第10届“希望杯”全国数学邀请赛高一(1,2试)

第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（第一试）班级 姓名一、选择题1、已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f 等于------------------------（ ）（A ）x 2（B ）12+x（C ）22+x （D ）32+x2、若}2log |{2x x x x -=∈，则有--------------------------------------（ ）（A ）12>>x x （B ）x x >>12（C ）x x >>21 （D ）21x x >>3、已知222)(--=-x x x f ，0)(=a f ，则)(a f -等于------------------（ ）（A ）4--a（B ）―2（C ）―4（D ）a 2-4、线段OA 、OB 、OC 不共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60º，OA=1，OB=2，OC=3，则ΔABC 是--------------------------------------------------------------------（ ）（A ）等边三角形 （B ）不等边的等腰三角形 （C ）直角三角形（D ）钝角三角形5、已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥=23 , )3lg(23, lg )(x x x x x f ，若方程k x f =)(无实数解，则k 的取值范围是------------------------------------------------------------------（ ）（A ）)0,(-∞（B ）)1,(-∞ （C ）)23lg ,(-∞（D ）),23(lg +∞6、若︒<<︒<<1809020βα，βαcos )(sin =a ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则c b a ,,的大小顺序是--------------------------------------------------------（ ）（A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）c a b >> （D ）b a c >>7、函数)2(log )(2x x x f x -+=的定义域是------------------------------（ ）（A ）21<<-x（B ）20<<x （C ）10<<x 或21<<x（D ）0>x 且1≠x8、函数αx x f =)(，)1,0()0,1( -∈x ，若不等式||)(x x f >成立，则在}2,1,32,31,0,32,1,2{---∈α的条件下，α可以取的值的个数是-------------------（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）49、在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b 2，b a <，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，当∠CEB=90º时，二面角C-EF-B 的平面角的余弦值等于------------（ ）（A ）0（B ）22b a（C ）22b a -（D ）ba-10、l b a ,,是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是---------------------------------------------------------（ ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ 二、填空题11、函数)(a x f y -=与函数)(a x f y +-=的图象关于 对称。

12、将函数x x f 2sin )(=的图象向左移3π个单位，再将所得图象上各点的横坐标压缩到原来的21，这时所得图象的函数解析式是 。

13、与正方体各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是 。

14、空间四边形ABCD 中，AB=AD=3，BC=CD=2，AC=5，则AC 与平面BCD 所成的角等于 。

15、长、宽、高分别为3cm 、4cm 、12cm 的长方体木块ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，BC=4cm ，CC 1=12cm ，若一只小虫要由A 点沿木块表面爬到C 1点，最短路径的长度是 。

16、已知10,>y x ，1000=xy ，则y x lg lg ⋅的取值范围是 。

17、对于函数x x f a log )(=（其中1,0≠>a a ），若1)2()3(=-f f ，则)9.0()75.3(f f +的值等于 。

18、棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，则B 1点到平面EFCA 的距离等于 。

19、βα--l 是60º的二面角，二面角内一点P 到βα,的距离分别是1，2，则P 到棱l 的距离等于 。

20、定义在R 上的函数)(x f y =、)(x f y -=、)(x f y -=、)(x f y --=的图象重合，它们的值域是 。

21、有两块直角三角板，一块三角板的两条直角边的长分别是1，3；另一块三角板的两条直角边的长分别是3，3。

这两块三角板有两对顶点重合，且成90º的二面角，则不重合的两个顶点的距离等于 。

22、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππα，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2sin παα，则α等于 。

23、已知集合}1|,|,1{}2,1,0{+--=-a a a a ，则实数a 的值等于 。

24、][t 表示：不大于t 的最大整数，则方程x x 4]12[=+的根是 。

25、已知直线l 垂直于平面α，直线m 在平面β内，那么下面四个命题：（1）α∥β⇒l ⊥m （2）α⊥β⇒l ∥β （3）l ∥m ⇒α⊥β （4）l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是 。

第十届“希望杯”全国数学邀请赛（第二试）班级 姓名一、选择题1、已知A ：|sin ||sin |B A =，B ：0)sin(=+B A ，则----------------------------（ ）（A ）由A 可推出B ，但由B 推不出A 。

（B ）由B 可推出A ，但由A 推不出B 。

（C ）由A 可推出B ，由B 也可推出A 。

（D ）由A 推不出B ，由B 也推不出A 。

2、定义域为R 的函数)(x f y =满足)2()1(x f x f -=-，这个函数图象的对称轴是--（ ）（A ）0=x（B ）21=x （C ）1=x （D ）2=x3、最小正周期为T 的周期函数)(x f y =，当),0(T x ∈时，反函数是)(1x f y -=（定义域为D ），那么当)0,(T x -∈时，)(x f y =的反函数是-------------------------（ ）（A ）D x T x f y ∈+=-),(1 （B ）D x T x f y ∈+=-,)(1 （C ）D x T x f y ∈-=-),(1（D ）D x T x f y ∈-=-,)(14、二面角M-l -N 的平面角是60︒，直线⊂a 平面M ，a 与棱l 所成的角是30︒，则a 与平面N 所成的角的余弦值是--------------------------------------------------------（ ）（A ）43（B ）22（C ）413 （D ）21 5、设集合A={1，2}，则从A 到A 的映射f 中满足)()]([x f x f f =的映射的个数是---（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）46、设11)(+-=x x x f ，记)]}([{)(x f f f f x f fn n 个=，则=)(1999x f -----------------（ ）（A ）x1-（B ）x （C ）x x-+11（D ）11+-x x 7、由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体。

正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数值不同的k 个锐角，则k 的数值是-------------------------（ ）（A ）7（B ）6（C ）5（D ）48、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是----------------------（ ）（A ）2（B ）3 （C ）4 （D ）59、q p ,都是奇数，二次方程0222=++q px x 有实根，那么它的根一定是-----（ ）（A ）奇数 （B ）偶数 （C ）有理数但不是整数 （D ）无理数10、若函数m x f x x -⋅-=+-+-|1||1|5425)(的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是------------------------------------------------------------（ ）（A ）0<m （B ）4-≥m （C ）04<≤-m （D ）03<≤-m二、填空题11、已知二次函数bx ax x f +=2)(，且2121),()(x x x f x f ≠=， 则)(21x x f += 。

12、已知0,,>c b a 且1,,≠c b a ， 则a c b b a cb ac a c b c b a c b alog log log log log log ---++的值等于 。

13、一个锐角为30︒，斜边长为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后斜边两个端点的距离等于 。

14、函数)1(11±≠-=x x y 可以表示成一个偶函数)(x f 与一个奇函数)(x g 的和，则)(x f = 。

15、设函数xxx f +==121)(，若函数)(x g 与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，则=)3(g 。

16、圆柱形钢管在运输中被捆紧成正六棱柱的形状，已知每个侧面恰有10根钢管，则整捆钢管有 根。

若钢管直径为d ，则捆钢管的铅丝每圈的长度为 。

17、函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 。

18、图1为一个长方体盒子的展开图（重叠部分不计），尺寸如图所示，点P 、Q 是原长方体盒子中不在一个面上的两个顶点，则在长方体盒子中，P 、Q 的距离等于 。