有限域的运算
有限域的加法特征标
有限域的加法特征标
有限域是由有限个元素构成的一个数学结构，其中定义了加法和乘法运算。
有限域的加法特征标是一个函数，将有限域中的元素映射到整数集合上。
在有限域中，加法特征标是一个满足以下性质的函数：对于任意有限域中的两个元素a和b，加法特征标满足以下等式：
f(a + b) = f(a) + f(b)
其中，+表示有限域中的加法运算，f(a)表示加法特征标将元素a映射到的整数。
加法特征标的作用是为了研究和描述有限域中的加法运算的性质。
通过将有限域中的元素映射到整数上，我们可以更方便地进行计算和推导。
加法特征标可以帮助我们分析有限域中的加法运算的性质，比如确定有限域中的元素的阶（即重复进行加法运算的次数）以及构造有限域的扩域等。
总之，有限域的加法特征标是一个将有限域中的元素映射到整数集合上的函数，它可以帮助我们研究和描述有限域中的加法运算的性质。
有限域多项式乘法
有限域多项式乘法
在有限域上进行多项式乘法涉及到两个主要问题：多项式系数在有限域上的取值和多项式乘法的实现。
首先，对于一个有限域$GF(q)$，多项式系数的取值范围仅为$0,1,\ldots,q-1$，因此在进行多项式乘法时，需要将每个系数限制在这个范围内。
同时，由于有限域上的加法和乘法运算具有特殊性质，因此需要使用相应的算法来实现多项式乘法。
一个简单的多项式乘法算法是“朴素算法”，即按照多项式乘法的定义进行乘法，然后将同次幂的项相加。
但这种算法的时间复杂度为$O(n^2)$，在多项式次数很高时效率较低。
更高效的多项式乘法算法包括FFT算法和NTT算法，它们的时间复杂度为$O(n\log_2 n)$，其中$n$为多项式次数。
这些算法利用了有限域上的特殊性质，通过将多项式转换为点值形式来加速多项式乘法。
因此，在进行有限域多项式乘法时，需要注意多项式系数的取值范围，并选择适当的算法以提高计算效率。
有限域的加法表和乘法表_解释说明以及概述
有限域的加法表和乘法表解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在数学中，有限域是一种特殊的代数结构，具有有限个元素的特点。
有限域的加法表和乘法表是描述该结构中两种基本运算的工具，加法和乘法表格中显示了每个元素之间进行相应运算所得到的结果。
有限域是密码学和编码理论等领域中非常重要的概念。
1.2 文章结构本文将首先概述有限域以及其在数学和应用领域中的重要性。
接着详细介绍了有限域的加法表和乘法表，包括它们的定义、性质以及如何构建这些表格。
然后，我们将探讨这两种表格在实际应用中的一些例子和作用。
最后，我们将对加法表和乘法表进行解释说明，包括一些常见符号的解释、操作过程详细说明以及相关原理背后的解释。
1.3 目的本文旨在深入研究有限域以及其中加法和乘法运算，并通过对加法表和乘法表进行探讨来帮助读者更好地理解这一概念。
通过对不同方面和应用领域中实例的讨论，读者将能够理解有限域的加法表和乘法表在密码学、编码理论等领域中的重要性。
这篇文章还将提供一些具体的例子和背后的原理解释，以帮助读者更好地掌握相关概念。
2. 有限域的加法表2.1 定义和性质有限域，也称为伽罗瓦域，是一个包含有限个元素的数学结构。
有限域的加法和乘法运算都遵循一定的性质。
设F是一个有限域，其中包含p个元素，在加法运算下，F中的任意两个元素相加的结果仍属于F。
换句话说，对于F中任意的a和b，a + b = c，其中c也是F中的一个元素。
此外，在加法运算下，F中存在一个特殊元素0，对于任意a∈F, a + 0 = a。
每个元素a在加法运算下都有唯一相反数-b∈F，使得a + (-b) = 0。
2.2 构建加法表为了更好地理解和使用有限域中的加法运算，可以通过构建加法表来展示其中每个元素之间的相互关系。
假设我们考虑一个具有p个元素的有限域F={0, 1, 2, ..., p-1}。
我们可以使用一个p×p的方格来表示这个加法表。
方格中第i行j列位置上填写的数字代表着i+j (mod p) 的结果值。
gf256有限域乘法
gf256有限域乘法
GF(256)有限域中的乘法是基于多项式的运算，其中多项式的系数都是二进制数，例如x^3+x^2+1表示为“1101”。
在GF(256)有限域中，两个数a和b的乘积可以表示为以下式子：
a*b = c(x) mod p(x)。
其中，c(x)是a和b的乘积所得到的多项式，p(x)是GF(256)中的不可约多项式，mod表示取模运算。
乘法运算的本质是对多项式的模运算，因此需要先将乘积c(x)进行模p(x)运算，得到最终的结果。
具体的乘法运算可以通过将两个数转换为二进制多项式进行计算，以1101和1010为例：
1.将两个数转换为二进制多项式，即x^3+x^2+1和x^3+x+1。
2.将相乘的两个多项式相乘得到一个四项式的结果，即
x^6+x^4+x^3+x^2+1。
3.将得到的四项式进行模p(x)运算，即将x^6、x^4、x^3和x^2对不可约多项式x^8+x^4+x^3+x+1取模，得到：x^6=x^3+1，
x^4=x^3+x^2+x+1，x^3=x^2+1，x^2=x+1。
4.将取模后的结果合并为一个多项式，即
(x^3+1)x^2+(x^3+x^2+x+1)x+(x^2+1)，化简后得到x^5+x^3+1。
因此，1101和1010在GF(256)有限域中的乘积为x^5+x^3+1。
实验二：有限域上的运算
实验二：有限域GF28上的加减乘除运算实现
2、任选两个多项式进行四则运算：
代码如下：
/*本实验需要解决的几个问题：
1、用什么方法存储多项式最好
我用的是向量来储存多项式，比如：
ployn temp ;
temp.push_back(make_pair(1,0));
说明多项式temp 中只有一项，为x^0，
如果再执行temp.push_back(make_pair(1,4));
则多项式temp 变为x^0+x^4
make_pair中第一个元素是系数，第二个是次数
2、怎么生生成域
用递归生成，我们知道成域GFpn会有2的n 次方个元素，只要能求出2的n-1个，就可以求出2的n个
因为当为n 时，n-1中的每一个多项式添加一个x^n次方就可以了。
3、实现四则运算，尤其是在乘法和除法时，还有一个模运算的
因为是在二维的情形下啊的，所以实验中的加法减法的答案是同一个，
至于乘法，乘出来的多项式的次数每循环一次都会减小至少1，所以最终会小于8的。
有限域
Ch1-59
多项式
Ch1-60
定义：F是一个域，而x是一个符号，设i是个 非负整数，形如aixi, ai ∈F的式子，称为系 数属于F的x的单项式。 而 a0x0＋ a1x1＋…＋ anxn形式和称为系数属 于F的x的多项式。（ ai ∈F，n是非负整数） 约定： exi= xi , x0=e 常用f(x) ,g(x) 代表多项式。
Ch1-39
有限域
定义1：F是非空集合，在F中定义加法与乘法运算。 F关于加法和乘法运算封闭，称F对于所规定的加法 和乘法运算是一个域，若有以下规则成立： 1.1 对任意的a，b∈F，有a+b =b+a
1.2 对任意的a，b, c∈F，有(a+b)+c= a+(b+c) 1.3 F中有一个元素，记作0，对任意的a ∈F 有a+0= a
不难验证F[x]中的加法和乘法满足运算规则1.1,1.2 1.3,1.4,2.1,2.2,2.3,3.但2.4不成立．实际上x在F[x]中没 有逆元．若f(x)是x的逆元，即xf(x)＝e
Ch1-64
( xf ( x )) f ( x ) x 1, 但 ( xf ( x )) e 0 0 0
(a－b)mod n=[(a mod n) －(b mod n) ]mod n (a×b)mod n=[(a mod n) ×(b mod n) ]mod n
指数运算可以看作是多次重复乘法 例如 112 =121=4 mod (13),114 =42 =3 mod (13).
通常加法、乘法、减法的规则都可以适用于模运算， 注意：除法运算在某些情况下也适用，例如当模数为素数的时 候。
Ch1-52
有限域的结构
gf2运算规则
gf2运算规则GF2运算，又称二次剩余运算，是一种在有限域上进行的数学运算。
其应用广泛，尤其在密码学和计算机科学领域具有重要意义。
本文将详细介绍GF2运算的规则、方法以及在实际应用中的例子，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
一、GF2运算的定义和意义GF2，即Galois Field of order 2，表示模2的有限域。
在GF2中，所有元素都是整数，且范围从0到1（不包括1）。
GF2运算的意义在于，在有限域上进行加法、减法、乘法和除法等运算，使得运算结果仍然在该有限域内。
二、GF2运算的规则和方法1.加法运算：同余类之间的加法运算规则与普通加法相同，即异号相加为减，同号相加保持不变。
2.减法运算：减法运算可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
3.乘法运算：乘法运算遵循乘法分配律，例如：(a * b) * c = a * (b * c)。
4.除法运算：除法运算采用带余除法，即a ÷ b = a * q + r，其中q为商，r为余数。
5.求逆元：在GF2中，求逆元的方法为扩展欧几里得算法，用于求解a * x ≡ 1 (mod n)的解。
三、GF2运算在实际应用中的例子1.密码学：GF2运算在椭圆曲线密码学（ECC）中具有重要应用。
ECC是一种公钥加密体制，其安全性依赖于椭圆曲线上的离散对数问题。
在ECC中，GF2运算用于表示和处理椭圆曲线上的点。
2.计算机科学：GF2运算在有限域上的计算有助于解决一些复杂数学问题，如求解线性方程组、矩阵运算等。
3.数字信号处理：在数字信号处理领域，GF2运算可用于实现高效的数字滤波器和信号调制解调。
总结：GF2运算作为一种在有限域上进行的数学运算，在数学和实际应用中具有重要价值。
有限域GF(2^8)上的字节运算-PPT文档资料
f0 2d ad c5
行移位（ShiftRows)
87
f2
4d
97
•
ec4a c3 46 e7
f0 2d ad c5
左移0位 左移1位 左移2位 左移3位
87
f2
4d
97
6e
4c
90
ec
46 e7 4a c3
c5
f0
2d
ad
列混合 —— MixColumns （字运算）
b0
02 03 01 01
a0
1
a1
1
a2
0
a3 ⊕ 0
a4
0
a5
1
a6
1
a7
0
字节代换(SubBytes)
例 输入95, 95的逆为8a，二进制位10001010
b0
10001111
0
1
1
1
0
b1
11000111
1
1
0
1
1
•
b2
11100011
b3 = 1 1 1 1 0 0 0 1
b4
11111000
0
0
0
0
1 0
⊕
0 0
• AES 中字的乘法运算被转化为字节的乘法运算。
字节代换(SubBytes)
• 1) 把S盒中的每个字节映射为它在有限域GF(28)中的乘法逆，“0”被
映射为自身。
• 2) 将S盒中每个字节（上一步得到的乘法逆）做仿射变换：
b0
b1
b2
b3 b4
=
b5
b6
b7
10001111 11000111 11100011 11110001 11111000 01111100 00111110 00011111
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有限域GF（2n）运算
在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。
同时我们引入概念，域。
一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。
加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。
给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。
交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群）
结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c.
分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3.
有限域多项式：
GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。
1、有限域加法
多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。
而各系数求和是在域F中进行的；
c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi
2、有限域乘法
多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。
单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。
为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积：
C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x))
二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。
在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。
不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。
Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下：
m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1
(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）
(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)
(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02'
记为xtime（）。
乘以一个高于一次的多项式可以通过反复使用xtime（）操作，然后将多个中间结果相加的方法来实现。
有限域上的乘法（全面理解）
对于有限域GF(256),可以先计算出其乘法表。
在GF(256)中，加法就是异或运算，任意一个元素都可以表示成GF(2) 上的一个最多7次的多项式，
所以
0=000 就是0
1=001 就是 1
2=0010就是x+0=x
3=0011就是x+1
4=00100就是x^2
然后对于两个变量
u,v
可以先计算两个对应多项式的乘积（需要注意的是加法是模2的，或者说是异或运算），
比如
3*7=(x+1)*(x^2+x+1)=x*x^2+x*x+x+x^2+x+1=x^3+1 (模2运算中x+x=0 and x^2+x^2=0)
所以3*7=9
在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)求余数，也就是
129*5=(x^7+1)*(x^2+1)=x^9+x^7+x^2+1
将上面的函数加上x*h(x)可以消去x^9,这里的h(x)是既约多项式x^8+x^4+x^3+x^2+1，（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1），所以
129*5=x^9+x^7+x^2+1+x^9+x^5+x^4+x^3+x=x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
=0010111111=191
在得出乘法表以后，我们可以很快的从表格中对于每一个元素找到它的逆，于是逆运算也有了，除法就可以分解为乘法和逆运算。
有了加乘逆以后（对于GF(2^n)减法同加法没有分别）
就可以使用手工除法了。