【名师推荐资料】2020高中数学第1章立体几何初步第一节空间几何体2圆柱、圆锥、圆台和球学案苏教版必
2020年高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件新人教B版必修2
个几何体可能是( )
A．圆锥
B．圆柱
C．球
D．以上都有可能
答案：B
知识点二 圆锥的结构特征
2．圆锥过轴的截面是( A．圆 C．矩形
) B．等腰三角形 D．抛物线
答案：B
知识点三 圆锥与圆台
3．把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是
1∶4，圆台的母线长是 10，则原来的圆锥的母线长是( )
第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|目 标 索 引| 1．理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，初步掌握运用 旋转的观点去观察问题． 2．理解这几种几何体的轴截面的概念和它在决定几何体时 的重要作用.
几种简单旋转体的比较
名称
定义
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其 面积为 3，则这个圆锥的母线长为________．
解析：设母线长为 l，则有 43l2＝ 3，则 l＝2. 答案：2
一个圆锥的母线长为 20 cm，母线与轴的
夹角为 30°，则圆锥的高为( )
A．10 3 cm
B．20 3 cm
C．20 cm
D．10 cm
解析：由题可得，圆锥的高为 20·cos30°＝20× 23＝10 3.
综上，圆台的高为 OO′＝14 cm， 母线长为 l＝ 2OO′＝14 2 cm， 两底面的半径分别为 7 cm,21 cm.
【知识点拨】 (1)圆锥的性质：圆锥的轴截面是等腰三角 形，底为底面圆的直径，腰为母线；平行于底面的截面为圆面， 将圆锥分为一个小圆锥与一个圆台．
(2)圆台的性质：圆台的上、下底面为两个不等的圆面；轴 截面为等腰梯形，上、下底为上、下两底面圆的直径，腰为母 线；平行于底面的截面将圆台分为两个小圆台．
高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结
[解析] (1)正确，圆柱的底面是圆面； (2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的 截面是一个矩形面； (3)不正确，圆台的母线延长相交于一点； (4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体． [答案] (1)(2)
判断简单旋转体结构特征的方法： (1)明确由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线．
(4)以 AD 边为轴旋转所得的组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图 ④所示．
探究三 圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用
[典例 3] 如图所示，已知圆柱的高为 80 cm，底面半径为 10 cm，轴截面上有 P，Q 两点，且 PA＝40 cm，B1Q＝30 cm， 若一只蚂蚁沿着侧面从 P 点爬到 Q 点，问：蚂蚁爬过的最短 路径长是多少？
(3)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的 2 倍(即直径)．
答案：(1)(2)(3)
探究二 简单组合体 [典例 2] 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋 转该图形 180°后得到几何体①； (2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形 360°得到几何体②； (3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面 数、棱数、顶点数．
解析：作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面 中 Rt△OPA 与 Rt△OQB 相似，得OAO＋AAB＝150，可求 得 OA＝20 cm.设∠BOB′＝α，由于扇形弧 BB ′的长 与底面圆 Q 的周长相等，而底面圆 Q 的周长为 (2π×10)cm.扇形 OBB′的半径为 OA＋ AB＝ 20＋ 20＝40 cm，扇形 OBB′所在圆的周长为 2π×40＝80π cm.所以扇形弧 BB ′的长度 20π 为所在圆周长的41.所以 OB⊥OB′.所以在 Rt△B′OM 中， B′M2＝402＋302， 所以 B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为 50 cm.
2020高中数学 第1章 立体几何初步 第一节 空间几何体2 圆柱、圆锥、圆台和球学案 苏教版必修2
圆柱、圆锥、圆台和球二、重难点提示圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征。
考点一：圆柱、圆锥、圆台、球球将半圆面绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体叫球记作：球O【要点诠释】①几何体与曲面的区别：几何体是“实心”的。
例如圆柱的表面是指圆柱的上下底面及侧面组成的曲面，它是“空心的”，不包括内部。
②在圆柱、圆锥、圆台的侧面上不沿着母线是画不出直线段的。
③球体与球面是不同的，球体是几何体，球面是曲线，但二者也有联系，球面是球体的表面。
（2）圆柱、圆锥、圆台和球的简单画法画圆柱、圆台一般先画一个底面，再画两条母线（过轴截面），最后画另一个底面，如图（1）、（3）；画圆锥可以先画母线（作为轴截面），再补上底面比较方便。
如图（2）；画球一般先画一个圆及其一条直径（虚线），然后再以直径为长轴作一个椭圆，如图（4）。
（1）（2）（3）（4）（3）圆柱、圆锥、圆台的性质①平行与底面的截面是圆；②过轴的截面（简称轴截面），分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③用平行于底面的平面去截圆锥，截面圆与底面圆半径之比等于所截的小圆锥的母线与原圆锥的母线之比。
（4）圆柱、圆锥、圆台、球的截面①平行于底面的截面A. 平行于圆柱底面的截面是与底面大小不同的圆面；B. 平行于圆锥底面的截面都是圆面；C. 平行于圆台底面的截面都是圆面。
② 轴截面A. 圆柱中，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形；B. 圆锥中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形；C. 圆台中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形。
③ 球的截面A. 用一个平面去截球，截面是圆面。
其中，过球心的平面截得的叫大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫小圆。
B. 截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
考点二：旋转面、旋转体、组合体（1）旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面。
封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球课件苏教版必修2
4．圆柱、圆锥、圆台之间的联系 圆柱的底面退缩为该底面的 圆心 时就形成了圆锥． 用 平行于 圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的 几何体就是 正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个直角三角形绕着其一边所在直线旋转一周所形成的几
何体是圆锥．
2．组合体的结构特征有两种：(1)是由简单几何体拼接 而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组 合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．
[活学活用]
1．一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2. 求：(1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S. 由已知得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径 OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm， ∴圆台的高AM＝ 122－5－22＝3 15(cm)． (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm， 则由△SAO1∽△SBO，得l－l12＝25，解得l＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
(×)
(2)空间到定点的距离等于定长的点的轨迹形成的图形是球．
(×)
(3)圆台的母线一定相交．
(√)
(4)圆锥和圆台的侧面展开图都是扇形．
(×)
2．用一个平面任意截一个几何体，所得的截面都是圆面．则
这个几何体一定是
.
答案：球 3．圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AA1是它的一条母线，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行两圈后到达A1 处，则蚂蚁所爬行的最短路程为________．
2．一个圆柱恰好有一个内切球，若该球的半径为R，求圆柱 的表面积．
高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球bb高一数学
变式训练1-1:下列命题中正确的有( ) ①圆台的所有平行于底面的截面都是圆;②圆台是直角梯形绕其一边旋转 一周而成的;③在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线一定 是圆台的母线;④圆台可看成是平行于底面的平面截圆锥得到的 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:本题主要考查圆台的有关概念,正确理解圆台的特点是关键.由圆台特 点知①④正确;对于②,当这一边是梯形中的一条底边和斜腰时,形成的不是 圆台;由圆台的母线延长后交于一点知③错,故选B.
解析:直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才形成圆台;直角三角形必须 绕直角边旋转才形成圆锥;圆柱是由矩形绕其一边旋转而形成的几何体,因 而它是旋转体,易知圆锥、圆台也是旋转体;类比棱台的定义,圆台也可以看 成是一个圆锥被一个平行于底面的平面所截得到的.
3.过球面上两点,可作球的大圆的个数( B )
(A)有且存在这种大圆
解析:当球面上两点的连线过球心时,过这两点的平面可得无数个大圆,当两 点的连线不过球心时,球心与这两点不共线,则可确定一个平面截球可得唯 一一个大圆.
4.点O1为圆锥高中靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是
底面面积的
π
π
根据矩形的面积公式得:S 截面=A1A·AB=4· 8 = 32 . ππ
综上所述,轴截面的面积为 32 . π
变式训练3-1:边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,求从E点沿圆柱 的侧面到相对顶点G的最短距离.
解:圆柱的侧面展开图如图所示,在展开图中,线段 EG 即为所求.
因为 EF= 1 ·2π· 5 = 5 π,
2
2
因此,圆台的上底面面积为 16π,下底面面积为 64π,轴截面面积为 48 3 .
2020高中数学第一章立体几何初步1
3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．ༀ1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S 全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选 C 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．∵O1为PO2的中点，∴＝＝＝，∴PA＝AB，O2B＝2O1A.∵S圆锥侧＝×2π·O1A·PA，S圆台侧＝×2π·(O1A＋O2B)·AB，∴＝＝.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和．2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．ༀ1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20(cm)，同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr2＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100π cm2.ༀ2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm和18 cm，腰长为13 cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BE＝CF.∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，∴BF＝＝＝13.∴BE＝BF－AD＝13－8＝5.又AB＝13，∴AE＝12.∴S四边形ABCD＝(AD＋BC)·AE＝×(18＋8)×12＝156(cm2)．故其侧面积为156×5＝780(cm2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．ༀ2．已知正三棱锥VABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，取BC的中点D，连接VD，则VD＝＝＝，∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，∴三棱锥VABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋).ༀ3．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r，则＝，∴ r＝R－x，∴S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－·x2.(2)∵S圆柱侧是关于x的二次函数，∴当x＝－＝时，S圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．ༀ3．已知底面半径为cm，母线长为cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S＝S底＋S柱侧＋S圆锥侧＝π×()2＋2π××＋π××3＝(3＋6＋3)π(cm2)．如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，点P为母线B′B的中点，∠AOB＝π，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A、P两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.在Rt△ABP中，AB＝π×2＝π(cm)，PB＝2(cm)，∴AP＝＝ (cm)．故蚂蚁爬的最短路程为 cm.1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A．1∶2B．1∶1C．1∶4 D．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )(2)∵S上底＋S下底＝a2＋b2，∴(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，∴h斜＝.又EF＝，h＝＝.第2课时柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝Sh S为柱体的底面积h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)·h S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高[问题思考]仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？提示：(1)底面半径是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱＝πr2h.(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥＝πr2h.(3)如果圆台上、下底面半径分别是r′、r，高是h，那么它的体积是：V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．ༀ1．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，点C到AB的距离为3 cm，侧面ABB1A1的面积为8 cm2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C到AB的距离为d，侧面ABB1A1的面积为S1，则△ABC的面积S＝|AB|d.∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S|AA1| ＝|AB|d|AA1|＝|AB|·|AA1|d ＝S1 d ＝12(cm3)．法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCDA1B1C1D1.可以看成以A1ABB1为底面的四棱柱D1DCC1A1ABB1.则ABB1A1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D1DCC1A1ABB1的体积V ＝24(cm3)， 则直三棱柱的体积为12(cm3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．ༀ1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎨⎧a2＝πr2， ①2πrh＝4a2， ②由①得r ＝a ， 由②得πrh＝2a2， ∴V 圆柱＝πr2h ＝a3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a3∶(a3)＝∶1＝∶2.ༀ2.如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB ＝， 所以HA ＝HB ＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1.可得PH＝＝，等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．ༀ2．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r＝.∴V锥＝·AB·πr2＝×5×π×2＝π.ༀ3．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(c m2)．其次，如图，圆台的高h＝BC＝BD2－OD－AB 2＝＝4(cm)，所以V圆台＝h(S＋＋S′)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．ༀ3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积为180 cm2，求棱台的体积．解：如图，分别过正四棱台的底面中心O1，O作O1E1⊥B1C1，OE⊥BC，垂足分别为E1，E，则E1E为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm2，所以×4×(6＋12)|E1E|＝180，解得|E1E|＝5.在直角梯形O1OEE1中，O1E1＝3，OE＝6，E1E＝5，解得O1O＝4.所以正四棱台的体积为V＝h(S＋＋S′)＝×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm3)．如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥CA′DD′，求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCDA′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a，∴V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.则剩余部分的体积V剩＝abc－abc＝abc.故V三棱锥C－A′D′D∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.[尝试用另外一种方法解题]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A．1∶∶ B．6∶2∶ 3C．6∶2∶3 D．3∶2∶6解析：选C 设如图所示的Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π()2×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.二、填空题6．如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝.答案：πr2a＋b27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h，圆柱体的底面半径是，高为h，依题意得h2·h＝π·()2·h，解得h＝a.答案：a8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20 cm，S在底面的射影为CD中点E，SE＝20 cm，VSABCD＝SABCD·SE＝cm3.答案： cm3用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.ༀ1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O，截面圆圆心O1，球半径为R，连接OO1，则OO1是球心到截面的距离．由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x.又O1A＝O1C，∴＝－x.解得x＝.则O1A＝O1B＝O1C＝.在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理，得2＋2＝R2.解得R＝.故S球面＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．ༀ1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径．∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48.在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，即R2＝2＋48，∴R＝8(cm)，∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，V球＝πR3＝π(cm3).ༀ2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．[尝试解答]如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC、AC相切于点D、E.连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴＝.设OE＝r，则AO＝(－r)，∴＝，∴r＝ cm，V球＝π()3＝π(cm3)，即球的体积等于π cm3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．ༀ2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC′＝，AC＝·＝2，设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝()2＋()2＝9，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD＝x，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，。
高中数学第1章立体几何初步1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球4高一数学
（5）母线都相等，各母线延长后都相交于一点。
第十二页，共二十七页。
名称 圆柱
圆柱(yuánzhù)、圆锥、圆台
圆锥
圆台
图形
hl
r
r
hl
R
定义
以矩形一边(yībiān) 所在直线为轴，其 余各边旋转而成的 曲面所围成的几何 体。
以直角三角形一直角 边所在直线(zhíxiàn)为 轴，其余各边旋转而 成的曲面所围成的几
道
第二十页，共二十七页。
五．旋转体的概念(gàiniàn) 由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲
面(qūmiàn)所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、
圆锥、圆台和球.
第二十一页，共二十七页。
六．组合体
由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成 的几何体称为组合体。组合体可以通过把它们 (tā men)分解为一些基本几何体来研究
∴ OD⊥DP ∵<DPO=<POB=40°， ∴DP=OP×cos<OPD
∴纬线长=2∏ × DP
= 2∏ × OP × cos40 °
≈2 × 3.14 × 6370 × 0.766 ≈30660(km)
答案(dá àn)
本 初 子 午
线
C 地
D
北京
40 P
轴
O 纬 度 40
经 度 116
A
B
赤
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以(suǒyǐ)，圆台的母线长为9cm.
第二十四页，共二十七页。
练习 ： (liànxí)
1、圆柱的轴截面(jiémiàn)是正方形，它的
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球课件苏教版必修2
2.借助具体的几何体来
3.了解复杂几何体的组成情况，学会分析并 解决问题，提升学生的
掌握它们是由哪些简单几何体组合而
直观想象数学核心素
成．(难点)
养.
自主预习 探新知
1．圆柱、圆锥和圆台的概念 (1)圆柱、圆锥和圆台的定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边 、 _垂__直__于__底__边_的__腰__所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、 圆锥、圆台．
思路探究：(1)依据球的形成过程及相关概念判断． (2) 梯形 任―为―一轴→边 组合体 ―空想―间象→ 结构特征
②④ [(1)作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在 球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球 面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截 得一个圆面，故④正确．]
1．给出以下四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是 圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台 的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是__________．
②④ [①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平 行；②正确，符合圆锥母线的定义；③不正确，结合圆台母线的定 义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面 圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；④正确，符合圆柱母线 的性质．]
提示：球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成 的空间构成的几何体，而球面只指球的表面部分．
3．旋转体 定义
一条 平面曲线 绕它所在平 旋转面 面内的 一条定直线 旋转
所形成的曲面叫做旋转面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最新审定版资料
要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决。 2. 旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋
转所得的旋转体不同。
例题 2 （旋转体的形成与分解） 如图所示， 画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体， 些旋转体组合而成的。
并说出这些几何体是由哪
思路分析： 过图（ 1）（ 2）中的顶点 D、C分别向旋转轴引垂线， 即可得到旋转后的图形。 答案： 如图所示，（ 1）是由圆锥、圆柱组合而成的， （ 2）是由圆柱中间挖去一个圆锥组 合而成的。
技巧点拨： 对于不规则平面图形绕轴旋转问题， 首先要对原平面图形作适当的分割， 一 般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆周）等基本图形，然后结合圆柱、圆 锥、圆台、球的形成过程进行分析。
则圆柱的轴截面的面积最大值为
。
欢迎下载！
最新审定版资料 答案： 设内接圆柱的高为 x ，底面圆半径为 r ，由已知得
∵6 x
r ,r
62
4 当x
2 2( )
3
6x
6x
,S 2
x
3
3
3时， S 最大值为 6。
2 x2 4x(0 x 6) 3
思路分析： 画出圆锥与圆柱的轴截面，利用轴截面寻找各量间的关系。
图（ 3）是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底重合的三棱台组成的组合体，它有
9
个顶点， 8 个面， 15 条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征。
技巧点拨： 组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成。要仔细观察组合体的组成，
结合柱、锥、台、球的特征，先分割，后认证。
欢迎下载！
一般先画一个圆及其一条直径（虚线） ，然后再以直径为长轴作一个椭圆，如图（ 4）。
（ 1）
（ 2） （ 3）
（ 3）圆柱、圆锥、圆台的性质 ① 平行与底面的截面是圆；
（ 4）
欢迎下载！
最新审定版资料
② 过轴的截面（简称轴截面） ，分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形； ③ 用平行于底面的平面去截圆锥，截面圆与底面圆半径之比等于所截的小圆锥的母线 与原圆锥的母线之比。 （ 4）圆柱、圆锥、圆台、球的截面 ① 平行于底面的截面 A. 平行于圆柱底面的截面是与底面大小不同的圆面； B. 平行于圆锥底面的截面都是圆面； C. 平行于圆台底面的截面都是圆面。 ② 轴截面 A. 圆柱中，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形； B. 圆锥中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形； C. 圆台中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形。 ③ 球的截面 A. 用一个平面去截球，截面是 圆面 。其中，过球心的平面截得的叫大圆，被不经过球 心的平面截得的圆叫小圆。 B. 截面的性质： 球心和高及上、下底面半径间的关系。
2. 解有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题时常常利用它们的轴截面。
有关组合体问题 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成的，并说出主要结构特征。 数，顶点数，棱数）
（面
思路分析： 识图→分割或填补→变成简单几何体的组合→下结论→回答相关问题
【核心突破】
1. 圆柱、圆台、圆锥的关系如图所示：
一种是
2. 处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想。
3. 重视圆柱、圆台、圆锥的轴截面在解决与旋转体相关量（如母线长等）中的特殊作用，
体会空间几何问题平面化的思想。
【随堂练习】 （山东济南模拟） 一个圆锥的底面半径为 2，高为 6，其内部有一个内接圆柱，
例题 3 （有关旋转体的计算） 一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4π cm 2 和 25π cm 2。求： （ 1）圆台的高； （ 2）截得此圆台的圆锥的母线长。 思路分析： 画出轴截面，依据相似三角形求解。 答案：（ 1）如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD，作 AM⊥ BC于 M，延长 BA、 CD 交于 S。由已知得上底面半径 O1A＝ 2 cm，下底面半径 OB＝ 5 cm，且腰长 AB＝ 12 cm ，
思路分析： 根据旋转体的特征判断各命题的对错。
答案： 以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转才可得到圆锥，
以直角三角形的斜边为
旋转轴旋转得到的几何体为两个同底的圆锥连在一起的几何体，如图（
1），故①错；以直角
梯形垂直于底边的一腰为旋转轴旋转可得到圆台， 以直角梯形的不垂直于底的腰为旋转轴旋
转得到的几何体为一个圆台一侧挖去一个同上底的圆锥，
最新审定版资料
圆柱、圆锥、圆台和球
一、考点突破 知识点
课标要求
题型
1. 直观了解柱、 锥、 台、
球及简单组合体的结构
圆柱、 圆锥、 圆台和球
特征； 2. 了解复杂几何体的组 成情况， 学会分析并掌握
选择题 填空题
它们是由哪些简单几何
体组合而成。
说明
引导学生从熟悉的物体入手，利用实 物模型、计算机软件观察大量空间图 形，多角度、多层次地揭示空间图形 的本质。按照从整体到局部、由具体 到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱 锥、棱台的几何结构特征，进而通过 空间图形，培养和发展学生的空间想 象能力。
答案： 图（ 1）是由一个四棱柱在它的上、 下底面上向内挖去一个三棱柱组成的组合体，
它有 9 个面， 14 个顶点， 21 条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征。
图（ 2）是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体，
它有 9 个面， 9 个顶点， 16 条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征。
考点二：旋转面、旋转体、组合体 （ 1）旋转面与旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面。 面围成的几何体称为旋转体。 【要点诠释】 旋转面与旋转体的图示
封闭的旋转
（ 2）组合体
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体。
其构成形式有两种基本形式：
简单几何体拼接形成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而形成的。
∴圆台的高 AM＝ 122 (5 2) 2 3 15 （ cm）。
欢迎下载！
最新审定版资料
（ 2）设截得此圆台的圆锥的母线长为
l 12 2
l cm，则由△ SAO1∽△ SBO，得
，
l
5
解得 l ＝ 20。即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm。
技巧点拨：
1. 本题在求解过程中，通过轴截面实现了空间运算平面几何化的思想，其优点是轴截面
技巧点拨： 与几何体有关的最值问题，可列出其函数解析式，用函数思想求解。
例题 1 （旋转体的概念） 下列叙述错误的有 __________ 。（填序号）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。
另一侧补上一个同下底的圆锥， 如
图（ 2），故②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，而不是圆，故③错；用平行于圆锥底
面的平面去截圆锥， 可得到一个圆锥和一个圆台， 用不平行于圆锥底面的平面不能得到， 故
④错。
故应填：①②③④。 技巧点拨： 1. 准确掌握圆柱、 圆锥、 圆台、 球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键。
的腰所在的直线旋转一周形成 台
的几何体叫做圆台
表示 记作：圆柱 OO′
记作：圆锥 SO 记作：圆台 OO′
欢迎下载！
最新审定版资料
将半圆面绕着它的直径所在的
球
直线旋转一周形成的几何体叫
球
记作：球 O
【要点诠释】
① 几何体与曲面的区别：几何体是“实心”的。例如圆柱的表面是指圆柱的上下底面
及侧面组成的曲面，它是“空心的” ，不包括内部。
二、重难点提示 圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征。
考点一：圆柱、圆锥、圆台、球
（ 1）圆柱、圆锥、圆台的定义及相关概念、表示
定义
图形
将矩形绕着它的一边所在的直 圆
线旋转一周形成的几何体叫做 柱
圆柱
将直角三角形绕着它的一直角 圆
边所在的直线旋转一周形成的 锥
几何体叫做圆锥
将直角梯形绕着它垂直于底边 圆
② 在圆柱、圆锥、圆台的侧面上不沿着母线是画不出直线段的。
③ 球体与球面是不同的，球体是几何体，球面是曲线，但二者也有联系，球面是球体
的表面。
（ 2）圆柱、圆锥、圆台和球的简单画法
画圆柱、圆台一般先画一个底面，再画两条母线（过轴截面）
，最后画另一个底面，如
图（ 1）、（ 3）；画圆锥可以先画母线（作为轴截面） ，再补上底面比较方便。如图（ 2）；画球