二元域次数为8的不可约多项式

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有限域上多项式及其简单应用

有限域上多项式及其简单应用作者：李一帆来源：《科教导刊·电子版》2017年第19期摘要本文介绍了近世代数中的域及有限域的基本概念与性质，并探究了有限域中的几种重要的多项式及其在密码学领域的简单应用。

关键词域有限域多项式简单应用中图分类号：O157.4 文献标识码：A0引言域是许多数学分支（如代数、代数数论、代数几何等）研究的基础，而其中有限域对于探究代数结构及其运用是非常重要的。

有限域上多项式在、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等许多领域有广泛应用。

1域和有限域的基本概念1.1相关定义定义1 设R是一个环，如果，又有单位元且每个非零元素都有逆元，则称R是一个除环。

可换除环称为域。

定义2域中元素的个数为有限时，则称域为有限域或galois域，记为GF。

并把元素个数称为有限域的阶，记为GF（n）。

1.2域的基本性质（1）数域都是域；（2）域没有零因子；（3）域的特征只能是素数或无限；（4）有限除环必为域。

2有限域上的几种常用多项式2.1有限域上的一元多项式设n是一非负整数，表达式？（1）其中a0，a1，…，an属于有限域GF，称（1）为系数在有限域GF中的一元多项式。

2.2有限域上的不可约多项式设，非常数。

若有，使得，则或为常数（0次多项式），则称为多项式环中的不可约多项式或中的素元。

2.3有限域上的本原多项式设是上的n次不可约多项式。

若满足的最小正整数为，则称为上的本原多项式。

3有限域上多项式在密码学中的简单应用3.1与的乘法比较设是域上的一个n次不可约多项式，则例设为3次不可约多项式，则。

解若为的一个本原元，则。

记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x+1=011=3，x2=100=4，x2+1=101=5，x2+x=110=6，x2+x+1=111=7；则乘法表如表1，乘法表如表2，由上述表格得出，在中，所有非零元素都有乘法逆元；在中，非零元素2，4和6无乘法逆元。

二、不可约多项式

2
p(x)不可约 c( 0) P, cp ( x) 不可约.
证明：假定 cp ( x) g ( x)h( x), g , h (cp )
p ( x) [c -1 g ( x )]h( x ), [c 1 g ( x )], h p ，这与 p(x)不可约矛盾，
f ( x ), g ( x ) 的标准
f ( x ), g( x ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数中较小的一个．
例如，若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
f ( x ) ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x ) g( x ) bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x ) ps rs ( x ), ri 0 ps ls ( x ), l i 0
1
p2 ( x )
由归纳假设有
ps ( x ) c1 q2 ( x )
qt ( x )
s t.
s 1 t 1,
2. 标准分解式：对 f ( x ) P[ x ], f ( x ) 1,
f ( x ) 总可表成
f ( x ) cp1r1 ( x ) p2 r2 ( x )
④ 多项式 p( x ) ( p( x )) 1 不可约,则p(x)的因式只有非零常数c和 cp(x). (p(x)的平凡因式)
三、不可约多项式的性质
1 p(x)不可约 f P[ x]，p | f 或 ( p, f ) 1 .
d ( 0) P ( p, f ) 1 p不可约或证明：设 ( p, f ) d d | p d cp (c P ) p | f

信息安全数学基础环和域基础知识

域的例子（1）
在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
令p是一个素数，在模p加法和模p乘法运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).
注意：整数环Z不是域；当n是合数时，Zn不是域。有限群、子群、商群和群的阶的概念可以直接推广到环和域中。
域的特征
F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，则记char(F) =∞.
性质：如果char(F)有限，则一定是素数.
域的例子（3）
构造方法
域上的多项式环不可约多项式
定理
令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，则域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.
注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.
1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码
教学资料
资料仅供参考
定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
类似的有环同态基本定理
概念的类比
群
环
正规子群

代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用

不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在某个数域上不能再被分解为更低次的多项式
性质：不可约多项式是整数的唯一因数分解的必要条件
应用：在代数数论、几何学、组合数学等领域有广泛应用
重要性：不可约多项式是数学中一个重要的概念，对于理解数学的内在结构和发展有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域的一个重要应用领域
有限域的元素具有线性组合和乘法运算的封闭性，使得线性码具有很好的性质
线性码的生成矩阵和校验矩阵可以表示为有限域上的矩阵
有限域的元素个数决定了线性码的码距和最小码距
定义：有限域的扩展运算是指将有限域中的元素进行有限次运算，以生成新的元素。
性质：有限域的扩展运算具有封闭性，即运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有限域的扩展运算具有特定的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法等。
应用：有限域的扩展运算在密码学、编码理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法逆元
有限域中的乘法是可结合的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则：有限域中的元素只能进行加法运算，不能进行减法运算，通常用模运算实现减法。
乘法运算规则：有限域中的元素只能进行乘法运算，乘法满足结合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码理论中的基本概念，为RS码提供了数学基

高级数据加密标准AES

3
高级数据加密标准AES

AES

分组密码分组长度128比特 Substitution-Permutation Network (SPN) 三种不同长度的密钥和轮数

AES-128：128比特密钥 + 10轮 AES-192： 192比特密钥 + 12轮 AES-256： 256比特密钥 + 14轮
则rk-2=GCD(a,b)
6
AES数学基础（续）
1. 欧几里德算法(Euclid)

用于计算a和b的最大公因子 GCD(a,b)

使用GCD(a,b)=GCD(b, a mod b)
2. 扩展的欧基里德算法

用于寻找x和y, 满足ax+by=GCD(a,b)

基本思想：在欧几里德算法的第i步，寻找 ri=axi+byi.
{0 1 0 1 0 1 1 1} {1 0 0 0 0 0 1 1} {1 1 0 1 0 1 0 0} {5 7} {8 3} {6 4}

有限域GF(28)中两个元素的乘法

用●表示模二元域GF(2)上一个8次不可约多项式的多项式乘积 AES选择不可约多项式为
m(x) x x x x 1

8
AES数学基础（续）

上面过程的逆过程 17 = 2040 -7 · 289 17 = 2040-7 · (4369-2 · 2040) =-7 · 4369 + 15 · 2040 17 = -7 · 4369 + 15 · (6409-4369) =15 · 6409-22 · 4369 17= 15 · 6409-22 · (42823-6· 6409) = −22 · 42823 + 147 · 6409 即(42823, 6409) = −22 · 42823 + 147 · 6409.

密码学数学基础第十一讲有限域

5 5 2 7 4 1 6 3
6 6 4 2 0 6 4 2
7 7 6 5 4 3 2 1
非零元素
在Z8中的出现次数
在GF(23)中的出现次数
1 4 7
2 8 7
3 4 7
4 12 7
5 4 7
6 8 7
7 4 7
在Z8中，非零元素2，4和6无乘法逆元。在GF(23)中，所有非零元素都有乘法逆元。
二进制的形式： 01010111 10000011 11010100
十六进制的形式： 57 83 D 4
②加法逆元
( x6 x4 x2 x 1) 的加法逆元是它本身。
③乘法：先进行多项式相乘，再将结果模不可约多项式 m(x)=x8+x4+x3+x+1。例： 57 83 C1
3
4 5 6 7
3
4 5 6 7
6
3 1 7 5
5
7 4 1 2
7
6 2 5 1
4
2 7 3 6
1
5 3 2 4
2
1 6 4 3
Z8={0，1，2，…，7}乘法表 ·
1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7
2 2 4 6 0 2 4 6
3 3 6 1 4 7 2 5
4 4 0 4 0 4 0 4
定理3：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设 p是一个素数，Zp={0，1，2，…，p－1},设f(x)是 Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn，其中 n≥2是一个整数，则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若 |Fq|=p，则Fq与Zp同构。将阶为pn的有限域记作GF(pn)，称之为pn阶的 Galois域。

如何判别一个多项式不可约

探索不可约多项式的应用
除了在数学理论研究中的应用外，不可约多项式在实际应用中也有着广泛的应用前景。例如，在计算机科学、信息编码等领域中，不可约多项式可以用于构造一些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项式的方法
目前我们判别不可约多项式的方法主要适用于有限域上的多项式，对于其他情况是否适用还需要进一步的研究和探索。因此，推广判别不可约多项式的方法也是未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
THANKS
谢谢您的观看
不可约多项式是整环上的不可约元，即它不能被其他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是不可约元，因此它在整环中是不可约的。
不可约多项式是素数，即它没有除了1和自身以外的因数。
不可约多项式在整环中是不可约的，因此它在整环中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域具有重要研究价值，有助于深入理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的判别方法可以用于设计高效的算法，例如在符号计算、数值分析等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握多项式不可约的判别方法有助于提高数学素养和解题能力。

21代数学基础有限域

定理
令 F 是任一有限域， f (x) F[x] ， f (x) 是 F 上的一个 n 次不可约多项式，是 f (x) =0 的一个根，那么元素1, , 2, n1 在 F 上是线性无关的。
也就是说，如果存在 ri F,i 0, 1, 2, ,n 1 ，满足 r0 r1 r2 2 rn1 n1 0 ，则必有 r0 r1 r2 rn1 0 .
n1
组基张成的向量空间{ rii | r0,r1,r2rn1F}是一个阶为(#F)n i0
的有限域。
例域F28
• f (x) x8 x4 x3 x 1 是二元域 F2 上的一个 8 次不可约多项
式， F2[x] / f (x) 是所有次数小于 8 的多项式的集合（共有 256 个元素），按照模 f (x) 加法和模 f (x) 乘法运算构成的域，可以简便地用一个字节来表示 F2[x] / f (x) 中的一个元素；
以下性质：
(1) (u v) u v;
(2) ( )u u u ;
(3) ()u (u) ;
(4) 1 v v. 则称V 是域F 上的一个向量空间或线性空间。
❖ 由线性代数的知识，n个线性无关的元素可以张成一个n维向量空间.
定理
令F是有限域，f (x) 是F上的一个n次不可约多项式，是 f(x)=0 的任一根，则元素1,,2,n1构成F上的一组基，该
3.向量空间中基表示
定义多项式基
令F是有限域，f(x)是F上的一个n次不可约多项式，是 f(x)=0的任一根，元素1,,2, n1称为F上的一组基。
向量空间
向量空间设V 是一个加群，F 是一个域，对任何 F ， V ，定义一个元素 V ，如果对于任意, F, u,vV ，运算都满足

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��2 [��]上<=4 次不可约多项式 X X+1 X^2+X+1 X^3+X^2+1 X^3+X+1 X^4+X+1 X^4+X^3+X^2+1 X^4+X^3+X^2+X+1 ��2 [��]上 8 次 3 项不可约多项式，共 1 个 1 3 [1 0 0 0 0 0 1 0 1] 1+X^6+X^8 X^8+X^6+1
∏��|�� (��)
= �� + ��
因为 x -1 =
3
∏��|�� (��)
=Φ3(х)Φ1(х)，所以，�� (��) =
�� −�� (��)
n
因为 x-1 = ∏��|�� (��) 因为 x -1 =
2
=Φ1（х），所以，Φ1（х）= x-1。 =Φ2(х)Φ1(х)，所以，�� (��) = ��
�� −��
�� (��)
分圆多项式
定理 7.5.1 复数域中恰有 n 个 n 次单位根。它们在乘法下作成一个 n 元循环群，（5）所规定的ξ是一个生成元素。这个 n 元循环群的生成元素称为本原 n 次单位根，我们知道，n 元循环群共有（n）个生成元素。所以，共有（n）个本原 n 次单位根，假定它们是 ξ1，ξ2，…，ξ（n） ξ= cos
6
因之，
Φ12（х）=
�� +��
�� (��)
=
�� +�� +��
= x -x +1。
4
2
.p 是素数。
��
+isin
��
= -1，
（2）=1，故 Φ2（х）=（х+1）。 n=3 时，生成元 ξ= cos
��
+ isin
��
=
−��+√−��
，
（3）=2，另一个生成元为： ξ = cos ��
2
��
+ isin ��
��
=
−��−√−��
2
，
−��+√−��
故 Φ3（х）=（х-ξ）（x-ξ ） =（х-
）（х-
−��−√−��
= �� + �� + ��
因为 x -1 =
4
∏��|�� (��)
=Φ4(х)Φ2(х)Φ1(х)，所以，�� (��) =
�� −�� (��)�� (��)
X^8+X^6+X^5+X^1+1 X^8+X^7+X^5+X^1+1 X^8+X^7+X^3+X^1+1 X^8+X^5+X^3+X^1+1 X^8+X^4+X^3+X^1+1 X^8+X^7+X^2+X^1+1
��2 [��]上 8 次 7 项不可约多项式，共 13 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 [1 0 0 1 1 1 1 1 1] [1 0 1 0 1 1 1 1 1] [1 0 1 1 1 0 1 1 1] [1 0 1 1 1 1 0 1 1] [1 1 0 0 1 1 1 1 1] [1 1 0 1 1 1 1 0 1] [1 1 1 0 0 1 1 1 1] [1 1 1 0 1 0 1 1 1] [1 1 1 0 1 1 1 0 1] [1 1 1 1 0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1 0 0 1 1] [1 1 1 1 1 0 1 0 1] [1 1 1 1 1 1 0 0 1] 1+X^3+X^4+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^2+X^4+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^2+X^3+X^4+X^6+X^7+X^8 1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^7+X^8 1+X^1+X^4+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^3+X^4+X^5+X^6+X^8 1+X^1+X^2+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^4+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^4+X^5+X^6+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^4+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^4+X^6+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^8 X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+1 X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^2+1 X^8+X^7+X^6+X^4+X^3+X^2+1 X^8+X^7+X^5+X^4+X^3+X^2+1 X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^1+1 X^8+X^6+X^5+X^4+X^3+X^1+1 X^8+X^7+X^6+X^5+X^2+X^1+1 X^8+X^7+X^6+X^4+X^2+X^1+1 X^8+X^6+X^5+X^4+X^2+X^1+1 X^8+X^7+X^6+X^3+X^2+X^1+1 X^8+X^7+X^4+X^3+X^2+X^1+1 X^8+X^6+X^4+X^3+X^2+X^1+1 X^8+X^5+X^4+X^3+X^2+X^1+1
��
+ i sin
��
（5）
命Φn(х)=(х-ξ1)(х-ξ2)…(х-ξ（n）) （7） Φn（х）称为分圆多项式，意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分成 n 等份了。 n=1 时，生成元ξ= cos2+isin2=1，（1）=1，故 Φ1（х）=（х-1）。 n=2 时，生成元ξ= cos
12 13 14 15 16 17
5 5 5 5 5 5
[1 1 0 0 0 1 1 0 1] [1 1 0 0 0 1 0 1 1] [1 1 0 1 0 0 0 1 1] [1 1 0 1 0 1 0 0 1] [1 1 0 1 1 0 0 0 1] [1 1 1 0 0 0 0 1 1]
1+X^1+X^5+X^6+X^8 1+X^1+X^5+X^7+X^8 1+X^1+X^3+X^7+X^8 1+X^1+X^3+X^5+X^8 1+X^1+X^3+X^4+X^8 1+X^1+X^2+X^7+X^8
��2 [��]上 8 次 5 项不可约多项式，共 17 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 [1 0 0 0 1 1 0 1 1] [1 0 0 0 1 1 1 0 1] [1 0 0 1 0 1 0 1 1] [1 0 0 1 0 1 1 0 1] [1 0 0 1 1 1 0 0 1] [1 0 1 0 0 1 1 0 1] [1 0 1 1 0 0 0 1 1] [1 0 1 1 0 0 1 0 1] [1 0 1 1 0 1 0 0 1] [1 0 1 1 1 0 0 0 1] [1 1 0 0 0 0 1 1 1] 1+X^4+X^5+X^7+X^8 1+X^4+X^5+X^6+X^8 1+X^3+X^5+X^7+X^8 1+X^3+X^5+X^6+X^8 1+X^3+X^4+X^5+X^8 1+X^2+X^5+X^6+X^8 1+X^2+X^3+X^7+X^8 1+X^2+X^3+X^6+X^8 1+X^2+X^3+X^5+X^8 1+X^2+X^3+X^4+X^8 1+X^1+X^6+X^7+X^8 X^8+X^7+X^5+X^4+1 X^8+X^6+X^5+X^4+1 X^8+X^7+X^5+X^3+1 X^8+X^6+X^5+X^3+1 X^8+X^5+X^4+X^3+1 X^8+X^6+X^5+X^2+1 X^8+X^7+X^3+X^2+1 X^8+X^6+X^3+X^2+1 X^8+X^5+X^3+X^2+1 X^8+X^4+X^3+X^2+1 X^8+X^7+X^6+X^1+1