北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与巩固提高知识点讲解

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说2.掌握三角形的中位线定理 .3.认识多边形的定义以及内角、外角、对角线等观点 . 掌握多边形的内角和与外角和公式 .4.累积数学活动经验，展开推理能力 .【知识网络】【重点梳理】重点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD记作“口 ABCD〞，读作“平行四边形 ABCD〞.重点解说：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 .重点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线相互均分；重点解说：〔1〕平行四边形的性质定理中边的性质能够证明两边平行或两边相等；角的性质能够证明两角相等或两角互补；对角线的性质能够证明线段的相等关系或倍半关系 .〔2〕因为平行四边形的性质内容许多，在使用时依据需要进行选择 .（3〕利用对角线相互均分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决 .重点三、平行四边形的判断定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线相互均分的四边形是平行四边形 .重点解说：（1〕这些判断方法是学习本章的根基，一定坚固掌握，当几种方法都能判断同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2〕这些判断方法既可作为判断平行四边形的依照，也可作为“画平行四边形〞的依照 .重点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：〔1〕定义：两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正当 .2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等 .平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.重点五、三角形的中位线三角形的中位线1 ．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.重点解说：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的地点关系与数目关系 .〔2〕三角形的三条中位线把原三角形分红可全等的 4 个小三角形. 因此每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .（3〕三角形的中位线不一样于三角形的中线 .重点六、多边形内角和、外角和边形的内角和为 ( －2) ?180°(≥3)．重点解说： (1) 内角和定理的应用：①多边形的边数，求其内角和；②多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；多边形的外角和为 360°．边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少没关 .【典型例题】种类一、平行四边形的性质与判断1 、〔2021?海淀区二模〕如图 1，在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC= α，D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ ADE，使 AE=AD，∠ DAE+∠BAC=180°．（1〕直接写出∠ ADE的度数〔用含α的式子表示〕；（2〕以 AB，AE为边作平行四边形 ABFE，①如图 2，假定点 F 恰巧落在 DE上，求证： BD=CD；②如图 3，假定点 F 恰巧落在 BC上，求证： BD=CF．【思路点拨】〔1〕由在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC=α，可求得∠ BAC=180°﹣ 2α，又由 AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2 α，既而求得∠ ADE的度数；（2〕①由四边形 ABFE是平行四边形，易得∠ EDC=∠ ABC=α，那么可得∠ ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得 AD⊥BC，又由 AB=AC，依据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠ B=∠C=α，四边形 ABFE是平行四边形，可得 AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠ EAC=∠C=α，又由〔 1〕可证得 AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．∴B D=CF．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质以及等腰三角形的性质与判断．注意〔 2〕①中证得 AD⊥BC是重点，〔2〕②中证得 AD=CD是重点．贯通融会：【变式】分别以口 ABCD〔∠ CDA≠90°〕的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ ABE，△ CDG，△ ADF．（1〕如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结 GF，EF．请判断 GF与 EF的关系并证明〕；（2〕如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，〔1〕中结论还建立吗？假定建立，给出证明；假定不建立，说明原因．【答案】解：〔1〕GF⊥EF，GF＝EF建立；∵四边形 ABCD是平行四边形，∴A B＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ GDF＝∠ GDC＋∠ CDA＋∠ ADF＝90°＋∠ CDA，∠EAF＝ 360°﹣∠ BAE﹣∠ DAF﹣∠ BAD＝ 270°﹣〔 180°﹣∠CDA〕＝ 90°＋∠ CDA，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴GF⊥EF；（2〕GF⊥EF，GF＝EF建立；原因：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ BAE＋∠ FAD＋∠ EAF＋∠ ADF＋∠ FDC＝180°，∴∠ EAF＋∠ CDF＝45°，∵∠ CDF＋∠ FDG＝45°，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴G F⊥EF．2、如图，点 D 是△ABC的边 AB的延伸线上一点，点 F 是边 BC上的一个动点〔不与点 B 重合〕．以 BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又 AP BE〔点 P、E 在直线 AB的同侧〕，假如 BD＝ AB，那么△ PBC的面积与△ ABC面积之比为〔〕A ．B．C．D．【答案与分析】解：过点 P 作 PH∥BC交 AB于 H，连结 CH，PF，∵A P BE，∴四边形 APEB是平行四边形，∴P E∥AB，PE＝AB，∵四边形 BDEF是平行四边形，∴E F∥BD，EF＝BD，即 EF∥AB，∴P，E，F 共线，设 BD＝，∵ BD＝ AB，∴PE＝AB＝4 ，那么 PF＝PE－EF＝3 ，∵P H∥BC，∴ ，∵P F∥AB，∴四边形 BFPH是平行四边形，∴B H＝PF＝3 ，∵＝BH：AB＝3 ：4 ＝3：4，∴＝3：4．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质与三角形面积比的求解方法．本题难度较大，注意正确作出协助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．贯通融会：【变式】△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在 BC边同侧作正△ ABD、正△ ACE和正△ BCF，求以 A、E、F、D四点为极点围成的四边形的面积．∴A B＝AD＝EF＝3∴四边形 AEFD是平行四边形〔两组对边分别相等的四边形是平行四边形〕∵D F∥AE，DF⊥BD延伸 EA交 BD于 H点， AH⊥BD，那么 H为 BD中点∴平行四边形 AEFD的面积＝ DF×DH＝4×＝6.3、在平行四边形 ABCD中，点 A1，A2，A3，A4 和 C1，C2，C3，C4 分别 AB和 CD的五均分点，点B1，B2 和 D1，D2 分别是 BC和 DA的三均分点，四边形A4B2C4D2的面积为 1，那么平行四边形ABCD 面积为〔〕A ．2 B．C．D．15【思路点拨】能够设平行四边形 ABCD的面积是 S，依据均分点的定义利用平行四边形 ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，便可表示出四边形A4B2C4D2的面积，进而获得两个四边形面积的关系，即可求解．【答案】 C；【分析】解：设平行四边形ABCD的面积是 S，设 AB＝5 ，BC＝3 ．AB 边上的高是 3 ，BC边上的高是 5 ．那么 S＝5 ?3 ＝3 ?5 ．即＝＝．△AA4D2与△ B2CC4全等，B2C＝ BC＝，B2C边上的高是?5 ＝4．那么△ AA4D2和△ B2CC4的面积是 2＝．同理△ D2C4D与△ A4BB2的面积是．那么四边形 A4B2C4D2的面积是 S－－－－＝，即＝1，解得S＝．【总结升华】考察平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用均分点的定义，获得两个四边形的面积的关系是解决本题的重点．种类二、三角形的中位线4、如图，△ ABC的周长为 26，点 D，E 都在边 BC上，∠ ABC 的均分线垂直于AE，垂足为 Q，∠ACB的均分线垂直于AD，垂足为 P，假定 BC＝10，那么 PQ的长为〔〕【答案】 C；【分析】解：易证△ ABQ≌△ EBQ, AB＝BE，Q为 AE中点，△A CP≌△ DCP, AC＝CD，P 为 AD中点，∴P Q∥DE,PQ＝ DE，∵A B＋AC＋BC＝26，BC＝10，∴A B＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE，∴D E＝6，PQ＝ DE＝3.【总结升华】本题考察了三角形的中位线定理及等腰三角形的判断，注意培育自己的敏感性，一般出现高、角均分线重合的状况，都需要找到等腰三角形．种类三、多边形内角和与外角和5、假定一个多边形的每个外角都等于60°，那么它的内角和等于〔〕A．180°B．720°C．1080°D．540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，依据边形的外角和为 360°计算出多边形的边数，而后依据边形的内角和定理计算即可．【答案】 B；∴这个多边形的内角和＝〔6－2〕× 180°＝ 720°．【总结升华】本题考察了边形的内角和定理：边形的内角和＝〔－2〕?180°；也考察了边形的外角和为 360°．贯通融会：【变式】〔2021 秋?小金县校级期末〕一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】解：设内角是x°，外角是 y°，那么获得一个方程组，解得．而任何多边形的外角是360°，那么多边形中外角的个数是360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．6、甲、乙两人想在正五边形 ABCDE内部找一点 P，使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法以下：〔甲〕连结BD、CE，两线段订交于P 点，那么 P 即为所求〔乙〕先取 CD的中点 M，再以 A 为圆心， AB长为半径画弧，交 AM于 P 点，那么 P 即为所求．关于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A ．两人皆正确B．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠B PE的度数，依据平行四边形的判断判断即可．【答案】 C；【分析】解：甲正确，乙错误，原因是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，AB ＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ DEC＝∠ DCE＝×〔 180°－ 108°〕＝ 36°，同理∠ CBD＝∠ CDB＝36°，∴∠ ABP＝∠ AEP＝108°－ 36°＝ 72°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 72°－ 72°＝ 108°＝∠ A，∴四边形 ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠ BAE＝108°，∴∠ BAM＝∠ EAM＝54°，∵A B＝AE＝AP，∴∠ ABP＝∠ APB＝×〔 180°－ 54°〕＝ 63°，∠ AEP＝∠ APE ＝63°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 63°－ 63°≠ 108°，即∠ ABP＝∠ AEP，∠ BAE≠∠ BPE，∴四边形 ABPE不是平行四边形，即乙错误；北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说【总结升华】本题考察了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判断的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。