宝安区2012-2013高二上学期理科试题

宝安区2012-2013学年高二年级期末测试题理 科 数 学 命题 张松柏一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、不等式2x x <的解集是（ B ）A .)1,0( B. ),1()0,(+∞⋃-∞ C. ),1[+∞ D.]1,0[2．=︒⋅︒15cos 15sin （ C ）A .21 B.41-C.41 D.43．下列四个命题中，正确的命题个数为 （ A ） ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α,M ∈β,α∩β=l ，则M ∈l ； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内.A .1 B.2 C.3 D.44.已知函数⎩⎨⎧≤+>=-0|,1|0,)(2x x x e x f x ，则使得1)(=x f 成立的所有x 的值为（ D ）A.2±B.2,0C.2,0-D. 2,0± 5、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，若222b ac c a =-+，则角B 的大小为（ D ）．A .32π B. 4π C. 6π D.3π6、等差数列{}n a 中，记n n a a a S +++= 21，若972S =，则249a a a ++=等于（ C ） A ．14 B ．12 C ．24 D ．167．若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是（ A ）A .6 B.2 C.3 D.48．不同的直线m 和n ，不同的平面γβα,,，下列条件中哪个是βα//的充分不必要条件（ C ）A ．n =γα ，m =γβ ，m n //B ．γβγα⊥⊥,C ．m n //，βα⊥⊥m n ,D ．α//n ，β//m ，m n //9．圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于直线=+2y x 对称，则圆C 的方程是（ A ）A .1)1(22=++yx B. 1)1(22=+-yxC. 2)1(22=++y xD. 1)3(22=++y x10．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 （ A ）A .332 B. -332 C.33 D. -33二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.11．已知一组命题：43:,43:<>q p ，利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是假命题 真 （填“真”或者“假”）12、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，则数列的通项公式为na n 1=.13若关于x 的不等式012>-+-m mx mx的解集为φ，则实数m 的取值范围是0≤m ．14、 投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需场地2002m ,可以获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100m 需要资金300万元，需场地1002m ，可以获利润200万元。

现单位可以使用资金1400万元，场地9002m ，请你用你所掌握的数学知识进行投资组合，使得单位获得最大利润，可能获得的最大利润为 1475 万元。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

15．（本题12分）已知椭圆C 的方程为22191xykk +=--．（1）求k 的取值范围； （2）若椭圆C的离心率e =k 的值．15．解（1）1<k <5或5<k <9； （ 6分） （2）当焦点在x 轴上时，k =2当焦点在y 轴上时，k =8 （12分）16．（本题12分）如图，2=BC ，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为 )0,21,23(,点D 在平面yOz 上，且 90=∠BDC , 30=∠DCB .（1） 求向量OD 的坐标（2） 求向量BC AD 和的夹角的大小.16．解:1)由 90=∠BDC , 30=∠DCB ,在平面yOz 上,D作y 轴的垂线,垂足为E,得1===OC OB DO ,易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21,0D ,即OD 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,0 （6分）2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21,0D ,)0,21,23(A ,()()0,1,0,0,1,0C B - ()02023123，，BC ，，，AD =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴,510431432cos -=++-==∴θ（12分）17．（本题14分）在锐角A B C ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，b =，求AC AB ⋅的值．17.解：（12sin 0b A -=，2sin sin 0A B A -=， （ 3分）因为sin 0A ≠，所以23sin =B . （4分）又B 为锐角， 则3B π=. （7分）（2）由（1）可知，3B π=．因为b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，（9分）整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6a c =．又a c >，可得 3a =，2c =． （12分）于是222cos 214b c aA bc+-===，所以cos cos 2114AB AC AB AC A cb A ===⨯=． （14）分18．（本题14分）已知椭圆222221222:1(0)(0)x y C a b C x y r r ab+=>>+=>和圆：都过点P （－1，0），且椭圆1C2，过点P 作斜率为21,k k 的直线分别交椭圆C 1、圆C 2于点A 、B 、C 、D （如图），122k k =．（1）求椭圆1C 和圆2C 的方程； （2）求证：直线BC 恒过定点．18．解（1）222:1C x y +=221:21;C x y += （4分）（2）222221111221112122(12)4210,(1,)1212(1)x y k k x k x k A k k y k x ⎧+=⇒+++-=-+⎨++=+⎩（6分）22222111122111122(1)210,(1,)11(1)x y k k x k x k B k k y k x ⎧+=⇒+++-=-+⎨++=+⎩（8分）同理可得：22222222222222(1,),(1,)121211k k C D k k k k -+-+++++，（10分）212BC k k =-，直线BC 的方程为21(1)2y x k =--，恒过定点（1，0） （14分）19．（本题14分）设数列}{n a 是首项为0的递增数列，(*)n ∈N ，,)(1sin)(n n a x nx f -=,[n a x ∈]1+n a 满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根. (Ⅰ)试写出)(1x f y =，并求出2a ； (Ⅱ)求n n a a -+1，并求出}{n a 的通项公式；(Ⅲ)设n n n a a a a a S 14321)1(--++-+-= ，求n S .19．解（Ⅰ）∵01=a ,当1=n 时,|sin ||)sin(|)(11x a x x f =-=,],0[2a x ∈, 又∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根,∴π=2a∴],0[,sin )(1π∈=x x x f ， π=2a （4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）,],[|,2cos||)(21sin||)(21sin|)(322a x x x a x x f ππ∈=-=-=∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π33=a ],3[|,31sin||)3(31sin||)(31sin|)(433a x x a x x f πππ∈=-=-=∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π64=a由此可得πn a a n n =-+1， 2)1(π-=n n a n （9分）(14分)20．（本题14分）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求PA PB∙的最小值。

20．解法1如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，PO=，sin α=，（4分）||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x xx -+，令PA PB y ∙= ，则4221x xy x -=+，（8分）即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+.此时x =（14分）解法2：设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sinsin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2s i n,012x x θ=<≤，()()1121233x x P A P B x x x--∙==+-≥ 解法3：建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-。