线性规划建模练习题
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。
工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。
每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。
玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。
每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。
每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。
现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。
1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。
2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。
2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
大学生数学建模练习题
大学生数学建模练习题一、线性规划问题假设你是一家制造公司的经理，公司生产两种产品A和B。
生产一个产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。
公司每天有24小时的机器时间和40小时的人工时间可用。
如果产品A的销售价格是50元，产品B是80元，如何安排生产计划以最大化利润？二、排队论问题一家银行有3个服务窗口，平均每天接待200名顾客。
每名顾客的平均服务时间是5分钟。
假设顾客到达银行是随机的，服从泊松分布，服务时间服从指数分布。
请计算银行的平均排队长度和顾客的平均等待时间。
三、库存管理问题一家零售商销售一种季节性产品，该产品的需求量在一年中波动很大。
产品的成本是每个20元，存储成本是每个每年2元，缺货成本是每个10元。
如果零售商希望在一年内保持至少95%的服务水平，应该如何确定最优的订货量和订货频率？四、网络流问题在一个供水系统中，有四个水库和五个城市。
水库1和2可以向城市A 供水，水库2和3可以向城市B供水，水库3和4可以向城市C和D供水。
每个水库的供水能力不同，每个城市的需求也不同。
如果需要确保所有城市的需求都得到满足，如何确定最优的供水方案？五、预测问题给定一个公司过去5年的季度销售额数据，使用时间序列分析方法预测下个季度的销售额。
请考虑季节性因素和趋势，并给出预测的置信区间。
六、优化问题一个农场主有一块矩形土地，打算围成一个矩形的牧场。
如果围栏的总长度是固定的，比如400米，如何确定牧场的长和宽，使得牧场的面积最大？七、多目标决策问题一家公司需要在多个项目中做出选择，每个项目都有不同的预期收益、风险和实施时间。
如果公司需要在风险和收益之间做出权衡，并且希望项目尽快完成，如何使用多目标决策方法来选择最合适的项目组合？通过解决这些练习题，大学生可以加深对数学建模的理解，提高分析和解决实际问题的能力。
希望这些练习题能够帮助学生在数学建模的道路上更进一步。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
建模补充-线性规划练习题(带答案)
线性规划建模习题2.某医院昼夜24小时各时间段内需要的护士数量如下：2:00～6:00 10人；6:00～10:00 15人；10:00～14:00 25人；14:00～18:00 20人；18:00～22:00 18人；22:00～2:00 12人。
护士分别于2:00、6:00、10:00、14:00、18:00、22:00分六批上班，并连续工作8小时。
试确定：(a)该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要；(b)若医院可聘用合同工护士，上班时间同正式工护士。
若正式工护士报酬为10元/小时，合同工护士为15元/小时，问医院聘用正式工和合同工护士各多少人成本最低？3.某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：(1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；(2)只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；(3)于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元；(4)于三年内的第三年初允许投资，一年收回，可获利40%，投资限额为10万元。
试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。
8.市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1～4月每月需10000件，5 ～9月每月30000件，10 ～12月每月需100000件；产品II在3 ～9月每月15000件，其他月每月50000件。
某厂生产这两种产品成本为：产品I在1 ～5月内生产每件5元，6 ～12月内生产每件4.5元；产品II 在1 ～5月内生产每件8元，6 ～12月内生产每件7元。
该厂每月生产两种产品能力总和不超过120000件。
产品I容积每件0.2立方米，产品II每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米。
要求：(1)若占用本厂每月每立方米库容需1元，该厂应如何安排生产计划，才能在满足市场需求的前提下，确保生产加库存费用最低？(2)上述问题是否有可行解？(3)若该厂仓库不足时，可从外厂租借，租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少？15.一个大的造纸公司下设10个造纸厂，供应1000个用户。
数学建模线性规划上机题
例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。
每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。
现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。
它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。
该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。
而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。
该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。
该怎样处理这个问题。
若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。
通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。
如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。
数学建模习题——线性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此外还有表四问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400225 1.4()9154325(),,,,0M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x =====因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。
线性规划建模
一、（20分）用单纯形法求解线性规划问题。
12121212max 34240.. 330,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩二、（15分）建立如下问题的数学模型（只建模不求解）。
某公司现有资金总额为B ，可供选择的投资项目有n 个，项目j 所需投资和预期收益分别为a j 和b j （j=1,2,﹒﹒﹒,n)。
此外由于种种原因，有三个附件条件：第一，若选择项目1，就必须同时选择项目2，反之不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个；第三，项目5、6和7中恰好选择2个。
该公司应当怎样投资项目，才能使预期收益最大？ 三、（25分）求解如下运输问题。
某种产品要从A 、B 、C 三个仓库运往甲、乙、丙、丁四个销售点，各仓库的发货量、各销售点的收货量以及各仓库到各销售点的单位运价如表1所示，请问产品如何调运才能使总运费最小？表1 单位运价表四、（25分）用动态规划的方法求解下列问题。
某公司有1000辆运输卡车，在超负荷运输（即每天满载行驶500km 以上）情况下，年利润为25万元/辆，这时卡车的年损坏率为0.3；在低负荷下运输（即每天行驶300km 以下）情况下，年利润为16万元/辆。
年损坏率为0.1。
现要制定一个5年计划，请问每年年初应如何分配完好车辆在两种不同的负荷下运输的卡车数量，使在5年内的总利润最大？五、（20分）求解如下指派问题。
某大型工程有五个工程项目（B 1，B 2，B 3，B 4，B 5），决定向社会公开招标，有五家建筑能力相当的建筑公司分别获得中标承建。
已知建筑公司A i （i=1，2，3，4，5）的报价ij c （百万元）如表2所示，请问应该怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最小？表2 建造费用表六、（25分）某工程的资料如表3所示。
表3 各工序关系和时间表1、绘制网络图。
2、确定关键路线。
七、论述题（每题10分,共20分）1、论述单纯形法的计算步骤，并说明如何在单纯形表上去判别问题是具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解。
第3篇 线性规划模型 - 题目
第3篇 线性规划模型线性规划通常研究资源的最优利用问题.例如，在任务确定的条件下，如何用最少的资源（如资金、原材料、人工、时间、设备等）去完成确定的任务；在资源一定的条件下，如何组织生产，使得成本最小，或者利润最大，等等.线性规划可以分为连续规划、整数规划和0-1规划.3.1 生产计划问题例3.1 一个奶制品加工厂用牛奶生产1A 、2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克1A ，或者在乙车间用8小时加工成4千克2A .根据市场需求，生产出的1A 、2A 能够全部售出，且每千克1A 获利24元，每千克2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100千克1A ，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制，（即加工能力足够大），试为该厂制订一个生产计划，使得每天的获利最大.3.2 零件配套问题例3.2 某产品由2件甲零件和3件乙零件组装而成。
两种零件必须在设备A 、B 上加工，每件甲零件在A 、B 上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A 、B 上的加工时间分别为4分钟和10分钟。
现有2台设备A 和3台设备B ，每天可供加工时间为8小时。
为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。
怎样安排设备的加工时间使得每天加工的产品的产量最大？3.3 背包问题例3.3 一个旅行者的背包最多只能装20千克物品. 现有4件物品的重量分别为4千克、6千克、6千克、8千克，4件物品的价值分别为1000元，1500元, 900元, 2100元. 这位旅行者应携带哪些物品使得携带物品的总价值最大?3.4 选择加工方式问题例3.4 企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产．已知每种生产的固定成本、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量如表3-1所示，怎样安排产品的加工使总成本最小．3.5 灵敏度分析在线性规划模型（3-6）中，对于价值系数j c 、资源系数i b 和工艺系数ij a ，当其中的某些参数发生微小的变化时，最优解和最优值的变化情况怎样？这就是线性规划的灵敏度分析.具体来说，灵敏度分析主要分析以下2个方面：1.系数变化时，最优解有什么变化；2.系数在什么范围内变化时，原最优解不变. 我们以例3.1为例来说明灵敏度分析的方法.2.5.1 对价值系数j c 进行灵敏度分析在模型（3-6）中，假设每千克1A 获利由24元提高到25元，那么目标函数为127564f x x =+.模型的其余部分都不变，使用lingo 软件求解，程序和结果见附录9. 从求解结果来看，最优解没有变化，仍然是*(20,30)T x =.当然由于价格变大了，最优值必然会增加的（增加了60元）.反复实验，可以发现，只要价格在[21,31]内，最优解都是不变的.这说明最优生产方案对于奶制品1A 的价格变化不是很敏感.类似地可以分析奶制品2A 对价格的敏感性. 2.5.2 对资源系数i b 进行灵敏度分析在模型（3-6）中，假设每天能得到51桶牛奶的供应，那么，原料供应约束为1251x x +≤.其余部分都不变，使用lingo 软件求解，程序和结果见附录10. 从求解结果来看，最优解发生了变化，是*(18,33)T x =.最优值增加了48元.这说明最优生产方案对于牛奶的供应量的变化是非常敏感的.我们把48元叫做1桶牛奶的影子价格，它记录在“Dual Price ”一栏.影子价格的功能是，如果购买1桶牛奶的成本低于48元，就可以扩大购买量来扩大生产规模，因为这样可以增加利润；如果购买1桶牛奶的成本高于48元，就可以卖掉牛奶来压缩生产规模，因为这样也可以增加利润；其实，有关资源系数的灵敏度分析可以直接根据原模型（3-6）的求解结果“Dual Price ”一栏的数据进行，而不必重新建模.比如，对于劳动时间约束，每增加1小时，总收入增加2元.而对于设备甲的加工能力约束，就完全没有敏感性了，因为此时还剩余46小时没有用完.2.5.3 对工艺系数ij a 进行灵敏度分析在模型（3-6）中，假设1桶牛奶可以在甲车间用13小时加工成3千克1A （加工时间增加了1小时），劳动时间约束变为12138480x x +≤.其余部分都不变，使用lingo 软件求解，程序和结果见附录11. 从求解结果来看，最优解发生了变化，是*(16,34)Tx =.生产奶制品1A 的牛奶减少4桶，而生产奶制品2A 的牛奶增加4桶，这说明最优生产方案对于1A 的工艺系数是非常敏感的.由于生产效率降低了，所以应该减少奶制品1A 的生产规模.并不是对每个系数都要进行灵敏度分析.比如，在本例中，工艺系数在一定时期内是相对固定的，除非企业要进行技术改造，因此对工艺系数就没有必要进行灵敏度分析.3.6 两辆铁路平板车的装货问题例3.5 有7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度t （以厘米计）及重量w （以千克计）是不同的。
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线性规划建模练习题
1.背包问题
有一组物品S,共有9件，其中第i件重w，价值v，从S中取出一些物品出来装背包，使
2 •农作物的生产安排问题
以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料
如表1所示
适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表2所示
试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大?
3 •空气污染管理问题
位于钢城的诺利公司为当地的主要钢铁厂家之一，公司为钢城的繁荣与发展
作出了一定的贡献。
但现在情况有所改变，由于钢厂对熔炉的排放物未进行管理,
致使空气污染破坏了钢城的环境，并危害了当地居民的健康。
公司董事会就此作出了明智的决定，指定专门人员与市政官员和人民团体商讨解决空气污染问题，以保证工厂的排放物能达到环保部门的要求。
研究发现，造成空气污染的物质主要有三种：微粒、氧化硫及碳化氢，钢厂每年须减少的污染物排放量达到表3的要求时，方满足环保的要求。
表3
污染物的主要来源为：（1制造生铁之鼓风炉；（2）炼钢之敞炉。
减少污染物排放的有效方法为：（1）增加烟囱高度；（2）在烟囱内安装过滤器；（3）使用优质燃料。
这些方法对减少污染虽有帮助（其效果见表4），但任一方法的单独使用，均不能达到环保部门的要求，若三种方法同时以最高的标准实施，则工厂的产品成本将陡增，从而使产品失去市场竞争力甚至因此而破产，管理部门因此而忧心忡忡。
表4 （各减污法每年最高可能减少的污染排放量（单位：百万磅））
专题组人员经分析知各减污方法中最高减污量之总成本的近似值如表5所示。
而公司每年可拨出的治污专款也有一底限，试确定该公司是否能实施“空气污染管理”工程。
表5（最高减污法之总成本：以百万元为单位）
4.饲料配比问题
某公司长期饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中的蛋白质、矿物质、维生素这三种营养成分特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质
3g、维生素10mg，该公司能买到五种不同的饲料，每种饲料 1 kg 所含的营养成分如表6所示，每种饲料1kg的成本如表7所示，试为公司制定相应的饲料配方，以满足动物生长的营养需要，并使投入的总成本最低。
表7
5.连续投资问题
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知如下条件：
项目A，从第一年到第四年每年年初均需投资，并于次年末回收本利115%;
项目B，第三年初需要投资，到第五年末回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；
项目C,第二年初需要投资，到第五年末回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；
项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，可获利息6%。
该部门现有资金10万元，问它应如何确定给给这些项目每年的投资额，使到第五年末部门所拥有的资金的本利总额最大。
6 •生产时序的安排
北方飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机。
其生产过程之最后阶段为生产喷射引擎，然后装置于（一极速工作）制妥的机体，该公司有若干近期必须交付使用的飞机的合同，现须安排今后四个月飞机喷射引擎的生产计划，并须于每
月末分别提供10、15、25、20台引擎。
已知该公司各月的生产能力和生产每台引擎的成本如下表所示（单位：百万元），又如果生产出来的引擎当月不能交货的，每台引擎每积压一个月需存储和维护费用0.015百万元，试在完成合约的情况下，制定一引擎数量的生产安排方案，以使该公司今后四个月的生产费用最小。
生产成本表
7•航运公司的船只配备问题
某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、E、F的四条固定航线的物资运
输任务，已知各条航线的起点、终点城市及每天的航班数如下表所示：
:
才能满足所有航线的运营要求？
8.工程上马的决策问题
某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
9.工序的流程安排问题
一条装配线由一系列工作站组成，被装配或制造的产品在装配线上流动的过程中，每站都要完成一道或几道工序，假定一共有六道工序，这些工序按先后次序在各工作站上完成，关于这些工序有如下的数据：
另外工艺流程特别要求，在任一给定的工作站上，不管完成哪些工序，可用的总时间不能超过10分钟，如何将这些工序分配给各工作站，以使所需的工作站数为最少？。