广义Schur补为零的一些分块矩阵的Drazin逆表达式

Representations for the Drazin inverse of several block matrices with a generalized Schur complement equal to zero
BU Changjiang，LIU Guangfeng，BAI Shuyan
j =0 D D r －1 j =0 r －1 j =0 j =0 r －1 2j + 2 D
2
主要结果
B，
该文主 要 是 得 到 下 面 形 式 的 2 × 2 分 块 矩 阵 Drazin 逆表达式： M =
A21 = CA （ WA ） （ I － （ WA） BCA D ） + Σ CA π （ BCA π ） j （ （ WA） D ） Σ CA π （ BCA π ） j （ （ WA） D ）
D
示中也有重要应用． 设 M =
矩阵 M 的广义 Schur 补给出分块矩阵的 Drazin 逆表示是近期的一个研究热点问题 ． 这篇文章在分块矩阵 M 的 Schur 补 S 等于零，BCA π 是 r 次幂零矩阵且（ I + BC（ A D ） 2 ） ABCA π = O 的条件下给出分块矩阵 M 的 Drazin 逆表达式． 关键词： Drazin 逆； 分块矩阵； 指标； 广义 Schur 补 中图分类号： O015． 21 ； TP273 文献标识码： A 7043 （ 2011 ） 10139104 文章编号： 1006-
[
]
矩阵的 Drazin 逆表示不仅在矩阵代数中有重 要意义，而且在奇异差分方程、 广义系统、 马尔科夫 ． 尤 链和迭代法等领域中都有十分重要的应用 ［6 ］ 其在奇异线性微分方程的解表示中 ，矩阵的 Drazin 逆理论更是不可或缺的工具． 1979 年，以二阶奇 Campbell 等［1］提出一个 2 × 2 分块矩 异系统为背景， 阵 Drazin 逆 表 达 式 的 open 问 题． 1983 年，Campbell［2］再次提出类似的 open 问题，引起学者们极大 的关注， 但这些问题至今未能完全解决． 近年来一 些学者在分块矩阵的子块满足一定条件下给出其 Drazin 逆表达式［7-14］． 在分块矩阵的广义 Schur 补
第 32 卷第 10 期 2011 年 10 月
哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报 Journal of Harbin Engineering University
Vol． 32 №． 10 Oct． 2011
doi： 10． 3969 / j． issn． 1006 － 7043． 2011． 10． 023
O O ， H =[ ． ] C O] O
2
]
， H =
[
A + A D BC C
Aπ B O
]，
= O，
2 因为 CA π BC = O 且 CA π BC = O． 所 以 H1 H2 = O，
H2 H1 H2 = O 且（ H1 H2 ） 2 = O
2 因为 H2 = O， 所以，由引理 2 得 D D H D = H1 + H2 （ H1 ） 2 D + H1 H2 （ H1 ） 3
定理中所示． 下面给出定理 1 的推论，此 推 论 恰 好 是 文 献 ［ 10］ 的结果． 设分块矩阵 M 如同式 （ 1 ） ． 若 BCA π 是 r 次幂零矩阵， ABCA π = O ，则 推论 MD = 其中：
(
R11 R21
D 3
R12 R22
)
D D 2 D ， 其中： R11 = W － （ W ） BCA + BCA π
（ College of Science，Harbin Engineering University，Harbin 150001 ，China）
Abstract ： The representation of the Drazin inverse of a 2 × 2 block matrix not only has great theoretical value in the generalized inverse theory，but also plays an important role in the expression of the analytical solution of a generalA B ized system in control theory． Let complex matrix M = ，where A and D，are square and S = D － CA D B is C D the generalized Schur complement． Using the generalized Schur complement of block matrix M to give the representation of the Drazin inverse of a partitioned matrix is currently a hot research issue． In this paper，the authors gave the representations of the Drazin inverse of M when the generalized Schur complement S was zero，BCA π was rnilD 2 π potent matrix，and （ I + BC（ A ） ） ABCA = O． Keywords： Drazin inverse； block matrix； index； generalized Schur complement
广义 Schur 补为零的一些分块矩阵的 Drazin 逆表达式
卜长江，刘广峰，白淑艳
（ 哈尔滨工程大学 理学院， 黑龙江 哈尔滨 150001 ） 摘 要： 2 × 2 分块矩阵的 Drazin 逆表示不仅在广义逆理论中有重要的理论价值， 而且在控制理论中的广义系统解析表 S = D － CA B 是分块矩阵 M 的广义 Schur 补． 利用分块 [ C D ]是复数域上 2 × 2 分块矩阵， A B
r －1 j =0 2j + 1
+ Σ
（ I － （ WA） BCA D ） ，
2j + 2
j =0 D
CA π （ BCA π ）
r －1 j =0
是 CA π B = O 和 AA π B = O 成立的必要条件． 定理 2 设分块矩阵 M 的形式如同式 （ 1 ） ． 若 π CA BC = O， AA π BC = O， 则 B11 B12 MD = ． D 2 D 2 D C（ Z ） C（ Z ） A B + C（ Z D ） 3 A π B
（ （ WA） D ）
r －1
（ I － （ WA） D BCA D ） ，
2j + 2
M12 = Σ （ BCA π ） j （ （ WA） D ） M21 = Σ CA D （ BCA π ）
j =0 j =0 r －1 j
B，
D
（ （ WA ）
r －1
）
2j + 1
（ I －
j
（ WA ） D BCA D ） （ （ WA） D ）
D D －1 因为 M = QH Q ， 所以 B11 B12 MD = ． D 2 D 2 D C（ Z ） C（ Z ） A B + C（ Z D ） 3 A π B
[
]
[
]
B12 、 Z 如定理中所示． 其中： B11 、 通过与定理 1 和定理 2 类似的证明方法分别给 出定理 3 和定理 4 ． 定理 3 设分块矩阵 M 的形式如同式 （ 1 ） ． 若 D CA π BCA π = O 且 （ A + BCA D ） BCA π = O， 则M =
［10 ］ 2 P， Q ∈ Cn × n ， Q2 = O ， 若 P Q = O， D D D 2 QPQ = O 且（ PQ） 2 = O， 则（ P + Q） = P + Q（ P ） +
· 1392·
哈
尔
滨
工
程
大
学
r －1
学
报
第 32 卷
PQ（ P D ） 3 ．
A11 = Σ （ BCAπ ） j （ （ WA） D ） 2j + 1 （ I － （ WA） D BCAD ） ， A12 = Σ （ BCA π ） j （ （ WA） D ）
[
]
M22 = Σ CA D （ BCA π ） j （ （ WA ） D ） （ BCA π ） j （ （ WA） D ） W = I + BC（ A D ） 2 ． 证明： 由于 M = PNP 其中： P = I O
2 D －1 2j + 3
B + Σ CA π
D D D 2 其中： B11 = Z + A π BC（ Z BC（ Z ） ，
B，
B12 = （ I + A π BC（ Z D BC（ Z D ） × Z D （ A D B + Z D A π B） ， Z = A + A D BC． －1 证明： 由于 M = QHQ ，令 H = H1 + H2 ． 其中： Q = H1 =
，令 N = P1 + P2 ， A + BCA D
π
A22 = CA D （ （ WA D ） 2 B +
r －1 j =0
Σ CA π （ BCA π ） j （ （ WA） D ）
2j + 3
B，
MD =