第5章统计推断：参数估计
统计推断-参数估计
t（1-a/2，df）：t的分位值， 决定于置信度和自由度，可通 过查表得到。
19
利用t分布构建总体均值的置信区间
电阻的电阻值服从正态分布，抽取了10个电阻值的观察 值如下：
电阻值 608 630 610 636 637 610 626 602 604 636
n
Z的分位值，决定于置信度 当置信度为95%时，Z的 0.975的分位值为1.96
应用以上公式的前提条件为：
总体σ已知，或者 大样本（n≥30）
16
学生t分布
定义
设x1,x2…xn是来自正态总体N (, 2 )的一个样本, x 和S为样
本均值和标准差,则:
t x ~ t(n 1)
2
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2 (n 1) 表示为自由度为（n-1)的卡方分布,卡方分布有以下特
点:
非负非对称分布
21
卡方分布
利用卡方分布构建的总体方差(1-a)%置信区间公式如下:
(n 1)s2
2 (1 / 2, df
)
2
(n 1)s2
2 ( / 2, df
)
卡方的分位值可通过 查表得到.
代表性：所抽取样本能够代表所要研究的总体 随机性：总体中每一个个体都有相等的机会被选中 独立性：样本中一个个体被选中不影响另外一个个体被选中
的可能性
10
抽样分布
因为统计量从样本到样本是变化的，所以根据统计量 作出的任何推断必定带有不确定性，但这种不确定性 是有规律可循的，这种规律就体现在抽样分布中。
x
2 x
2
n
x
第二讲-第五章 t检验-2011
二、配对设计两样本平均数的差异显著性检验
非配对设计要求试验单位尽可能一致。如 果试验单位变异较大，如试验动物的年龄、体 重相差较大，若采用上述方法就有可能使处理 效应受到系统误差的影响而降低试验的准确性 与精确性。 为了消除试验单位不一致对试验结 果的影响，正确地估计处理效应，减少系统误 差，降低试验误差，提高试验的准确性与精确 性，可以利用局部控制的原则，采用配对设计。
表 非配对设计资料的一般形式
非配对设计两样本平均数差异显著性检 验的基本步骤如下：
（一）提出无效假设与备择假设
H0：1 2 ，H A：1 2
（二）计算t值 计算公式为：
t x1 x2 S x1x2
df (n1 1) (n2 1)
其中：
S x1x2
受 H A：1 2 ，表明长白后备种猪与蓝塘后
备种猪90kg背膘厚度差异极显著，这里表现 为长白后备种猪的背膘厚度极显著地低于蓝 塘后备种猪的背膘厚度。
【例5.4】 某家禽研究所对粤黄鸡进行饲 养对比试验，试验时间为60天，增重结果如 表5-4，问两种饲料对粤黄鸡的增重效果有无 显著差异？
一是非配对设计或成组设计两样本平均数差 异显著性检； 二是配对设计两样本平均数差异显著性检。
一、非配对设计两样本平均数的差异显著性检验 非配对设计或成组设计是指当进行只有两个处
理的试验时，将试验单位完全随机地分成两个组， 然后对两组随机施加一个处理。在这种设计中两组 的试验单位相互独立，所得的二个样本相互独立， 其含量不一定相等。非配对设计资料的一般形式见 下表。
两尾概率为0.01的临界t值：t0.01(18) =2.878，即：
P（|t|>2.101）= P（t>2.101） + P（t <-2.101）=0.05
统计推断中的参数估计一致性
统计推断中的参数估计一致性在统计学中，参数估计是一项重要的技术，用于从样本数据中推断总体参数的值。
参数估计的准确性和一致性是评估估计方法优劣的重要指标之一。
本文将探讨统计推断中的参数估计一致性。
一、参数估计和一致性的概念参数估计是通过对样本数据进行统计分析，对总体参数进行估计的过程。
在统计推断中，我们通常使用点估计和区间估计来估计未知参数。
点估计是通过从样本中计算得到的一个值作为总体参数的估计，例如，样本均值作为总体均值的估计。
点估计的一致性是指当样本容量逐渐增大时，估计值趋于总体参数的性质。
具体而言，若点估计的期望值等于被估计的总体参数，且随着样本容量的增加，点估计的方差趋于零，则称该点估计具有一致性。
区间估计是通过构造一个包含未知参数的区间来估计总体参数的范围，例如，通过样本数据构造一个置信区间。
一致性可以通过区间估计的置信水平和区间长度来评估，通常情况下，置信水平越高，区间长度越小，区间估计的一致性就越好。
二、最大似然估计与一致性最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过寻找使得观测数据出现概率最大的参数值来进行估计。
最大似然估计具有一致性，即当样本容量增大时，最大似然估计值收敛于总体参数的真值。
为了证明最大似然估计的一致性，我们可以利用辛钦大数定律和中心极限定理进行推导。
根据辛钦大数定律，当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于总体均值的分布。
而中心极限定理表明，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
因此，根据最大似然估计的一致性，我们可以得出结论：最大似然估计在满足一定条件下是一致的。
三、贝叶斯估计与一致性贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它基于贝叶斯定理和先验知识对参数进行估计。
与最大似然估计不同，贝叶斯估计引入了先验分布，使得参数估计更加灵活。
在贝叶斯估计中，参数的估计值是根据后验概率密度函数得到的，通常使用后验分布的均值或中位数作为参数的估计值。
贝叶斯估计也具有一致性，当样本容量增大时，后验分布收敛于总体参数的真值。
统计推断与参数估计方法
统计推断与参数估计方法统计推断是统计学中的一个重要分支，它的目标是通过对样本数据进行分析和推断，从而对总体进行推断和做出统计决策。
参数估计是统计推断的核心内容之一，它涉及到对总体的参数进行估计和推断。
本文将介绍统计推断的概念、方法以及参数估计的原理和常见方法。
一、统计推断概述统计推断是通过样本信息对总体进行推断的一种方法。
在现实生活中，很难获得总体数据，因此我们通常通过抽样来获取样本数据，然后根据样本数据对总体进行推断和做出统计判断。
统计推断可以分为两大类：参数推断和非参数推断。
参数推断是基于总体分布的假设，利用样本数据对总体参数进行推断。
非参数推断则不对总体分布做出假设，通过样本数据对总体分布进行推断。
二、参数估计原理参数估计是统计推断的一种重要方法，它的目标是通过样本数据对总体参数进行估计。
参数估计的核心思想是通过样本数据得到一个估计量，使得估计量与总体参数值尽可能接近。
常用的参数估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
最大似然估计是根据样本数据的含量，通过计算总体参数最可能出现的取值，来估计总体参数值。
矩估计是通过样本矩的函数与总体矩的函数相等来估计总体参数值。
贝叶斯估计则是利用贝叶斯定理，根据已有信息和先验概率对总体参数进行估计。
三、常用的参数估计方法1. 最大似然估计最大似然估计是参数估计中最常用的方法之一。
最大似然估计的核心思想是选取一组参数值，使得给定样本数据出现的可能性最大。
最大似然估计可以简化为求解似然函数的最大值所对应的参数值。
2. 矩估计矩估计是通过样本矩的函数与总体矩的函数相等来进行参数估计。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，然后通过总体矩的函数得到对总体参数的估计。
3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数估计问题转化为给定样本数据下参数的后验分布的估计问题。
通过引入先验分布和似然函数，可以得到对总体参数的估计。
四、参数估计的应用参数估计在各个领域中都有广泛的应用。
第五章 统计推断(1)
某一给定值。
检验程序：
(a) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
(b)计算检验的统计量：
1. 单个样本平均数检验
在实际研究中，常常要 检验一个样本平均数 x与已知的总体 平均数0是否有显著差异，即检 验该样本是否来自某一 已知 的总体。
已知的总体平均数一般 为一些公认的理论数值 。如畜禽正常 的生理指标、怀孕期、 生产性能指标等，都可 以样本平均数 与之比较，检验差异显 著性。
1.1 在σ已知的情况下，单个平均数的显著性 检验－u检验 检验程序：
• 两类错误之间的关系如何？
二者的区别是I型错误只有在否定H0的情况下发生，而 II型错误只有在接受H0时才会发生。 二者的联系是，在样本容量相同的情况下，I型错误减 小，II型错误就会增大；反之II型错误减小，I型错误就 会增大。比如，将显著性水平α从0.05提高到0.01，就 更容易接受H0，因此犯I型错误的概率就减小，但相应 地增加了犯II型错误的概率。
第一节 假设检验的基本步骤及原理
1. 假设检验的基本步骤
我们通过一个例子来介绍假设检验的基本步骤：
例一，已知某品种玉米 单穗重X ~ N (300,9.52 )，即单穗重 总体平均数0 300g，标准差 9.5 g。在种植过程中喷洒 了某种药剂的植株中随 机抽取9个果穗，测得平均单穗 重 x 308g，试问这种药剂对该品 种玉米的平均单穗重 有无真实影响？
• （一）提出假设
首先对样本所在的总体 作一假设。假设喷洒了 药剂的玉米单穗重 总体平均数与原来的玉米单穗重总 体平均数0之间没有真实差异， 即＝0。也就是说表面差异（ x 0）是由抽样误差造成的 。
第五章 参数估计
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：
分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：
一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计
利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：
当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）
第05章 统计推断
单侧检验 α=0.05或0.01 统计推断 第五章
§5.1 单个样本的统计假设检验
5.1.2 单个样本的显著性检验程序
统计假设检验的三步曲： 1、建立零假设(null hypothesis)——假设差异不显著或无关； 2、计算统计量（u-检验，t-检验，x2-检验，F-检验）；
3、判断假设。 对于带备择假设的零假设：需根据备择假设的拒
F
s , df n 1, df n 1 s
下侧临界点F1-α的 值，按右式计算
解释： F< F0.05，或P>0.05，接受H0； F> F0.05，或P<0.05，拒 Fdf1,df2,α，df 1附表7中没有给出 df 2为分母自由度 为分子自由度， 1 绝H0， ② F < F 1-α
s ③HA：μ≠μ0，包括μ＞μ0和μ＜μ0 此时相应各备择假设的H0的拒绝域分别为：
①t > tα解释： t<t0.05，接受H0； t>t0.05，拒绝H0 ②t < -tα ③|t| > tα/2，或表示为|t| > tα(两侧)
t n 1
n
第五章 统计推断
§5.1 单个样本的统计假设检验
379.2 377.2 u 1.82 3. 3 n 9 由于u 1.82 u0.05 1.645 ，所以拒绝H0假设、接受HA。
即栽培条件的改善显著地提高了豌豆籽粒重量。
x 0
第五章 统计推断
§5.1 单个样本的统计假设检验
5.1.4 σ未知时平均数的显著性检验——t 检验（t-test） 检验的程序： (1)零假设H0：μ=μ0 备择假设：①HA：μ＞μ0，若已知μ不可能小于μ0 (2)计算统计量： x 0 (3)判断统计量： ②HA：μ＜μ0，若已知μ不可能大于μ0
统计分析方法论：推断统计分析——参数估计
推断统计分析——参数估计课前准备下载Anaconda软件。
课堂主题本次课讲解推断统计当中参数估计的含义与应用。
课堂目标学习本次课，我们能够达到如下目标：熟知点估计与区间估计的概念与区别。
熟知中心极限定理的含义。
熟知正态分布及其特性。
知识要点推断统计分析概述推断的神奇一只熊掉入陷阱，陷阱深19.617米，下落时间整2秒。
请问熊是什么颜色的？A 白色B 棕色C 黑色D 黑棕色E 灰色首先，根据题目算出g=9.8085，陷阱所在地的纬度大概是44度左右。
根据熊的地理分布，南半球没有熊，可以得知应该是北纬44度；其次，既然为熊设计地面陷阱，一定是陆栖熊，而且大部分陆栖熊视力不好，难以分辨陷阱，所以容易掉入陷阱；至此，可选答案有：棕熊和美洲黑熊/亚洲黑熊，鉴于题目只有棕熊和黑熊，那么只剩下这两个答案。
既然陷阱深19.617米，土质一定为冲击母质，这样才易于挖掘。
棕熊虽然有地理分布，但多为高海拔地区，而且凶悍，捕杀的危险系数大，价值没有黑熊高，而且一般的熊掌、熊胆均取自黑熊。
又因为黑熊的地理分布与棕熊基本不重合，可以判定：该题的正确答案为掉进陷阱里的熊是黑色。
总体，个体与样本总体，是包含我们要研究的所有数据，总体中的某个数据，就是个体。
总体是所有个体构成的集合。
从总体中抽取部分个体，就构成了样本，样本是总体的一个子集。
样本中包含的个体数量，称为样本容量。
推断统计概念推断统计研究如何根据样本数据去推断总体数量特征的方法。
它是在对样本数据进行描述的基础上，对统计总体的未知数量特征做出以概率形式表述的推断。
推断统计意义我们为什么要进行推断呢？因为在实际的研究中，获取总体数据通常比较困难，甚至也许是不可能完成的任务。
因此，我们就需要对总体进行抽样，通过样本的统计量去估计总体参数。
也就是说，总体的参数往往是未知的，我们为了获取总体的参数，就需要通过样本统计量来估计总体参数。
关于点估计与区间估计，说法正确的是（）。
【不定项】D 点估计与区间估计都是通过样本统计量来估计总体参数的。
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为是总体参数未在区间内的比例
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
6
一个总体参数的估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
X
P 2
样本统计量 x p S2
7
二、点估计与区间估计
估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
8
点估计
(point estimate)
1. 做法：用样本估计量的值直接作为总体参数的 估计值 ▪ 例：用样本均值直接作为总体均值的估计； 用样本成数直接作为总体成数的估计 ▪ 例：用两个样本均值之差直接作为总体均 值之差的估计
2. 缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估 计值接近总体参数的程度
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最 大似然法、最小二乘法等
9
区间估计
(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
第五章 参数估计
第一节 参数估计的基本原理 第二节 一个总体参数的区间估计 第三节 两个总体参数的区间估计 第四节 样本容量的确定
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真 值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
x
/2
1-
x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
n N
较小的样本容量
A
ˆ
20
第二节 一个总体参数的区间估计
一. 总体均值的区间估计 二. 总体比例的区间估计 三. 总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
2
样本统计量
X总体、２已知，或非正态总体、大样本)
总体均值的区间估计
36个投保人年龄的数据
23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数
1. 估计量：用于估计总体参数的样本统计量 变量
如样本均值、样本比例(成数)、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具 体值
如果样本均值 x =80，则80就是的估计值 注：有时，对估计量和估计值并不刻意区分，都称
为估计，根据上下文很容易明确其指代
/2
X
影响区间宽度的因素
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
2.
样本容量， X
n
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
常用置信水平及 z 2 值
置信水平 1-
90%
0.10
95%
0.05
99%
0.01
/2
0.05 0.025 0.005
z 2 1.645 1.96 2.58
16
评价估计量的标准
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
Xz2X
X
- 2.58x
X
-1.65 x
+1.65x + 2.58x
-1.96 x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平
17
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量(随机变量)的数学期望等于被估计的总体参 数
中心极限定理证明了：样本平均数和样本成数都满足无偏
性
P(ˆ )
E(x) X E(p) P
ˆ 无偏 2
A
有偏
ˆ1 B
总体参数
ˆ
18
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小 标准差的估计量更有效
据计算得：x39.5，s7.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.51.6457.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、２未知、小样本)
P(ˆ )
ˆ1 的抽样分布
B
样本平均 数比中位 数更有效
A
ˆ 2 的抽样分布
ˆ
19
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接 近被估计的总体参数
大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足 一致性
P(ˆ ) 较大的样本容量
lim x X n N
B
lim p P
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例、方
差
第一节 参数估计的基本原理
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
随机
(大样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z X ~N(0,1) n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
Xz2
n或 Xz2
S(未)知
n
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由36位投保个人组成的随机样本， 并得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人 年龄90%的置信区间