不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
有理系数不可约多项式的判别
有理系数不可约多项式的判别在多项式环中，一个多项式是不可约的，如果它不能被分解为两个次数较低的有理系数多项式之积。
在数学领域中，有理系数多项式的不可约性判断是一个重要的研究问题。
以下是关于有理系数不可约多项式判别的详细解答。
1.定义与性质有理系数多项式是指系数为有理数的多项式。
对于一个有理系数多项式f(x)，如果存在两个有理系数多项式g(x)和h(x)，使得f(x)=g(x)⋅h(x)，则称f(x)是可约的，否则称为不可约的。
有理系数多项式的不可约性是一个重要的代数概念，具有重要的性质和实际应用价值。
一个不可约多项式不能被分解为两个次数较低的有理系数多项式之积。
因此，判断一个有理系数多项式是否不可约具有重要的实际意义。
1.艾森斯坦准则艾森斯坦准则是一种判断有理系数多项式不可约的有效方法。
根据艾森斯坦准则，一个有理系数多项式f(x)可约的充分必要条件是存在某个素数p，使得p能整除f(x)的每一个系数。
如果f(x)是不可约的，那么它的每一个系数都不能被同一个素数整除。
艾森斯坦准则提供了一种判断有理系数多项式是否不可约的有效方法。
然而，这种方法需要计算出多项式的每一个系数，并检查它们是否能被某个素数整除。
因此，当多项式的系数较大时，这种方法可能会变得非常复杂和耗时。
1.辗转相除法辗转相除法是一种常用的求解两个多项式最大公因式的算法，可以用来判断有理系数多项式的不可约性。
辗转相除法的思想是不断用较小的多项式去除较大的多项式，直到余数为零或无法继续分解为止。
如果最终得到的余数为零，则说明原始的两个多项式互质，即它们没有公因式。
如果辗转相除法无法得到余数为零的结果，则说明原始的两个多项式之间存在公因式，即它们不互质。
通过将一个有理系数多项式分解成若干个互质的多项式之积，可以判断该多项式是否不可约。
如果分解后得到的每个互质多项式都是不可约的，则原始的多项式也是不可约的。
1.判别法判别法是一种判断有理系数多项式是否不可约的方法。
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
二、不可约多项式
f ( x ), g ( x ) 的标准
f ( x ), g( x ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个．
例如，若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
f ( x ) ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x ) g( x ) bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x ) ps rs ( x ), ri 0 ps ls ( x ), l i 0
f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
由归纳假设 f1 ( x ), f 2 ( x ) 皆可分解成不可约多项式的积.
f ( x )可分解为一些不可约多项式的积.
再证唯一性 . 设 f ( x ) 有两个分解式
f ( x ) p1 ( x ) p2 ( x ) q1 ( x )q2 ( x )
一、问题的引入
二、不可约多项式
三、不可约多项式的性质
四、因式分解及唯一性定理
一、问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关
如： x 4 4 x 2 2
x2 2
2
2
（在有理数域上）
x 2 x 2
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
不可约多项式的判别
不可约多项式的判别一个多项式是否可约取决于它的系数所在的域。
下面给出了一些判别不可约多项式的方法。
1. 整数域中的多项式：在整数域中，两个常用的判别方法是Eisenstein 判别法和 Modulus 判别法。
- Eisenstein 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，满足以下条件：- p 不能整除 aₙ；- p 能整除 a₀, a₁, ..., aₙ₋₁；- p²不能整除 a₀；那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
- Modulus 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，使得 P(x) 在有限域 Zₙ 上可约（即 P(x) 在模 p 的意义下有一个非常数的因子），那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
2. 实数域、复数域和有理数域中的多项式：在这些域中，不可约多项式的判别较为简单，只需要使用带余除法进行因子分解判别即可。
带余除法即根据多项式除法的原理，如果存在一个多项式 Q(x)和 R(x)，使得 P(x) = Q(x)B(x) + R(x) 并且 R(x) 为零次或者次数小于 B(x) 的多项式。
如果 R(x) 为零次多项式，则 P(x) 是可约的；如果 R(x) 的次数大于等于 1，则 P(x) 是不可约的。
需要注意的是，对于高次多项式，进行带余除法可能会非常复杂，需要借助计算机进行多项式除法运算。
综上所述，对于一个多项式的可约性的判别需要根据具体的域和具体的算法进行分析。
以上只是给出了一些常用的判别方法，实际的判别可能需要更加复杂的计算。
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
有限域上本原多项式与不可约多项式判定
定义2.1.4（域） 可交换的除环称为域。
定义2.1.5一个域如果包含有限个元素，则称其为有限域，其元素的个数称为该域的阶。
2.2 多项式环
本节对有限环 上的多项式的相关理论做简单介绍，因为有限环 上的多项式的许多定义以及性质可以类推到有限域上，可以说，有限域上的多项式即是具有特殊限制条件的有限环 上的多项式。
（1）（封闭性） ， ，有 ；
（2）（结合性） ， ， ，有 ；
（3）在 中有一个元素 ，对 中任意元素 ，有 ，元素 称为单位元；
（4）对 中任一元素 ，都存在 中的一个元素 ，使得 ， 称为可逆元， 称谓 的逆元，记作 ，
则称 关于“ ”形成一个群（Group），记作 ， ，通常在不混淆的情况下省略“ ”，用 来表示一个群， 也简记为 。
（1）R关于加法运算“ ”构成一个Abel群；
（2）R关于乘法运算“ ”构成一个半群；
（3） ， ， ，有 ， ，即分配律成立。
则称R关于“ ”和“ ”形成一个环（Ring），记作 ， ， ，通常在不回产生混淆的情况下省略“ ”和“ ”，用 来表示一个环。
关于环的概念我们需要注意以下一点：
（一）加法单位元一般记作 ，称为零元。
论文的第一章为绪论部分，在绪论部分中，我们主要介绍了该课题研究背景、研究意义、研究现状以及本文的研究成果和各章节结构安排；在第二章中，参考文献[2]，对域、有限域以及有限域上的多项式等知识点进行了简要介绍，对基本定义以及相关的定理进行了初步的描述与证明；第三章中对王鑫和王新梅等人在其文献[1]中提出的判定有限域上不可约多项式与本原多项式的充要条件进行了论证，其中引理的证明参考了文献[4]中的相关知识。本次毕业设计我们使用Microsoft Visual Studio 2008软件，用c++语言编程实现算法，在第四章中我们对实现判定有限域上不可约多项式及本原多项式的算法进行了介绍，并对其中的模运算、乘法运算、快速指数算法、欧几里得算法、整数分解算法等核心模块进行了描述。第五章中我们对程序的运行进行了测试，使用的是文献[7]中的 上的30次以下的本原多项式。第六章为结论部分，对本次论文情况进行了总结，并提出了本次课题的不足之处以及可以改进的地方。
关于多项式不可约性的定理
关于多项式不可约性的定理
多项式不可约性定理（Irreducibility Theorem）是数论中
一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根。
多项式不可约性定理的形式很简单：任何一个非负整数的多项式，只要它的系数不全为
0，就是不可约的。
这个定理的证明是由古典数论中的结论——“欧拉定理”推导而来的。
欧拉定理宣称：任何一个大于1的正整数都可以表示为质数的乘积。
通过把多项式的系数转换为质数的乘积，可以把多项式分解为该质数的乘积，从而证明多项式不可约性定理。
多项式不可约性定理有着重要的应用价值。
它可以用来确定一个多项式是否可以被约分，以及求解多项式的根。
例如，如果一个多项式的系数都是质数，那么它就是不可约的，而且可以求出它的根；如果一个多项式的系数不全是质数，那么它就是可约的，可以用约分的方法求解。
多项式不可约性定理的另一个重要的应用是，它可以用来证明另外一个重要的定理，即“欧拉定理”。
例如，如果一个正整数大于
1，它可以表示为质数的乘积，那么它就是不可约的，而
且可以用多项式不可约性定理来证明。
总之，多项式不可约性定理是数论中一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根，也可以用来证明欧拉定理。
因此，它对数论的研究有着重要的意义。
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不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
(3) f (x) | g(x), f (x) | g(x)i=12| 朴,r ，那么f (X)1(U i (x)g i (x) +u 2(x)g 2(x) +川+ u r (x)g r (x)),其中ui(x)是数域P 上任意多项式。
⑴ 2.2本原多项式若是一个整系数多项式f (x)的系数互素， 那么f (x)叫做一个本原多项式。
2.3有理数域上多项式的等价设g(x)有理数域上的一个多项式， 若g(x)的系数不全是整数，那么以g(x) 系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。
显然，多项式g(x) 与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。
2.4多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可 再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言, 有例如下把x^9进行分解，可分解为X 4-9=(X 2+3X X 2-3) 但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进X 4 -9 =以2 +3X X -5/3)(X + 73)g(x) rH步而在复数域上，还可以再进一步分解为x4 -9 =(x + 73i )(x-73r “+囘x-冋由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。
在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域P上多项环P[X]中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义2・4・1数域P上的次数＞1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式, 如果它不能表示成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。
我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下(1)一次多项式总是不可约多项式；(2)—个多项式是否不可约是依赖于系数域的(3)不可约多项式p(x)与任一多项式f(X)之间只能是有两种关系，或者p(x) | f(X)或者(p(x),f(x)) = 1，事实上，如果(p(x), f(X))= d(x)，那么d(x)或者是1，或者是cp(x)(cHO)，当d(x) = cp(X)时，就有P(x)|f(x)。
⑴2.5有理数域上不可约多项式的定义如果f (x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。
3.有理数域上不可约多项式的判定方法3.1 Eisenstein判别法⑴在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。
而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。
3.1.1直接判别法[2]定理3.1.1设f(x) = a n X n+...+ a o是一个整系数多项式，其中n X1,设存在一个素数P，使得P不整除a n，P整除a i (is )但卩2不整除a。
，那么多项式f(x) 在有理数域上不可约。
3.1.2间接判别法对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。
在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。
我们所学的也只有Eisenstein判别法，但不能直接运用。
考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x = ay + b，这样产生了Eisenstein 判别法的间接判别法。
定理3.1.2有理系数多项式f(x)在有理数域上不可约的充分必要条件是对于任意的有理数aHO和b，多项式f(ax+b)在有理数域上不可约。
例1证明f( x)= X+在Q上不可约。
证明：f (x + 1) = (x +1)4 +1 =x4 +4x3 + 6x2 +4x+2取p=2,则P不整除1，P整除4,6,2, p2不整除2由Eisenstein判别法知f(x+i)在Q上不可约，因此f(x)在Q上不可约。
3.1.3其他派生出的判别法这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似，能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。
定理3.1.3设f(X)=anX n+an4X n4+…+ax+a是一个整系数多项式，如果存在一个素数P ,使P 整除常数项a 。
但整除其他各项系数且p 2不整除最高次数项 系数，那么多项式在有理数上不可约。
例2下列多项式在有理数域上是否可约?⑷x P +px+1 , p 为奇素数； ⑸x 4+4kx+1 , k 为整数.解：(1)令x = y +i ，贝y 有g(y) =f(y+1) = (y+1)2+1=y 2+2y + 2取素数p =2,由于2 1,2 | 2,但是222故由Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理 数上不可约，从而f (x) = x 2 +1在有理数域上也不可约。
⑵ 取素数P =2,则2 1,2 | -8,2 | 12但是22 2故由Eisenstein 判别法可知，该多 项式在有理数域上也不可约。
⑶令 X = y +1，代入 f (x) = X 6 +x 3 +1，得g(y) =f(y + 1) = y 6 +6y 5+15y 4 +21y 3 +18y 2+9y + 3取素数 p =3。
由于 3 1,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是 32 3,故由 Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可 约。
⑷令 X = y -1，代入 f (x) = x p+ p x+1，得 g(y)=f(y_1)=y P_C p y 卩二+厲丫 卩'(5)令 x=y+1，代入 f(x) = x 4+4kx+1,得 g(y) = f(y+1)=y 4 +4y 3 +6y2+(4k+4)y+4k+2(1)x 2 +1 ； (2) x —8x 3 +12x 2 +2 ； ⑶ X 6 +x 3+1 -川-C 笄y 2+(C p P 」+ p )y -p 由于 P 是素数，且 p|1,p |c P ,(i =1,2,1} p-2) pKc P"1+p ) p 2|p ,故由 Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可约。
取素数p=2,由于 2 1,又 2 | 4,2 | 6,2|(4k+4) , 2 | (4k+2)，但22(4k+2)，故由Eisenstein判别法可知，g（y）在有理数上不可约，从而f（x）在有理数域上也不可约。
3.2 Kronerker 判别法[2]定理3.2.1设f（x^Q[x ]，这里Q为有理数域。
则在有限步下fd）能分解成不可约多项式的乘积。
（只考虑整系数多项式的情形）例3证明f（X）=x—+1在Q上不可约。
证明：s=2<—取a。
= 一1,a1 =,0, a2 = 1，2则f(—1)=0, f(0) =1,f(1)=2f(-1)=0, f(0) =1, f(1)=2从而f（-1）的因子是0，f（0）的因子是1， f （1）的因子是1,故令g(-1)=0,g(0) =1,g(1) = 1;g(-1) = 0,g(0) =0,g(1) = 2应用插值多项式:g1(x) = 0 + g^ + g^」(x2 — x-2)(0+1)(0-1) (1中1)(1-0) 20 十(x+1)(x-1)十2(x + 1)(x-0) (0+1)(0 T)可约。
3.3 Perron判别法⑶=x +1(1 +1)(1-0)g2（x）由带余除法可知, g i(x)不整除 f (x)，g2（x）不整除f （x），所以f （x）在Q上不定理 3.3.1 设f(X)=x n+a n斗x n°+a +…+a0，aHO是多项式，如果|9」〉1 + &_2丨+心心丨也"匕丨+|知，则f(x)在Q 上不可约。
例4证明f(X)=x 5 +4x 4+x 2 +1在Q 上不可约 证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足 判别法的条件，由题意可知4A1+1，所以据Perron 判别法可知该多项式在 Q 上不可约。
3.4 Brown 判别法⑶定理3.4.1设f(x)是n 次整系数多项式，令s(f)_{Tf(_i)|,|f(o)|,f(i)TN i 表示S(f)中1的个数，N p 表示S( f)中的素数的个数，如果N p +2N" n+4， 则f(x)在Q 上不可约。
例5证明f(X)=2x 3 -x 2 +x -1在Q 上不可约证明：；f(0) = —1, f (1) = 1, f(-1) = —5, f(2) =13, f(—2) = —23, f(3) =47 /. N p >4,N i >2故 N p +2N i >8 卒+3所以多项式在Q 上不可约。