3-有限域-代数基础-域上多项式环
有限域上多项式及其简单应用
有限域上多项式及其简单应用作者：李一帆来源：《科教导刊·电子版》2017年第19期摘要本文介绍了近世代数中的域及有限域的基本概念与性质，并探究了有限域中的几种重要的多项式及其在密码学领域的简单应用。
关键词域有限域多项式简单应用中图分类号：O157.4 文献标识码：A0引言域是许多数学分支（如代数、代数数论、代数几何等）研究的基础，而其中有限域对于探究代数结构及其运用是非常重要的。
有限域上多项式在、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等许多领域有广泛应用。
1域和有限域的基本概念1.1相关定义定义1 设R是一个环，如果，又有单位元且每个非零元素都有逆元，则称R是一个除环。
可换除环称为域。
定义2域中元素的个数为有限时，则称域为有限域或galois域，记为GF。
并把元素个数称为有限域的阶，记为GF（n）。
1.2域的基本性质（1）数域都是域；（2）域没有零因子；（3）域的特征只能是素数或无限；（4）有限除环必为域。
2有限域上的几种常用多项式2.1有限域上的一元多项式设n是一非负整数，表达式？（1）其中a0，a1，…，an属于有限域GF，称（1）为系数在有限域GF中的一元多项式。
2.2有限域上的不可约多项式设，非常数。
若有，使得，则或为常数（0次多项式），则称为多项式环中的不可约多项式或中的素元。
2.3有限域上的本原多项式设是上的n次不可约多项式。
若满足的最小正整数为，则称为上的本原多项式。
3有限域上多项式在密码学中的简单应用3.1与的乘法比较设是域上的一个n次不可约多项式，则例设为3次不可约多项式，则。
解若为的一个本原元，则。
记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x+1=011=3，x2=100=4，x2+1=101=5，x2+x=110=6，x2+x+1=111=7；则乘法表如表1，乘法表如表2，由上述表格得出，在中，所有非零元素都有乘法逆元；在中，非零元素2，4和6无乘法逆元。
【高等代数】04-多项式环
【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。
虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。
以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。
先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。
要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。
a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。
系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。
另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。
有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。
为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。
系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。
由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。
环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。
ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。
第六章有限域
群同态基本定理
定理： 设f：G→H是群G到群H上的满同态映射，那
么kerf是群的一个正规子群，而且H同构于商群 G/kerf，即G/kerf≌ H。反之，如果N是G的正规子群， 则映射
: G G / N :(a) aN
是G到G/N的满同态，且kerφ=N. 证明思路： 紧扣正规子群和同态的定义
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为 整数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合， Z[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一切x 的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与乘法构成 一个环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
（1）(am)n=amn； （2）am·an=am＋n。
3．无零因子环
定义1.2.2：设R是一个环，a，bR，若a·b=0，且a≠0和 b≠0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。
若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。 定义1.2.3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。
我们还将a的逆元a1的n次幂记为an，即
n
an a1a1 a1
群的逆元（a1） 1=a
元素的阶
元素的阶 设G为群，a∈G，如果存在整数t， 使得at=1，则这样的最小正整数t定义为a的阶， 记为o(a)。如果这样的t不存在，则a的阶定义 为∞。
定理： o(a)=m，an=1当且仅当m|n。 证明思路： 充分性显然。必要性围绕着m为
R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或 b=0。 环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立，即： a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
第十讲 域上多项式环
解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。
定义4 如果R上多项式f(x)在R内无解，则称多项式f(x)在 R上不可约。
二．域上的多项式环 设f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元x的多项式，
其中系数ai取自某一个域F，则称f(x)是域F上的多项式。
用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 定理3：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。
得的余式。
例3：设f(x)=x3＋x2＋7，g(x)=2x2＋7，分别在Q[x]和 Z11[x]中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。
例4：在F2上 f(x)=
x8 x4 x3 x 1，g(x)= x7 x5 x4 x2 x
u v 0 1 q
求u(x)和v(x)，使得(f(x)，g(x) )=u(x)f(x)+v(x)g(x)。
例4：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为整 数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集
合，Z[x]关于多项式的加法与乘法做成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一
P
P P P
P
1＋ P x＋ P 1 ＋ x＋ P
P
x＋ P 1 ＋ x＋ P 1＋ P
P
1 ＋ x＋ P 1＋ P x＋ P
作业： 1．在Z2[x]中，设f(x)=x7＋x5＋x4＋x3＋x＋1，g(x)=x3＋x＋ 1，计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用g(x)除f(x) 的商q(x)和余式r(x)。 2．在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=2x2＋4x＋4的根。 3．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。
密码学数学基础第十讲 多项式环(3)
作业： 作业： 1．在Z2[x]中，设 ] f(x)= 7＋x5＋x4＋x3＋x＋1， ( )= )=x ＋ g(x)= 3＋x＋1， ( )= )=x ＋ 计算： ( ) 计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用 (x)除 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )及用g( ) f(x)的商 (x)和余式 (x)。 ( )的商q( )和余式r( ) 2．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。 ]/（ 的加法和乘法的运算表。 写出Z ]/ ]/(x 1)上 3．在域Z2[x]/( 4＋x3＋1)上，求x3＋x＋1＋(x4＋x3＋1) 在域Z ]/( ＋ 的逆元。 的逆元。
2．环上的多项式环
定义2 定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个 是一个有单位元1的交换环， 是 未定元， 未定元，a0，a1，a2，…，an∈R，称形如 ， f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn )=a ( )= ＋ ＋ 的表达式为R上的x的一个多项式 其中， 的一个多项式， 的表达式为R上的 的一个多项式，其中，aixi称为多项式 f(x)的i次项，ai称为 次项的系数。 次项， 称为i次项的系数 次项的系数。 ( ) 次项 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做deg (x)= 。 如果 ≠0，则称 ( )的次数为 ，记做degf( )=n。 deg )= 如果在多项式f( ) 同次项的系数都相等， 如果在多项式 (x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称 ( ) f(x)与g(x)相等，记为 (x)= (x)。 )=g( ) ( ) ( )相等，记为f( )= 的多项式构成的集合记为R[ 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[ ]。 上所有关于 的多项式构成的集合记为R[x]
数学中的抽象代数与有限域
数学中的抽象代数与有限域一、抽象代数基础1.1 集合论基础：集合、元素、集合运算（并集、交集、补集）、集合的性质（互异性、无序性、确定性）。
1.2 代数结构：群、环、域、域扩张。
1.3 群论：群的定义、性质、生成群、群同态、群同构、循环群、交换群、拉格朗日定理、西罗定理。
1.4 环论：环的定义、性质、交换环、整环、域、域的扩张。
1.5 域论：域的定义、性质、域的扩张、伽罗瓦理论、有限域、多项式环。
二、有限域及其应用2.1 有限域的定义：有限域是一种具有加法和乘法运算的代数结构，其元素个数为有限个，且满足交换律、结合律、分配律。
2.2 有限域的性质：有限域的元素个数为素数的幂，有限域的子域为有限个，有限域的乘法群为循环群。
2.3 有限域的表示：多项式表示、二进制表示。
2.4 有限域的扩张：有限域的扩张是通过添加元素来实现的，扩张过程中保持原有运算规律。
2.5 伽罗瓦理论：伽罗瓦理论是研究域扩张性质的理论，核心概念是域的自同构和域的子域。
2.6 有限域的应用：密码学、编码理论、计算机科学、信息安全。
三、抽象代数在中小学数学中的应用3.1 整数：整数是加法和减法的代数结构，满足群性质。
3.2 分数：分数是整数的扩张，通过域的扩张实现。
3.3 多项式：多项式是代数表达式，可以通过域的扩张来定义。
3.4 方程：方程是通过代数结构来描述的数学问题，解方程的过程涉及到群、环、域等概念。
3.5 线性代数：线性代数中的向量空间、线性映射与抽象代数中的域、群、环等概念密切相关。
四、抽象代数与实际生活的联系4.1 密码学：抽象代数中的群、环、域等概念在密码学中具有重要意义，如哈希函数、公钥加密等。
4.2 计算机科学：抽象代数在计算机科学中有着广泛应用，如数据结构、算法、编程语言等。
4.3 信息安全：抽象代数在信息安全领域中发挥着重要作用，如数字签名、身份认证等。
4.4 编码理论：抽象代数中的有限域在编码理论中具有重要意义，如错误检测、纠正码等。
3-有限域-代数基础-域上多项式环
最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x], d(x) = gcd(f1(x), d(x) = b1f1 + b2f2 + + bnfn
f2(x),…, fn(x)) , 则
b1, b2,…, bn K[x].
g = q2r1+ r2, 0 deg(r2) < deg(r1) r1 = q3r2+ r3, 0 deg(r3) < deg(r2) . . . rs2 = qs rs1 + rs, 0 deg(rs) < deg(rs1) rs1 = qs+1rs
gcd( gcd(
f, g) = rs f, g) = mf＋ng
在唯一的多项式q(x), r(x)K[x] 满足 f(x) = q(x)g(x) + r(x)并且deg(r(x)) < deg(g(x)).
gcd(f (x), g(x)) = gcd(g(x), r(x))
6
最大公因子(greatest common divisor)
f = q1g + r1, 0 deg(r1) < deg(g)
K[x]中的分解 p(x) = b(x)c(x) 有b(x)是常数或c(x)是常数, 则称p(x)是K上的不可约多项式.
注:
多项式的不可约性与所考虑的域有关.
10
不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f1(x), f2(x)K[x], p(x)K[x]是不可约多项式.若
e e f (x) a p1e p2 , pk
多项式环的定义
多项式环的定义设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R ∈01，现考察0R 中含R 及 任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环) ()()∑∑====∀nj jjm i i ib g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j jb ag f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中 ∑=+=kj i jik ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,, ∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么 []2Z 中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论. 定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义4. 设()()0210≠++++=n nn a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 k
其中aK, p1(x), p2(x),…, pk(x)是K[x]中不同的首一不可 约多项式, 并且上述表示在不记顺序的条件下是唯一的.
12
不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 p(x)K[x], 则 p(x)是不可约多项式当且仅当
Notation:
若gcd(f1(x), f2(x),…, fn(x))
= 1, 则称f1(x), f2(x),…, fn(x)互
素.
5
Polynomial Ring
最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 g(x)K[x]且 g(x) 0, 则对任意的 f(x)K[x], 存
deg(
f)=n
首项系数、首一多项式 多项式加法、乘法 多项式环
K[x]
2
Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
K[x]是否整环? K[x]是否域? K[x]中可逆元? K[x]中主理想? K[x]中素理想? K[x]中极大理想?
K[x]中的分解 p(x) = b(x)c(x) 有b(x)是常数或c(x)是常数, 则称p(x)是K上的不可约多项式.
注:
多项式的不可约性与所考虑的域有关.
10
不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f1(x), f2(x)K[x], p(x)K[x]是不可约多项式.若
8
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
定理 K[x]是主理想整环.
设J (0)是K[x]中的理想, g(x)是 J 中次数最小的多 项式, 则 J = (g(x)).
9
不可约多项式(irreducible polynomial)
设
p(x)K[x]并且deg(p(x)) 1. 若 p(x)满足对于任意在
p(x)整除 f1(x)f2(x), 则 p(x) | f1(x)或者 p(x) | f2(x).
注:
p(x) | f1(x)f2(x)fn(x) 存在1 i n满足 p(x) | fi(x).
11
不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f (x)K[x]且deg(f ) 1, 则 f (x)可以表示成
f(x)的重根 b 是 f(x)和 f(x) 的根.
二次或三次多项式
f(x)F[x]是不可约的 f(x)在F 中
没有根.
14
g = q2r1+ r2, 0 deg(r2) < deg(r1) r1 = q3r2+ r3, 0 deg(r3) < deg(r2) . . . rs2 = qs rs1 + rs, 0 deg(rs) < deg(rs1) rs1 = qs+1rs
gcd( gcd(
f, g) = rs f, g) = mf＋ng
(p(x))是极大理想.
K[x]/(p(x))是域当且仅当
p(x)在 K 是不可约.
13
多项式的根 (root)
设
f(x)F[x], 如果 bF 满足 f(b) 0, 则称 b 是 f(x)在F
中的根。
bF 是
f(x)在F 中的根 (x b) f(x).
重根，重数，单根 bF 是
多项式 (polynomial)
环上多项式 多项式运算
加法 、 乘法
多项式环
R[x] 是否交换、含幺、整环？ 取决于环R.
1
Polynomialial Rings over a Field ）
设K是域
域 K上的多项式： f (x) = a0+a1x ++anxn, a0,a1,…, anK
7
最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x], d(x) = gcd(f1(x), d(x) = b1f1 + b2f2 + + bnfn
f2(x),…, fn(x)) , 则
b1, b2,…, bn K[x].
在唯一的多项式q(x), r(x)K[x] 满足 f(x) = q(x)g(x) + r(x)并且deg(r(x)) < deg(g(x)).
gcd(f (x), g(x)) = gcd(g(x), r(x))
6
最大公因子(greatest common divisor)
f = q1g + r1, 0 deg(r1) < deg(g)
4
Polynomial Ring
最大公因子(greatest common divisor)
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x].
满足下述两个条件的首一
多项式d(x)K[x]称为 f1(x), f2(x),…, fn(x)的最大公因子:
d(x)整除 fi(x), i = 1, 2,…, n; 若c(x)K[x]整除 f1(x), f2(x),…, fn(x), 则c(x) 整除d(x); d(x) = gcd( f1(x), f2(x),…, fn(x))
3
Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
设 f(x),
g(x)K[x]. 若存在多项式 h(x)K[x]满足 f(x) =
g(x)h(x), 则称g(x)整除 f(x), g(x)是f (x)的因子, f(x)是g(x) 的倍式.