高考数学一轮总复习 2.8 函数与方程教案 理 新人教A版
高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程课件新人教A版
D.[1，2)
解析 依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点. 作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示. 又当 x≤1 时，f(x)＝12|x|∈(0，1]； 当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2， ∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2. 结合图象，当 a∈0，12∪[1，2)时，两图象有 2 个交点. 此时，方程a＝f(x)有两个不同实根. 答案 B
【训练3】 (1)(角度1)(202X·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零
点，则a＝( )
A.－12
1 B.3
1
C.2
D.1
(2)(角度2)若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.
解析 (1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋ e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称. 若 f(x)有唯一的零点，则只有 f(1)＝0，∴a＝12. 或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.
x0 所在的区间是________.
解析 (1)由函数 f(x)＝x－1 a为奇函数，可得 a＝0， 则 g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－2x. 又 g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－23>0，
所以g(2)·g(3)<0. 故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
(2)设 f(x)＝x3－12x－2，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐 标系下画出函数 y＝x3 与 y＝12x－2的图象如图所示. 因为 f(1)＝1－12－1＝－1<0，f(2)＝8－120＝7>0， 所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2). 答案 (1)C (2)(1，2)
2021-2022年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理
2021年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理 新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ， 又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程学案 文-人教版高三全册数学学案
第八节函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．答案1．f(x)＝0 2.x轴零点3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝01．(必修①P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234 5f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.答案：B2．(必修①P88例1改编)函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是方程x12－⎝⎛⎭⎪⎫12x＝0的解的个数，即方程x12＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的解的个数，也就是函数y＝x 12与y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：B3．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2<a<0.答案：(－2,0)知识点二二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证__________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)：①若____________，则x1就是函数的零点；②若____________，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若____________，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．答案1．f(a)f(b)<0 一分为二零点2．f(a)f(b)<0 ①f(x1)＝0 ②f(a)f(x1)<0③f(x1)f(b)<04．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：A5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060x解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56热点一 零点所在区间的判断【例1】 (1)(2017·吉林长春监测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)C (2)B【总结反思】判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)(2)(2017·永州模拟)若x 0是函数f (x )＝2x－x －3的零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)的值为________．解析：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.(2)函数f (x )＝2x－x －3的零点即函数y ＝2x与y ＝x ＋3的交点的横坐标．如图，因为f (－3)·f (－2)＝18×(14－1)<0，f (2)·f (3)＝(－1)×2＝－2<0.所以x 0∈(－3，－2)或x 0∈(2,3)， 所以[x 0]的值为－3或2.答案：(1)B (2)－3或2热点二 函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)由f (x )＝0得cos x ＝log 8x ，设y ＝cos x ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cos x ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数f (x )的零点个数为3.【答案】 (1)2 (2)3 【总结反思】判断函数y ＝f (x )零点个数的常用方法(1)直接法．令f (x )＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数).(2017·佳木斯一模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x >0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0. 则e x＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C. 答案：C热点三 函数零点的应用 考向1 二次函数的零点问题【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤12或x ≥1}．(2)函数g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 2>0，1<－a4<2，a 2－24>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5>0，2a ＋11>0，－8<a <－4，a <－26或a >26，解得－5<a <－2 6.所以实数a 的取值范围是(－5，－26). 【总结反思】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2,1)．考向2 利用函数的零点求参数的取值范围 【例4】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，log a x ＋1＋1，x ≥0，(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】 要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点．如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a－1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋4a －3x 0＋3a ，－1＝2x 0＋4a －3，整理可得4a2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.【答案】 C 【总结反思】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.(2017·南昌模拟)对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －1m ≤n，n 2－mn m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．解析：由2x －1≤x －1，得x ≤0，此时f (x )＝－(2x －1)2＋2(2x －1)·(x －1)－1＝－2x ，由2x －1>x －1，得x >0，此时f (x )＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，作出函数f (x )的图象如图所示，要使方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1<0,0<x 2<12<x 3<1，且x 2，x 3关于x ＝12对称，所以x 2＋x 3＝1，当－2x ＝14时，解得x ＝－18，∴－18<x 1<0，∴78<x 1＋x 2＋x 3<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫78，11．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.3．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：2.8 函数与方程 word版含答案
第八节函数与方程函数的零点与方程的根(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函数的零点1．函数的零点(1)定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0) (x1,0)无交点零点个数210 易误提醒1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．所以f (a )·f (b )＜0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件． 必记结论 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．[自测练习]1．函数y ＝|log 2x |－⎝⎛⎭⎫12x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：令y ＝|log 2x |－⎝⎛⎭⎫12x＝0，即|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下作出y ＝|log 2x |和y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．答案：C2．(2016·东城期末)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f ′(x )＝e x ＋12＞0，∴f (x )在R 上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －32＞0，∴零点在区间⎝⎛⎭⎫12，1上． 答案：B知识点二 二分法 二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．必备方法 用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．[自测练习]3．根据下面表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋212345A.(1,2) C ．(－1,0)D ．(2,3)解析：本题考查二分法的应用．令f (x )＝e x －x －2，则由表中数据可得f (1)＝2.72－3＜0，f (2)＝7.39－4＞0，所以函数f (x )的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．答案：A 、考点一 判定函数零点所在区间|1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．答案 C2．(2015·上海二模)若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：由题意知f (－1)f (1)＜0，即(1－a )(1＋a )＜0，解得a ＜－1或a ＞1. 答案：C3．(2015·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的， ∴函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． 答案：B确定函数f (x )的零点所在区间的两种常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二 判断函数零点个数|(1)(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 分别画出函数f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点，故选A.[答案] A(2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ＞0，0， x ＝0，－1， x ＜0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 本题考查新定义创新能力、函数零点的个数．①当ln x ＞0，即x ＞1时，f (x )＝1－ln 2 x ，令1－ln 2 x ＝0，得x ＝e ，即此时有一个零点；②当ln x ＝0，即x ＝1时，f (x )＝－ln 2 x ，令－ln 2 x ＝0，得x ＝1，此时也有一个零点；③当ln x ＜0，即0＜x ＜1时，f (x )＝－1－ln 2 x ，令－1－ln 2 x ＝0，无解，即当0＜x ＜1时，函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2 x 没有零点．综上，函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2 x 的零点个数为2.故选B.[答案] B函数零点个数的三种判断方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2015·辽宁三校联考)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1x的图象，如图，观察它们与直线y ＝－x 的交点情况可知a ＜b ＜c .答案：A考点三 函数零点的应用|(2015·高考北京卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＜1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.作出函数f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1. (2)当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a ＜1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1≤2a 21－a ＞0，解得12≤a ＜1.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)． [答案] (1)－1 (2)[12，1)∪[2，＋∞)已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0) B.⎝⎛⎭⎫－72，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－72∪(－1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－72，－1 解析：本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x ∈(0,1]时，f (x )＝1－x 2＋x 2＋kx ＝kx ＋1，此时方程f (x )＝0有一个零点－1k ；当x ∈(1,2)时，f (x )＝g (x )＝x 2－1＋x 2＋kx ＝2x 2＋kx－1.∵g (x )＝2x 2＋kx －1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＜0，g (2)＞0，0＜－1k ≤1，解得－72＜k ＜－1，故选D.答案： D7.转化法求解二次方程根的分布问题【典例】 (2015·烟台莱州一中月考)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是________．[思路点拨] 由条件知，构造f (x )＝x 2－2mx ＋4问题转化为二次函数f (x )的零点问题，数形结合写出条件可求解．[解析] 令函数f (x )＝x 2－2mx ＋4，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＜0，f (2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2m ＋4＜0，4－4m ＋4＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m＞52，m＞2，即m ＞52.[答案] (52，＋∞)[方法点评] 二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合，从判别式Δ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证．[跟踪练习] 方程x 2－2ax ＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (6)＜0，f (8)＞0.解得103＜a ＜174.答案：⎝⎛⎭⎫103，174A 组 考点能力演练1．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．答案：B2．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.答案：A3．设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0解析：依题意，f (0)＝－3＜0，f (1)＝e －2＞0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0＜a ＜1.g (1)＝－3＜0，g (2)＝ln 2＋3＞0，函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1＜b ＜2，于是有f (b )＞f (1)＞0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )＜g (1)＜0，g (a )＜0＜f (b )．选A.答案：A4．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a (a >0且a ≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a ＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象与y 轴交于点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a ＞1.答案：C5．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( )A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内解析：本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B.答案：B6．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，17．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1＜0， f (2.5)＝2.53－10＞0.从而下一个有根的区间为(2,2.5)． 答案：(2,2.5)8．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.解析：∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 答案：59．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．解：令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (4)<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0.解得－1913<m <0，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1913，0. 10．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)的一个零点是1，且函数g (x )＝f (x )＋1也有零点． (1)证明：－3＜c ≤－1，且b ≥0；(2)若m 是函数g (x )的一个零点，试判断f (m －4)的正负并加以证明．解：(1)证明：由f (1)＝0，得b ＝－c ＋12.又c ＜b ＜1，故c ＜－c ＋12＜1，∴－3＜c ＜－13.方程f (x )＋1＝0有实根，即方程x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根， 故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即c 2－2c －3≥0. ∴c ≥3，或c ≤－1，又－3＜c ＜－13，所以－3＜c ≤－1. 又b ＝－c ＋12，∴b ≥0.(2)∵f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x －c )(x －1)，且m 是函数g (x )＝f (x )＋1的一个零点， ∴f (m )＝－1＜0，故c ＜m ＜1. ∴c －4＜m －4＜－3＜c .∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)＞0， 所以f (m －4)的符号为正．B 组 高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A.答案：A2．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎫0，74D.⎝⎛⎭⎫74，2解析：函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )有4个交点，故选D.答案：D3．(2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4cos 2 x 2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．解析：因为f (x )＝4cos 2 x 2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|图象的交点的个数．函数y ＝sin 2x与y ＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：24．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则a 的取值范围是________．解析：令 φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)5．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程教学案理新人教版
第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C [由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，∴f (x )的零点所在的区间为(2,3)．]3．(教材改编)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0， 故函数f (x )在区间[1,6]内至少有3个零点．]4．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有________个．1 [如图所示，函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点有1个．]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线， 由题意可得f (－1)·f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]判断函数零点所在的区间1．函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [由题意知函数f (x )是增函数，因为f (1)＜0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a ，b )(b ，c )内分别存在一个零点； 又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]3．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z)内，那么k ＝________.5 [∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5.]解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断利用零点存在性定理进行判断数形结合画出函数图象，通过观察图象与判断函数零点的个数【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(1)D (2)C [依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D. (2)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点． 当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3，分别画出函数y＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.]直接求零点，令x＝零点存在性定理，要求函数在区间a f b ＜再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.(1)0.5A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0 ，－2＋x ＝0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]函数零点的应用【例2】 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． (1)A (2)(3，＋∞) [(1)∵f (x )＝e x＋x －2， ∴f ′(x )＝e x＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，又f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0，且f (a )＝0，∴0＜a ＜1.∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1x＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0，g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0，∴1＜b ＜2，∴a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f b ＞f a ＝0，g a ＜g b ＝0.故选A.(2)画出f (x )的草图如图所示，若存在实数b ，使得f (x )＝b 有3个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0， 又m ＞0，解得m ＞3.]直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解(1)c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(1)A (2)C [(1)在同一坐标系中，画出函数y ＝e x，y ＝ln x 与y ＝－x ，y ＝－1的图象如图所示． 由图可知a ＜b ＜c ， 故选A.(2)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12B.13C.12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．又－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C.]。
高考数学一轮复习 第二章函数2.9函数与方程教学案 理 新人教A版
2.9 函数与方程考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有____．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f(x)在区间______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴______，______________无交点的交点零点个数__________________(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间______，使区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点c；第三步，计算____；①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若________，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．1．在以下区间中，存在函数f(x)＝x3＋3x－3的零点的是( )．A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．[2,3] 2．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( )．A．(－2,6) B．[－2,6]C．{－2,6} D．(－∞，－2)∪(6，＋∞)3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )．4．(2012北京高考)函数f(x)＝12x－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．35x．一、函数零点的求解与判定【例1－1】 (2012湖北高考)函数f(x)＝x cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )．A．2 B．3 C．4 D．5【例1－2】已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是__________．方法提炼1．判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．2．函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．注意：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．请做演练巩固提升1二、二分法的应用【例2】在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为__________．方法提炼利用二分法求近似解需注意的问题：(1)第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)＜0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．提醒：(1)对于方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不一定是连续不断的图象，也不一定总有f(a)·f(b)＜0成立，如下图(1)(2)所示：请做演练巩固提升2三、函数零点的综合应用【例3－1】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【例3－2】设f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．方法提炼已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．请做演练巩固提升3函数零点命题的新考向【典例】已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________.解析：∵a＞2，∴f(x)＝log a x＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝log a2＋2－b，f(3)＝log a3＋3－b，∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜log a2＜1，－2＜2－b＜－1.∴－2＜log a2＋2－b＜0.又1＜log a3＜2，－1＜3－b＜0，∴0＜log a3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(2,3)必存在唯一零点．答案：2答题指导：1．本题避开函数的零点的常规命题考向：确定零点所在区间或判断零点的个数，而是通过以下两个角度进行命题：(1)改变了考查单一零点知识点的命题方式，而是与函数的单调性相结合命题．(2)改变了常规的考查方式，需要利用对数的运算性质及对数函数的单调性去探究零点所在区间．2．对函数的零点除掌握好常规的考向外，在复习中还应关注以下几个问题：(1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题．(2)与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题．(3)与导数的应用综合在一起的解答题．1．(2012湖北高考)函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )．A．4 B．5 C．6 D．72．在下列区间中，函数f(x)＝e x＋4x－3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 3．若f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－log 5|x －1|的零点个数是( )．A ．8B ．9C ．10D ．11参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)f (x )＝0 (2)x 轴 零点(3)f (a )·f (b )＜0 (a ，b ) f (c )＝0 c 2．(x 1,0) (x 2,0) (x 1,0) 2 1 0 3．(1)f (a )·f (b )＜0 一分为二 零点(2)f (a )·f (b )＜0 f (c ) f (c )＝0 f (a )·f (c )＜0 f (c )·f (b )＜0 基础自测1．C 解析：注意到f (－1)＝－7＜0，f (0)＝－3＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝11＞0，f (3)＝33＞0，结合各选项知，选C.2．D 解析：依题意，有Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即(m －6)(m ＋2)＞0，解得m ＞6或m ＜－2，选D.3．C 解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )＜0.A ，B 中不存在f (x )＜0，D 中函数不连续，故选C.4．B 解析：函数f (x )＝12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数即为方程12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y ＝12x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，两图象的交点个数即为f (x )＝12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数，如图所示，其零点个数为1.5．1.56 解析：由表中f (1.562 5)＝0.003，f (1.556 2)＝－0.029，可知零点近似值为1.56.考点探究突破 【例1－1】 D 解析：令f (x )＝x cos 2x ＝0，得x ＝0或cos 2x ＝0，故x ＝0或2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝0或x ＝k π2＋π4，k ∈Z .又x ∈[0,2π]，故k 可取0,1,2,3，故零点的个数为5.【例1－2】 (2,3) 解析：∵Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，∴要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)＜0，即(6－3k )·(12－4k )＜0，∴2＜k ＜3. ∴实数k 的取值范围为(2,3)．【例2】⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析：区间(1,2)的中点x 0＝32， 令f (x )＝x 3－2x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4＜0，f (2)＝8－4－1＞0，则根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【例3－1】解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＞0， ∴若实数a 满足条件．则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.【例3－2】解：令F (x )＝0，即log 2(2x －1)－log 2(2x＋1)－m ＝0，∴m ＝log 2(2x －1)－log 2(2x＋1)＝log 22x－12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1.∵1≤x ≤2，∴3≤2x＋1≤5. ∴25≤22x ＋1≤23. ∴13≤1－22x ＋1≤35. ∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，即log 213≤m ≤log 235.演练巩固提升1．C 解析：令f (x )＝x cos x 2＝0可得，x ＝0或cos x 2＝0，故x ＝0或x 2＝k π＋π2，k ∈Z .又x ∈[0,4]，则x 2∈[0,16]，则k ＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个数为6.2．C 解析：∵f (x )是R 上的增函数且图象是连续的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝14e ＋4×14－3＝14e －2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e ＋4×12－3＝12e －1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内存在唯一零点． 3．C 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，得14＜m ＜12.4．C 解析：由题意知偶函数f(x)的周期T＝2.在同一坐标系下作出函数f(x)及函数φ(x)＝log5|x－1|的图象如图所示，结合图象可知函数零点的个数为10，故选C.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材新高考新人教A版) 对数与对数函数
所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞).
思维升华
对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的 特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利 用数形结合法求解.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.( × )
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.( × )
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × )
(4)函数y＝log2x与y＝log 1
C.(0,1)
B.(1,3) D.(1，＋∞)
令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数. 又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减， 可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1， 故有a6>－12，a≥0， 解得 1<a≤3.
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝logax2－ax＋12 (a>0，且a≠1)有最小值， 则实数a的取值范围是_(_1_，___2_)_.
命题点3 对数函数的性质及应用 例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)
√A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， 当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数.
高三一轮复习教案-函数与方程
课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。
函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。
题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。
本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。
它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。
学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。
通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。
所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。
设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。
教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。
教学方法：讲练结合，师生互动。
教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。
过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。
情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。
教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。
难点：零点个数问题，含参数的零点问题。
教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用 新人教A版
2-8函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝(12)x－x13，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是( )A．(0，13) B．(13，12)C．(12，1) D．(1,2)[答案] B[解析] f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13－(13)13>0，f(12)＝(12)12－(12)13<0，∵f(13)·f(12)<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，∴函数f(x)在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象，∵ln e＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．(理)(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点[答案] B[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.3．(文)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．(理)(2011·深圳一检)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2012·河南六市模拟)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －1 x >12xx ≤1，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 [答案] B[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，又x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，∴f (x )的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g (x )的图象，可见y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝2x (x ≤1)有5个交点，y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝log 3(x －1)(x >1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f (x )＝x 3－4x 2－x ＋4不存在零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4][答案] C[解析] ∵f (0)＝4，f (1)＝0，f (3)＝－8<0，f (4)＝0，f (2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评] 注意，不能由f (2)＝－6<0，f (3)＝－8<0，做出判断f (x )在区间[2,3]内无零点．6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6 2 3 4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案] B[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．7．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立． 9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km ；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km ；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t3(t ≥0且t ∈N )， 200t 16×3≤P ≤200t15×3 (t ≥0且t ∈N )， 即37.5t ≤P ≤40t .又140t3>40t ，即W >P ， 所以使用液化气比使用汽油省钱． (2)①设37.5t ＋5000＝140t3，解得t ≈545.5， 又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546. ②设40t ＋5000＝140t3，解得t ＝750. 所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)(2012·天津理)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f (x )＝2x＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点，又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． [点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数． (理)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 x >0－x x ＋1 x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x－1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f (x )＝|x |x 不存在零点；f (x )＝12x －1＋12不存在零点；f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x 的定义域为全体实数，且f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，故此函数为奇函数，且令f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x ＝0，得x ＝0，函数f (x )存在零点；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性．14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 x ≤0f x －1＋1 x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x－1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.15．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400kg ，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400kg 不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400kg 原材料不需要保管，第二天用掉的400kg 原材料需保管1天，第三天用掉的400kg 原材料需保管2天，第四天用掉的400kg 原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400kg 原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x＋6x ＋594≥2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元． (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)． w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s)2＋10002s，当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)．(2)设农场净收入为v 元， 则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s )2代入上式， 得v ＝10002s－2×10003s 4.又v ′＝－10002s 2＋8×10003s5＝100028000－s 3s 5，令v ′＝0，得s ＝20. 当0<s <20时，v ′>0； 当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入． *16.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，证明方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)；(3)是否存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足以下条件：①当x ＝－1时，函数f (x )有最小值0；②对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为f (－1)＝0， 所以a －b ＋c ＝0，故b ＝a ＋c .因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2. 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 1－f x 22，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 2－f x 12，因为g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0(f (x 1)≠f (x 2))，所以g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．(3)假设a 、b 、c 存在，由①得－b 2a ＝－1，4ac －b 24a＝0，即b ＝2a ，b 2＝4ac ，所以4a 2＝4ac ，故a ＝c .由②知对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.令x ＝1，得0≤f (1)－1≤0，所以f (1)－1＝0，即a ＋b ＋c ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，b ＝2a ，a ＝c ，解得a ＝c ＝14b ＝12.当a ＝c ＝14，b ＝12时，f (x )＝14x 2＋12x ＋14＝14(x ＋1)2，其顶点为(－1,0)满足条件①，又f (x )－x ＝14(x －1)2，所以对任意x ∈R ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2，满足条件②.所以存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足条件①②.1．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2a －1b －1＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b 1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2．(2011·温州十校模拟)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)[答案] B[解析] 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①若对称轴4－m2m ≥0即0<m ≤4，结论显然成立；②若对称轴4－m2m <0，即m >4，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8.综上0<m <8，选B.3．(2011·江南十校联考)定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对[答案] C[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x )＝x 3的定义区间为[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．4．(2012·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x 在[0，103上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝(110)x 的图象可知，方程f (x )＝(110)x 在x ∈[0，103时有3个根．[点评] 要注意在x ∈(3，103]时方程无解． 5．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，a ≠1)，那么函数f (x )的零点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0<a <1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．6．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116 D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1＋a －b ≤0，f 2＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为11167．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ，x ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1，x ∈0，＋∞，若方程f (x )－m ＝0有且仅有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m ≤1B ．－1<m <0或m ＝1C ．－1<m ≤0或m ＝1D ．－1<m ≤1[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－xx ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1 x ∈0，＋∞，∴当x ≤0时，f (x )＝11－x单调递增，且0<f (x )≤1，又x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ≥1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－1，∴当m ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有两个交点，当－1<m ≤0时，直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有两个交点，故选C.8．(2011·龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a ≤12)、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD .设此矩形花园的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花园内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )[答案] C[解析] 设BC ＝x ，则DC ＝16－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，16－x ≥4，得a ≤x ≤12，矩形面积S ＝x (16－x ) (a ≤x ≤12)，显然当a ≤8时，矩形面积最大值u ＝64，为常数，当a >8时，在x ＝a 时，矩形面积取最大值u ＝a (16－a )，在[a,12]上为减函数，故选C.9．(2012·湖南文)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8 [答案] B[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等． 由x ∈(0，π)，x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0知， 当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈(π2，π)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x∈(－π，0)时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y＝f(x)示意图如下：而y＝f(x)－sin x的零点个数，即f(x)＝sin x的根，即y＝sin x与y＝f(x)图象交点个数．由图象知有4个交点．10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.①有三个实根②当x<－1时，恰有一实根③当－1<x<0时，恰有一实根④当0<x<1时，恰有一实根⑤当x>1时，恰有一实根正确的有________．[答案] ①②[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x )＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)>0.所以f (x )＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f (x )＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f (1)>0结合图象知，f (x )＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．11．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10 7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P (x )＝1007x制作200把椅子所需时间为Q (x )＝2001030－x ＝2030－x， 完成全部任务所需的时间为P (x )与Q (x )的最大值F (x )．为求得F (x )的最小值，需满足P (x )＝Q (x )，即1007x ＝2030－x，解得x ＝12.5， 考虑到x 表示人数，所以x ∈N *.∵P (12)>P (13)，Q (12)<Q (13)，故考查P (12)与Q (13)．P (12)＝10084Q (13)＝2017≈1.18. 即F (12)>F (13)．所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．。
高三数学一轮复习精品教案1：2.8函数与方程教学设计
2.8函数与方程1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与零点的关系3．二分法对于在区间『a ，b 』上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误为函数点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间『a ，b 』上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，如图所示．所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间『a ，b 』上有零点的充分不必要条件． 『试一试』1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 『解析』∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.『答案』0，－122．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是________．(填序号) ①(－2，－1) ②(－1,0) ③(0,1) ④(1,2)『答案』②1．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a，b』上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．三个等价关系(三者相互转化)3．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间『a，b』，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．『练一练』(2014·南京一模)若方程lg|x|＝－|x|＋5在区间(k，k＋1)(k∈R)上有解，则满足所有条件的k 的值的和为________．『解析』利用数形结合思想，画出草图(如图)即可知方程在(－5，－4)，(4,5)这两个区间上有解，即此时k＝－5，k＝4，从而满足所有条件的k的值的和为－1.『答案』－11.函数f (x )＝x 2－3x －18在区间『1,8』上________(填“存在”或“不存在”)零点． 『解析』法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0， f (8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， x ∈『1,8』，∴(x －6)(x ＋3)＝0. ∵x ＝6∈『1,8』，x ＝－3∉『1,8』， ∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』存在零点． 『答案』存在2．(2013·徐州期中)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________.『解析』记f (x )＝e x －x －2，则从表中数据可知f (1)<0，f (2)>0，所以k 的值为1. 『答案』13．(2014·朝阳模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．『解析』由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 『答案』(0,3)『备课札记』 『类题通法』判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．『典例』(1)(2014·镇江模拟)方程2x－x＝2的实根个数为________．(2)(2013·南通三模)在区间『－a，a』(a>0)上不间断的偶函数f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间『0，a』上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间(－a，a)上零点的个数是________．『解析』(1)由2x－x＝2得2x－2＝x.设f1(x)＝2x－2，f2(x)＝x.在同一直角坐标系中画出两函数图像可观察得出有一个交点．即原方程只有1个实根．(2)由于f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间『0，a』上是单调函数，故函数f(x)在(0，a)上有且仅有一个零点．又由于函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在(－a,0)上有且仅有一个零点，从而函数f(x)在区间(－a，a)上有2个零点．『答案』(1)1(2)2『备课札记』『类题通法』函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．『针对训练』(2013·镇江12月统考)方程x＋log2x＝0的根的个数为________．『解析』由x＋log2x＝0，得log2x＝－x，画出等号两侧在(0，＋∞)上的函数图像即可得出原方程有1个根．『答案』1『典例』若函数f(x)＝x ln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．『解析』令g(x)＝x ln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x <1e ；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e 时，函数g (x )单调递增，由此可知当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.『答案』 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 『备课札记』『解析』函数f (x )＝ln x －x －a 的零点，即为关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程ln x －x －a ＝0，化为方程ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝ln x 相切时有a ＝－1，所以关于x 的方程ln x －x －a ＝0有两个不同的实根，实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 『答案』(－∞，－1) 『类题通法』已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 『针对训练』(2013·南京三模)已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图像恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是____________．『解析』在直角坐标系中，作出函数f (x )的图像(如图)，欲使函数y ＝mx 与y ＝f (x )的图像恰有3个不同的公共点，只需直线y ＝mx 与f (x )的图像在第一象限内有两个公共点即可．于是联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋1，y ＝mx ，得x 2－2mx ＋2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.『答案』(2，＋∞)『课堂练通考点』1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．『解析』当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 『答案』02．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是『－1,1』上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在『－1,1』内有________个不同的实数根．『解析』由f (x )在『－1,1』上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在『－1,1』上有唯一实数根． 『答案』13．(2013·苏锡常镇二调)方程x lg(x ＋2)＝1有________个不同的实数根． 『解析』方程变形为lg(x ＋2)＝1x ，根据函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的定义域为(－2，＋∞)的图像(如图)的交点个数知方程根的个数． 『答案』24．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．『解析』由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 『答案』(2,3)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．『解析』∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.8 函数与方程
典例精析
题型一 确定函数零点所在的区间
【例1】已知函数f (x)＝x ＋log2x ，问方程f(x)＝0在区间[14
，4]上有没有实根，为什么？ 【解析】因为f (14)＝14＋log214＝14－2＝－74
＜0， f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f(14)f(4)＜0，又f(x)＝x ＋log2x 在区间[14
，4]是连续的， 所以函数f(x)在区间[14，4]上有零点，即存在c ∈[14
，4]，使f(c)＝0， 所以方程f(x)＝0在区间[14
，4]上有实根. 【点拨】判断函数f(x)的零点是否在区间(a ，b)内，只需检验两条：①函数f(x)在区间(a ，b)上是连续不断的；②f(a) f(b)＜0.
【变式训练1】若x0是函数f(x)＝x ＋2x －8的一个零点，则[x0](表示不超过x0的最大整数)＝ .
【解析】因为函数f(x)＝x ＋2x －8在区间(－∞，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点x0，所以[x0]＝2. 题型二 判断函数零点的个数
【例2】判断下列函数的零点个数.
(1)f(x)＝x2＋mx ＋(m －2)；
(2)f(x)＝x －4＋log2x.
【解析】(1)由Δ＝m2－4(m －2)＝(m －2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx ＋(m －2)＞0有两个不同的零点.
(2)因为函数f(x)＝x －4＋log2x 在区间(0，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点.
【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法：
(1)方程f(x)＝0的根的个数即为函数f(x)的零点个数；
(2)函数f(x)与x 轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；
特殊情况下，还可以将方程f(x)＝0化为方程g(x)＝h(x)，然后再看函数y ＝g(x)与y ＝h(x)的交点个数.
【变式训练2】问a 为何值时，函数f(x)＝x3－3x ＋a 有三个零点，二个零点，一个零点？
【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此时f(x)有极大值f(－1)＝2＋a ，极小值f(1)＝－2＋a.由图象(图略)得知：
当－2＜a ＜2时，函数f(x)有三个零点；
当a ＝－2或a ＝2时，函数f(x)有两个零点；
当a ＜－2或a ＞2时，函数f(x)有一个零点.
题型三 利用导数工具研究函数零点问题
【例3】设函数f(x)＝x3＋2x2－4x ＋2a.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)关于x 的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a 的取值范围.
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x －4.
由f′(x)＞0，得x ＜－2或x ＞23；由f′(x)＜0，得－2＜x ＜23
. 故f(x)的递增区间为(－∞，－2)、(23
，＋∞)， f(x)的递减区间为(－2，23
). (2)由f(x)＝a2⇔x3＋2x2－4x －a2＋2a ＝0，
令g(x)＝x3＋2x2－4x －a2＋2a.
所以g′(x)＝3x2＋4x －4.
由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(23，＋∞)上递增，在(－2，23
)上递减，故g(x)在[－3， －2]和[23，2)上为增函数，在[－2， 23
]上为减函数. 关于x 的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个不同的零点，则
解得－2＜a≤－1或3≤a＜4.
【点拨】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数f(x)的大致图形，找到满足题设的a 的条件.
【变式训练3】已知函数f(x)＝x33＋12
ax2＋2bx ＋c 的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若x1和x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b －2a －1
的取值范围为( ) A.(－1，－14
) B.(－∞，14)∪(1，＋∞) C.(14，1) D.(14
，2) 【解析】因为f′(x)＝x2＋ax ＋2b ，由题意可知，
画出a ，b 满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，b －2a －1
表示可行域内的点与点D(1,2)的连线的斜率，记为k ，观察图形可知，kCD ＜k ＜kBD ，而kCD ＝
2－11－(－3)＝14，kBD ＝2－01－(－1)＝1，所以14＜b －2a －1
＜1，故选C. 总结提高
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x 轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a ，b)内有零点时，未必f(a) f(b)＜0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.。