南京大学物理竞赛光学--丁建平

4n02q
nA
n02
sin
2
a 7
例2、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地降
低： ny n0 qy ，在 xoy 平面内有一光线以入射角qo=30o 射向O
点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
解: 从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲， 而且是倾向于向折射率大的方向偏折。
Y
✓ 计算光线1和光轴上的光线 2的光程，起点分别取C、O，
终点F
光线1的光程： n CP PF
1 R
2 F
C P (x, y)
X O AB
光线2的光程：nOA AB BF
fn
其中： PF BF
Jianping Ding
d0
29
1的光程：n CP PF
其中：BF PF x f 2 y2
1
sin 2 q
1
n n0 4ay 1 9
例4、圆柱型光纤的纤芯半径为a，折射率介于n1和n2之间（1<n2<n1）
依 n ny n1 1 2 y2 渐变，n2为距轴线a处的折射率， 为常数，
包裹层折射率也为n2 。光纤置于折射率为n0的空气中，取Ox轴沿光
纤轴线方向，O为光纤端点的中心。假设 一束单色光从O点以入射
Jianping Ding
2
光的速度
✓ 介质中的速度： v 1
✓ 真空中的速度：c
1
2.9979108 m / s
00
✓ 折射率的定义： n c v
例如----空气：1.00029; 水：1.33; 玻璃 ~ 1.5
Jianping Ding
(可见光平均波长 l=550nm时）
3
折射率 n 与波长有关: n nl
差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n’ = - n，
结果如何？ 解：
折射定律
Y
C
AB
曲面法线方程 CC’曲线方程。
O
f
n n’
X F
用等光程原理求解本题更简单
Jianping Ding
C’
26
选取一条入射光线AB 和一条沿 X 轴的入射光线 Y
等光程：
A
C B:(x, y)
n AB n'BF n'OF
从图可知：光线 X 轴最远点 Y
为切线在水平方向时的切点处。 a0
沿Y 方向分割成一系列薄层，
X
应用折射定律。 q0 O
a
n0 sin a0 nsin a
ny n0 qy
由初始条件 求出a0:
sin 30o
Jianping Ding
n0 sin
90o
a0
a 90o时
n0
ymax
dD 0 dx
A
2x n1 h12 x2
n2
2a x h22 a x2
n1
h1
Y i1
X P:(x,0)O’
SO
a
i2
h2
n1sin i1 n2 sin i2 n2
Jianping Ding
P
B
24
✓ 费马原理在透镜成像中的运用 透镜成像时，物点到像点的光程取恒定值。
P
P’
平行光入射时：
✓
切线斜率
y'
dy dx
tan q
1
cos2 q
1
1
sin 2
2 y2
a0
1
y'2 1 2 y2 1
sin 2 a0
qi
Jianping Ding
y
a0 P(x, y)
q
O
a
n ny n1 1 2 y2
n0 n2
ax
n2 11
一阶微分方程
y'2
1 2y2 sin 2 a0
1
✓ 两边对x再求导一次
sin qiM n12 n22
vM
2cn2 n12 n22
Jianping Ding
qi O
n2
a
x1
n1
x
17
论题三、费马原理及其运用
A
B
✓ 从点到点所需时间：
t A B
B
dt
A
B ds
A
v
1 c
B
nds
A
✓ 光程：折射率 n 与路程 S 的积
✓ 费马原理： 光从某点传播到另一点的实际路径是使光程取极值
n02
1 4
q
8
例3、光从空气折射进透明介质，入射点折射率为n0，入 射角近似 p/2，介质折射率与介质高度 y 有关，当折射光 线的轨迹是抛物线 y=ax2 时，求折射率与高度 y 的关系。
解：
y
折射定律：n0 n sin q
光线切向斜率：
dy tga ctgq
dx
q a
x
2ax
Jianping Ding
nx n0 1 4qx
n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A
Jianping Ding
6
n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A
P点光线的方向由x 决定:
sin
x
n0 nx
1 1 4qx
Y
nx n0 1 4qx
a
P点光线的切线斜率 kp :
ax
qi O
Jianping Ding
n2 13
3) 在入射角qi 0 和 <= qiM条件下，确定光由 O点入射传
播到与Ox轴的第一个交点的时间τ
y
a sin qi
n12 n22
sin
n12 n22
n12 sin 2 qi
x a
✓ Oz 轴的第一个交点处：
n12 n22
n12 sin 2 qi
x0 c
0c
y
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
Jianping Ding
dy ds
a
dx
x1
O
x
n ny n1 1 2 y2
y
a sin qi
n12 n22
sin
n12 n22
n12 sin 2 qi
x
a15
✓利用积分 公式
dx 1 arcsin bx
a2 b2x2 x2dx
正 常 色 散 曲 线
nl
a
b
l2
色散现象
Jianping Ding
4
论题二、光在非均匀介质中的传播
光线在非均匀介质中的传播可以看成是连续折射的过 程，逐点运用折射定律可以追踪光线的轨迹。
n
半径
Jianping Ding
光在光纤中的传输
5
例1： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，
b x
a
a2
b2 x2
a2 arcsin
bx a
a2 b2x2
2b2
2b3
n x x1 ds
x1
n
x0 c
0c
1 y'2 dx
y
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
c
pan12
n12 n22
1
sin 2 qi
2n12
dy ds
dx
x1
O n ny n1 1 2 y2
B
Jianping Ding
逆向 A
B
20
例5、证明光从A点传播到B点遵从折射定律
证明：
✓ S ： n1与n2的分界面；
A
✓ O、O’: A、B在分界面
S上的垂点；
n1
✓ P: AO 和 BO’构成的平面
✓ 建立坐标系，折射点 P的坐标(x,y)
Jianping Ding
SO
n2 P
Y
P：(x,y)
a
x
Jianping Ding
y
a sin qi
n12 n22
sin
n12 n22
n12 sin 2 qi
x a16
4) qi ＝qiM时光信号沿光纤的传输速度（= x1/τ）
c
pan12
n12 n22
1
sin 2 qi
2n12
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
y
Jianping Ding
18
✓ 光程取极小值: 光的直线传播定律 ---- 光在均匀媒质中沿直线传播 A B
F1PF2的 F1PF2的
光 程 取
恒 定 值
光 程 取 极 大 值
Jianping Ding
19
✓ 透镜成像时，物点到像点的光程取恒定值。
P
P’
✓ Fermat原理
光传播的可逆性原理
正向 A
a0
n2
ax
输速度（定义为第一个交点x坐 标与时间τ的比值）
qi
O
n ny n1 1 2 y2
Jianping Ding
n2 10
解：入射点：x=0, y=0, sin qi n1 cosa0
折射级联性质：n1 sin a0 nx sin a
n n1 1 2 y2
n1 sin a0 n1 1 2 y2 sin a n1 1 2 y2 cosq
D n1 h12 x2 y2 n2 h22 a x2 y2
dDx, y
dy
A
n1
2y h12 x2 y2
n1
h1
2y
Y