有限域上的多项式理论
有限域上的多项式理论 Polynomial Theory of Finite Fields
密级：公开 I 摘 要 域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。 当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域的一个具体应用——利用本原多项式来进行纠错码的操作。 正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。 本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。
关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码 II
Abstract With the concept of the field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems. Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. In this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters.
Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code I
目 录 摘 要 ..................................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................................... II 第1章 绪论 .............................................................................................................................. 1 1.1 有限域的发展 ............................................................................................................. 1 1.2 有限域的基础理论 ..................................................................................................... 2 第2章 有限域上的多项式 ...................................................................................................... 5 2.1 一元多项式 ................................................................................................................. 5 2.2 多项式的整除和带余除法 ......................................................................................... 9 2.4 最大公因式 ............................................................................................................... 14 2.5 因式分解定理 ........................................................................................................... 18 2.6 重因式 ....................................................................................................................... 21 2.7 多元多项式 ............................................................................................................... 23 第3章 有限域上的多项式的应用 ........................................................................................ 28 第4章 结论 ............................................................................................................................ 34 参 考 文 献 ............................................................................................................................ 35 致 谢 ..................................................................................................... 错误!未定义书签。 1
第1章 绪论 1.1 有限域的发展 一般地讲，域是可以进行传统算术的四则运算的集合。由此，要定义域首先得有完善的数系，这样逆运算才能进行。历史上，人们把零、分数、负数、无理数、复数引进熟悉经历了漫长的过程。1500年左右，人们已经接受零作为一个数，无理数也用得更随便了。到1700年左右，人们已经很熟悉整数、分数、无理数、负数和复数了，但是对它们还有错误的认识，甚至采取回避的态度。 正是因为数系的扩大，才可以进行加法和乘法的逆运算，也就是为代数结构提供了活动的场所，而这一切都是在不知不觉中发生的。从算术开始，人们就知道有理数对加减乘除是封闭的，而且满足交换律、结合律和分配律，也就是我们现在所说的域，但是他们并不知道这就是域的性质。 迈向有限域论的第一步发生在古代。这个理论的基本定理是EUCLID《原本》，用现代语言叙述如下: 如果,,,,1,,1abnNanbn，那么,1abn。 有限域的另一个重要结果是C. G. Bachet给出的一个算法，如果,ab是自然数且互素，计算非负整数,xy，使得,xbya，且1axby，C.G. Bachet的 算法允许在有限域pZ中计算逆元。
信道编码有限域和多项式
循环群: 由某个元素旳全部整数幂构成旳群
{ 0, 1, 2, 3 , …. }, 成为生成
元。 为研究有限域服务 能够是乘法幂和加法幂，即对环和域，其子集 对两种运算都可构成循环群
元素a旳级：满足an=e 旳最小正整数n, 若n N: a n e, 则称a旳级为无限大。 单位原根: n 阶循环群旳n级元素。
一、剩余类环
4. 剩余类环
定理1 (定理)：设I 为可换环R旳一种理想， 则R/I构成一种可换环，称为模I旳剩余类环。
例: Mod5旳剩余类环 I {0}: 0 5 -5 10 -10 …. 1+I {1}: 1 6 -4 11 -9 …. 2+I {2}: 2 7 -3 12 -8 …. 3+I {3}: 3 8 -2 13 -7 …. 4+I {4}: 4 9 -1 14 -6 …. { {0},{1}, {2}, {3}, {4} }对模5+和模5*构成可换环
四、循环群
无限循环群：成为生成元， n m (nm) 有限循环群：h,kZ,且hk: h=k
设h>k,n=h-k, n= h-k =h-k = k-k= e 一定是 { 0 =e,, 2, ……, n-1}
例: Z/(8)
2.定理4 (定理)：可换群G旳任一n 级元素a 皆 可生成一种n 阶循环子群 。
这称为有限域旳幂表达法。
2. 推论2 (定理)：方程xq-1 – 1 = 0旳全部根构成Fq –
{0}.
q2
Fq为xq
–
x
=
0旳全部根，即xq
–
x=x(x i ) i0
Fq称为xq – x旳最小分裂域
3. 推论3 (费马Ferma定理, 定理)：
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
二元有限域上的n次不可约多项式
二元有限域上的n次不可约多项式
在数学中，二元有限域上的n次不可约多项式是指在二元有限域上，次数为n 的多项式无法分解成低次多项式的乘积。
这里的“二元有限域”指的是一个有限个元素的集合，其中包括了数学上的0和1，并满足加法和乘法运算具有封闭性、结合律、交换律以及存在零元素和单位元素等性质。
在这个定义中，“不可约”表示该多项式无法被分解成两个或更多个低次多项式的乘积。
这里的“低次多项式”指的是次数比原多项式小的多项式。
如果一个多项式可以被分解成两个或更多个低次多项式的乘积，那么它就被称为可约多项式。
二元有限域上的n次不可约多项式在密码学中有着广泛的应用，例如在椭圆曲线密码学和分组密码中都有用到。
因此，研究二元有限域上的n次不可约多项式是密码学研究的一个重要方向。
目前已有许多算法和方法可以用来生成二元有限域上的n次不可约多项式，例如Berlekamp算法、Cantor-Zassenhaus算法等。
这些算法不仅可以用来生成不可约多项式，还可以用来分解、判断和计算多项式等相关问题。
在密码学应用中，选取一个合适的不可约多项式对于保证密码系统的安全性至关重要。
有限域上的不可约多项式没有重根
有限域上的不可约多项式没有重根
有限域上的不可约多项式没有重根，也就是说它们的根无法被多
项式系数之间的整除关系的运算得到，即使这些根可以通过多项式系
数的乘除、加减运算来求得，也不能被称为重根。
所谓有限域上的不可约多项式没有重根，指的就是在有限域上的
一组不可约多项式没有重根。
这里的“有限域”是指一个确定的数域，即指其存在的数域是有限的。
比如说在ℤ/2ℤ（也就是模2余数下的
整数域）中，某个特定的不可约多项式可能没有重根，可以被表示成
一个有序列由非零因子给定的多项式，例如 y =x^3+x+1，这个多项式
在模2余数中不可约，并且没有重根。
另外，有限域上不可约多项式没有重根这一概念也同时适用于其
他模上的不可约多项式，比如模4余数下的不可约多项式，模3余数
下的不可约多项式，模5余数下的不可约多项式等等。
对于这些情况，它们可以通过将多项式的因子的乘除、加减运算求出来，但也不能被
称为重根。
事实上，有限域上的不可约多项式没有重根这一概念本质上和其
他一般概念一样，只不过处于一个有限的数域之内，而不是我们熟悉
的整数域或者实数域那样的无限域。
这就意味着，有限域上的不可约
多项式没有重根的情况可以根据它们所存在的模来确定，当作出正确
的选择后，就可以将它们视为这个特定的有限域上的不可约多项式。
3-有限域-代数基础-域上多项式环
最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x], d(x) = gcd(f1(x), d(x) = b1f1 + b2f2 + + bnfn
f2(x),…, fn(x)) , 则
b1, b2,…, bn K[x].
g = q2r1+ r2, 0 deg(r2) < deg(r1) r1 = q3r2+ r3, 0 deg(r3) < deg(r2) . . . rs2 = qs rs1 + rs, 0 deg(rs) < deg(rs1) rs1 = qs+1rs
gcd( gcd(
f, g) = rs f, g) = mf＋ng
在唯一的多项式q(x), r(x)K[x] 满足 f(x) = q(x)g(x) + r(x)并且deg(r(x)) < deg(g(x)).
gcd(f (x), g(x)) = gcd(g(x), r(x))
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最大公因子(greatest common divisor)
f = q1g + r1, 0 deg(r1) < deg(g)
K[x]中的分解 p(x) = b(x)c(x) 有b(x)是常数或c(x)是常数, 则称p(x)是K上的不可约多项式.
注:
多项式的不可约性与所考虑的域有关.
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不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f1(x), f2(x)K[x], p(x)K[x]是不可约多项式.若
e e f (x) a p1e p2 , pk
第四章-多项式环与有限域
式中， pi(x) 为首一既约多项式， αi是某一正整数， i=1， 2， …， s。
第4章 多项式环与有限域
推论4.2.1 d次多项式 f(x) 不可能有多于d个的一次因式。
定理4.2.4 α为多项式 f(x) 之根的充要条件是：
第4章 多项式环与有限域
三、 最大(高)公因式 定义4.2.3 若 (f(x)， g(x)， …， k(x))是同时除尽多 项式f(x)， g(x)， …， k(x)的次数最高的首一多项式， 则称(f(x)， g(x)， …， k(x))是f(x)， g(x)， …， k(x)的最 大公因式， 用(f(x)， g(x)， …， k(x))或 GCD {f(x)， g(x)， …， k(x)} 表示之。
-f(x)=-fnxn-f n-1 x n-1 -…-f1x-f0。
第4章 多项式环与有限域
4° 交换律和结合律显然成立。 (2) 乘法封闭性成立。 乘法单位元是 f(x)=1。 (3) 无零因子。 设 f(x)≠0， g(x)≠0， 令fα、 gβ分别是f(x)和g(x)的 最高次数的系数， 即fα≠0、 gβ≠0。 因此
1° f(x)， g(x)， k(x)多项式集合中， 若两两互素， 则［f(x)， g(x)， k(x)］=f(x)g(x)k(x)；
2° f(x)， g(x)的最小公倍式［f(x)， g(x)］能除尽 f(x)， g(x) 的一切公倍式；
第4章 多项式环与有限域
定理4.1.2 设R是可换环， I为R的一个理想， 于 是R模I构成一个可换环， 称它为环R以理想I为模的剩 余类环M。
(1) 对任意a,b∈M， 一定存在有元素a,b∈R， 且 a=a+I， b=b+I。 所以
有限域的运算
有限域的运算有限域GF（2n）运算在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。
同时我们引入概念，域。
一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。
加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。
给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。
交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群）结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c.分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3.有限域多项式：GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。
1、有限域加法多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。
而各系数求和是在域F中进行的；c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi2、有限域乘法多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。
单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。
为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积：C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x))二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。
在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。
不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。
Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下：m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02'记为xtime（）。
有限域gf128多项式乘法
有限域gf128多项式乘法
有限域GF(128)上的多项式乘法是在GF(2)上的多项式上进行的。
GF(128)可以表示为GF(2^7)，因此它的元素可以用7位二进制数表示。
在GF(128)上，多项式乘法可以通过将两个多项式相乘并对结
果进行模2^7-1的操作来实现。
首先，让我们考虑两个GF(128)上的多项式A(x)和B(x)，它们
的系数是GF(2)上的元素。
这两个多项式可以表示为二进制形式，
例如A(x) = a6x^6 + a5x^5 + ... + a1x + a0，其中ai是GF(2)
上的元素。
同样，B(x)也可以表示为类似的形式。
多项式A(x)和B(x)的乘法可以通过将它们的系数看作GF(2)上
的元素，并使用普通的多项式乘法规则来实现。
然后，将结果多项
式对模2^7-1进行取模操作，以确保结果仍然在GF(128)上。
在GF(128)上进行多项式乘法需要注意的一点是，当系数进行
加法和乘法运算时，需要使用GF(2)上的加法和乘法规则，并对结
果进行模2的操作。
这样可以确保结果仍然在GF(128)上，并且满
足有限域的性质。
总之，在有限域GF(128)上进行多项式乘法需要将多项式表示为二进制形式，使用GF(2)上的加法和乘法规则进行计算，然后对结果进行模2^7-1的操作，以确保结果仍然在GF(128)上。
这样可以实现在有限域GF(128)上的多项式乘法运算。
在f2上次数为2的不可约多项式
在f2上次数为2的不可约多项式在F2上次数为2的不可约多项式。
在有限域F2上，次数为2的不可约多项式是非常重要的。
F2是一个包含两个元素的有限域，通常用0和1来表示。
在这个有限域上，不可约多项式在很多领域都有着重要的应用，比如在编码理论、密码学和计算机科学中。
一个次数为2的多项式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是F2上的元素。
不可约多项式指的是在F2上不能被分解为两个次数小于2的多项式的多项式。
换句话说，不可约多项式在F2上不能被分解为两个线性因子。
一个经典的次数为2的不可约多项式是f(x) = x^2 + x + 1。
这个多项式在F2上不可约，因为它不能被分解为两个次数小于2的多项式。
事实上，在F2上，任何次数为2的不可约多项式都可以写成这个形式。
不可约多项式在很多领域都有着重要的应用。
在编码理论中，它们被用来构建循环码和布尔函数，这些码和函数在数据传输和纠
错码中起着关键作用。
在密码学中，它们被用来构建伪随机数生成器和密码系统。
在计算机科学中，它们被用来设计高效的算法和数据结构。
总的来说，次数为2的不可约多项式在F2上具有重要的理论和应用价值。
它们的研究不仅对数学理论有着重要意义，而且在现实世界中也有着广泛的应用。
有限域上的不可约多项式没有重根
有限域上的不可约多项式没有重根
对于有限域上的不可约多项式没有重根，它是一个非常有趣的主题。
为此，要了解这一话题，首先我们需要了解一下有限域和多项式
以及重根。
有限域是一种数学概念，它指的是一个有有限数量元素的集合。
例如，在二进制系统中，有限域由仅包含0和1两个元素的集合表示。
而多项式也是一种数学概念，它指的是由一系列常数或变量相加而成
的表达式，这些常数或变量的幂次相加可以是任意值。
有限域上的不
可约多项式描述了在一个有限域上的多项式，它们中的元素不能被一
个非常小的域内的另一个多项式整除。
最后，重根指一个多项式的根
拥有重复的值的情况，即多个多项式的根拥有完全相同的值。
因此，有限域上的不可约多项式没有重根，原因在于它们是不可
约的，而具有重根的多项式都是可以约的。
具体来说，当我们将一个
可约的多项式约减到一定阶数时，它就能约去重根，而一个不可约的
多项式，无论约减到多少阶，它本身就是不可约的，因此永远不会有
重根存在。
有限域上不可约多项式没有重根总结为：由于不可约多项式不能
被约减，所以它们没有重根。
其实，这里涉及到了数论中的一些概念，如有限域、多项式以及重根。
理解这些概念是解释有限域上不可约多
项式没有重根的前提。