高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.2.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此【考点】不等式恒成立4.设,则的最小值为。
【答案】9【解析】由柯西不等式可知。
5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.6.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.7.满足不等式的的取值范围是________.【答案】{或}【解析】不等式等价于，即，故的取值范围是．【考点】解不等式．8.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．∪（1，+∞）【答案】D【解析】原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D9.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形面积，解得，故选D.【考点】1.一元二次不等式的求解.10.下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32【答案】B【解析】选B.因为log32<log33=1,log23>log22=1,所以log32<log23,又因为log23<log25,所以log32<log23<log25.11.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0.所以不论b正或b负均有a+b>0.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小.【答案】z≥y>x【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.14.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.15.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.16.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.17.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.【答案】a+(b*c)=(a+b)*(a+c)【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).18.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.【答案】见解析【解析】【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.19.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-∞,-3]【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].20.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2（2）{m|m≤5}【解析】(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(2－x)＋(x＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x＋3)≥0即当－3≤x≤2时等号成立．所以实数m的取值范围是{m|m≤5}．21.设a、b∈R＋，试比较与的大小．【答案】≥【解析】∵()2－＝≥0，∴≥22.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【答案】【解析】(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为23.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．【答案】M>N【解析】∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.24.已知a>0，求证：－≥a＋－2.【答案】见解析【解析】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．25.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】（1）m＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.26.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.27.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.28.已知a,b,c∈(1,2),求证:++≥6.【答案】见解析【解析】证明：∵≥=,≥=,≥=.∴y=++≥++.又由柯西不等式可得[(a-b+1)+(b-c+1)+(c-a+1)](++)≥18,即++≥=6.∴y=6,当且仅当a=b=c=时取到最小值,min原不等式得证.29.“a<4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为|2x－1|＋|2x＋3|≥a，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点x到点和－的距离之和≥2，所以当a<4时，有<2，所以不等式成立，此时为充分条件要使|2x－1|＋|2x＋3|≥a恒成立，即恒成立，则有≤2，即a≤4综上，“a<4”是“|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的充分不必要条件，故选B.30.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.31.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【答案】2.【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)( bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．∴所求最小值为2.32.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)( a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）≤x≤【解析】(1)f(x)＝图象如图．(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)得≥f(x)．又因为≥＝2.则有2≥f(x)．解不等式2≥|x－1|＋|x－2|得≤x≤. 即x的取值范围为≤x≤33. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．34.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥35.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】，设A为关于的不等式的解集，当A为时，则即；当即时，，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.【考点】新定义、含参数不等式的解法.36.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.37.[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【答案】．【解析】，，又． 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的证明，绝对值不等式的性质。
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。
【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。
6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知变量满足：，则的最大值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，令，可知在点处取得最大值，所以的最大值为。
【考点】线性规划及指数函数的单调性。
2.若二元一次线性方程组无解，则实数的值是__________．【答案】-2【解析】二元一次线性方程组无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则解得．【考点】二元一次方程组．3.若实数，满足，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为，将三个点的坐标分别代入目标函数得，所以目标函数的取值范围为，故选A.【考点】线性规划.4.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲设对于任意实数，不等式≥恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将不等式≥恒成立，转化为，用零点分段法，将转化为分段函数，再每一段分别求最值；第二问，结合第一问的结论，将m的值代入，利用零点分段法将绝对值不等式转化成不等式组，分别求解．试题解析：（1）设，则有当时有最小值8当时有最小值8当时有最小值8综上有最小值8所以（2）当取最大值时原不等式等价于：等价于：或等价于：或所以原不等式的解集为【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题．5.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解不等式；第二问，先解不等式，再结合的解集为，从而得到a的值，再利用特殊值1将转化为，再利用基本不等式求函数的取值范围．试题解析：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；（2）即，解得，而解集是，，解得,所以所以．【考点】绝对值不等式的解法、基本不等式．6.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，当时，；当时，；当时，；故取值范围为，故选C．【考点】1．简单的线性规划；2．向量的数量积．7.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．8.若是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上是减函数，又，所以，故选D．【考点】不等式的性质．9.选修4-5：不等式选讲已知x，y为任意实数，有（1）若求的最小值；（2）求三个数中最大数的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用消元法可得关于x的二次三项式，从而用配方法可求得最小值．（2）利用绝对值不等式可求最大值的最小值．试题解析：（1）解：当时，最小值为（2）设，则所以即中最大数的最小值为【考点】配方法，绝对值不等式，最值．10.若实数，满足不等式组．则的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【答案】D【解析】画出可行域如图：当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时纵截距最大同时也最大, 最大值为;当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域四边形但不包括边,当目标函数线经过点时纵截距最大同时也最大, 的最大值为．综上可得的最大值为14．【考点】简单的线性规划．11.已知函数，．（1）若，解不等式；（3）若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围．【答案】（1）：，：；（2）．【解析】（1）根据的取值情况进行分类讨论，将表达式中的绝对值号去掉，再利用二次函数的单调性讨论即可求解；（2）利用二次函数的单调性首先课确定的大致范围，再利根据条件方程在总存在两不相等的实数根，建立关于的不等式组，从而求解．试题解析：（1）∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，若：令解得：∴不等式的解为：；若：令，解得：，，根据图象不等式的解为：，综上：：不等式的解为；：不等式的解为；（3），∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，∴或，∴在单调递增，∴，若：在单调递减，在单调递增，∴必须，即；若：在单调递增，在单调递减，，即；综上实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的综合题；2．分类讨论的数学思想．【方法点睛】解决二次函数综合题常见的解题策略有：1．尽可能画图，画图时要关注已知确定的东西，如零点，截距，对称轴，开口方向，判别式等；2．两个变元或以上，学会变换角度抓主元；3．数形结合，务必要保持数形刻画的等价性，不能丢失信息；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练等价转化和准确表述；4．恒成立问题可转化为最值问题．12.设函数．（1）若，解不等式；（2）如果，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当，圆不等式变为，可利用绝对值的集合意义求解，从而得到不等式的解集；（2）求当，，a的取值范围，可先对a进行分类讨论：，对后两种情形，只需求出的最小值，最后“，”的充要条件是，即可求得结果．试题解析：由题意得，（Ⅰ）当时，．由，得，（ⅰ）时，不等式化为，即．不等式组的解集为．（ⅱ）当时，不等式化为，不可能成立．不等式组的解集为．（ⅲ）当时，不等式化为，即．不等式组的解集为．综上得，的解集为．（Ⅱ）若，不满足题设条件．若的最小值为．若的最小值为．所以的充要条件是，从而的取值范围为．【考点】绝对值不等式的求解及其应用．13.变量满足约束条件，当目标函数取得最大值时，其最优解为．【答案】.【解析】作出可行域，画出目标函数的图象，由图知最优解为.【考点】线性规划.14.（1）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数），直线和曲线相交于两点，求线段的长．（2）选修4—5：不等式选讲已知正实数满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；曲线的参数方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理求线段的长．（2）利用基本不等式得，，再根据不等式的性质得，因为，得证.试题解析：（1）由直线的极坐标方程是，可得由直线的直角坐标方程是，化为参数方程为（为参数）；曲线（为参数）可化为．将直线的参数方程代入，得．设所对应的参数为，，，所以．（2）证明：因为正实数，所以．同理可证：．．，．当且仅当时，等号成立．【考点】1、极坐标方程；2、参数方程；3、直线与椭圆；4、基本不等式；5、不等式的性质.【方法点睛】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；再把曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理和弦长公式求出线段的长．把直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立能够简化解题过程；（2）利用基本不等式及不等式的性质进行证明.15.已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）A．3B．2C．-2D．-3【答案】B【解析】将化为，作出可行域（如图所示），当时，当直线向右下方平移时，直线在轴上的截距减少，当直线过原点时，（舍）；当时，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，若，即时，当直线过点时，，解得（舍），当，即时，则当直线过点时，，解得；故选B．【考点】1.简单的线性规划；2.数形结合思想．【易错点睛】本题主要考查简单的线性规划与数形结合思想的应用，属于中档题；处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率的符号，还要讨论斜率与边界直线斜率的大小关系.16.如果实数满足关系，则的最小值是．【答案】2【解析】满足不等式组的平面区域，如图所示，因表示定点到平面区域内的点的距离，由图易知其最小距离为点到直线的距离，即，所以的最小值为2．【考点】1、平面区域；2、点到直线的距离公式．【方法点睛】（1）平面区域的确定，已知，则，表示的区域为直线的右方（右下方或右上方），表示的区域为直线的左方（左下方或左上方）；（2）具有一定的几何意义，即几何意义为点到的距离的平方．17.（2014•河南模拟）已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．【答案】（1）原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）[﹣]．【解析】对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，∴x≥；②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，∴﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，∴x＜﹣1．综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，∴，解得，故a的取值范围是[﹣]．【考点】绝对值不等式的解法．18.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】或．故B正确．【考点】一元二次不等式．19.直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，则+的最小值为（）A．3+2B．4+2C．6+4D．8【答案】C【解析】根据已知条件得到a+b=，将其代入+，结合基本不等式的性质计算即可．解：∵直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，∴圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的圆心（﹣2，1）在直线上，可得﹣2a﹣2b+1=0，即a+b=，因此2（+）（a+b）=2（3++）≥6+4，当且仅当：=时“=”成立，故选：C．【考点】直线与圆的位置关系．20.已知实数满足不等式组，则的最大值为________．【答案】9．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：由图可知，当直线经过点时，取得最大值为：．故答案应填：9．【考点】线性规划．21.已知.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】(Ⅰ)利用零点分段讨论法将绝对值符号去掉，得到分段函数，再求各段的值域即可；(Ⅱ)利用基本不等式和不等式恒成立进行求解．试题解析：（Ⅰ）∵，∴的最小值为5，∴.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：的最大值等于5.∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5.当时，，又∵对任意实数，都成立，∴.∴的取值范围为.【考点】1.零点分段讨论法；2.基本不等式．22.设函数,其中．（I）当时,解不等式；（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】（I）采用零点分区间法求解；（II）先求出的最大值为,把问题转化为求解.试题解析：（Ⅰ）时,就是当时,,得,不成立；当时,,得,所以；当时,,即,恒成立,所以.综上可知,不等式的解集是.(Ⅱ) 因为,所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.当时,,得；当时,,,不成立.综上,所求的取值范围是【考点】.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题23.已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 不等式的解集为;(2) .【解析】(1)分区间去掉绝对值符号，将函数表示成分段函数的形式，在每个区间上分别解不等式，最后再求并集即可；(2) 不等式对任意的恒成立，由（1）求出函数的最小值，解不等式即可.试题解析：（1）．当时，由，得，此时无解；当时，由，得，所以；当时，由，得，所以．综上，所求不等式的解集为．（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为不等式对任意的恒成立，即，解得，故的取值范围为．【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.函数与不等式.24.设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．以上均不正确【答案】A【解析】因为正实数，则，要使为三边的三角形存在，则，即恒成立，故，令，则，取，递减，所以时，；同理取，递增，可知时，，故实数的取值范围是，故选A．【考点】基本不等式的应用.方法点睛：本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到即得的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出的取值范围.25.已知函数（是常数）和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，，且，则在集合上的最大值为（）A．B．C．4D．5【答案】D【解析】由题知，易知在上是减函数，在上是增函数，所以，又因为，所以，化简得，再由，可求得，所以，并且可判定在上是减函数，在上是增函数，由于，所以在集合上的最大值为，故选D.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的最值.【思路点睛】本题是一个利用导数研究函数的单调性、最值方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先根据题意判断出的最值关系，再由条件求出函数在定义域上的最小值，进而判断出的最值情况，并据此求出的值，从而得到的解析式，进一步可求出的最大值，问题得以解决.26.已知直线经过点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线经过点，所以，故，当且仅当时，等号成立.【考点】基本不等式.27.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的表达式的解集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由绝对值的定义可分类讨论去绝对值，再分别解不等式即可；（2）由题意可得的值域为，要，需，解得实数的取值范围是或.试题解析：（1）由题意得：，则不等式等价于或，解得：或，∴不等式的解集.（2）∵，∴的值域为，∴的解集.要，需，即或，∴或，∴实数的取值范围是或.【考点】含绝对值不等式的解法.28.设函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式、存在性问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，解绝对值不等式，先得到与解集对应系数相等，解出的值；第二问，先整理，构造函数，画出函数图象，结合图象，得到，或，从而解出的取值范围.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，因为不等式的解集为，所以，解得．（2）由（1）得．∴，化简整理得：，令，的图象如图所示：要使不等式的解集非空，需，或，∴的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.存在性问题.29.若，若的最大值为3，则的值是___________.【答案】【解析】画出可行域如下图所示，为最优解，故.【考点】线性规划.30.选修4-5：不等式选讲若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）利用基本不等式得，即，而，等号都是取得，（2）利用基本不等式得，即与矛盾，故不存在试题解析：解：（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，故，且当时等号成立，∴的最小值为.（Ⅱ）由，得，又由（Ⅰ）知，二者矛盾，所以不存在，使得成立.【考点】基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.31.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．32.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（）A．10B．2C．8D．0【答案】C【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取最大值8．【考点】简单的线性规划问题．33.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】因画出不等式组表示的区域如图, 的几何意义是区域内的动点与定点连线的斜率,借助图形不难看出区域内的点与定点连线的斜率最大,最大值为，所以的最大值为,应选A.【考点】线性规划的知识及运用．34.已知，使不等式成立．（1）求满足条件的实数的集合；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用分类讨论的方法分段求解；（2）借助题设条件及基本不等式求解.试题解析:（1）令，则，由于使不等式成立，有（2）由（1）知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式当且仅当时取等号，所以的最小值为6【考点】绝对值不等式、基本不等式及运用．35.设变量满足不等式组则目标函数的最小值是______.【答案】7【解析】不等式组对应的可行域如图，由图可知，，目标函数表示斜率为的一组平行线当目标函数经过图中点时取得最小值.故填：7.【考点】线性规划36.设x，y满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为____________.【答案】-4【解析】作出可行域，令得 .结合图象可知目标函数在处取得最大值，代入可得.故本题答案应填.【考点】线性规划.37.已知函数，其中为常数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设实数，，满足，若函数的最小值为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由．再由或或解集为；（2）由当且仅当，即时取等号，，则．解法一：由题设．解法二：由题设，，即，．试题解析：（1）当时，由，得或，即或所以不等式的解集为（2）因为，当且仅当，即时取等号，则．由已知，，则解法一：由题设，则，，解法二：由题设，，据柯西不等式，有，即，所以【考点】1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.38.若满足约束条件,则的最大值为．【答案】【解析】作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点与的连线的斜率，，因此最大值为．【考点】简单线性规划的非线性运用．39.已知变量满足约束条件，目标函数的最大值为10，则实数的值等于（）A．4B．C．2D．8【答案】A【解析】由不等式组可得可行域（如图），当直线经过点时，取得最大值，且由已知，解得.【考点】简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等.40.已知变量满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】1【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C时取最大值1.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.41.设，则a， b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】，考察函数，该函数在上单调递减，，考察函数，该函数在上单调递增，，故选A．【考点】指数函数的单调性与幂函数的单调性．42.若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是:过定点与可行域内的点的直线的斜率，由图可知，当直线过点时，斜率取得最大值，此时的值分别为，所以．故选D．【考点】简单线性规划．43.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为即，，所以，故选A.【考点】指数函数、对数函数的性质.44.已知实数满足不等式组则的最大值是___________.【答案】6【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即.【考点】简单的线性规划问题.【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件.45.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）（-1,0）【解析】（1）（当且仅当时取等号）；（2）作出函数的图象，由图像可求出结果.试题解析：解：（1）（当且仅当时取等号）（2）函数的图象如图所示.当时，，依题意：，解得，∴的取值范围是（-1,0）.【考点】1.绝对值不等式；2.基本不等式.46.选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）分，，三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II）移项可得，根据绝对值的几何意义，求出的最大值，即可求得实数的取值范围.试题解析：(I)①当时，，所以②当时，，所以为③当时，，所以综合①②③不等式的解集(II)即由绝对值的几何意义，只需【考点】绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.47.设，满足约束条件则的取值范围为．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为，在点处取得最大值为.【考点】线性规划.48.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处的最大值是，在最小值是，所以而，所以的最大值是，故选B.【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.49.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】（I）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组：，或，或，最后求三个不等式组解集的并集得原不等式的解集（II）先化简不等式为，再利用绝对值三角不等式求最值：，再转化解不等式得实数的取值范围.试题解析：不等式化为，则，或，或，……………………3分解得，所以不等式的解集为.……………………5分（2）不等式等价于，即，由绝对值三角不等式知.……………………8分若存在实数，使得不等式成立，则，解得，所以实数的取值范围是.……………………10分【考点】绝对值三角不等式，绝对值定义【名师】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.50.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1.函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若是“圆锥托底型” 函数，求出的最大值．（3）问实数、满足什么条件，是“圆锥托底型” 函数．【答案】（1）是，不是，（2），（3）【解析】（1）新定义问题，必须读懂题意，严格按定义进行等价转化.本题判断函数是否为“圆锥托底型”函数，即判断是否存在常数，使得对一切实数均成立，若成立必须证明，否则给出反例.本题解题关键在于常数的确定. ，所以可确定常数而由可知无论常数为什么正数，总能取较小的数比它小，即总能举个反例，如当时，就不成立.（2）本题实质按新定义转化为不等式恒成立问题：存在，使得对于任意实数恒成立．即当时，，而取得最小值2，．（3）本题是讨论满足不等式恒成立的条件.即实数、满足什么条件，存在常数，使得对一切实数均成立.当时，，、无限制条件；当时，，需，否则若，则当时，，即不能恒成立；若，则.试题解析：（1）．，即对于一切实数使得成立，是“圆锥托底型” 函数． 2分对于，如果存在满足，而当时，由，，得，矛盾，不是“圆锥托底型” 函数． 4分（2）是“圆锥托底型” 函数，故存在，使得对于任意实数恒成立．当时，，此时当时，取得最小值2，． 7分而当时，也成立．的最大值等于． 8分（3）①当，时，，无论取何正数，取，则有，不是“圆锥托底型” 函数． 10分②当，时，，对于任意有，此时可取是“圆锥托底型” 函数． 12分③当，时，，无论取何正数，取．有，不是“圆锥托底型” 函数． 14分④当，时，，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数．由上可得，仅当时，是“圆锥托底型” 函数． 16分【考点】不等式恒成立问题2.不等式的解集是.【答案】{}【解析】由绝对值的几何意义，分别表示数轴上点到点的距离，不等式的解集，就是数轴上到距离之和不小于的的集合.结合数轴知所求解集为{}.【考点】不等式选讲，绝对值不等式.3.（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为.所以.【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.4.不等式|x＋2|－|x|≤1的解集是________．【答案】【解析】①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立．②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，∴2x≤－1，∴x≤－，∴－2＜x≤－.③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，无解．综上，原不等式的解集为5.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用绝对值的运算性质求出最小值证明恒成立问题.试题解析：（1）原不等式等价于或或，解得或或，∴不等式的解集为.（5分）（2）依题意得：关于的不等式在上恒成立，∵，∴，即，解得，∴实数的取值范围是.(10分)【考点】1.绝对值不等式的解法；2.恒成立问题；3.绝对值的运算性质.6.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式的解集是，．（I）试比较与的大小；（II）设表示数集的最大数．,求证：．【答案】（I）＞；（II）见解析【解析】(1)先解出M={x|0<x<1}.（I）比较两个数的大小，最基本的方法就是作差比较.即.问题得证.（2），可知,所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出.7.选修4—5；不等式选讲已知a和b是任意非零实数.（1）求的最小值.（2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（I）最小值等于4. （II）【解析】(I)根据绝对值不等式的性质可知,可得的最小值等于4.(II)先把不等式转化为恒成立问题，然后根据第（I）的结论，进一步转化为.解此不等式即可.（I）对于任意非零实数a和b恒成立，当且仅当时取等号，的最小值等于4.（II）恒成立，故不大于的最小值由（I）可知的最小值等于4.实数x的取值范围即为不等式的解.解不等式得8.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
高三数学高考复习：关于不等式的考点选讲
关于不等式的考点选讲 不等式是高中数学的重要组成部分，它在历届高考中占有举足轻重的位置.以下四个方面为不等式的易考点：一、比较大小比较大小的方法有作差法（平方作差法可以避免分类讨论）、作商法、图象法等，巧妙选择方法，准确应用不等式的性质、基本不等式等内容可以正确解题.例１ 若12(0)p a a a =++>，cos (11)q arc t t =-≤≤，则下列不等式恒成立的是（ ）Ａ．π>p q ≥Ｂ．0p q >≥ Ｃ．4p q >≥ Ｄ．0p q >≥ 解析：112224π0p a a q a a=+++=>∵·≥≥≥．故选Ｂ． 二、求最值 用基本不等式(0)2a b ab a b +≤≥，求最值，经常用配系数法、凑项法、平方法对原有不等式进行变形，使之符合均值不等式的使用条件. 例2 若实数a b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）Ａ．18 Ｂ．6 Ｃ．23 Ｄ．423 解析：23323323236a b ab a b ++===·≥. 当且仅当33a b =时，即1a b ==时等号成立．故选Ｂ．三、关于不等式的综合问题不等式与很多数学知识有广泛的联系，特别是其与函数、数列、解析几何、三角结合的综合问题．例3 已知()f x 是定义在(33)-，上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图象如图1所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（ ）Ａ．ππ3(01)322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，Ｂ．ππ1(01)322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， Ｃ．(31)(01)(13)--，，， Ｄ．π3(01)(13)2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，， 解析：解不等式()0()cos 0cos 003f x f x x x x >⎧⎪<⇒<⎨⎪<<⎩，，，或()0cos 003f x x x <⎧⎪>⎨⎪<<⎩，，，或()0cos 030f x x x <⎧⎪>⎨⎪-<<⎩，，，或()0cos 030f x x x >⎧⎪<⎨⎪-<<⎩，，．∴解以上四组不等式组有13π32x x <<⎧⎪⎨<<⎪⎩，，或01π02x x <<⎧⎪⎨<<⎪⎩，，或31π02x x -<<-⎧⎪⎨-<<⎪⎩，，或10π32x x -<<⎧⎪⎨-<<-⎪⎩，． 01x <<∴或π32x <<或π12x -<<-．故选Ｂ．注：01x <<或π32x <<或π12x -<<-．故选Ｂ． 注：图感强的同学，画出()f x 及cos y x =在(33)-，上的图象也容易得解． 四、线性规划问题由于线性规划在实际问题中应用广泛，因此这类试题有时以解答题的形式出现在高考中.解这类题的关键是正确作图，利用数形结合予以解答，在确定不等式0Ax By C ++>（或0<，或0=）所表示的平面区域时，要注意“直线定界，特殊点定域”．例4 电视台为某个广告公司特约播放两套片集.其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？解析：设片集甲播映x 次，片集乙播映y 次，则有621118600x y x y x y x y ⎧+⎪+⎨⎪∈∈⎩N N ，，，，，．≥≤≥≥ 要使收视率最高，则只要6020z x y =+最大即可，由图2可知，当24x y ==，时，6020z x y =+取得最大值200．故电视台每周片集甲和片集乙各播映2次和4次，其收视率最。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数的零点为或.所以将x分为三类即可得到不等式的解集.（2）存在实数，使得成立，即等价于函数的最大值大于.由柯西不等式放缩即可求得到的最大值，从而求得实数的取值范围，即可得结论.（1）当时，由得，所以；当时，由得，所以；当时，由得，所以． 2分综上不等式的解集． 3分（2）， 4分由柯西不等式得，， 5分当且仅当时取“=”，的取值范围是． 7分【考点】1.绝对值不等式.2.柯西不等式.3.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.4.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1)求M;(2)当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.5.若不等式恒成立，则实数的取值范围为 _______；【答案】【解析】因为函数，不等式恒成立，即，所以实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式的最值问题.6.设.（1）当时，，求a的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用绝对值不等式的解法，先解出的解，再利用是的子集，列不等式组，求解；第二问，先利用不等式的性质求出的最小值，将恒成立的表达式转化为，再解绝对值不等式，求出的取值范围.试题解析：（1），即．依题意，,由此得的取值范围是[0，2] .5分（2）．当且仅当时取等号．解不等式，得．故a的最小值为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法；2.集合的子集关系；3.不等式的性质；4.恒成立问题.7.已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由|2x a|+a≤6得|2x a|≤6 a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）="|2x" 1|+1，令φ（n）=f（n）+f（n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m f（ n）成立，只须m大于等于φ（n）的最小值即可，从而求出实数m的取值范围．试题解析：(1)由解得则所以 5分（2）由（1）知则原不等式为+2所以 10分【考点】绝对值不等式的解法8.不等式的解集为_______________.【答案】【解析】当时，原不等式为恒成立；当时，原不等式为，解得，所以；当时，原不等式为，无解.综上可知，不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的解法9.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于或或 3分解得或或即不等式的解集为 5分（Ⅱ） 8分∴或. 10分【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.10.不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.【答案】或．【解析】，故的值域为，不等式对任意实数恒成立,即，解得或．【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题．11.若关于实数的不等式的解集是空集,则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】使关于实数的不等式的解集是空集，则，由绝对值的几何意义可知，故，解得.【考点】极坐标系、绝对值不等式.12.不等式组的解集为 .【答案】【解析】，或，所以不等式组的解集为.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.分式不等式的解法；3.集合的交集运算.13.若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，要使对于一切非零实数，恒成立，则，即，选C.【考点】1.函数最值；2.绝对值不等式.14.给出下列四个命题:①命题,则.②当时,不等式的解集为非空.③当时,有.④设复数z满足（1-i）z="2" i，则z=1-i其中真命题的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】A.【解析】命题,则,故①错；当时,不等式的解集不是非空，②错；当时,，由均值不等式有，当且仅当时等号成立，③正确；复数z满足（1-i）z="2" i，设，则，所以，④错.所以真命题个数为1个，选A.【考点】1.否命题；2.绝对值不等式；3.均值不等式；4.复数的运算.15.已知函数.(Ⅰ)当a = 3时,求不等式的解集;(Ⅱ)若对恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)将a = 3代入解绝对值不等式即可；(Ⅱ)由题知恒成立令，画出图象求解.试题解析：(Ⅰ)时,即求解①当时,②当时,③当时,综上,解集为(Ⅱ)即恒成立令则函数图象为,【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数图象.16.已知实数组成的数组满足条件：①；②．（Ⅰ）当时，求，的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设,且，求证：．【答案】（1）或；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）列出方程组求解；（2）应用绝对值不等式进行证明；（3）应用绝对值不等式可以证明.试题解析：（Ⅰ）解：由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以 2分当时，同理得 4分（Ⅱ）证明：当时，由已知,.所以. 9分（Ⅲ）证明：因为，且.所以,即. 11分). 14分.【考点】绝对值不等式.17.若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】有图像可知: 时,的图像的图像恒在的图像的下面.【考点】不等式恒成立问题.18.设（1）当，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）．【解析】（I）绝对值不等式的解法，易知不等式的等价不等式组解出不等式解集; （II）存在性问题转化为函数最值问题，含绝对值的函数式去绝对值化为分段函数求得最值即可.试题解析：（I）时原不等式等价于即，所以解集为．（II）当时，，令，由图像知：当时，取得最小值,由题意知：，所以实数的取值范围为.【考点】1、绝对值不等式的解法; 2、函数最值问题.19.已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，试求的最小值．【答案】（Ⅰ）原不等式的解集为或；（Ⅱ）的最小值为．【解析】（Ⅰ）将原不等式表示出来，借助含绝对值不等式的解法进行求解；（Ⅱ）先将不等式配成柯西不等式的相关形式，然后利用柯西不等式求的最小值.试题解析：（Ⅰ）原不等式化为，或，即或，原不等式的解集为或． 3分（Ⅱ）由已知，得，由柯西不等式，得，， 5分当且仅当即时等号成立， 6分所以，的最小值为． 7分【考点】含绝对值不等式、柯西不等式20.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】，3≤x≤8【解析】即，即，配方得，，所以，直线与圆相交的弦长为。
选修4-5 不等式选讲 (3)
1．在△ABC中，设其各边长边a，b，c，外接圆半径为R， 求证： 证明：由柯西不等式知：
2．若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0，求证： 证明：
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反序 时最小，即
a1bn＋a2bn－1＋„＋anb1 ，等号当
(3)平均不等式 定理：若a1，a2，…，an为正数，则 ，等号
当且仅当a1＝a2＝„＝an时成立．这个不等式通常称为算术—几何平均不 等式． 思考：在应用算术—几何平均不等式时要注意什么问题？ 提示：一是要注意定理成立的条件是各项必须全是正数；二是要注意等 号成立的条件． 2．利用不等式求最大(小)值 (1)利用平均不等式求最大(小)值．(2)利用柯西不等式求最大(小)值．
【答题模板】
解法一：用均值不等式
解法二：用柯西不等式
即所求的最大值为
【状元笔记】
重要不等式，均值不等式： (a1>0，a2>0，…，an>0)，当
且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；柯西不等式：(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a＋a＋… ＋a)(b＋b＋…＋b)(aibi∈R，i＝1,2，…，n)，当且仅当a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai 时(k为常数，i＝1,2，…，n)等号成立．这两个不等式是证明其他不等式和求多元函 数最值的有力工具，使用时要注意等号成立的条件．使用柯西不等式的重要技巧就 是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件.
变式2：设a1，a2，…，an为正数，求证： 证明：不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则 由排序不等式知 即
利用不等式求最值时，应观察条件能否满足不等式的条件，如要条件满足还要看等
号能否成立，能满足等号成立说明能取得最值，否则没有取得最值．
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）当时, 不等式恒成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于，可以转化为，所以分3种情况，，进行讨论去掉绝对值符号解不等式；第二问，，所以利用不等式的性质得到最大值代入上式，解不等式，得到a的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于:当时, ,即；当时, ,即；当时, ,即.综上所述,原不等式的解集为. （5分）（Ⅱ）当时,=所以（10分）【考点】绝对值不等式的解法、不等式的性质.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.若不等式|x-a|-|x|<2－a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是。
【答案】【解析】,所以原式恒成立，即,即,解得【考点】不等式恒成立问题4.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .【答案】【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，法二：柯西不等式：由可得：，当且仅当时取等号，即时，取等号，这时或当时，，当时，，综上可知当时，【考点】柯西不等式.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.不等式的解集为 .【答案】.【解析】解不等式，得，解得，故不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的求解7.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.8.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1）， 2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.9.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为10.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.11.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是()A．<B．>C．a>b2D．a2>2b【答案】C【解析】选C.令a=2,b=-,验证可得选项A不正确,令a=2,b=,则B不正确,若a=1.1,b=0.9,则D 不正确,对选项C,由-1<b<1得:0≤b2<1,又a>1,故b2<a,故C项正确.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18【答案】D【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.14.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值为()A．2B．4C．16D．不存在【答案】B【解析】选B.过A,B两点的直线方程为y=-(x-3),所以x=3-2y,所以2x+4y=+4y≥4,当且仅当=4y时,等号成立.,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b.15.已知a,b,x,y∈R+【答案】或【解析】因为x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2,=(+)2=18,当且仅当=时取等号.又(x+y)min即a+b+2=18,①又a+b=10,②由①②可得或16.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是.【答案】(-∞,-3]∪[3,+∞)【解析】因为f (x)=|x+1|+|x-2|=所以f(x)≥3,要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,故|a|≥3,即a≤-3或a≥3.17.已知a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)(bm＋an)的最小值．【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，(am＋bn)(an＋bm)≥()2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，且仅当即m＝n时取最小值2.18.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.19.若对恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】当为偶数时，，而；当为奇数时，，而.所以的取值范围是.【考点】不等式.20.若关于x的不等式的解集为(-1,4)，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由已知得，，，当时，不等式解集为，故，无解；当时，不等式解集为，故，解得．【考点】绝对值不等式解法．21.已知函数，m∈R，且的解集为．（1）求的值；（2）若，且，求的最小值.+【答案】（1）.（2）的最小值为9.【解析】（1）由已知，得到所以根据的解集是，得到.（2）由(1)知，，由柯西不等式即得所求.试题解析：（1）因为，所以.所以又的解集是，故. 5分（2）由(1)知，，由柯西不等式得∴的最小值为9 10分【考点】绝对值不等式解法，柯西不等式.22.已知a,b,c,d均为正实数,且a+b+c+d=1,求证:+++≥.【答案】见解析【解析】证明：因为[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·(+++)≥(·+·+·+·)2=(a+b+c+d)2=1,当且仅当===即a=b=c=d=时取等号.又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+(a+b+c+d)=5,所以5(+++)≥1.所以+++≥.23.设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．【答案】（1）a＝1（2）3.【解析】(1)因为∈A，且∉A，所以<a，且≥a，解得<a≤.又因为a∈N*，所以a＝1.(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.24. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．25.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.26.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝5.∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y) ＝13＋≥13＋2＝25.因此3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时等号成立．∴当x＝1，y＝时，3x＋4y的最小值为5.27.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.28.已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+an（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a及；（2）试比较Sn与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．【答案】（1）Sn=3n﹣2n（2）当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2【解析】（1）令x=1，则a=2n，令x=2，则，∴Sn=3n﹣2n；（3分）（2）要比较Sn与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；（5分）猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n﹣1）2n+2n2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2﹣﹣（10分）【考点】用数学归纳法证明不等式；数列的求和；二项式定理的应用点评：本题是中档题，考查与n有关的命题，通过赋值法解答固定项，前n项和，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，常考题型29.选修4—5：不等式选讲已知函数（1）若不等式的解集为，求实数a，m的值。
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高三数学不等式选讲试题1.设函数(m＞0)(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(0，1)∪(，＋∞)【解析】(1)利用绝对值基本性质：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|及基本不等式可得；(2)分类写出f(2)关于m的解析式，解相关分式不等式即可试题解析：(Ⅰ)由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． 4分(Ⅱ)f(2)＝|2－|＋|2＋m|．当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． 10分考点:绝对值不等式2.设，且满足：，，求证：.【答案】详见解析【解析】根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：，由此可推出：，即可得出三者的关系：，问题即可求解．，，，又，，. 10分【考点】不等式的证明3.已知关于x的不等式（其中），若不等式有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵设故，即的最小值为，所以有解，则解得，即的取值范围是，选C.4.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2,2]D．[0，＋∞)【答案】A【解析】由题意a|x|≥－x2－1，∴a≥＝(x≠0)．∵≤－2，∴a≥－2.当x＝0时，a∈R，综上，a≥－2，选A5.设函数,其中。
（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求a的值。
【答案】（1）或（2）【解析】（1）当时，可化为。
由此可得或。
故不等式的解集为或。
（2）由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故6.不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【答案】C【解析】不等式x2﹣4x+a＜0可化为：x2﹣4x＜﹣a，设y=x2﹣4x，y=﹣a，分别画出这两个函数的图象，如图，由图可知，不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则有：﹣a＞﹣3．故a＜3．故选C．7.已知，，，．求证．【答案】详见解析【解析】利用分析法或作差法证明不等式. 即，而显然成立，【证明】因为，，所以，所以要证，即证．即证， 5分即证，而显然成立，故． 10分【考点】不等式相关知识8.若不等式的解集为，则的取值范围为________;【答案】【解析】令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题.9.已知，且，求的最小值．【答案】1.【解析】观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, ,,，当且仅当，或时的最小值是1.【考点】柯西不等式.10.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(填上正确的序号).①<;②a2>b2;③>;④a|c|>b|c|.【答案】③【解析】①,当a是正数,b是负数时,不等式<不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2也不成立,当a,b是负数时,不等式a2>b2不成立.③在a>b两边同时除以c2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确.11.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.【答案】-<2a+3b<【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.12.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18【答案】D【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.13.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P<QC．P=Q D．无法确定【答案】A【解析】选A.由等比知识,得Q==,而P=,且a3>0,a9>0,q≠1,a 3≠a9,所以>,即P>Q.14.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.15.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.16.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A．B．C．D．无最大值【答案】C【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,=.当且仅当x=-2x,即x=时,ymax17.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A．|a+b|+|a-b|>2B．|a+b|+|a-b|<2C．|a+b|+|a-b|=2D．不能比较大小【答案】B【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.18.若关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,则实数a的取值范围为()A．(-∞,1]B．(-∞,1)C．(-∞,5]D．(-∞,5)【答案】C【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,所以a≤5.19.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【答案】见解析【解析】证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).20.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，8]【解析】因为不等式|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则a≤8，即实数a的取值范围是(－∞，8]．21.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.22.若关于x的不等式的解集为(-1,4)，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由已知得，，，当时，不等式解集为，故，无解；当时，不等式解集为，故，解得．【考点】绝对值不等式解法．23.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.24.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:++≥5.(2)求+的最小值.【答案】(1)见解析 (2) 18【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,当且仅当==,即x=,y=,z=时取等号.因为5x+4y+3z=10,所以++≥=5.(2)根据平均值不等式,得+≥2=2·,当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当==时,等号成立.综上,+≥2·32=18.当且仅当x=1,y=,z=时,等号成立.所以+的最小值为18.25.设n∈N*,求证:++…+<.【答案】见解析【解析】证明：由=<=(-)可知<(1-),<(-),…,<(-),从而得++…+<(1-)<.26.设0< a,b,c <1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于.【答案】见解析【解析】证明：假设(1-a)b >,(1-b)c >,(1-c)a>,则三式相乘:(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>①.又∵0< a,b,c <1,∴0<(1-a)a≤[]2=.同理:(1-b)b≤,(1-c)c≤,以上三式相乘:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾,∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.27.设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪(3，＋∞)，则a的值为________．【答案】a＝2【解析】由题意知，f(－2)＝f(3)＝5，即1＋|2＋a|＝4＋|3－a|＝5，解得a＝2.28.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.29.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥30.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【答案】2【解析】由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥＝mn(a＋b)2＝2.31.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝5.∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y) ＝13＋≥13＋2＝25.因此3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时等号成立．∴当x＝1，y＝时，3x＋4y的最小值为5.32.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】（Ⅱ）【解析】解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1．∴直线与圆相交的弦长=解：∵函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，∵f（x）的最小值为3，∴|a-4|=3，∴a=1或7，∵a＞1，∴a=7，∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；综上3≤x≤8，故答案为：3≤x≤8．【考点】坐标系与参数方程，不等式选讲点评：主要是考查了不等式选讲以及坐标系与参数方程的运用，属于基础题。