15.4正弦定理、余弦定理(第2课时)
中职数学教案：正弦定理、余弦定理(全4课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2备课纸课时总编号：
备课组别数学
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日期
第课时课型
主备
教师
课
题：
§15.4正弦定理、余弦定理(第1课时)
教学目标1.了解正弦定理在生活中的实用性；
2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解决实际问题；
3.掌握由正弦定理推导的三角形面积公式及运用。
重点正弦定理
难点应用正弦定理解决实际问题
教法讲练结合
教学
设备
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程个案补充
教学内容【课前导学】
1.在我国古代有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的？
【设计意图】：
让学生了解与正弦定理有关的问题，提高学习兴趣。
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第07讲 正弦定理和余弦定理(二)
第7讲 正弦定理和余弦定理（二）
例1（1）如图，在矩形ABCD 中，过点C 作对角线BD 的垂线，垂足为P ；过点P 作PE ⊥
AD 于E ，PF ⊥AB 于F
=
（2）如图，点A 在半径为R 的⊙O 上，以A 为圆心，r 为半径作⊙A ，设⊙O 的弦PQ 与⊙A 相切，求证：PA QA ⋅为定值．
（3）如图，AB 、CD 为⊙O 的半径，P 为劣弧AD 上任意一点，PM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ，AH ⊥CD 于点H ，求证：MN =AH ．
E
C
例2（1）如图，BE 、CD 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，M 是BC 边中点，则△MDE 的外接圆的面积与△ABC 的外接圆的面积之比为 ；
（2）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P A 切⊙O 于A ，交BC 延长线于P ，若P A =7，AC =5，∠ACP =120°，则⊙O 的半径R = ；
（3）△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中b <c ，AD 是角平分线，若AB 、AC 边（不包括端点）上分别存在一点E 、F ，满足BE =CF ，∠BDE =∠CDF ，试用a 、b 、c 表示BE 的长．
A
P
B
B。
正弦定理和余弦定理(二)
正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(优质试题·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372 C ．9D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________. [解析] (1)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372.法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴t a n B ＝3，∵B ∈()0，π，∴B ＝π3. [答案] (1)B (2)π3 [变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________.解析：因为sin C ＝2sin A ，所以c ＝2a ，所以a ＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：152.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________． 解析：∵B ＝π3且C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1t a n A .∵0<t a n A <33，∴1t a n A >3， ∴c a >12＋32×3＝2，即c a >2. 答案：(2，＋∞)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5. ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考点二 平面图形中的计算问题[典例] (优质试题·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12. (2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ， ① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC＝AB sin ∠BCA，即AC sin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin θ，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255. [解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ， ∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3. 在△ABD 中，c os ∠ADB ＝a 2＋4a23－a 22a ×2a 3＝33， ∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC， ∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66. 答案：662.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD－6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以c os ∠AEB ＝c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47. 考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12[解析] (1)在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角．又因为sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，22，所以A ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4. (2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C.[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.2．(优质试题·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]． 答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos Cc ＝sin A3sin C. (1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334， 当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (优质试题·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B . 又因为b sin A ＝ac os ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 所以a sin B ＝ac os ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以t a n B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝ac os ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2c os 2A －1＝17. 所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (优质试题·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝c os 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0.(1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0，所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0，由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0，即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A .所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f(x)＝12sin 2x－32cos 2x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3，令2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ＋5π12(k∈Z)，即当x＝kπ＋5π12(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.[课时跟踪检测]A级1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc ＝2，则△ABC的面积为()A.12 B.14C．1 D．2解析：选A由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝12(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×2×12＝12.2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(2a＋c)cos B＋b cos C＝0，则角B的大小为()A.π6 B.π3C.2π3 D.5π6解析：选C由已知条件和正弦定理，得(2sin A＋sin C)cos B＋sin B cos C＝0.化简，得2sin A cos B＋sin A＝0.因为角A为三角形的内角，所以sin A≠0，所以cos B＝－12，所以B＝2π3.3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝22 3，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为() A．6 B．3。
正弦定理和余弦定理讲解
正弦定理和余弦定理讲解⼀、学习⽬标1. 掌握正弦定理、余弦定理和三⾓形的⾯积公式，并能应⽤这些公式解斜三⾓形.2. 能正确理解实际问题中仰⾓、俯⾓、视⾓、⽅位⾓及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.3. 能熟练应⽤正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、⼏何等⽅⾯的问题.4. 在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能⼒.⼆、重点、难点重点：正、余弦定理及其证明；⽤正弦定理、余弦定理解三⾓形. 难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.三、考点分析本章是在学习了三⾓函数、平⾯向量等知识的基础上，进⼀步学习如何解三⾓形的.正、余弦定理是我们学习三⾓形相关知识的延续和发展，这些定理进⼀步揭⽰了三⾓形边与⾓之间的关系，在⽣产、⽣活中有着⼴泛的应⽤，是我们求⾓三解形的重要⼯具，本章内容经常会与三⾓部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.1. 正弦定理（1）正弦定理在⼀个三⾓形中，各边和它所对⾓的正弦的⽐相等，即在ABC ?中R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ?外接圆半径），上式对任意三⾓形均成⽴.（2）利⽤正弦定理可以解决如下有关三⾓形的问题：①已知三⾓形的两⾓和任⼀边，求三⾓形的其他边与⾓；②已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓，求三⾓形的其他边和⾓. 2.余弦定理（1）余弦定理：三⾓形任⼀边的平⽅等于其他两边的平⽅和减去这两边与它们夹⾓的余弦的积的两倍.即在ABC ?中，Cab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=余弦定理还有另⼀种形式：若令?=90C ，则222b ac +=，这就是勾股定理.abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=（2）利⽤余弦定理，可以解决以下两类三⾓形的相关问题：①已知三边，求三个⾓；②已知两边和它们的夹⾓，求第三边和其他两个⾓. 3. 在解三⾓形问题时，须掌握的三⾓关系式在ABC ?中，以下的三⾓关系式，在解答有关的三⾓形问题时经常⽤到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运⽤.（1）π=++C B A ；（2）C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；（3）2cos 2sinC B A =+，2sin 2cos CB A =+；（4）C ab S sin 21=?，A bc S sin 21=?，B ac S sin 21=?.4. 实际应⽤问题中的有关名词、术语（1）仰⾓和俯⾓：与⽬标视线在同⼀铅垂平⾯内的⽔平视线和⽬标视线的夹⾓，⽬标视线在⽔平视线上⽅时叫仰⾓，⽬标视线在⽔平视线下⽅时叫俯⾓.（2）⽅向⾓：从指定⽅向线到⽬标⽅向线的⽔平⾓. （3）⽅位⾓：从指定⽅向线顺时针到⽬标⽅向线的⽔平⾓. （4）坡度：坡⾯与⽔平⾯所成的⼆⾯⾓的度数. 5. 须熟悉的三⾓形中的有关公式解斜三⾓形时主要应⽤正弦定理和余弦定理，有时也会⽤到周长公式和⾯积公式，⽐如：c b a P ++=（P 为三⾓形的周长） a ah S 21=（a h 表⽰a 边上的⾼）A bcB acC ab S sin 21sin 21sin 21===R abc S 4=（可⽤正弦定理推得）)(21c b a r S ++=（r 为内切圆半径）此处还须熟悉两⾓和差的正弦、余弦、正切及⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式. 6. 关于已知两边和其中⼀边的对⾓，解三⾓形的讨论已知两边和其中⼀边的对⾓，不能唯⼀确定三⾓形的形状，解这类三⾓形问题的过程中将出现⽆解、⼀解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即表⽰了在ABC ?中，已知a 、b 和A ∠时解三⾓形的各种情况当A ∠为锐⾓时，当A ∠为直⾓或钝⾓时知识点⼀：正弦定理与余弦定理例1：已知ABC 中，A ?=60，，求思路分析：可通过设⼀参数k(k>0)使，证明出即可.解题过程：设()0sin >==k k Cc则有，，从⽽== ⼜k ==?=260sin 3，所以=2解题后反思：ABC 中，等式恒成⽴.（1）定理的表⽰形式：；或，，（2）正弦定理的应⽤范围：①已知三⾓形的两⾓和任⼀边，求其他两边及⼀⾓；②已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓，求另⼀边及⾓.例2：在ABC 中，已知，，?=45B ，求b 及A 的值. 思路分析：本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件. 解题过程：∵=cos45° == 8 ∴求可以利⽤余弦定理，也可以利⽤正弦定理：解法⼀：∵cos ∴?=60A . 解法⼆：∵??==45sin 2232sin sin B b a A ，⼜∵＞+=，＜∴＜，即?0＜＜?90 ∴?=60A解题后反思：使⽤解法⼆时应注意确定A 的取值范围.例3：在△ABC 中，已知a=，b =，B =45°，求A 、C 及c .思路分析：这是⼀道已知两边及⼀边的对⾓解三⾓形的问题，可⽤正弦定理求解，但先要判定△ABC 是否有解，有⼏个解，亦可⽤余弦定理求解. 解题过程：∵B =45°<90°，且b由正弦定理得：sin A =，∴A =60°或120°.①当A =60°时，C =75°c =. ②当A =120°时，C =15°c =.故A =60°，C =75°，c =或A =120°，C =15°，c =.解题后反思：因sin A =sin(π－A )，故在解三⾓形中要考虑多种情况，灵活使⽤正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应.知识点⼆：三⾓形中的⼏何计算例4：已知△ABC 中，2（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为. （1）求∠C ；（2）求△ABC ⾯积的最⼤值.思路分析：利⽤正、余弦定理可以进⾏边⾓互化，解题时要注意有意识地进⾏边⾓关系的统⼀.解题过程：（1）由2（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB 得2（－）=（a －b ）.⼜∵R=，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cos C==. ⼜∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）ABC S ?=absinC =×ab=2sinAsinB=2sinAsin （120°－A ） =2sinA （sin120°cos A －cos120°sin A）=3sinAcosA+sin 2A =sin2A －cos2A+=sin （2A －30°）+. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =.解题后反思：求最值往往是先建⽴函数关系式，然后借助函数的⽅法去求解.例5：在△ABC 中，a 、b 、c 分别为⾓A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+A C B . （1）求⾓A 的度数；（2）若a =，b +c =3，求b 和c 的值.思路分析：在三⾓形的求解中，会经常⽤到π=++C B A ，显然把B C +转化成A π-可是解题过程更为简便. 解题过程：（1）由272cos 2sin42=-+A C B 及?=++180C B A ，得： ()[]271cos 2cos 122=+-+-A C B ，()5cos 4cos 142=-+A A即01cos 4cos 42=+-A A ，21cos =∴A ， ?<a cb A 2cos 222-+=21cos =A Θ，212222=-+∴bc a c b ，()bc a c b 322=-+∴.3=a ，3=+c b 代⼊上式得：2=bc由??==+23bc c b 得：==2c a b 或==12c b .解题后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三⾓形中应⽤得⽐较⼴泛，应熟练掌握这些定理.此外，还须熟悉两⾓和差的正弦、余弦、正切及⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式.知识点三：应⽤性问题例6：如图，A ，B ，C ，D 都在同⼀个与⽔平⾯垂直的平⾯内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于⽔⾯A 处测得B 点和D 点的仰⾓分别为?75，?30，于⽔⾯C 处测得B 点和D 点的仰⾓均为?60，AC=0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，，）思路分析：解斜三⾓形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出⼀个或⼏个三⾓形，然后通过解这些三⾓形，得出所要求的量，从⽽得到实际问题的解. 解题过程：在△ADC 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=?30，所以CD=AC= ⼜∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，在△ABC 中，即AB=2062315sin 60sin +=??AC ，因此，BD=故B ，D 的距离约为0.33km.解题后反思：利⽤正弦定理和余弦定理解三⾓形的常见问题有：测量距离问题、测量⾼度问题、测量⾓度问题、计算⾯积问题、航海问题、物理问题等.解三⾓形的相关题⽬时应根据已知与未知条件，合理选择使⽤正、余弦定理，使解题过程简洁，并达到算法简炼，算式⼯整、计算准确.解斜三⾓形应⽤题的步骤：①准确理解题意，分清已知和未知条件，准确理解应⽤题中的有关名词、术语，如仰⾓、俯⾓、视⾓、⽅向⾓、⽅位⾓及坡度、经纬度等；②根据题意画出图形；③将要求解的问题归结到⼀个或⼏个三⾓形中，通过合理运⽤正弦定理、余弦定理等有关知识建⽴数学模型，然后正确求解，最后作答.（答题时间：45分钟）⼀、选择题1. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（） A. 30°B. 45°C. 60°D. 120° 2. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°，C=45°，则c 等于（） A. 310+B. ()1310-C. 13+D. 3103. 在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 30°或150°4. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三⾓形的解的情况是（）A. ⽆解B. ⼀解C. 两解D. 不能确定5. 在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则⾓A 为（）A.3π B.6π C. 32π D. 3π或32π6. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（）A. 等腰三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 等腰直⾓三⾓形D. 等腰或直⾓三⾓形⼆、填空题7. 在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则=c b a ::________. 8. 在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝________.9. 在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝______；b ＝________. 10. 已知△ABC 中，===A b a,209,181121°，则此三⾓形解的情况是________. 11. 已知三⾓形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三⾓形的外接圆半径为________.12. 在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最⼤内⾓的度数是________.三、解答题13. 在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应⾓C 的度数.14. 在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是⽅程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A .求：（1）⾓C 的度数；（2）AB 的长度.15. 在△ABC 中，证明：22222211cos cos b a b B a A -=-. 16. 在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是⽅程02322=--x x 的⼀个根，求△ABC 周长的最⼩值.17. 在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. （1）判断△ABC 的形状；（2）在上述△ABC 中，若⾓C 的对边1=c ，求该三⾓形内切圆半径的取值范围.⼀、选择题⼆、填空题7. 2:3:1 8. 7 9. 61236-，24612-10. ⽆解 11. 112. 120°三、解答题13. 解：由正弦定理得BCBC A AB C 10sin sin == （1）当BC ＝20时，sinC ＝21；AB BC >Θ C A >∴ 30=∴C ° （2）当BC ＝3320时， sinC ＝23； AB BC AB <1； C ∴不存在14. 解：（1）()[]()21cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π∴C ＝120°（2）由题设：??==+232ab b a-+=-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a10=∴AB15. 证明：---=---=-22222222222222sin sin 211sin 21sin 21cos cos b B a A b a b B a A b B a A , 由正弦定理得：2 222sin sin b Ba A =, 22222211cos cos b a b B a A -=-∴.16. 解：02322=--x x Θ,21,221-==∴x x , ⼜C cos Θ是⽅程02322=--x x 的⼀个根.21cos -=∴C由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=??--+=2222212 则：()()7551010022+-=--=a a a c当5=a 时，c 最⼩且3575==c 此时3510+=++c b a∴△ABC 周长的最⼩值为3510+17. 解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+可得12sin22=C0cos =∴C 即C ＝90° ∴△ABC 是以C 为直⾓顶点的直⾓三⾓形（2）内切圆半径 ()c b a r -+=21()1sin sin 21-+=B A 212214sin 22-≤-??+=πA ∴内切圆半径的取值范围是-212,0.。
正弦定理和余弦定理》(第2课时)
1.1.2 正弦定理利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a【变式练习】1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：⑴5=a ，4=b ，120=A ，求B⑵5=a ，4=b ，90=A ，求B⑶5=a ，3310=b ，60=A ，求B ⑷20=a ，28=b ，40=A ，求B⑸60=a ，50=b ，38=A ，求B⑹4=a ，3310=b ，60=A ，求B(⑴120=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示 ⑵ 90=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示⑶∵1sin =B ,即90=B ,∴仅有一解. 图示⑷即例2，先让学生判断，然后回忆对照。
再次理解本题有两解。
⑸即例3，先让学生判断，然后回忆对照。
再次理解本题仅有一解。
⑹由⑶改编，∵60sin 4b a <=，由图知，本题无解)2．已知A,B,C 是ABC ∆的三个内角，求证：cos cos a b C c B =+3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，求sin sin sin a b cA B C++++的值（*）4. 在ABC ∆中，求证tan2tan 2A Ba b A Ba b --=++作业：1. 在ABC ∆中,已知210=c ,︒=∠45A ,在a 分别为20, ,3320,和5的情况下,求相应的角C.2．在ABC ∆中，b=2a, B=A 60+︒,求A3.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若()C a c b +︒=-60cos 2，求角A ．(*)4..课本11页B 组 1。
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝a b ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________． 解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba ＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sinC sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BD sin A， ∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3， ∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2， 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
第二章用余弦定理正弦定理解三角形【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.
解如图所示:
激趣诱思
知识点拨
微练习3
请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.
解如图所示:
探究一
探究二
当堂检测
解三角形与三角形有关的几何计算
角度1 三角形中线段长度的计算
例1
在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,
当堂检测
反思感悟 1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,
一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解
决.
2.如图,点B为不可到达点,求A,B的距离的
具体解题步骤:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
(2)测量AC,∠BAC,∠BCA;
sin
B之间的
m,达到点B.
距离.
又因为AB=10,BC=20,∠ABC=120°,
南偏西44°50'方向上
例6地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40
若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的(
)
答案(1)C (2)等腰直角三角形
第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
冬奥会上,有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点,A与B相距100 m.
如果甲从A出发,以8 m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行,同时乙
从B出发,以7 m/s 的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行.
那么相遇时,甲滑行了多远呢?
激趣诱思
余弦定理、正弦定理(第二课时) 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修第二册
探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知Байду номын сангаас
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得 即 也即 所以 同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一 个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题， 还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间 的联系.
1
c
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？ 猜 想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现 转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂 小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）
思想方法
数形结合 分类讨论
作业
近测高塔远看山， 量天度海只等闲； 古有九章勾股法， 今看三角正余弦。
感谢观看！
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
高二数学余弦定理2
2
c a 2ac cos B
2 2
2 2 2
同理可证 a
c a b 2ab cosC
2 2 2
b c 2bc cos A
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2 2 2 2 cos A 即 a b c 2bc cos A 2bc
1.1.2 余弦定理 课件
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
a 即 sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R（R为△ABC外接圆半径）
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ,∴a2＝b2 ,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA ，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B 故此三角形是等腰三角形.
例1在Δ ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
b2 c2 a2 解：∵ cos A ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
a2 b2 c2 ∵cosC ＝0.8071， 2ab ∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
c sin A (∵sinC＝ a ≈0.5954,∴
=
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b2 c 2 a 2 cos A 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac a 2 b2 c 2 cos C 2ab
已知△ABC 中，已知 a 2 ， b 2 ， c 3 1 ． 求△ABC 的三个内角. b2 c 2 a 2 22 ( 3 1)2 ( 2)2 3 解：∵ cos A ， 2bc 2 2 2 ( 3 1) ∴ A 30 a 2 c 2 b2 2 ∵ cos B 2ac 2 ∴ B 45 ，
§15 三角函数及其应用
4.2余弦定理
复习回顾
a b c 正弦定理：sin A sin B sin C
2R
可以解决两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边。
（2）已知两边和一边的对角。
二、提出问题
那么，如果在一个三角形（非直角三角形）中，已 知两边及这两边的夹角(非直角），能否用正弦定 理解这个三角形，为什么？ A A
因为 AB=AC，所以 ABC 是等腰三角形.
4 在△ABC 中，已知 AB＝5， BC＝4，cosB= ， 5 证明△ABC 是直角三角形.
余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 应用：已知两边和一个夹角，求第三边． 利用余弦定
理还可以解决 什么类型的三 角形问题？
已知：b=8，c=3，A=60º，求a的值. 解： 根据余弦定理，有 a2＝b2＋c2－2bccosA ＝82＋32－2×8×3×cos60º ＝49 ∴a＝7.
c
b c
b
B a C a B C a b c 不能，在正弦定理 中，已知两边 及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两 个未知量。
sin A sin B C
三、概念形成
在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求BC
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2 (cbcos A)2
∴ C 180 ( A B) 180 (30 45 ) 105
△ABC 中， a 13 ， b 4 3 ， c 7 . 求三个内角．
在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，判断三角形的形状． 解：∵a2＝b2＋c2＋bc， ∴b2＋c2－a2＝－bc， 2 2 2 1 bc b c a ＜0 cos A 2 2bc 2bc ∵0＜A＜180º，∴90º＜A＜180º， ∴在△ABC是钝角三角形．
在 ABC 中，已知 a 3 3 ， c 2 ， B 150 ，求 b ．
1 在△ABC 中，已知 AC＝8，BC＝4，cosC= ， 4 证明△ABC 是等腰三角形.
解 由余弦定理知
AB2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos C 1 64 16 2 8 4 64 4 得 AB 8
C
2
2
2
b
A
a
B
a b c 2b c
| b | | c | 2 | b | | c | cos A
2 2
c
即： a
2
b c 2bc cos A
2 2
向量法
由此可明确
2
余弦定理
2 2
a b c 2bc cos A 2 2 2 b c a 2ca cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
在ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝5，判断三角 形的形状．
b c D a B
b2sin2Ac2b cos A2bccos A
2 2
A
b2c22bccos A
当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。
几何法
三、概念形成
那么，学过向量之后，能否用向量的方法证明余弦 定理呢？
∵
a bc
| a | a (b c )
2 2 2