，∴AD EC =ADAE×AECE=√3×√3=3．∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴DF CF =ADCE=3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD=30°，∴∠DAM=60°，∴∠AMD=30°，∴∠AMD=∠DBC，又∵∠ADM=∠BDC=90°，∴△BDC∽△MDA，∴BD MD =DCDA，又∵∠BDC=∠ADM，∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，即∠BDM=∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA =DMAD=√3，∵AC=2√3，∴BM=2√3×√3=6，∴AM=√BM2−AB2=√62−42=2√5，∴AD=12AM=√5．【解析】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．问题背景由题意得出ABAD =ACAE，∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，可证得结论；尝试应用连接EC，证明△ABC∽△ADE，由(1)知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出AEEC =ADBD=√3，∠ACE=∠ABD=∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出DFCF =ADCE=3，则可求出答案．拓展创新过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出BDMD =DCDA，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD=√3，求出BM=6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．26.【答案】解：(1)∵∠AOC=∠BOC=90°，∠ACO=∠CBO，∴△AOC∽△COB，∴OA OC =OCOB，∵OA=1，OB=4，∴OC=2，点C坐标为(0,−2)，∴直线BC的解析式为y=12x−2；(2)①设点D 的坐标为(m,32m −6)． 如图1所示，作SD//y 轴，AK//y 轴，分别交直线BC 于点S 、点K ．∵S △BDH S △ABH =23， ∴HDAH =23，∵∠OHK =∠SHD ，∠HAK =∠HDS ，∴△AHK∽△DHS ，∴SDAK =HDAH =23， ∵A(−1,0)，D(m,32m −6)， ∴K(−1,−52)，S(m,m 2−2)， ∴AK =52,SD =12m −2−32m +6=−m +4，∴−m+452=23，则m =73， ∴D 1(73,−52).如图2所示，作SD//y 轴，HT//y 轴，分别交x 轴于点S 、点T ．∵S△BDH S△ABH =23，∴S△ABD S△ABH =13，∴DS HT =13，∵SD//y轴，HT//y轴，∴∠DSA=∠HTA，∠HAS=∠HAT，∴△ADS∽△AHT，∴SD HT =ASAT=12，∵A(−1,0)，D(m,32m−6)，∴H(3m+2,92m−18)，∴代入y=12x−2得m=173，∴D2(173,52 )．综上所述，满足条件的点D坐标为(73,−52)或(173,52)；(3)如图3−1中，当∠NBM=90°时，设直线BN交y轴于点D．∴直线l 2//BC ，∴直线l 2的解析式为y =12x ，∵直线l 1交y 轴于点K(0,−6)，∴OK =6，∵△BOD∽△KOB ，∴OB OK =OD OB ，∴46=OD 4，∴OD =83，∵直线BN 的解析式为y =−23x +83，由{y =12x y =−23x +83，解得{x =167y =87，∴(167,87).如图3−2中，由{y =12x y =32x −6，解得{x =6y =3， ∴G(6,3)，取点P(0,7)，连接PG ，PB ，交PB 交直线l 2于点N ，作NM ⊥BG 于点M ，则BG =√13，PG =2√13，PB =√65，∴PB 2=PG 2+BG 2，∴∠PGB =90°，tan∠PBG =2，∵tan∠CAB =2，∴tan∠NBM =tan∠CAB ，∴∠NBM =∠CAB ，∴△BNM∽△ABC ，∵直线PB 的解析式为y =−74x +7， 由{y =12x y =−74x +7解得{x =289y =149， ∴N(289,149)，如图3−3中，取BK 的中点L(2,−3)，J(−4,1)，连接BL ，JL ，JL 交直线l 2于点N ，作NM ⊥BK 于M ，同法可证，△NMB∽△BCA ，∵直线BJ 的解析式为y =−18x +12，由{y =12x y =−18x +12，解得{x =45y =25， ∴N(45,25).综上所述，满足条件的点N 的坐标为(167,87)或(289,149)或(45,25). 【解析】(1)利用相似三角形的性质求出OC ，可得结论；(2)①分两种情形：设点D 的坐标为(m,32m −6).如图1所示，作SD//y 轴，AK//y 轴，分别交直线BC 于点S 、点K.如图2所示，作SD//y 轴，HT///y 轴，分别交x 轴于点S 、点T.分别构建方程求解即可．(3)分三种情形：如图3−1中，当∠NBM =90°时，设直线BN 交y 轴于点D.如图2中，取点P(0,7)，连接PG ，PB ，交PB 交直线l 2于点N ，作NM ⊥BG 于点M ，则BG =√13，PG =2√13，PB =√65，可证△BNM∽△ABC ，求出直线BN 的解析式，即可．如图3−3中，取BK 的中点L(2,−3)，J(−4,1)，连接BL ，JL ，JL 交直线l 2于点N ，作NM ⊥BK 于M ，同法可证，△NMB∽△BCA ，求出直线BN 的解析式，即可．本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．。
四川省成都外国语学校九年级上册期中数学试卷 解析版
OB 3， AB 4 ，
OA 32 42 5 ， 在 RtAOB 中， sin AB 4 ．
OA 5
D． 4 3
.
.
.
.
故选： C ．
3．（3 分）已知 b 5 ，则 a b 的值是 ( ) a 13 a b
A． 2 3
B． 3 2
C． 9 4
【解答】解：令 a ， b 分别等于 13 和 5，
B． 3 4
C． 4 5
3．（3 分）已知 b 5 ，则 a b 的值是 ( ) a 13 a b
A． 2 3
B． 3 2
C． 9 4
D． 4 3
D． 4 9
4．（3 分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014 年为 10.8 万人次，2016 年为 16.8 万
人次．设参观人次的平均年增长率为 x ，则 ( )
BD BA ，则 tan DAC 的值为 ( )
A． 2 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 3 3
8．（3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 1，直线 l 过点 C ，交 AB 的延长线于 M ，交 AD 的 延长线于 N ，则 1 1 的值为 ( ) AM AN
A．Байду номын сангаас1 2
B．1
建立如图所示的平面直角坐标系， F 是 BC 上的一个动点（不与 B 、 C 重合），过 F 点的 反比例函数 y k (k 0) 的图象与 AC 边交于点 E ，连接 OE ， OF ， EF ．
x （1）若 tan BOF 4 ，求 F 点的坐标；
9 （2）当点 F 在 BC 上移动时， OEF 与 ECF 的面积差记为 S ，求当 k 为何值时， S 有最
成都外国语学校2019届九年级上期中考试数学试卷含答案
成都外国语学校2019届九年级上期中考试数学试卷含答案—学年度上期期中考试初三数学试卷注意事项：1、本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）部分；2、本堂考试120分钟，满分150分；3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂。
4、考试结束后，将答题卡交回。
A 卷(100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程（1）022=+-x （2）0322=-x x （3）032=-x （4）012=+xx （5）05232=++x x （6）x x x x 5)1)(2(2122++-=- 中一元二次方程有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99=0化为（x ﹣1）2=100B ．3x 2﹣4x ﹣2=0化为（x ﹣）2=C ．2t 2﹣7t ﹣4=0化为（t ﹣）2=D ．x 2+8x +9=0化为（x +4）2=25 3．如图，已知△ABC ，P 是边AB 上一点，连结CP ，以下条件不能判定 △APC ∽△ACB 的是（ ）A. ∠ACP=∠BB. ∠APC=∠ACBC. AC 2=AP ·ABD. BCAB CP AC = 4. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=2，BC=3，则CD 的长是（ ） A ．53 B ．23 C ．43 D ．835．在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD=5，65tan =A ,135sin =B ,则c b a ,,三边的长分别是（）A.18,13,61B.18,61,13C.13,12,11D.11,12,136．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）A ．2+B ．2C ．3+D ．37．已知),(),,(),,333222111y x P y x P y x P （是反比例函数x y 2=的图象上的三点，且1x ＜2x ＜0＜3x ，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 18．下图是在同一坐标系内函数xk y =与k x y +=的大致图象，其中正确的一个是（ ） A ． B ． C ． D ．9．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A B C D10．在同一坐标系中，一次函数2+=ax y 与二次函数a x y +=2的图象可能是（ ）A B C D二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．一元二次方程x x x -=-3)3(的根是12．如图，BE ，CD 相交于点O ，且∠EDO=∠CBO ，则图中有组相似三角形．13．如图，点A 为反比例函数xy 1=的图象上一点，B 点在x 轴上且OA=BA ， 则△AOB 的面积为14．已知抛物线22(16)3y x m x m =-+-+-的对称轴为y 轴，则m=三、解答题：（本大共6小题，共54分） 15. （12分）（1）计算： 60cos 30cos 230sin )21tan 3121(sin 232)21(02---'⨯-+-（2）已知m 是方程0120172=+-x x 的一个根，求代数式320171201822+++-m m m 的值。
2023-2024学年四川省成都市九年级上学期期中数学试题
2023-2024学年四川省成都市九年级上学期期中数学试题1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．B．C．D．2.如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，()A．7B．7.5C．8D．4.53.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．4.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当时，它是菱形B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形D．当时，它是正方形5.两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3，4，5的小球，它们除数字不同外其他均相同，小华从两个盒子里各随机摸1个球，摸到的两个球上的数字之和为奇数的概率是（）A．B．C．D．6.关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0 7.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（）A．B．C．D．8.如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A．B．C．D．9.若，则______．10.已知-1是方程的一个根，则m=______，另一根为______．11.已知点M为线段的黄金分割点，且，若，则____．12.如图，在中，，于点，，，则______．13.如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___．14.（1）计算：；（2）用配方法解方程：．15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．(1)作出关于轴的轴对称图形；(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2:1，并分别写出点，的对应点，的坐标；(3)请直接写出的面积为______．16.初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．(2)如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人．(3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选网名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．17.某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度．18.已知，如图所示的四边形ABCD为菱形，AC、BD交于O，AF⊥BC于F，交于点E．(1)求证：(2)求证：；(3)过点E作，若，交于点G，若菱形ABCD的面积为，求的长．19.若实数满足，则______．20.对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2=_____．21.有7张正面分别标有，，，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程有正整数解的概率为______．22.如图，在中，，，，点在直线上运动，连接，在的右侧作，为的中点，连接，则的最小值为______．23.在中，，，，一动点在线段上，以，为边作矩形，直线与直线，的交点分别为，，当是等腰三角形时，该三角形的腰长为______．24.成都大运会开幕式于2023年7月28日在成都东安湖体育公园举行，大运会吉祥物为“蓉宝”，“蓉宝”的样子和形态，充分诠释了成都的新时代特点和城市魅力，吸引了无数人们的目光，因而“蓉宝”手办特别惹人喜爱．(1)据市场调研发现，某工厂今年7月份共生产500个“蓉宝”手办，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，9月份该工厂生产了720个“蓉宝”手办，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？(2)已知某商店“蓉宝”手办平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1440元，则每个“蓉宝”手办应降价多少元？25.[基础巩固]（1）如图1，在四边形中，对角线平分，求证：；[尝试应用]（2）如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长；[拓展提高]（3）如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值．26.直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接．(1)求点的坐标；(2)设的面积为，求S与t的关系式；(3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．。
成都外国语学校九年级上期中数学试卷含答案解析
2022-2023四川省成都外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．﹣|﹣|的相反数是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣32．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．用科学记数法表示290亿应为（）A．290×108B．290×109C．2.90×1010D．2.90×10115．下列计算结果正确的是（）A．﹣2x2y3•2xy=﹣2x3y4B．3x2y﹣5xy2=﹣2x2yC．28x4y2÷7x3y=4xy D．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=9a2﹣46．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm 7．某地区5月3日至5月9日这7天的日气温最高值统计图如图所示．从统计图看，该地区这7天日气温最高值的众数与中位数分别是（）A．23，25 B．24，23 C．23，23 D．23，248．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：99．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定10．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．分解因式：4ax2﹣ay2=．12．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准克数记为正数，不足标准克数记为负数．现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的极差是．13．当m=时，关于x的分式方程=﹣1无解．14．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．计算：﹣22+（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2+﹣|2﹣|﹣2cos30°（2）解方程：﹣1=．16．（6分）先化简，再求值：，其中x为不等式组的整数解．17．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气候风暴，有极强的破坏力．沿海某城市A的正南方向240km的B处有一台风中心，其中心风力最大为十二级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°的方向往C移动，且台风中心风力不变．若城市所受的风力达到或超过四级，则称为受台风的影响．（1）城市A是否受台风影响？请说明理由；（2）如果城市A受台风影响，则影响时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？18．（8分）某校社会实践小组对于如何看待“限号出行”这一举措进行社会民意调查，将调查结果绘成如下表格：意见频数频率赞同不赞同19不能确定30.06总计1（1）请补全频数分布表；（2）在不能确定的三个人中，有两名女性，一名男性，若要在三个人中，任选两个人进行电话回访，请用画树状图或列表格的方法求出刚好选到一男一女的概率．19．（10分）如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b 的值．20．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）一、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）21．已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=．22．若关于t的不等式组，恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为．23．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=．24．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=．25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）且满足4a+2b+c＞0．以下结论①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2中，正确的是．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）26．（9分）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：时间t（天）136102040…日销售量y（kg）1181141081008040…（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x 轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023四川省成都外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．﹣|﹣|的相反数是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】绝对值；相反数．【分析】先化简，再求相反数即可；【解答】解：﹣|﹣|=﹣，∴﹣的相反数为，故选A．【点评】此题是绝对值题目，主要考查了相反数的求法，解本题的关键是先化简原式．2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有3个正方形，第三横行中间有一个正方形．故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．用科学记数法表示290亿应为（）A．290×108B．290×109C．2.90×1010D．2.90×1011【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：290亿应为2.90×1010，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．下列计算结果正确的是（）A．﹣2x2y3•2xy=﹣2x3y4B．3x2y﹣5xy2=﹣2x2yC．28x4y2÷7x3y=4xy D．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=9a2﹣4【考点】整式的混合运算．【分析】利用整式的乘法公式以及同底数幂的乘方法则分别计算即可判断．【解答】解：A、﹣2x2y3•2xy=﹣4x3y4，所以A选项错误；B、两个整式不是同类项，不能合并，所以B选项错误；C、28x4y2÷7x3y=4xy，所以C选项正确；D、（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=﹣（3a+2）（3a﹣2）=﹣9a2+4，所以，D选项错误；故选C．【点评】本题考查了整式的混合运算：利用整式的乘法公式、同底数幂的乘方法则以及合并同类项进行计算，有括号先算括号内，再算乘方和乘除，最后算加减．6．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm 【考点】等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．【分析】设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．7．某地区5月3日至5月9日这7天的日气温最高值统计图如图所示．从统计图看，该地区这7天日气温最高值的众数与中位数分别是（）A．23，25 B．24，23 C．23，23 D．23，24【考点】众数；条形统计图；中位数．【分析】利用众数、中位数的定义结合图形求解即可．【解答】解：观察条形图可得，23出现的次数最多，故众数是23°C；气温从低到高的第4个数据为23°C，故中位数是23℃；故选：C．【点评】此题考查了条形统计图，考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．也考查了中位数和众数的概念．8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为m，n再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为m，n，则m+n=﹣=﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴m+n＞0．故选A．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．10．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x；可得△AEG的面积y与x的关系；进而可判断得则y关于x的函数的图象的大致形状．【解答】解：∵AE=BF=CG，且等边△ABC的边长为2，∴BE=CF=AG=2﹣x；∴△AEG≌△BEF≌△CFG．在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x，∵S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；∴y=S△ABC ﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（x2﹣x+1）．∴其图象为二次函数，且开口向上．故选C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数关系式，另外要求能根据函数解析式判断函数图象的形状．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．分解因式：4ax2﹣ay2=a（2x+y）（2x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）=a（2x+y）（2x﹣y），故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准克数记为正数，不足标准克数记为负数．现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的极差是5．【考点】极差；正数和负数．【分析】极差是最大数和最小数的差，据此解答．【解答】解：根据题意得：超出标准克数最大的是2，低于标准克数最小的是﹣3，所以极差=2﹣（﹣3）=2+3=5，故答案为：5．【点评】本题考查了极差的定义，解题的关键是了解极差是最大数与最小数的差，难度不大．13．当m=﹣6时，关于x的分式方程=﹣1无解．【考点】分式方程的解．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得，2x+m=﹣x+3解得，x=当分母x﹣3=0即x=3时方程无解所以=3时方程无解解得：m=﹣6．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．14．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，连接EB 、EE′，作EM ⊥AB 于M ，EE′交AD 于N ．易知△AEB ≌△AED ≌△ADE′，先求出正方形AMEN 的边长，再求出AB ，根据S 四边形ABFE′=S 四边形AEFE′+S△AEB+S △EFB 即可解决问题．【解答】解：如图，连接EB 、EE′，作EM ⊥AB 于M ，EE′交AD 于N ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，AO=OB=OD=OC ， ∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，根据对称性，△ADE ≌△ADE′≌△ABE ， ∴DE=DE′，AE=AE′， ∴AD 垂直平分EE′， ∴EN=NE′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED 平分∠ADO ，EN ⊥DA ，EO ⊥DB ， ∴EN=EO=1，AO=+1， ∴AB=AO=2+，∴S △AEB =S △AED =S △ADE′=×1×（2+）=1+，S △BDE =S △ADB ﹣2S △AEB =1+，∵DF=EF ， ∴S △EFB =，∴S △DEE′=2S △ADE ﹣S △AEE′=+1，S △DFE′=S △DEE′=，∴S 四边形AEFE′=2S △ADE ﹣S △DFE′=，∴S 四边形ABFE′=S 四边形AEFE′+S △AEB +S △EFB =．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（1）计算：﹣22+（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2+﹣|2﹣|﹣2cos30°（2）解方程：﹣1=．【考点】解分式方程；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=﹣4+1+4+4﹣2+﹣2×=3；（2）去分母得：x（x+2）﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16．先化简，再求值：，其中x为不等式组的整数解．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到正整数x的值，再把被除式的分子分母分解因式，括号里面的通分并进行加法运算，然后把除法转化为乘法运算，约分，再求出使分式有意义的x的取值范围，然后代入进行计算即可得解．【解答】解：，解不等式①得，x＜2，解不等式②得，x＞﹣1，所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜2，∵x是整数，∴x的值是0，1，÷（x﹣2﹣）﹣，=÷﹣，=•﹣，=﹣，=，=﹣，要使分式有意义，x（x+2）≠0，（x+4）（x﹣4）≠0，解得x≠0，x≠﹣2，x≠±4，所以，x=1，原式=﹣=﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，要注意先算括号里面的，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，所取的数必须是使分式有意义．17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气候风暴，有极强的破坏力．沿海某城市A的正南方向240km的B处有一台风中心，其中心风力最大为十二级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°的方向往C移动，且台风中心风力不变．若城市所受的风力达到或超过四级，则称为受台风的影响．（1）城市A是否受台风影响？请说明理由；（2）如果城市A受台风影响，则影响时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD ⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB 的长，AD就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出是几级风．【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=240，∴AD=AB=120，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）=160．∵120＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=160．∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2=80（千米）．∴台风影响该市的持续时间t=80÷15=（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷20）=6（级）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度中等．18．某校社会实践小组对于如何看待“限号出行”这一举措进行社会民意调查，将调查结果绘成如下表格：意见频数频率赞同不赞同19不能确定30.06总计501（1）请补全频数分布表；（2）在不能确定的三个人中，有两名女性，一名男性，若要在三个人中，任选两个人进行电话回访，请用画树状图或列表格的方法求出刚好选到一男一女的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表．【分析】（1）首先根据不确定的有3人，频率是0.06求得调查的总人数，利用总人数减去不赞同和不确定的人数求得赞同的人数，然后利用频率的定义求得频率；（2）利用树状图法表示出所求可能，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数是3÷0.06=50（人），则表示赞同的人数是50﹣19﹣3=28（人），表示赞同的频率是=0.56，表示不赞同的频率是=0.38．意见频数频率赞同280.56不赞同190.38不能确定30.06总计501故答案是：；；50；（2）利用树状图表示为：则P（选到一男一女）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（10分）（•绵阳）如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b 的值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先根据点A与点B关于原点对称，可以求出k的值，将点A分别代入反比例函数与正比例函数的解析式，即可得解．（2）分别把点（x1，y1）、（x2，y2）代入一次函数y=x+b，再把两式相减，根据|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5得出|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=，然后通过联立方程求得x1、x2的值，代入即可求得b的值．【解答】解：（1）据题意得：点A（1，k）与点B（﹣k，﹣1）关于原点对称，∴k=1，∴A（1，1），B（﹣1，﹣1），∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为y=，y=x；（2）∵一次函数y=x+b的图象过点（x1，y1）、（x2，y2），∴，②﹣①得，y2﹣y1=x2﹣x1，∵|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，∴|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=，由得x2+bx﹣1=0，解得，x1=，x2=，∴|x1﹣x2|=|﹣|=||=，解得b=±1．【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关键．20．（10分）（•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D 为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）21．已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=﹣1．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】由于x1、x2是方程的两根，根据根与系数的关系可得到两根之和的值，根据方程解的定义可得到x12、x1的关系，根据上面得到的条件，对所求的代数式进行有针对性的拆分和化简，然后再代值计算．【解答】解：∵x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，∴x12=﹣3x1﹣1，x1+x2=﹣3；∴x13+8x2+20=（﹣3x1﹣1）x1+8x2+20=﹣3x12﹣x1+8x2+20=﹣3（﹣3x1﹣1）﹣x1+8x2+20=9x1﹣x1+8x2+23=8（x1+x2）+23=﹣24+23=﹣1．故x13+8x2+20=﹣1．【点评】此题是典型的代数求值问题，涉及到根与系数的关系以及方程解的定义．在解此类题时，如果所求代数式无法化简，应该从已知入手看能得到什么条件，然后根据得到的条件对所求代数式进行有针对性的化简和变形．22．若关于t的不等式组，恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为1或0．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一元一次不等式组的整数解．【分析】根据不等式组恰有三个整数解，可得出a的取值范围；联立一次函数及反比例函数解析式，利用二次函数的性质判断其判别式的值的情况，从而确定交点的个数．【解答】解：不等式组的解为：a≤t≤，∵不等式组恰有3个整数解，∴﹣2＜a≤﹣1．联立方程组，得：x2﹣ax﹣3a﹣2=0，△=a2+3a+2=（a+）2﹣=（a+1）（a+2）这是一个二次函数，开口向上，与x轴交点为（﹣2，0）和（﹣1，0），对称轴为直线a=﹣，其图象如下图所示：由图象可见：当a=﹣1时，△=0，此时一元二次方程有两个相等的根，即一次函数与反比例函数有一个交点；当﹣2＜a＜﹣1时，△＜0，此时一元二次方程无实数根，即一次函数与反比例函数没有交点．∴交点的个数为：1或0．故答案为：1或0．【点评】本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数、解不等式、一元二次方程等知识点，有一定的难度．多个知识点的综合运用，是解决本题的关键．23．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=﹣1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据x轴上点的坐标特点可设出A、B两点的坐标为（x1，0），（x2，0），根据△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，再由抛物线与y轴的交点可求出C点的坐标，由射影定理即可求出ac的值．【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1•x2=＜0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2=|AO|•|BO|，即c2=|x1|•|x2|=||，故|ac|=1，ac=±1，由于＜0，所以ac=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据射影定理得到|OC|2=|AO|•|BO|是解答此题的关键．24．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=2000．【考点】取整函数．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，…[]=[]=1，从而得出答案．【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴=[]+[]+…+[]，=[1+]+[1+]+…+[1+]，=1+1+ (1)=2000．故答案为：2000．【点评】此题主要考查了取整函数的性质，得出[]=[]=[1+]=1等，是解决问题的关键．25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）且满足4a+2b+c＞0．以下结论①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2中，正确的是①②③④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①，因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；②，②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；③，画草图可知c＞0，结合a﹣b+c=0，可整理得﹣a+b+c=2c＞0，从而求得﹣a+b+c ＞0；④，把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c=0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c ＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．【解答】解：①因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c=0﹣﹣﹣﹣①，又因为4a+2b+c＞0﹣﹣﹣﹣②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；故①正确；②，②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；故②正确；③因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax2+bx+c（a＜0）当x=2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c=0，∴﹣a+b﹣c=0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c=2c，整理得﹣a+b+c=2c＞0，即﹣a+b+c＞0；故③正确；④∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c=0，∴b2﹣2ac﹣5a2=（a+c）2﹣2ac﹣5a2=c2﹣4a2=（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0即2a+c＞0①∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2故④正确；综上可知正确的是①②③④．故填：4．【点评】此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根。
成都市外国语学校九年级上册期中试卷检测题
成都市外国语学校九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩ 解之得：108a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.2．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m %，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．3．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动．如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ的长度等82cm？（3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm2？【答案】（1）t为5或7；（2）t为45或4；（3）t为4或16【解析】【分析】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程即可得到答案．【详解】解：（1），.根据三角形的面积公式，得，即，整理，得，解得，.故当为5或7时，的面积等于35.（2）根据勾股定理，得，整理，得，解得，.故当为或4时，的长度等于.（3）①当时，，，由题意，得，解得：，（舍去）.②当时，，，由题意，得，次方程无解.③当时，，， 由题意，得，解得：（舍去），.综上所述，当为4或16时，的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间界点，才能正确的表示PB ，CQ 的长．4．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，5．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案② 【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x ，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x ，依题意得，4000（1-x ）2=3240 解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠 考点：一元二次方程的应用二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >-【解析】 【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫--⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29m =-由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<-（4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1a =或3a =-；（2）①1x =--1x =+；②724m ≤<或21m -<<-；（3）3a <--或1a ≤<-或a >【解析】 【分析】（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线y m =观察其与图像交点，即可得到答案．（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211422y x ax a =---+与0比大小；第二种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211422y x ax a =---+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】（1）将()1,2代入2211422y x ax a =---+中，得2112422a a =---+，解得1a =或3a =-．（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩，①令2210x x +-=，解得1x =--1x =- 令217022x x -++=，解得1x =+或1x =-综上，1x =--1x =+．②对于函数()2210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217(0)22y x x x =-++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫⎪⎝⎭． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足724m ≤<或21m -<<-． （3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2222y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-，解得3a >或3a <--，综上可得：3a <--．②当20a -≤<时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，22222=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，2221114=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-；求得21a -<<-；综上：1a ≤<-．③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<；求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．8．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求2FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解． 【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+==解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4yx x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称 设Q 的横坐标为a 则()11a x --=-- ∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++ 当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M - ∴2(3)1AM =---= 设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3y x将2x =-代入3y x，得1y =∴(2,1)E -， ∴1EM=∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯=（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合， ∴3OQ = ∵2223(1)4yx x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ， 则1DK =，4OK = ∴431OK OK OQ =-=-= ∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m +()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m = 当4m =-时，2235m m --+=- 当1m =时，2230m m --+=． ∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．9．如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3) （2）△ABP 最大面积s=1927322288⨯=; P （12，﹣34） （3）存在；25【解析】 【分析】（1） 当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可； （2） 设P （x ，x 2﹣1）．过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1），所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ，，用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3） 设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，用k 分别表示点E 的坐标，点F 的坐标，以及点C 的坐标，然后在Rt △EOF 中，由勾股定理表示出EF 的长，假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，设点N 为OC 中点，连接NQ ，根据条件证明△EQN ∽△EOF ，然后根据性质对应边成比例，可得关于k 的方程，解方程即可. 【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1． 联立两个解析式，得：x 2﹣1=x+1， 解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3， ∴A （﹣1，0），B （2，3）． （2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF （xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF ∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）． （3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ， 则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1． 在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1． ∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴NQ EN OFEF=，即：1221kkkk-=，解得：k=±25，∵k＞0，∴k=25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，203AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值；（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的ABF为A BF''，在旋转过程中，设A F''所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q，若△DPQ为等腰三角形，请直接写出此时DQ的长．【答案】（1）4；3（2）3或163（3）2512525310103243-、、103【解析】【分析】（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD的长，由等面积法求解AE，由勾股定理求解BE即可，（2）利用对称与平移的性质得到：AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．当点F′落在AB上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD上时，证明△B′F′D为等腰三角形，从而可得答案，（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，证明A′Q＝A′B，利用勾股定理求解',,F Q BQ从而求解DQ，②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案． 【详解】解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，203AD =， 由勾股定理得：222025533BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．11,22ABDSBD AE AB AD =⋅=⋅． 2532053 4.AB ADAE BD⨯⋅∴=== 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝4， 由勾股定理得：BE ＝3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示： 由对称的性质可知，∠1＝∠2．由平移性质可知，AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．①当点F′落在AB 上时， ∵AB ∥A′B′， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝3，即m ＝3； ②当点F′落在AD 上时， ∵AB ∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，,AB AD ⊥ ∴ A′B′⊥AD ，'''',B F D B DF ∴∠=∠∴△B′F′D 为等腰三角形， ∴B′D ＝B′F′＝3，2516333BB BD B D ''∴=-=-=，即163m =．（3）DQ 的长度分别为2512525310103243--、、或103．在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD ＝DQ ， ∴ ∠2＝2∠Q ，∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠Q ， ∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9． 在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=+=+=．253103DQ BQ BD ∴=-=-； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ， ∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上． ∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2'22,BF F Q BQ += 即：2223(4),BQ BQ +-= 解得：258BQ =， 25251253824DQ BD BQ ∴=-=-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，∴ ∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022∴∠︒∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，149012∴∠=︒-∠． 149012A QB ∴∠'∠︒∠＝＝﹣，118019012A BQ A QB ∴∠'︒∠'∠︒∠＝﹣﹣＝﹣，∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，25103DQ BD BQ ∴=-=-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，∴ ∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ ＝BA′＝5，2510533DQ BD BQ ∴=-=-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243--、、或103．【点睛】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．12．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为.(3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.13．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH3；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH．只要证明△IJF是等边三角形即可．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，EDO FBOOD OBEOD BOF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH3．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°， ∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ， ∴∠JDH ＝∠FGH ， 在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ， ∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ， ∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ， ∴BE ＝IM ＝BF ， ∵∠MEJ ＝∠B ＝60°， ∴△MEJ 是等边三角形， ∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60° 在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ， ∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°， ∴∠MIJ +∠BIF ＝120°， ∴∠JIF ＝60°， ∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°， ∴∠FIH ＝30°， ∴IH 3．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°， ∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴∠ADF +∠EDC ＝45°， ∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ， 在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ， ∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ， ∴∠ECM ＝90° ∴EC 2+CM 2＝EM 2， ∵EG ＝EM ，AG ＝CM ， ∴GE 2＝AG 2+CE 2． 【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.14．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB 、CD 上，连接AF ．取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD 、MN ． （1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形； 猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM 、MN 的数量关系是 ； 结论2：DM 、MN 的位置关系是 ； 拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=12AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=12AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=12AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=12AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．15．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，。
成都外国语学校2017届九年级上期中数学试卷含答案解析
A．
B．
C．
D．
3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．ຫໍສະໝຸດ B．C．D．
4．用科学记数法表示 290 亿应为（ ） A．290×108 B．290×109 C．2.90×1010 D．2.90×1011
5．下列计算结果正确的是（ ） A．﹣222y3•22y=﹣223y4 B．3x2 y﹣522y=﹣222y C．28x4y2 ÷7x3 y=4xyD．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=29﹣4a 6．在等腰△ABC 中，AB=AC，其周长为 20cm，则 AB 边的取值范围是（ ） A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜ 10cm 7．某地区 5 月 3 日至 5 月 9 日这 7 天的日气温最高值统计图如图所示．从统计 图看，该地区这 7 天日气温最高值的众数与中位数分别是（ ）
2016-2017 学年四川省成都外国语学校九年级（上）期中数学 试卷
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选 项，其中只有一项符合题目要求） 1．﹣|﹣ |的相反数是（ ） A． B．﹣ C．3 D．﹣3 2．如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是 （）
A．23，25 B．24，23 C．23，23 D．23，24 8．有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1 ，S2 ，则 1S ：2S 等 于（ ）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 9．二次函数 y=a2x+bx+c（a≠0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 ax2+（b﹣ ）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．．．．3．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球在不允许将球倒出的情况下为估计白球的个数,小刚向其中放入个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色再把它放回盒中断重复,共摸球16次摸到黑球估计盒中大约有白球的个数为() A．30个．92个84个76个4．下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不具有的是（A．对边相等．对角相等．对角线相等．对边平行5．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（A．(3,56．如图，已知直线D、E、F，若A．3 57．如图，已知A ．B D ∠=∠B ．C ∠8．小区新增了一家快递店，第一天揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（A ．()22001242x +=C ．200二、填空题9．一元二次方程243x x -+=10．已知23a b =，那么2b a b -的值为11．如图，将长方形ABCD 沿则DEA ∠=°．12．如图，点F 在平行四边形AC 于点O ，若19AOB COE S S ∆∆=，则13．如图，在平面直角坐标系中，三、解答题14．解下列方程(1)210x x+-=(2)22530-+=x x四、未知15．为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）以下统计图提供的信息，请解答下列问题：(1)本次被调查的学生有名，补全条形统计图；(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少?16．已知关于x的方程22-+-x2mx m五、解答题17．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m ，CE=0.6m ，CA=30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知李航的身高EF 是1.6m ，请你帮李航求出楼高AB ．六、未知观察发现：(1)如图1，若F 为AD 边的中点，10AB BC ==，点G 与点H 重合，则ECF ∠=°AE =．问题探究：(2)如图2，若22.5222DCF AB BC ∠=︒==，，，则点GAB 边上（填“在或不在”），并求出AE 的长；拓展延伸：(3)20,15AB AD ==，若F 为AD 靠近A 的三等分点，请求出AE 的长．七、填空题21．已知P点为线段cm．22．如图，在Rt ABCBC于点,E DF平分23．如图，在正方形ABCD中，运动过程中，DGCG的最小值为八、解答题24．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？九、未知十、解答题(1)如图1，当1t =时，求线段PE 的长度．(2)如图2，连接BE ，当:4:3ABE ACP S S =△△时，求t 的值．(3)如图3，延长AB PE ，交于点D ，在第四象限有一点F ，连接PF ，当2180APF D AD t ∠+∠=︒=，时，求直线PF 的解析式．。
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2016-2017学年四川省成都外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．﹣|﹣|的相反数是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣32．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．用科学记数法表示290亿应为（）A．290×108B．290×109C．2.90×1010D．2.90×10115．下列计算结果正确的是（）A．﹣2x2y3•2xy=﹣2x3y4B．3x2y﹣5xy2=﹣2x2yC．28x4y2÷7x3y=4xy D．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=9a2﹣46．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm7．某地区5月3日至5月9日这7天的日气温最高值统计图如图所示．从统计图看，该地区这7天日气温最高值的众数与中位数分别是（）A．23，25 B．24，23 C．23，23 D．23，248．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：99．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定10．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．分解因式：4ax2﹣ay2=．12．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准克数记为正数，不足标准克数记为负数．现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的极差是．13．当m=时，关于x的分式方程=﹣1无解．14．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．计算：﹣22+（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2+﹣|2﹣|﹣2cos30°（2）解方程：﹣1=．16．（6分）先化简，再求值：，其中x为不等式组的整数解．17．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气候风暴，有极强的破坏力．沿海某城市A的正南方向240km的B处有一台风中心，其中心风力最大为十二级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°的方向往C移动，且台风中心风力不变．若城市所受的风力达到或超过四级，则称为受台风的影响．（1）城市A是否受台风影响？请说明理由；（2）如果城市A受台风影响，则影响时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？18．（8分）某校社会实践小组对于如何看待“限号出行”这一举措进行社会民意调查，将调查结果绘成如下表格：（2）在不能确定的三个人中，有两名女性，一名男性，若要在三个人中，任选两个人进行电话回访，请用画树状图或列表格的方法求出刚好选到一男一女的概率．19．（10分）如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b的值．20．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）一、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）21．已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=．22．若关于t的不等式组，恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为．23．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=．24．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=．25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）且满足4a+2b+c＞0．以下结论①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2中，正确的是．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）26．（9分）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n 的取值范围．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．﹣|﹣|的相反数是（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】绝对值；相反数．【分析】先化简，再求相反数即可；【解答】解：﹣|﹣|=﹣，∴﹣的相反数为，故选A．【点评】此题是绝对值题目，主要考查了相反数的求法，解本题的关键是先化简原式．2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有3个正方形，第三横行中间有一个正方形．故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．用科学记数法表示290亿应为（）A．290×108B．290×109C．2.90×1010D．2.90×1011【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：290亿应为2.90×1010，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．下列计算结果正确的是（）A．﹣2x2y3•2xy=﹣2x3y4B．3x2y﹣5xy2=﹣2x2yC．28x4y2÷7x3y=4xy D．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=9a2﹣4【考点】整式的混合运算．【分析】利用整式的乘法公式以及同底数幂的乘方法则分别计算即可判断．【解答】解：A、﹣2x2y3•2xy=﹣4x3y4，所以A选项错误；B、两个整式不是同类项，不能合并，所以B选项错误；C、28x4y2÷7x3y=4xy，所以C选项正确；D、（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=﹣（3a+2）（3a﹣2）=﹣9a2+4，所以，D选项错误；故选C．【点评】本题考查了整式的混合运算：利用整式的乘法公式、同底数幂的乘方法则以及合并同类项进行计算，有括号先算括号内，再算乘方和乘除，最后算加减．6．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【考点】等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．【分析】设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．7．某地区5月3日至5月9日这7天的日气温最高值统计图如图所示．从统计图看，该地区这7天日气温最高值的众数与中位数分别是（）A．23，25 B．24，23 C．23，23 D．23，24【考点】众数；条形统计图；中位数．【分析】利用众数、中位数的定义结合图形求解即可．【解答】解：观察条形图可得，23出现的次数最多，故众数是23°C；气温从低到高的第4个数据为23°C，故中位数是23℃；故选：C．【点评】此题考查了条形统计图，考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．也考查了中位数和众数的概念．8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为m，n再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为m，n，则m+n=﹣=﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴m+n＞0．故选A．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．10．如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是边AB 、BC 、CA 的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可知△AEG ≌△BEF ≌△CFG 三个三角形全等，且在△AEG 中，AE=x ，AG=2﹣x ；可得△AEG 的面积y 与x 的关系；进而可判断得则y 关于x 的函数的图象的大致形状． 【解答】解：∵AE=BF=CG ，且等边△ABC 的边长为2， ∴BE=CF=AG=2﹣x ； ∴△AEG ≌△BEF ≌△CFG ． 在△AEG 中，AE=x ，AG=2﹣x ，∵S △AEG =AE ×AG ×sinA=x （2﹣x ）；∴y=S △ABC ﹣3S △AEG =﹣3×x （2﹣x ）=（x 2﹣x +1）．∴其图象为二次函数，且开口向上． 故选C ．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y 与x 的函数关系式，另外要求能根据函数解析式判断函数图象的形状．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．分解因式：4ax 2﹣ay 2= a （2x +y ）（2x ﹣y ） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式a ，再利用平方差进行分解即可． 【解答】解：原式=a （4x 2﹣y 2） =a （2x +y ）（2x ﹣y ），故答案为：a （2x +y ）（2x ﹣y ）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准克数记为正数，不足标准克数记为负数．现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的极差是5．【考点】极差；正数和负数．【分析】极差是最大数和最小数的差，据此解答．【解答】解：根据题意得：超出标准克数最大的是2，低于标准克数最小的是﹣3，所以极差=2﹣（﹣3）=2+3=5，故答案为：5．【点评】本题考查了极差的定义，解题的关键是了解极差是最大数与最小数的差，难度不大．13．当m=﹣6时，关于x的分式方程=﹣1无解．【考点】分式方程的解．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得，2x+m=﹣x+3解得，x=当分母x﹣3=0即x=3时方程无解所以=3时方程无解解得：m=﹣6．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．14．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB即可解决问题．先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形ABFE′【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE=DE′，AE=AE′，∴AD垂直平分EE′，∴EN=NE′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN=EO=1，AO=+1，∴AB=AO=2+，=S△AED=S△ADE′=×1×（2+）=1+，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+，∴S△AEB∵DF=EF，=，∴S△EFB=2S△ADE﹣S△AEE′=+1，S△DFE′=S△DEE′=，∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△DFE′=，∴S四边形AEFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB=．∴S四边形ABFE′故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（1）计算：﹣22+（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2+﹣|2﹣|﹣2cos30°（2）解方程：﹣1=．【考点】解分式方程；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=﹣4+1+4+4﹣2+﹣2×=3；（2）去分母得：x（x+2）﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16．先化简，再求值：，其中x为不等式组的整数解．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到正整数x的值，再把被除式的分子分母分解因式，括号里面的通分并进行加法运算，然后把除法转化为乘法运算，约分，再求出使分式有意义的x的取值范围，然后代入进行计算即可得解．【解答】解：，解不等式①得，x＜2，解不等式②得，x＞﹣1，所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜2，∵x是整数，∴x的值是0，1，÷（x﹣2﹣）﹣，=÷﹣，=•﹣，=﹣，=，=﹣，要使分式有意义，x（x+2）≠0，（x+4）（x﹣4）≠0，解得x≠0，x≠﹣2，x≠±4，所以，x=1，原式=﹣=﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，要注意先算括号里面的，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，所取的数必须是使分式有意义．17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气候风暴，有极强的破坏力．沿海某城市A的正南方向240km的B处有一台风中心，其中心风力最大为十二级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°的方向往C移动，且台风中心风力不变．若城市所受的风力达到或超过四级，则称为受台风的影响．（1）城市A是否受台风影响？请说明理由；（2）如果城市A受台风影响，则影响时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出是几级风．【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=240，∴AD=AB=120，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）=160．∵120＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=160．∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2=80（千米）．∴台风影响该市的持续时间t=80÷15=（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷20）=6（级）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度中等．18．某校社会实践小组对于如何看待“限号出行”这一举措进行社会民意调查，将调查结果绘成如下表格：（2）在不能确定的三个人中，有两名女性，一名男性，若要在三个人中，任选两个人进行电话回访，请用画树状图或列表格的方法求出刚好选到一男一女的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表．【分析】（1）首先根据不确定的有3人，频率是0.06求得调查的总人数，利用总人数减去不赞同和不确定的人数求得赞同的人数，然后利用频率的定义求得频率；（2）利用树状图法表示出所求可能，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数是3÷0.06=50（人），则表示赞同的人数是50﹣19﹣3=28（人），表示赞同的频率是=0.56，表示不赞同的频率是=0.38．故答案是：；；50；（2）利用树状图表示为：则P（选到一男一女）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（10分）（2015•绵阳）如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b的值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先根据点A与点B关于原点对称，可以求出k的值，将点A分别代入反比例函数与正比例函数的解析式，即可得解．（2）分别把点（x1，y1）、（x2，y2）代入一次函数y=x+b，再把两式相减，根据|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5得出|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=，然后通过联立方程求得x1、x2的值，代入即可求得b的值．【解答】解：（1）据题意得：点A（1，k）与点B（﹣k，﹣1）关于原点对称，∴k=1，∴A（1，1），B（﹣1，﹣1），∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为y=，y=x；（2）∵一次函数y=x+b的图象过点（x1，y1）、（x2，y2），∴，②﹣①得，y2﹣y1=x2﹣x1，∵|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，∴|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=，由得x2+bx﹣1=0，解得，x1=，x2=，∴|x1﹣x2|=|﹣|=||=，解得b=±1．【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关键．20．（10分）（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD ∽△AGD是解题关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）21．已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=﹣1．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】由于x1、x2是方程的两根，根据根与系数的关系可得到两根之和的值，根据方程解的定义可得到x12、x1的关系，根据上面得到的条件，对所求的代数式进行有针对性的拆分和化简，然后再代值计算．【解答】解：∵x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，∴x12=﹣3x1﹣1，x1+x2=﹣3；∴x13+8x2+20=（﹣3x1﹣1）x1+8x2+20=﹣3x12﹣x1+8x2+20=﹣3（﹣3x1﹣1）﹣x1+8x2+20=9x1﹣x1+8x2+23=8（x1+x2）+23=﹣24+23=﹣1．故x13+8x2+20=﹣1．【点评】此题是典型的代数求值问题，涉及到根与系数的关系以及方程解的定义．在解此类题时，如果所求代数式无法化简，应该从已知入手看能得到什么条件，然后根据得到的条件对所求代数式进行有针对性的化简和变形．22．若关于t的不等式组，恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为1或0．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一元一次不等式组的整数解．【分析】根据不等式组恰有三个整数解，可得出a的取值范围；联立一次函数及反比例函数解析式，利用二次函数的性质判断其判别式的值的情况，从而确定交点的个数．【解答】解：不等式组的解为：a≤t≤，∵不等式组恰有3个整数解，∴﹣2＜a≤﹣1．联立方程组，得：x2﹣ax﹣3a﹣2=0，△=a2+3a+2=（a+）2﹣=（a+1）（a+2）这是一个二次函数，开口向上，与x轴交点为（﹣2，0）和（﹣1，0），对称轴为直线a=﹣，其图象如下图所示：由图象可见：当a=﹣1时，△=0，此时一元二次方程有两个相等的根，即一次函数与反比例函数有一个交点；当﹣2＜a＜﹣1时，△＜0，此时一元二次方程无实数根，即一次函数与反比例函数没有交点．∴交点的个数为：1或0．故答案为：1或0．【点评】本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数、解不等式、一元二次方程等知识点，有一定的难度．多个知识点的综合运用，是解决本题的关键．23．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=﹣1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据x轴上点的坐标特点可设出A、B两点的坐标为（x1，0），（x2，0），根据△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，再由抛物线与y轴的交点可求出C点的坐标，由射影定理即可求出ac的值．【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1•x2=＜0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2=|AO|•|BO|，即c2=|x1|•|x2|=||，故|ac|=1，ac=±1，由于＜0，所以ac=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据射影定理得到|OC|2=|AO|•|BO|是解答此题的关键．24．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=2000．【考点】取整函数．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，…[]=[]=1，从而得出答案．【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴=[]+[]+…+[]，=[1+]+[1+]+…+[1+]，=1+1+ (1)=2000．故答案为：2000．【点评】此题主要考查了取整函数的性质，得出[]=[]=[1+]=1等，是解决问题的关键．25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）且满足4a+2b+c＞0．以下结论①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2中，正确的是①②③④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①，因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；②，②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；③，画草图可知c＞0，结合a﹣b+c=0，可整理得﹣a+b+c=2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；④，把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c=0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a ＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．【解答】解：①因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c=0﹣﹣﹣﹣①，又因为4a+2b+c＞0﹣﹣﹣﹣②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；故①正确；②，②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；故②正确；③因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax2+bx+c（a＜0）当x=2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c=0，∴﹣a+b﹣c=0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c=2c，整理得﹣a+b+c=2c＞0，即﹣a+b+c＞0；故③正确；④∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c=0，∴b2﹣2ac﹣5a2=（a+c）2﹣2ac﹣5a2=c2﹣4a2=（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0即2a+c＞0①∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2故④正确；综上可知正确的是①②③④．故填：4．【点评】此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算，是一道难题．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）26．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n 的取值范围．【考点】二次函数的应用；一次函数的性质．【分析】（1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题．。