江苏省淮安市淮海中学2014届高三Ⅲ级部决战四统测二文科数学试卷(带解析)
【数学】江苏省淮安市淮海中学2014届高三模拟测试
淮安市淮海中学高三年级三统模拟测试(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ． 【答案】{}52. 已知2(,)a ib i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ． 【答案】3【解析】本题考查复数的四则运算．因为22(,)a iai b i a b R i+=-=-∈，所以，a ＝1，b ＝2，所以a b +＝3．3． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组。
若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ．3.【答案】3914． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．4.【答案】23【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23．5．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 5．【答案】3π【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥，所以(2)0j i i -=，即22 i j i ⋅-＝0，所以，2||||cos 10i j θ-= ，即1cos 2θ=，则,i j 的夹角为3π． 6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲【答案】2051100223Pr int I While I I I S I End While S ←<←+←+7．已知实数x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．【答案】32【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11(,)22．8、已知cos()4πθ+=，(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，3(,)444πππθ+∈，所以sin()410πθ+=24sin 2sin[2()]cos2()12cos ()42445ππππθθθθ=+-=-+=-+=，3cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445πππππθθθθθ=+-=+=++=-，因此413sin(2)()3525πθ-=⋅--=．9、直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()13122=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的倾斜角分别为βα,，则()βα+tan = ▲ ．43- 10．设P 为2412-=x y 图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ▲ ．211、已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ．【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，2222200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -⋅=⋅====+---，可得2234a c =，从而c e a == 11．12．若0,0a b >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ．12．【解析】由22a b+≥得12≤，22142a b +≥，所以22221(4)(2)2S a b a b ⎡⎤=+=+⎣⎦，当且仅当122a b ==时取到等号．12.已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.13．设函数()x x x x f 5323+-=，{}n a 为公差不为0的等差数列，若101021=+++a a a ，则()()()1021a f a f a f +++ = ▲ ．3014. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有(3)(1)201f x f x -+-=，又(4)2013f =，则(2014)f = .答案：1二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值． 15．【解析】（1）由题意，sin 2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分 得2sin cos sin()sin A A B C A =+= ………………………………………………4分由于ABC ∆中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1cos 2A =………………………………5分∴sin A ==………………………………………………………6分（2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=，1cos 12C C +=…………9分 得sin()16C π+=，250,3666C C ππππ<<∴<+<，平方得3C π∴=……………12分 所以ABC ∆为正三角形，1c ∴=………………………………………………… 14分 16．（本小题满分14分） (2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，M 为A 1B 与AB 1的交点，N 为棱B 1C 1的中点， (1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；(2)若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BC .证明 (1)连接AC 1，因为M 为A 1B 与AB 1的交点，所以M 是AB 1的中点，又N 为棱B 1C 1的中点．所以MN ∥AC 1，………………3分 又因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， 所以MN ∥平面AA 1C 1C . …………………………7分 (2)因为AC ＝AA 1，所以四边形AA 1C 1C 是正方形， 所以AC 1⊥A 1C ，又AC 1∥MN ，所以A 1C ⊥MN .又因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，…………………9分所以CC 1⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC 11分 又因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ， 因为CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥AC 1，因为MN ∥AC 1，所以MN ⊥BC ，又MN ⊥A 1C ， 又BC ∩A 1C ＝C ，所以MN ⊥平面A 1BC . ……………14分17．（本小题满分14分）如图，ABCD 是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF ，其中动点E 、F 分别在CD 、BC 上，且△ECF 的周长为常数a （单位：百米）． （1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．FE D C17．解析：（1）设,EC x CF y ==，则x y a +=（※）由基本不等式，(2x y +≥=+……… 3分所以，△ECF 的面积22113224S xy -=≤=……………… 5分当且仅当x y ==时等号成立2……………………………………… 6分 （2）记,EAD FAB αβ∠=∠=，,(0,),(0,)22ππαβαβ∈+∈,则tan 1,tan 1x y αβ=-=- 故22()tan()1(1)(1)x y x y x y x y xyαβ---++==---+-由（※）可得，2()2a xy a x y =+-，即2()2xy x y =+-………………… 10分代入上式可得，2()tan()2()x y x y αβ-++=-+=1所以()24EAF ππαβ∠=-+=故当2a =时，视角EAF ∠为定值4π……………………………………………… 14分18．（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为(10)F ，,离心率为.分别过O ,F 的两条弦AB ,CD 相交于点E (异于A ,C 两点),且OE EF =.(1)求椭圆的方程; (2)求证:直线AC ,BD 的斜率之和为定值.18．【答案】(1)解:由题意,得1c =,c e a ==,故a =……………… 2分 从而2221b a c =-=, ……………… 4分所以椭圆的方程为2212x y +=. ① ……………… 6分 (2)证明:设直线AB 的方程为y kx =, ② 直线CD 的方程为(1)y k x =--, ③由①②得,点A ,B的横坐标为由①③得,点C ,D, ……………… 10分记11( )A x kx ，,22( )B x kx ，,33( (1))C x k x -，,44( (1))D x k x -，, 则直线AC ,BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+-- ……………… 12分 132413241324(1)()()(1)x x x x x x x x k +--+-+-=⋅1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0= ……………………………………………… 16分19．(本小题满分16分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22． （1）求S n ；（2）若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{a k n }，其中k 1＝1，且 k 1＜k 2＜…＜k n ＜…，k n ∈N *．①当q 取最小值时，求{ k n }的通项公式；（第18题）②若关于n (n ∈N *)的不等式6S n ＞k n ＋1有解，试求q 的值．19．解：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，…2分 所以(5)3n n n S +=. …………4分 （2）因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ， 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ； …………6分 若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n k n a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n n k -=⨯-， ………8分所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． …………10分（3）因为12423n n n k k a q -+==，得132n n k q -=-，而1q >， 所以当1q >且q N ∈时，所有的132n n k q -=-均为正整数，适合题意；当2q >且q N ∉时，132n n k q N -=-∈不全是正整数，不合题意.而16n n S k +>有解，所以2(5)213nn n q ++>有解，经检验，当2q =，3q =，4q =时，1n =都是2(5)213nn n q++>的解，适合题意； ……………12分 下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=， 则212[(1)(75)7]3n n nq n q n q b b q +-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减， 又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ……………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ………………16分 20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =．（1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．20．解析：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23．当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：所以()f x 的极大值为24()327f b =+=427，0b ∴=．…………………………………………………………………………………4分（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x ->22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x -≤-……………………………………………6分 令22(),([1,])ln x x t x x e x x -=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数，min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-．…………………………………………8分（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩11x x <≥，假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，……9分 不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=，232()()0t F t t t ∴-++= （*）， 是否存在P ，Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．………………………11分 ①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解……………………………12分②若1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分淮安市淮海中学高三年级三统模拟测试(一)数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC . B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵1237A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (Ⅰ)求逆矩阵1A -；（Ⅱ）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －CPA 的长度23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．ABC DOP（第22题）。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）+1r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
2014年江苏省高考数学试卷答案与解析
2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．答案：1.考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．3.考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为：5．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．4.考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．解答：解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．5.考点：三角方程；函数的零点．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解答：解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=．∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=．故答案为：．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．6.考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．故答案为：24．点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．7.考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．8.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：立体几何．分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．9.考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．解答：解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．10.考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．解答：解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．12.考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13.考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．14.考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．15.考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC 即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．17.考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．解答：解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，），且A，C关于x轴对称，∴C（，﹣），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．18.考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．解答：解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．19.考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：解：（1）∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m．（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e a﹣1＜a e﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e a﹣1＞a e﹣1．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．20.考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．点评：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．21.考点：弦切角．专题：直线与圆．分析：利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．解答：证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D．点评：本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．22.考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．解答：解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=点评：本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．23.考点：直线的参数方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．解答：解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．24.考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．解答：证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．25.考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．26.考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kf k﹣1（x）+xf k（x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，由①②得，nf n﹣1（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nf n﹣1（）+f n（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。
江苏省淮安市淮海中学高三决战四统测试数学试题
江苏省淮安市淮海中学2014届高三决战四统测试数学试题(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1． 已知集合{}{}1,0,1,02A B x x =-=<<，则A B =I ▲ ． 2． 已知(1)2i z i +⋅=-，那么复数z = ▲ .3． 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．4． 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于▲ ．5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．6.如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ．7.已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量 a ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ． 8.如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别 在棱PA ，PB ，PC 上，满足PD ＝PF ＝1，PE ＝2，则三棱锥P – DEF 的体积是 ▲ ．（第5题） 结束 开始 P ← 0 n ← 1 P ←P ＋1n (n ＋1)n ← n ＋1 输出nY N （ 第6题 ） P ＜0.70 ACP DEF 第8题图注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
江苏省淮安市淮海中学Ⅲ级部高三数学决战四统试题(3)苏教版
淮海中学2014届高三Ⅲ级部数学决战四统测(三)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1. 已知集合{}1,2,3,4A =--，{}2|,5B x x R x =∈<，则AB = ▲ .2.复数1iZ i=+(i 是虚数单位)的虚部为 ▲ ． 3.抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：的城市为 ▲ （填甲或乙）．4.抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ▲ ． 5.如图是计算111319+++的值的一个流程图，则常数a 的最大值是 ▲ ．6．投掷两颗骰子得到其向上的点数分别为,m n ，设(,)a m n =，则满足5a <的概率为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
7. 设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ．8.如果一个正三棱锥的底面边长为6，且侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是 ▲ .9.已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，若点S y x P ∈),(，则3z x y =+的最大值为 ▲ .10.若关于x 的方程sin 2cos 2x x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则k 的取值范围为 ▲11．设O 是ABC ∆外接圆的圆心，AO xAB yAC =+，且6AB =，8AC =，42x y +=，则AB AC ⋅= ▲ .12.在平面直角坐标系中，若符合点A （1，2），B （m ，1）到直线l 的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13. 设x 1、x 2 是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点，且22||||21=+x x 则b 的最大值为_____▲____ 14. 已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,2482n nn B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22014S T +≥的最小正整数为 ▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数()cos f x wx wx m ++（R x ∈>,0ω，m 是实数常数）的图像上的一个最高点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,6π，与该最高点最近的一个最低点是⎪⎭⎫⎝⎛-3,32π， (1)求函数()x f 的解析式及其单调增区间；(2)在锐角三角形△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且ac BC AB 21-=⋅，角A 的取值范围是区间M ，当M x ∈时，试求函数()x f 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．17（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝43km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为θ．（1）将tanθ表示为x的函数；（2）求点D的位置，使θ取得最大值．18．（本小题满分16分）（第17题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,短轴两个端点为B A ,,且四边形B AF F 21是边长为2的正方形. (1)求椭圆的方程;(2)若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点,动点M 满足CD MD ⊥,连接CM ,交椭圆于点P .证明:OM OP ⋅为定值;(3)在(2)的条件下,试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.19. (本小题满分16分)已知()n n n A a b ，（n ∈N *）是曲线x y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （1）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≥）是常数数列；（2）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （3）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N *）的斜率随n 单调递增 20．（本题满分16分）已知实数0a ≠，函数21()(2)2ln ,()()44f x a x x g x f x a a=-+=-+。
数学_2014年江苏省淮安市高三第四次调研数学试卷(含答案)
2014年江苏省淮安市高三第四次调研数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{1, 2, 3, 4}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z 满足z ⋅i =1+i （i 是虚数单位），则z =________．3. 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为________．4. 平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为________．5. 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为________．6. 一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为√2，且过点(1, √2)，则曲线C 的标准方程为________．8. 已知函数f(x)对任意的x ∈R 满足f(−x)=f(x)，且当x ≥0时，f(x)=x 2−ax +1，若f(x)有4个零点，则实数a 的取值范围是________．9. 已知正实数x ，y 满足(x −1)(y +1)=16，则x +y 的最小值为________． 10. 在直角三角形ABC 中，C =90∘，AC =6，BC =4．若点D 满足AD →=−2DB →，则|CD →|=________．11. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)的图象如图所示，则f(2)=________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−4x =0．若直线y =k(x +1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________．13. 设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i =a i 2(i =1, 2, 3)，则数列{b n }的公比为________．14. 在△ABC 中，BC =√2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当∠C 变化时，线段CD 长的最大值为________．二、解答题（共6小题，共90分）15. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB // EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b =4，BA →⋅BC →=8． （1）求a 2+c 2的值；（2）求函数f(B)=√3sinBcosB +cos 2B 的值域．17. 某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC =θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S(θ)； （2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，AB +CD =7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB +CD 的取值范围．19. 已知函数f(x)=(x −a)2e x 在x =2时取得极小值． (1)求实数a 的值；(2)是否存在区间[m, n]，使得f(x)在该区间上的值域为[e 4m, e 4n]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．20. 各项均为正数的数列{a n }中，设S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =1a 1+1a 2+...+1a n，且(2−S n )(1+T n )=2，n ∈N ∗．（1）设b n =2−S n ，证明数列{b n }是等比数列；（2）设c n =12na n ，求集合{(m, k, r)|c m +c r =2c k , m <k <r, m, k, r ∈N ∗}．2014年江苏省淮安市高三第四次调研数学试卷答案1. {1, 2}2. 1−i3. 154. √35. 16. 2√27. y 2−x 2=1 8. (2, +∞) 9. 8 10. 10 11. −√2212. [−2√2, 2√2]13. 3+2√2 14. 315. 证明：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB // CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以AB // 平面CDEF ．…4分因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF =EF ， 所以AB // EF ． …7分（2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥BC ． …9分因为BC ⊥CD ，CD ∩DE =D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ， 所以BC ⊥平面CDEF ． …12分因为BC ⊂平面BCF ，所以平面BCF ⊥平面CDEF ．…14分． 16. 解：（1）∵ BA →⋅BC →=8，∴ accosB =8， 由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−16， ∵ b =4，∴ a 2+c 2=32；（2）∵ a 2+c 2≥2ac ， ∴ ac ≤16， ∵ accosB =8， ∴ cosB =8ac ≥12， ∵ B ∈(0, π)， ∴ 0<B ≤π3，∵ f(B)=√3sinBcosB +cos 2B =√32sin2B +12(1+cos2B)=sin(2B +π6)+12，∵ π6<2B +π6≤5π6，∴ sin(2B +π6)∈[12, 1]，则f(B)的值域为[1, 32]．17. 解：（1）由题意，AC =100cosθ，直径AB 为100米，∴ 半径为50米，圆心角为2θ，∴ BĈ=100θ， ∴ 绿化带总长度S(θ)=200cosθ+100θ(θ∈(0, π2)； （2）∵ S(θ)=200cosθ+100θ，∴ S′(θ)=−200sinθ+100， 令S′(θ)=0，可得θ=π6．函数在(0, π6)上单调递增，在(π6, π2)上单调递减，∴ θ=π6时，绿化带总长度最大．18. 解：（1）由题意知，e =ca =12，CD =7−2a ， 所以a 2=4c 2，b 2=3c 2，…2分 因为点(c,7−4c 2)在椭圆上， 即c 24c 2+(7−4c 2)23c 2=1，解得c =1．所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．…6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知AB +CD =7；…7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 且设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 则直线CD 的方程为y =−1k (x −1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1=4k 2−6√k 2+13+4k 2，x 2=4k 2+6√k 2+13+4k 2，所以AB =√k 2+1|x 1−x 2|=12(k 2+1)3+4k 2．…10分同理，CD =12(1k 2+1)3+4k2=12(k 2+1)3k 2+4．所以AB +CD =12(k 2+1)3+4k 2+12(k 2+1)3k 2+4=84(k 2+1)2(3+4k 2)(3k 2+4)，…12分令t =k 2+1，则t >1，3+4k 2=4t −1，3k 2+4=3t +1， 设f(t)=(4t−1)(3t+1)t 2=−1t 2+1t +12=−(1t −12)2+494，因为t >1，所以1t ∈(0,1)， 所以f(t)∈(12,494]，所以AB +CD =84f(t)∈[487,7)．综合①与②可知，AB +CD 的取值范围是[487，7]． …16分．19. 解：(1)f ′(x)=e x (x −a)(x −a +2)， 由题意知 f ′(2)=0 ，解得 a =2或 a =4. 当a =2时， f ′(x )=e x x (x −2)，易知 f (x )在 (0,2) 上为减函数，在 (2,+∞)上为增函数，符合题意； 当a =4 时， f (x )=e x (x −2)(x −4)易知 f (x ) 在 (0,2) 上为增函数，在(2,4),(4,+∞) 上为减函数，不符合题意. 所以，满足条件的 a =2.(2)因为f(x)≥0，所以m ≥0．①若m =0，则n ≥2，因为f(0)=4<e 4n ，所以(n −2)2e n =e 4n ． 设g(x)=(x−2)2xe x (x ≥2)，则g′(x)=[x 2−4x 2+(x−2)2x]e x ≥0，所以g(x)在[2, +∞)上为增函数．由于g(4)=e 4，即方程(n −2)2e n =e 4n 有唯一解为n =4． ②若m >0，则2∉[m, n]，即n >m >2或0<m <n <2． (I)n >m >2时，{f(m)=(m −2)2e m =e 4m ，f(n)=(n −2)2e n =e 4n ，由①可知不存在满足条件的m ，n ． (II)0<m <n <2时， {(m −2)2e m =e 4n ，(n −2)2e n =e 4m ，两式相除得m(m −2)2e m =n(n −2)2e n ． 设ℎ(x)=x(x −2)2e x (0<x <2)， 则ℎ′(x)=(x 3−x 2−4x +4)e x =(x +2)(x −1)(x −2)e x ，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, 2)上单调递减， 由ℎ(m)=ℎ(n)得0<m <1，1<n <2， 此时(m −2)2e m <4e <e 4n ，矛盾．综上所述，满足条件的m ，n 值只有一组，且m =0，n =4． 20. 解：（1）当n =1时，(2−S 1)(1+T 1)=2， 即(2−a 1)(1+1a 1)=2，解得a 1=1． …2分由(2−S n )(1+T n )=2，所以T n =22−S n−1①当n ≥2时，T n−1=22−S n−1−1② ①-②，得1a n=22−S n−22−S n−1=2a n(2−S n )(2−S n−1)(n ≥2)，…4分即(2−S n )(2−S n−1)=2[(2−S n−1)−(2−S n )]2， 即b n b n−1=2(b n−1−b n )2，所以b n b n−1+b n−1b n=52，因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{2−S n }单调递减，所以b nb n−1<1．所以b n b n−1=12(n ≥2)．因为a 1=1，所以b 1=1≠0，所以数列{b n }是等比数列． …6分 （2）由（1）知2−S n =(12)n−1，所以a n =12n−1，即c n =n 2n．由c m +c r =2c k ，得c m c k+cr c k=2(∗)又n ≥2时，c n+1c n=n+12n<1，所以数列{c n }从第2项开始依次递减． …8分(I)当m ≥2时，若k −m ≥2，则c m c k≥c m c m+2=m 2m m+22m+2=4m m+2≥2，(∗)式不成立，所以k −m =1，即k =m +1． …10分 令r =m +1+i(i ∈N ∗)，则c r =r 2m+1+i=2c k −c m =2(m+1)2m+1−m 2m=22m+1=2i+12m+1+i，所以r =2i+1，即存在满足题设的数组{(2i+1−i −1, 2i+1−i, 2i+1)}(i ∈N ∗)．…13分 (II)当m =1时，若k =2，则r 不存在；若k =3，则r =4； 若k ≥4时，c 1c k≥c1c 4=2，(∗)式不成立．综上所述，所求集合为{(1, 3, 4), (2i+1−i −1, 2i+1−i, 2i+1)}(i ∈N ∗)． …16分．。
江苏省淮安市淮海中学Ⅲ级部高三数学决战四统试题(2)
淮海中学2014届高三Ⅲ级部数学决战四统测(二)一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
1．已知i 是虚数单位，R a ∈，若复数iia -+1的实部是1-，则=a ▲ ． 2．设集合}3,1{},2|||{=<-=B a x x A ，且A B A =⋃，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。
若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ▲ ． 4．设向量a 与b 的夹角为θ，)4,5(3),1,2(=+=， 则=θcos ▲ ．5．已知正整数b a ,满足304=+b a ，则b a ,都是偶数的概率是 ▲ ．6．执行如右图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断 框内①处应填的整数为 ▲ ．7．在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则2abc的最大值为 ▲ ． 8．若等差数列}{n a 和等比数列}{n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合},|{*N n b a n n n ∈= 的元素个数最多有 ▲ ．个。
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
9．已知直线)0(0>=--k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，且有||33||≥+，则k 的取值范围是 ▲ ． 10．设O 为坐标原点，给定一个定点)3,4(A ，而点)0,(x B 在x 正半轴上移动，)(x l 表示的长，则OAB ∆中两边长的比值)(x l x的最大值为 ▲ ． 11．已知x x x f 3)(3-=，过),1(m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取值范围是 ▲ ．12．设B A ,分别是椭圆14:22=+y x C 的上下两个顶点，P 为椭圆C 上任意一点(不与点B A ,重合)，直线PA PB ,分别交x 轴于N M ,两点，若椭圆C 在P 点的切线交x 轴于Q 点，则=-||NQ MQ ▲ ．13．若关于x 的不等式022<-+a x ax 的解集中有且仅有4个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知0=-z xy ，且210<<z y ，则2222164yz x yzxz +-的最大值是 ▲ ． 二．解答题：本大题共6小题，计90分。
2014年高考数学(江苏卷) 解析版 Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,则B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于基础题，难度系数较小。
2、已知复数2)25(i z -=(i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ ． 【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于基础题，难度系数较小。
3、右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，本题202>n 是否成立，若不成立，则n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；若成立，则输出n 的值。
本题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，则输出的n 的值为5【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于基础题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ ． 【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为31。
【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省淮安市淮海中学2014届高三Ⅲ级部决战四统测二文科数学试卷（带解析）1．已知i 是虚数单位，R a ∈，若复数iia -+1的实部是1-，则=a ． 【答案】1- 【解析】试题分析：因为,2)1(1)1)(1()1)((1i a a i i i i a i i a ++-=+-++=-+所以复数i i a -+1的实部是.1,121-=-=-a a考点：复数的概念2．设集合}3,1{},2|||{=<-=B a x x A ，且A B A =⋃，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】31<<a 【解析】试题分析：因为A B A =⋃，所以,A B ⊆又)2,2(}2|||{+-=<-=a a a x x A ，所以12<- a 且,32>+a 解得31<<a .考点：集合间关系3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。
若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ． 【答案】6 【解析】试题分析：因为采用分层抽样的方法抽取样本，所以粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别按2:3:1:420:30:10:40=比例进行抽取. 抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是.620231421=⨯++++考点：分层抽样4．设向量a 与b 的夹角为θ，)4,5(3),1,2(=+=b a a ，则=θcos ．【解析】试题分析：因为)4,5(3),1,2(=+=，所以).1,1(=根据向量数量积有.10103251112||||cos =⨯+⨯==b a θ考点：向量的数量积5．已知正整数b a ,满足304=+b a ，则b a ,都是偶数的概率是 ． 【答案】73 【解析】试题分析：因为304=+b a ，且b a ,为正整数，所以共有)2,7(),6,6(),10,5(),14,4(),18,3(),22,2(),26,1(七对整数解，其中b a ,都是偶数的有)6,6(),14,4(),22,2(三对，所以所求概率为73.考点：古典概型概率6．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 ．【答案】4 【解析】试题分析：第一次循环：,2,3==a b 第二次循环：,3,7==a b 第三次循环：,4,15==a b 第四次循环：,5,31==a b 结束循环，因此判断框内①的取值范围为),5,4[即应填的整数为4.考点：循环结构流程图7．在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则2abc 的最大值为 ． 【答案】23 【解析】试题分析：由正余弦定理得：bc a c b bc ac b c a ac ab c b a ab 222222222222-+⋅+-+⋅=-+⋅ ，化简得.3222c b a =+因此2ab c,2323322=≤+=ab ab b a ab 即最大值为23. 考点：正余弦定理,基本不等式8．若等差数列}{n a 和等比数列}{n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合},|{*N n b a n n n ∈= 的元素个数最多有 个．【答案】2【解析】试题分析：由题意得：1)1(1-=-+n q d n ，令,1)1(1---=-d x q y x 则由,0ln 1=-='-d q q y x 得q dx qln log 1+=o ，当0l n l og ≤qdq时，1)1(1---=-d x q y x 在),1[+∞上单调增，方程1)1(1-=-+n q d n 有且仅有一解；当0ln log > qdq时，1)1(1---=-d x q y x 在),1[o x 上单调减，在),[+∞o x 上单调增，方程1)1(1-=-+n q d n 至多有两解考点：方程与函数思想9．已知直线)0(0>=--k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，且有||33||AB OB OA ≥+，则k 的取值范围是 ． 【答案】)22,2[ 【解析】试题分析：设M为AB中点，则由||33||AB OB OA ≥+得：|2|33||2≥,||33||≥，而422=+OB OM ，所以,1,442222≥≤+=OM OM OB OM 又2||k d OM ==，因此,2||≥k 即,2≥k 又直线)0(0>=--k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点，所以.22,22||<=<=k r k d k 的取值范围是)22,2[考点：直线与圆位置关系，点到直线距离10．设O 为坐标原点，给定一个定点)3,4(A ，而点)0,(x B 在x 正半轴上移动，)(x l 表示的长，则OAB ∆中两边长的比值)(x l x的最大值为 ． 【答案】53【解析】试题分析：由题意得：,258119)4()(22x x x x x l x +-=+-=当2541=x 时，)(x l x 取最大值，为53.考点：二次函数最值11．已知x x x f 3)(3-=，过),1(m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取值范围是 ． 【答案】)2,3(-- 【解析】试题分析：因为 33)(2-='x x f ，设切点为),3,(3a a a -所以),1)(33(323--=--a a m a a .33223-+-=a a m 由题意得，关于a 的方程33223-+-=a a m 有三个不同的解，令,332)(g 23-+-=a a a 由066)(g 2=+-='a a a 得0=a 或.1=a 由图像知m 只有在)0(g 和)1(g 之间时，才存在三个不同的根，因为,2)1(,3-)0(-==g g所以.23--<<m 考点：利用导数求切线12．设B A ,分别是椭圆14:22=+y x C 的上下两个顶点，P 为椭圆C 上任意一点(不与点B A ,重合)，直线PA PB ,分别交x 轴于N M ,两点，若椭圆C 在P 点的切线交x 轴于Q 点，则=-||NQ MQ ． 【答案】0 【解析】试题分析：设),1,0(),1,0(),,(-B A n m P则),0,1(,11:n mN x m n y PA -+-=),0,1(,11:n m N x m n y PB +-+=在P 点的切线方程为：)0,4(,14m Q ny mx =+，因为1422=+n m ，所以MN 中点横坐标为,41)11(212m n m n m n m =-=++-即为Q 点，因此=-||NQ MQ 0.考点：椭圆切线方程13．若关于x 的不等式022<-+a x ax 的解集中有且仅有4个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】)73,72[ 【解析】试题分析：当0≤a 时，不等式022<-+a x ax 的解集中有无数个整数解，因此.0>a 设,2)(2a x ax x f -+=因为024)2(,1)1(,02)0(>+=-=<-=a f a f a f假若a ＞1，则f （1）=1-a ＜0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f （-2）=4a-2-2a=2a-2＞0，矛盾，所以假设错误，故0＜a≤1所以4个整数解应为0，-1，-2，-3．所以,0)4(,0)3(≥-<-f f 实数a 的取值范围是)73,72[.考点：一元二次不等式的整数解14．已知0=-z xy ，且210<<z y ，则2222164y z x yz xz +-的最大值是 ．【答案】82【解析】试题分析：因为0=-z xy ，210<<z y ，所以.2,2110><<x x 而.82)4(82)4(8)4()4(16416422222222432222=--≤+--=+-=+-x x x x x x x x x x x y z x yz xz考点：基本不等式求最值15．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。
已知)sin 3,cos 2(A A =，1),cos 2,(cos -=⋅-=n m A A n .(1)若2,32==c a ，求ABC ∆的面积； (2)求)60cos(2C a cb +- 的值.【答案】(1) ,32(2)2. 【解析】试题分析：(1)先根据向量数量积，得等量关系：1cos sin 32cos 22-=-A A A ，再根据二倍角公式、配角公式化简得:1)62sin(=-πA ,最后根据角的取值范围，求角A ：因为π<<A 0，所以)611,6(62πππ-∈-A ，所以262ππ=-A ，即3π=A .求三角形面积，需再求一边b 或一角C: 由正弦定理可知C b A a sin sin =，所以21sin =C ，因为)32,0(π∈C 所以2,6ππ==B C ，所以3232221=⨯⨯=∆A B C S .也可由余弦定理求边b ：.4,2144)32(22=⨯-+=b b b.32234221=⨯⨯⨯=∆ABCS (2)求代数式值，要么化边，要么化角.)60cos(2C a c b +-)60cos(23sin 2)120sin()60cos(23sin 2sin )60cos(sin sin 2sin C CC C C B C A C B +--=+-=+-=2)60cos(23)60cos(3)60cos(23sin 23cos 23=++=+-=C C C CC(1)由1cos sin 32cos 22-=-A A A 得1)62sin(=-πA因为π<<A 0，所以)611,6(62πππ-∈-A所以262ππ=-A ，即3π=A 4分由正弦定理可知C b A a sin sin =，所以21sin =C ，因为)32,0(π∈C 所以2,6ππ==B C ，所以3232221=⨯⨯=∆ABC S 7分(2)原式)60cos(23sin 2)120sin()60cos(23sin 2sin )60cos(sin sin 2sin C CC C C B C A C B +--=+-=+-=2)60cos(23)60cos(3)60cos(23sin 23cos 23=++=+-=C C C CC 14分考点：正余弦定理，二倍角公式16．如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝2EF. (1)求证：BF ∥平面ACE ； (2)求证：BF ⊥BD.【答案】(1)详见解析， (2) 详见解析. 【解析】试题分析：(1) 证明线面平行，需先证线线平行. 正方形ABCD＝AB ，又因为AB，∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ，∴EFBO 是平行四边形，∴BF ∥EO ，又∵BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴BF ∥平面ACE.列线面平行判定定理的条件必须要全面. (2)证明线线垂直，一般利用线面垂直进行转化.条件为面面垂直，所以先由面面垂直性质定理转化为线面垂直：正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面ACE ＝AC ，∴BD ⊥平面ACE ，∵EO ⊂平面ACE ，∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD.证明 (1)AC 与BD 交于O 点，连接EO.正方形ABCD ＝AB ，又因为AB ，∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ， ∴EFBO 是平行四边形，∴BF ∥EO ，又∵BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE 7分(2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面ACE ＝AC ， ∴BD ⊥平面ACE ，∵EO ⊂平面ACE ，∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD. 14分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理，17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (0)k >．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为,a b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC x =（km ）．（1）试将y 表示为x 的函数； （2）若1a =，且6x =时，y 取得最小值，试求b 的值．【答案】(1)22(18)ka kb y x x =+-， (2) 8．【解析】试题分析：(1)解实际问题应用题，关键要正确理解题意，正确列出等量关系，注意考虑函数定义域. 设点C 受A 污染源污染程度为2kax ，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k 为比例系数，且0k >．从而点C 处受污染程度22(18)ka kby x x =+-．定义域为).18,0( (2)因为1a =，所以，22(18)k kb y x x =+-，求复杂分式函数最值，通常考虑利用导数求解.'3322[](18)b y k x x -=+-,令'0y =，得x =，因此函数在)118,0(3b +单调减，在)18,118(3b +单调增，即在x =. 又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意．解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为2kax ，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k 为比例系数，且0k >． 4分从而点C 处受污染程度22(18)ka kby x x =+-． 6分（2）因为1a =，所以，22(18)k kb y x x =+-， 8分'3322[](18)b y k x x -=+-，令'0y =，得x =12分又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意．所以，污染源B 的污染强度b 的值为8． 14分 考点：利用导数求函数值域18．已知)0,2(),0,2(B A -，点D C ,依次满足)(21,2||+==。