关于多项式不可约性的定理
有理数域不可约判别法
有理数域不可约判别法
有理数域不可约判别法是指，在有理数域中，对于一个多项式$f(x)$，如果它不能分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称$f(x)$在有理数域中是不可约的。
判断一个多项式是否在有理数域中不可约，可以使用以下方法：
1. 欧几里得算法：将多项式$f(x)$除以$x-a$，如果余数为0，则$x-a$是$f(x)$的一个因子。
重复这个过程直到无法继续除下去。
如果最后得到的余数是常数项，则$x-a$是$f(x)$的一个根。
如果最后得到的余数不是常数项，则$x-a$不是$f(x)$的因子。
2. 整除定理：如果$a$是多项式$f(x)$的一个根，则$(x-a)$一定是
$f(x)$的因子。
可以使用这个定理来判断多项式是否有有理根。
3. Eisenstein判别法：设多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-
1}+\cdots+a_0$，其中$a_i\in\mathbb{Z}$且$a_n\neq 0$。
如果存在一个质数$p$使得$p|a_i(i=0,1,\cdots,n-1),p\nmid a_n,p^2\nmid a_0$且$p|a_{n-1}$，则$f(x)$在$\mathbb{Q}$中不可约。
以上三种方法都可以用来判断多项式是否在有理数域中不可约，但是具体使用哪种方法需要根据多项式的形式和系数来决定。
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
分圆多项式不可约证明
证明微积分中圆的多项式不可约，是一个很有难度的事情。
为了明确定义圆的多项式，我们首先要确定坐标系。
本文将采用极坐标系，该坐标系的特点是它的中心点位于原点，其半径为 r，角度为θ。
圆的函数公式可以表示为：
r(θ)=r Cosθ，r(θ)=r Sinθ
式中Cosθ和Sinθ是正弦和余弦函数，r是圆的半径，θ表示角度。
因此，圆的多项式可以简单表示为：
I=r²(Cos²θ+Sin²θ)
式中I是圆的面积，即圆周长。
很明显，从I中可以看出，正弦和余弦函数不可以合并到一起，从而把圆的多项式简化，因此，该圆的多项式不可约。
另外，我们还可以证明圆的多项式不可约的另一种方法。
首先，我们可以用图形的方式描述圆的多项式。
圆的多项式可以表示为：
I＝r²Sin²θ+r²Cos²θ
由此可以看出，圆的多项式是一个完全的方程，其系数为正弦的平方和余弦的平方，它表示圆的面积，即圆的半径乘以π。
我们可以根据它的函数图像得出结论：函数图像不存在一条直线可以完全平行或完全并列地表示，因此，该圆的多项式不可约。
综上所述，可以证明微积分中圆的多项式不可约。
圆的多项式不可以
简化为一个更简单的形式，这可以从正弦函数和余弦函数的线性独立性，也可以从函数图像的不可约性，甚至可以结合这两种方法，都可以得出结论，证明圆的多项式不可约。
用素数判定多项式不可约
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不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
德莫弗定理
德莫弗定理德莫弗定理的内容比较复杂，需要一些基础的数论知识才能理解。
在这篇文章中，我将详细介绍德莫弗定理的内容和证明过程，让读者能够更好地理解这个定理的意义和应用。
首先，让我们来了解一下德莫弗定理的内容。
德莫弗定理主要是关于不可约整系数多项式的研究问题。
在代数数论中，不可约整系数多项式是一种重要的数学对象，它们可以用来表示整数环中的元素，并且在许多数论问题中起着重要的作用。
德莫弗定理的内容可以简单地概括为：对于任意一个不可约整系数多项式P(x)和一个整数n，如果P(x)模n的所有根都是简单的，那么P(x)在整数环上也是不可约的。
换句话说，如果一个不可约整系数多项式在模n的情况下所有根都是简单的，那么它在整数环上也是不可约的。
接下来，让我们来详细介绍一下德莫弗定理的证明过程。
证明德莫弗定理的关键在于构造一个特殊的整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除，但是在模n的情况下Q(x)的所有根都是简单的。
通过构造这样一个多项式Q(x)，我们可以利用整数环的性质来证明德莫弗定理。
首先，我们需要先构造一个整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除。
我们可以通过分解P(x)为不可约整系数多项式的乘积来构造Q(x)。
具体地，假设P(x)=f_1(x)f_2(x)...f_k(x)，其中f_i(x)都是不可约整系数多项式。
我们可以令Q(x)=f_1(x)f_2(x^2)...f_k(x^k)，这样我们就构造出了一个整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除。
接下来，我们需要证明在模n的情况下Q(x)的所有根都是简单的。
假设Q(x)在模n的情况下有一个重根r，即Q(r)≡0(mod n)且Q'(r)≡0(mod n)。
我们可以利用整系数多项式的性质来推导出矛盾，从而证明Q(x)在模n的情况下所有根都是简单的。
通过构造一个特殊的整系数多项式Q(x)并证明Q(x)在模n的情况下所有根都是简单的，我们就可以利用整数环的性质来证明德莫弗定理。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
三个多项式不可约性的证明
三个多项式(不)可约性的证明1(浙大1993(16分)).证明f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1在Q上不可约,其中a1,a2,···,a n是互异的整数.证明:(证法1)若不然，假设f(x)=φ1(x)φ2(x),由于f(x)是整系数多项式，所以可设φ1(x)和φ2(x)均为整系数多项式，且∂[φ1(x)]<∂[f(x)],∂[φ2(x)]<∂[f(x)].f(a i)=φ1(a i)φ2(a i)=−1,考虑到它们均为整系数多项式，所以有φ1(a i)=±1,φ2(a i)=∓1.令g(x)=φ1(x)+φ2(x),则g(a i)=0,i=1,2,...,n.而∂[g(x)]≤∂φ1(x)<n,∂[g(x)]≤∂φ2(x)<n,得g(x)=0,φ1(x)=−φ2(x),所以f(x)=−φ2(x).1于是对任意的实数c,f(c)=−(φ1(c))2≤0.但再由条件：f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1,取c=max{a1,a2,...,a n}+3,则f(c)≥3n−1>0,矛盾.于是假设错误，所以f(x)在Q上不可约.(证法2)由于φ1(a i)=−φ2(a i),i=1,2,...,n且∂[φk(x)]<∂[f(x)]≤n,k=1,2.,所以f(x)=−[φ1(x)]2.由于φ1(x)和φ2(x)都是整系数多项式,所以−φ21(x)的首系数为负数,而f(x)的首系数为+1,矛盾.例2.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x+a1)(x+a2)···(x+a n)+1在Q上可约的充要条件是f(x)=g2(x),g(x)∈Z[x].证明:充分性显然成立.必要性.若f(x)在Q上可约，因为f(x)∈Z[x],可设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又因为f(a i)=1,所以g(a i)和h(a i)同时为1或−1,即g(a i)=h(a i),i=1,2,...,n.又∂[g(x)]<∂[f(x)]≤n,∂[h(x)]<∂[f(x)]≤n,得g(x)=h(x),所以f(x)=[g(x)]2.例3.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1在Q上不可约.证明:若f(x)在Q上可约，设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又对任意的c∈R(实数)，f(c)=(c−a1)2(c−a2)2···(c−a n)2+1>0,所以f(x)无实根.考虑f(a i)=g(a i)h(a i)=1,g(x)和h(x)均为整系数多项式，所以g(a i)=1且h(a i)=1或g(a i)=−1且h(a i)=−1.不妨假设存在a k使得g(a k)=1,则由于g(x)也无实根，所以必有g(a i)=1,i= 1,2,...,n.再考虑到若g(x)的次数小于n,得g(x)≡1,这是不可能的.所以∂[g(x)]=∂[h(x)]=n.由于g(a i)−h(a i)=0,且g(x)和h(x)都是首系数为1的n次多项式,所以g(x)−h(x)的次数小于n,且有n个互异的根a1,a2,...,a n,因而g(x)≡h(x),得f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1=[g(x)]2.令l(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n),则[l(x)]2+1=[g(x)]2,(g(x)−l(x))(g(x)+l(x))=1.对任意的a∈Z,(g(a)−l(a))(g(a)+l(a))=1(两个整数的乘积为1)，g(a)−l(a)=g(a)+l(a)=1或(−1).得l(a)≡0,矛盾.所以f(x)不可约.。
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关于多项式不可约性的定理
多项式不可约性定理（Irreducibility Theorem）是数论中
一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根。
多项式不可约性定理的形式很简单：任何一个非负整数的多项式，只要它的系数不全为
0，就是不可约的。
这个定理的证明是由古典数论中的结论——“欧拉定理”推导而来的。
欧拉定理宣称：任何一个大于1的正整数都可以表示为质数的乘积。
通过把多项式的系数转换为质数的乘积，可以把多项式分解为该质数的乘积，从而证明多项式不可约性定理。
多项式不可约性定理有着重要的应用价值。
它可以用来确定一个多项式是否可以被约分，以及求解多项式的根。
例如，如果一个多项式的系数都是质数，那么它就是不可约的，而且可以求出它的根；如果一个多项式的系数不全是质数，那么它就是可约的，可以用约分的方法求解。
多项式不可约性定理的另一个重要的应用是，它可以用来证明另外一个重要的定理，即“欧拉定理”。
例如，如果一个正整数大于
1，它可以表示为质数的乘积，那么它就是不可约的，而
且可以用多项式不可约性定理来证明。
总之，多项式不可约性定理是数论中一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根，也可以用来证明欧拉定理。
因此，它对数论的研究有着重要的意义。