不可约多项式和互素的区别
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
有理数域上不可约多项式
§7.8 有理数域上的不可约多项式
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本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如 何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是 本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
都是本原多项式
f x g x c0 c1x
p ck , k 1,2,
ci j xi j
cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数 也不能被p整除，
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
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但两者不能同时成立。
p2
a0
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不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ， 由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
有限域上的不可约多项式与其分布
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(保密的学位论文在解密后适用本承诺书)作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论有限域是计算机科学与数字通讯领域最基本的数学工具之一,也是现代代数学的重要分支之一。
在初等数论里面，我们已经知道，对于每个素数p ，都存在p 元有限域。
更进一步，利用简单的域的扩张理论，我们能确定出全部有限域，并且得出，对于任意奇素数的方幂q 和任意正整数n ，都存在着n q 个元素的有限域。
近五十年来，由于它在组合，编码，密码，通信等学科的广泛应用，而逐步形成富有特色的代数学核心课程。
有限域的理论最早可追溯到费尔马（FERMAT 1601-1665）和欧拉（EULER 1707-1783），他们为一些特别的有限域结构，如素数域，作出了重要的贡献。
有限域的一般理论主要从高斯（GAUSS 1777-1855）和伽罗瓦（GALOIS 1811-1832）的工作开始，但最近几十年，随着离散数学的发展，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用。
例如，有限域的计算和算法分析对计算机代数和符号计算有重要的影响。
我们用()GF q 表示含有q 个元素的有限域，q 为素数p 的方幂。
我们知道，不可约多项式在多项式中的地位相当于素数在整数中的地位。
类似整数的分解唯一性，()[]GF q x 中多项式()f x 在()GF q 上的分解也是唯一确定的。
除了多项式的次数，刻画有限域上的多项式的另一个重要参数是多项式的周期。
不可约多项式定义
不可约多项式定义好的，以下是为您生成的关于“不可约多项式定义”的文章：---【不可约多项式定义】**开场白**嘿，朋友们！在数学的奇妙世界里，有一个叫做“不可约多项式”的概念。
你有没有在做数学题或者学习代数的时候，被这个词搞得有点晕头转向？其实啊，它并没有那么神秘，今天咱们就一起来揭开它的面纱！**什么是不可约多项式？**简单来说，不可约多项式就是在某个数域范围内，不能再分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说，在有理数域上，多项式 x² + 1 就是不可约多项式。
给您举个生活中的例子，不可约多项式就像是一个完整的、无法再拆开的拼图块。
如果能拆开，那就不是不可约多项式啦。
这里要纠正一个常见的误区哦，有些人可能会觉得只要多项式看起来复杂，就是不可约多项式，这可不对！得按照严格的数学定义和方法来判断。
**关键点解析**3.1 核心特征或要素不可约多项式有几个关键要素。
首先是数域，不同的数域中，同一个多项式的可约性可能不同。
比如 x² - 2 在有理数域上是不可约的，但在实数域上就不是了，因为在实数域上它可以分解为 (x - √2)(x + √2) 。
这就好比同样的一个物品，在不同的环境下可能有不同的用途。
其次是次数，不可约多项式的次数是有规定的，不能是零次多项式（也就是常数）。
还有就是不能分解这一特性，意味着找不到其他两个非零多项式相乘能得到它。
3.2 容易混淆的概念容易和不可约多项式混淆的概念是可约多项式。
可约多项式就是能分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说在有理数域上，x² - 1 就是可约多项式，因为它可以分解为 (x - 1)(x + 1) 。
不可约多项式和可约多项式的区别就在于能否分解，这是判断的关键。
**起源与发展**不可约多项式的概念起源于代数数论的研究。
在数学的发展历程中，随着对多项式性质的深入研究，不可约多项式的重要性逐渐凸显出来。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式
对于Z2上一个n次多项式f(x)=xn+xk+1(n,k不同时为 偶数)，则有： 1）当n4时，若n1mod3,k2mod3,或n2mod3而 k1mod3时，f(x)有因子x2+x+1，即f(x)可约。 2）f(x)满足下列3个条件中一个时，f(x)可约： i)n是偶数，k是奇数，n2k,而nk/20mod4或 1mod4 ii)n是奇数，k是偶数，k不能整除2n,而n3mod8 iii)n是奇数，k是偶数，k|2n,而n1mod8
定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多项 式 ， 若 能 找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约 多项式。 p=3
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的 多项式，不一定就可约。 如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约。
2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将 域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按 某种规定排列先后，排在最前面的多项式就 是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量 就很大。
有限域上的不可约多项式最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表次数小的在前面大的在后次数相等的按某种规定排列先后排在最前面的多项式就是不可约的把它圈出来剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的重复这一过程即可但当n适当大时工作量就很大
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
不可约多项式的和仍是不可约多项式
不可约多项式的和仍是不可约多项式不可约多项式的和仍然是不可约多项式，这是多项式理论中的一个重要性质。
在这篇文章中，我们将解释什么是不可约多项式，为什么它们的和仍然是不可约的，并提供一些具体的示例来说明这个结论。
首先，我们需要明确什么是多项式和什么是不可约多项式。
一个多项式是由常数项、一次项、二次项等有限项的代数和构成的数学表达式。
每个项由一个系数乘以一个变量的幂次。
例如，多项式P(x)=2x^3-3x+1就是一个多项式，其中2、-3和1是系数，x^3、x和1是项，3、1和0是幂次。
不可约多项式是指不能再被其他多项式整除的多项式。
换句话说，如果一个多项式P(x)不可以被另一个多项式Q(x)整除，那么P(x)就是一个不可约多项式。
例如，多项式P(x)=x^2-3x+2是不可约的，因为它不能被任何其他一次或更低次数的多项式整除。
现在我们来证明不可约多项式的和仍然是不可约的。
假设P(x)和Q(x)是两个不可约多项式，我们要证明它们的和P(x)+Q(x)仍然是不可约的。
为了证明这个结论，我们使用反证法。
假设P(x)+Q(x)是可约的，则存在一个多项式R(x)使得P(x)+Q(x)=R(x)，其中R(x)不是常数。
由于P(x)和Q(x)是不可约的，我们可以假设R(x)的次数大于等于P(x)和Q(x)的次数，即deg(R) ≥ deg(P)、deg(R) ≥ deg(Q)。
然后，我们可以将P(x)和Q(x)表示为如下形式：P(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x) = b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0。
其中a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0是P(x)的系数，b_m、b_{m-1}、...、b_1、b_0是Q(x)的系数。
根据多项式的加法，我们有P(x)+Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0+b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0=R(x)。
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不可约多项式和互素的区别
在数学领域中，不可约多项式和互素是两个非常基础而重要的概念。
这两个概念分别描述了多项式之间的不同特征，下面将详细讲述不可约多项式和互素的区别。
一、不可约多项式
在代数学中，不可约多项式指的是不能分解成两个或更多多项式乘积的多项式。
不可约多项式是有理数系或实数系或复数系上的多项式。
它们的系数是有理数或实数或复数。
这样的多项式具有区别于次数为一次或零次多项式的性质，因为它们不能完全分解成一次或零次多项式的乘积。
不可约多项式的重要性在于它们是多项式环上的基本元素，而且能够用来描述一些数域的性质，比如代数数的阶。
不可约多项式的定义是不可分解的，因此它的因子只能是常数和自身，而不能分解成其他单项式。
不可约多项式的一个重要性质是，它必须是多项式环上的主理想的生成元。
二、互素
互素指的是在整数环上，若两个整数的最大公约数为1，则这两个整数互质。
推广到多项式环上可以得到，若两个多项式的最大公因式为1，则这两个多项式互素。
比如，f(x) = x^2+1, g(x) = x+1。
这两个多项式不可约，但它
们不互素，因为它们的最大公因式为1，即f(x)和g(x)没有公共因子。
互素的概念可以用于求解线性代数和数学分析中的问题。
比如，假设有两个多项式f(x)和g(x)，它们互素，如何求得f(x)和g(x)的乘积的系数。
可以利用互素的特性，将f(x)和g(x)展开成两个整数m和n的积，再通过展开式转换，求得系数。
这个方法广泛应用于线性代数和数学分析中。
三、不可约多项式和互素的区别
虽然不可约多项式和互素都是多项式理论中的基本概念，但它们之间存在着一定的区别。
主要表现在以下几个方面：
1、定义不同：不可约多项式指的是不能再分解的多项式，互素指的是最大公因式为1的多项式。
2、性质不同：不可约多项式通常满足一些数学公理，比如它们是多项式环上的主理想的生成元等。
而互素无此性质。
3、用途不同：不可约多项式主要用于表示一些数域的性质，比如代数数的阶。
互素主要用于求解线性代数和数学分析中的问题。
4、分类方法不同：不可约多项式可以按多项式环的特性进行分类，比如有理数系或实数系或复数系上的多项
式；而互素主要根据系数的特性进行分类，比如一次函数或二次函数等。
总的来说，不可约多项式和互素分别描述了多项式之间的不同特征，它们在数学中起着不可替代的作用。
对于专业从事数学研究的学者而言，深入了解它们之间的区别对于更好地掌握数学知识和理论，具有重要的指导和启示作用。