信道编码有限域和多项式

第四章 多项式与有限域
学习本章目的：对Xn-1进行因式分解(n=qm-1,q为素数) X15-1=(x+1)(x 4 + x 3+1)(x4+x3+x2 +x +1)(x2 +x +1)(x4+x +1)
Xn-1? 循环：只有最高位和最低位
一、剩余类环
1. 环，子环、扩环
回顾环（R，+，*）的定义
定义了两种运算+和* R对+构成阿贝尔群 *满足封闭性、结合律 *对+满足分配律 *不一定有恒等元1，R的元素不一定有逆元
2. 非空子集S是环（R，+，*）的子环的充要条件:
1) a,b S:a-b S ; S是群（R，+)的子群 2) a,b S:ab S S对*满足封闭性
一、剩余类环
3. 理想
二、多项式剩余类环
定理2：集合G与G 同构 （G为群(环、 域) G为群(环、域) ）
首一多项式： fn =1，最高次数为1，
f(x)1。
Fq[x]: 表示系数属于Fq的所有多项式的集 合
2. 多项式环
整数是一个环，多项式与整数类似。
定理3：Fq[x]构成一个环
零元：f(x)=0
二、多项式剩余类环
主理 是主理想环 想环
是主理想环 （定理4.2.10)
有限 m为素数 Zm是一 f(x)为既约多项式 Fq[x]/f(x)
域 个域
是一个域
（定理4ห้องสมุดไป่ตู้2.9)
三、基于多项式的有限域
1. 基于整数的有限域 由素数p的同余类构成一个域，阶为p
2. 基于多项式的有限域
定理3*：f(x)是Fq上素多项式 Fq[x]/f(x)是一个域。
二、多项式剩余类环
1. 多项式
Fq上的多项式：
f(x)= fnxn +fn-1xn-1+…+f2x2 +f1x +f0 fi Fq i=0,1,2,…,n
次数n记为：f(x), f, degf(x), degf
Why多项式？
矢量 a = (1,0,1,1,0,1) （位置）
多项式f(x)= x5 +x3+x2 +1 （次数）
(例f(x)= x9+x8+x7+x2+x+1,g(x)=x4+x3+x+1)
(f(x),g(x))=A(x)f(x)+B(x)g(x) 0 A(x)< g(x)- (f(x),g(x))
0 B(x)< f(x)- (f(x),g(x))
[a,b]=ab/(a,b) [f(x),g(x)]=f(x)g(x)/(f(x),g(x))
元素a的级：满足an=e 的最小正整数n, 若n N: a n e, 则称a的级为无限大。 单位原根: n 阶循环群的n级元素。
四、循环群
无限循环群：成为生成元， n m (nm) 有限循环群：h,kZ,且hk: h=k
设h>k,n=h-k, n= h-k =h-k = k-k= e 一定是 { 0 =e,, 2, ……, n-1}
基于多项式的有限域的生成办法：
找到次数为n的素多项式，由其倍式组成一个理 想，求其商群，共有qn个元素，构成一个qn有限 域GF(qn) 。
四、循环群
1. 定义
循环群: 由某个元素的所有整数幂组成的群
{ 0, 1, 2, 3 , …. }, 成为生成
元。 为研究有限域服务 可以是乘法幂和加法幂，即对环和域，其子集 对两种运算都可构成循环群
二、多项式剩余类环
性质
整数环
多项式环
主理 m为生成元（m的一 以f(x)为生成元:f(x)的一切倍式 想I 切倍数的集合） 组成的集合If(x)组成一个理想
（引理4.2.1) 例 I(x2+1)
剩余 以模m的剩余类为
类环 元素,记为Zm或 Z/(m)
以f(x)对If(x) 的陪集为元素,记为 Fq[x]/f(x) （定理4.2.8)
性质 零元素
恒等元 不可分 解的元
整数环 0 1
素数
多项式环 f(x)=0
f(x)=1 既约多项式（除提取常数，不能 进行因式分解，定义4.4.2） 素多项式=首一 + 既约多项式
分解的 唯一性
a=p1r1p2r2… (素数幂的积）
f(x)=p1(x)r1p2 (x) r2… 每一个首一多项式可唯一分解为 素多项式的幂的积(定理4.2.3)
欧几里 若a>b,则a可唯 若f(x) > g(x),则:
德除法 一表示为:
f(x) =q(x)g(x)+r(x)
a=qb+r,0 r b 0 r(x) g(x) (定理4.2.2)
二、多项式剩余类环
性质
整数环
多项式环
约数 最大公约数 最高公因式(定义4.2.3)(是首一多项式） (a,b),GCD(a,b) （f(x),g(x)), GCD(f(x),g(x))
为了借用多项式的运算来定义矢量的运算 多项式的除法 例：(x9+x8 +x7 +x2+x +1）/（x4+ x3 + x +1）
n次多项式域（群、环）与n维矢量域（群、环）在 下列映射下同构：
f(x)= fnxn +fn-1xn-1+…+f2x2 +f1x +f0 （ fnfn-1…f2f1f0）
倍数 最小公倍数 最低公倍式(定义4.2.4)(是首一多项式） [a,b],LCM(a,b) [f(x),g(x)], LCM(f(x),g(x))
欧几 a=qb+r 里德 (a,b)=(b,r) 算法 (a,b)=Aa+Bb
A,B为正整数
f(x) =q(x)g(x)+r(x) (f(x),g(x))=(g(x),r(x))
一、剩余类环
4. 剩余类环
定理1 (定理4.1.2)：设I 为可换环R的一个理 想，则R/I构成一个可换环，称为模I的剩余类
环。
例: Mod5的剩余类环 I {0}: 0 5 -5 10 -10 …. 1+I {1}: 1 6 -4 11 -9 …. 2+I {2}: 2 7 -3 12 -8 …. 3+I {3}: 3 8 -2 13 -7 …. 4+I {4}: 4 9 -1 14 -6 …. { {0},{1}, {2}, {3}, {4} }对模5+和模5*构成可换环
定义: 交换环R中的非空子集I称为R中的理想，若：
1) a, b I: a-b I; 2) a I, r R: ar =ra I;
1)+2) 理想是个子环，
2) I 中任一元素a的倍数在I中，即I由R的一些元素
（可以是多个）的倍数组成。
主理想：由一个元素的的所有倍数组成的理想.这 个元素叫生成元. 主理想环:每一个理想都是主理想