高二学考复习资料必修四(3)

第14讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)终边相同的角:终边与角α相同的角可写成 (k ∈Z )．(2)弧度制: ①1弧度的角的概念 ②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度．④弧长公式： 扇形面积公式：S 扇形＝ . 2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx，它们都是以角为 ，以比值为 的函数．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )．A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.第15讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： ； (2)商数关系：sin αcos α＝2．诱导公式:诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±34 4．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.6.(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.7. 已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan (π＋α)，求f ⎝⎛⎭⎫31π3.第16讲 三角函数的图象与性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为: (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为: 2．三角函数的图象和性质(3)周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 .双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋π4，k ∈Z 3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增 4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，05．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为________．第17讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示2．函数3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做 ，T ＝2πω叫做 ，f ＝1T 叫做 ，ωx ＋φ叫做 ，φ叫做 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝ 成轴对称图形． (2)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于点 成中心对称图形．5.在由图象求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)+k (A ＞0，ω＞0)解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝______，k ＝_______，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.第18讲 两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) cos(α－β)＝ ；(2) cos(α＋β)＝ ；(3) sin(α＋β)＝ ； (4) sin(α－β)＝ ；(5) tan(α＋β)＝ ；(6) tan(α－β)＝ . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2α＝ ；(2) cos 2α＝ ＝ ＝ ；(3) tan 2α＝ . 3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β) (2)cos 2α＝ ， sin 2α＝ ；(3)1＋sin 2α＝ , 1－sin 2α＝ ， sin α±cos α＝4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )． A ．－79 B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.6.化简：（1）2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . （2）(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α7.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．8.(2012·西安八校联考)已知f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x ，x ∈R ，求f (x )的最小正周期和它的单调增区间．9. (2012·天津)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．第19讲 正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝ ∶ ∶ ；(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ； (3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ ．余弦定理可以变形为：cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝ .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝ ＝ ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063 D ．5 62．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 35．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．6.(2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.7.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .8.已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．9.(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin2B ＋C 2－12cos 2A ＝74. (1)求角A 的度数； (2)若a ＝3，b ＋c ＝3(b ＞c )，求b 和c 的值．第20讲 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量； (2)零向量； (3)单位向量； (4)平行向量； (5)相等向量； (6)相反向量． 2．向量的加减法运算及几何意义：（1）向量的加法 （2）向量的减法 3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝ ；②当λ＞0时，λa 与a 的方向 ；当λ＜0时，λa 与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝ (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝ ；②(λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得双基自测1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确的个数是( )．A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )． A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.第21讲 平面向量基本定理及其坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ ，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，λa ＝ ，|a |＝ . (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝ .3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当 时，向量a ，b 共线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b3．(2012·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )． A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(4，－6) D ．(－4,6)5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.6.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)7. 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.8. 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？第22讲 平面向量的数量积1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. 3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝| ； (2)a ⊥b ⇔ ＝ ；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝ ；当a 与b 反向时，a ·b ＝ ，特别的，a ·a ＝ 或者|a |＝ (4)cos θ＝ ； (5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝ ； (2)λa ·b ＝ ＝ ； (3)(a ＋b )·c ＝ . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝ ；(2)|a |＝ ；(3)cos 〈a ，b 〉＝ ；(4)a ⊥b ⇔ ＝0⇔ ＝0. 7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝ (平面内两点间的距离公式)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π42．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )3．(2011·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．04．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )． A ．9 B ．4 C ．0 D ．－45．(2011·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 6.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.7.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1，0)．(1)若x ＝π6，求向量a ，c 的夹角； (2)当x ∈[π2，9π8]时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值．8. (2012·青岛二中模拟)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3.(1)求角C ； (2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．。