2022高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+重点)第九章解析几何
2022年高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第九章 解析几何 大题冲关 Word版含答案
高考中解析几何问题的热点题型 ■特级老师 王恒雨圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探究性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为简单的运算，对考生解决问题的力量要求较高，通常作为压轴题的形式消灭．热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．[考查角度一] 圆锥曲线中的定点问题[典题1] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上肯定点．(1)[解] 由于抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)[证明] ①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t .由于直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12， 化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )， 此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.依据根与系数的关系得y A y B ＝4b k，由于直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0，即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)． 综上所述，直线AB 过定点(8,0)．定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，依据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．[2021·河南洛阳模拟]设M 是焦距为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，A ，B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点N (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.若P 是直线x ＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．解：(1)由题意，2c ＝2，c ＝1，A (－a,0)，B (a,0)， 设M (x ，y )，∵k 1k 2＝－12，∴y x ＋a ·yx －a ＝－12，即y 2x 2－a 2＝－12.∵M (x ，y )在椭圆E 上，∴x 2a 2＋y 2b2＝1，∴b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2x 2－a 2＝－12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2. 又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设切点坐标为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (2，t )． 则切线方程分别为x 1x2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1.∵两切线均过点P ，∴2x 12＋ty 1＝1，2x 22＋ty 2＝1， 即x 1＋ty 1＝1，x 2＋ty 2＝1， ∴直线CD 的方程为x ＋ty ＝1.对于任意实数t ，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD 恒过定点(1,0)． [考查角度二] 圆锥曲线中的定值问题[典题2] 如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作始终线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．(1)[证明] 依题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2， 代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)， 即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8， 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1， 留意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此点D 在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)[解] 依题意知，切线l 的斜率存在且不等于0， 设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a＋a ，－2，则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎪⎫2a＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.1．解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：争辩特殊情形，从问题的特殊情形动身，得到目标关系所要探求的定点、定值． 其次步：探究一般状况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种状况定结论． 2．求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[2021·江西南昌二中月考]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝42，k OA ·k OB ＝－12，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)证明：△OAB 的面积为定值． (1)解：由椭圆的离心率为22，可得c a ＝22，即a ＝2c . 又2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝42，∴a ＝22，c ＝2，b 2＝4， ∴椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－8＝0，Δ＝8(8k 2－m 2＋4)>0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2，又k OA ·k OB ＝－12，∴y 1·y 2＝－12x 1·x 2＝－m 2－41＋2k2，又y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－8k 21＋2k 2，∴m 2－8k 21＋2k 2＝－m 2－41＋2k2，即4k 2＋2＝m 2. 设原点到直线AB 的距离为d ， 则S △OAB ＝12|AB |d＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k2 ＝|m |264k2m 2－16m 2－4m 2＝24k 2－m 2＋4＝2 2.当直线斜率不存在时，有A (2，2)，B (2，－2)，d ＝2， S △OAB ＝12×2×22＝2 2.故△OAB 的面积为定值2 2. 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．[考查角度一] 求线段长度、三角形面积的最值[典题3] [2021·山东卷]平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．[解] (1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．由于x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 由于直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积为S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝216k 2＋4－m2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2 . 设m21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0＜t ≤1， 因此S ＝24－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 的面积的最大值为6 3.圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法、基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，依据圆锥曲线几何意义求最值．[2021·江西南昌模拟]已知圆E ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程． 解：(1)如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2，∵F 1，E ，A 三点共线， ∴F 1A 为圆E 的直径， ∴AF 1＝32×2＝3，AF 2⊥F 1F 2.令y ＝0，则x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＝94，解得x ＝±2，∴c ＝ 2.|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1， 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4， ∵a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由(1)得点A 的坐标为(2，1)， ∵MN →＝λOA →(λ≠0)， ∴直线l 的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋m 2－2＝0， ∴－2<m <2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0， |MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12x 1＋x 22－4x 1x 2＝12－3m 2. 点A 到直线l 的距离d ＝6|m |3. S △AMN ＝12|MN |·d ＝1212－3m 2×63|m | ＝224－m2m 2≤22×4－m 2＋m 22＝ 2..当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时，直线l 的方程为y ＝22x ± 2. [考查角度二] 求几何量、某个参数的取值范围[典题4] [2021·山东青岛模拟]已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆C ：x 2＋y 2＝9上．(1)求抛物线C 1的方程；(2)已知椭圆C 2：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为12.直线l ：y ＝kx －4交椭圆C 2于A ，B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．[解] (1)设点G 的坐标为(x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝3，x 20＋y 20＝9，y 20＝2px 0，得x 0＝1，y 0＝±22，p ＝4， ∴抛物线C 1的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得抛物线C 1的焦点F (2,0)， ∵椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合， ∴椭圆C 2的半焦距c ＝2，m 2－n 2＝c 2＝4， ∵椭圆C 2的离心率为12，∴2m ＝12⇒m ＝4，n ＝23， ∴椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1，得(4k 2＋3)x 2－32kx ＋16＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝32k 4k 2＋3，x 1x 2＝164k 2＋3.由Δ＞0⇒(－32k )2－4×16(4k 2＋3)＞0⇒k ＞12或k ＜－12①.∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA →·OB →＞0， ∴OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝y 1y 2＋x 1x 2＝(kx 1－4)·(kx 2－4)＋x 1x 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16 ＝(k 2＋1)×164k 2＋3－4k ×32k 4k 2＋3＋16＝164－3k 24k 2＋3＞0⇒－233＜k ＜233.②由①②得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，333.求参数范围的常用方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：依据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6km )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0 ⇒m 2<3k 2＋1.①由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝－6km 3k 2＋1，x M ·x N ＝3m 2－13k 2＋1. ∴x P ＝x M ＋x N2＝－3km3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13km，又∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13km ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2； 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.热点三 圆锥曲线中的探究性问题圆锥曲线的探究性问题主要体现在以下几个方面：(1)探究点是否存在；(2)探究曲线是否存在；(3)探究命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是争辩直线与圆锥曲线的位置关系问题．[考查角度一] 探究是否存在常数的问题[典题5] [2021·四川卷]如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，假如推出冲突就不存在，否则就存在．[考查角度二] 探究是否存在点的问题[典题6] [2021·河北石家庄一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由e ＝12可得a 2＝4c 2，①S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|sin 60°＝3，可得|AF 1||AF 2|＝4，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 60°＝4c 2， 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， 可得a 2－c 2＝3，② 联立①②得a 2＝4，c 2＝1， ∴b 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0， ∴x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4，得Q (4,4k ＋m )，假设存在点M 的坐标为(x 1,0)，则MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )． ∵以PQ 为直径的圆恒过点M ， ∴MP →·MQ →＝0，即－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，∴(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0对任意k ，m 都成立．则⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1，故存在定点M (1,0)符合题意．解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明． [考查角度三] 探究存在性的问题[典题7] [2021·新课标全国卷Ⅱ]已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由．(1)[证明] 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得 (k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)[解] 四边形OAPB 能为平行四边形．理由如下：由于直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m 的坐标代入直线l 的方程，得 b ＝m 3－k 3，因此x M ＝k k －3m3k 2＋9. 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 相互平分时成立，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －3m 3k 2＋9， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.由于k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．解决是否存在直线的问题时，可依据条件查找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．提示 完成课时跟踪检测(五十六)。
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何 双曲线
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (2)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。
2022数学第九章解析几何9
9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）的 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线。
2。
抛物线的几何性质F p 2，0 F —p 2，0 F 0，p 2F 0,-p 21。
设AB 是过抛物线y 2=2px （p 〉0）焦点F 的弦,若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2)，如图所示，则 (1）x 1x 2=p 24，y 1y 2=—p 2；(2）弦长|AB|=x 1+x 2+p=2p sin 2α（α为弦AB 所在直线的倾斜角）;（3)以弦AB 为直径的圆与准线相切;(4)S △AOB =p 22sinα(α为弦AB 所在直线的倾斜角）;(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p〉0)的通径长为2p.考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√"，错误的画“×”。
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.（)(3)若一抛物线过点P(—2,3),则其标准方程可写为y2=2px （p>0）.()（4）抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.（）（5）方程y=ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物,0。
()线,且其焦点坐标是a42.（2020天津河北区线上测试，5）已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2，则p的值为()A.2√3B.4 C。
6 D。
123。
(2020北京，7）设抛物线的顶点为O，焦点为F,准线为l。
P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A。
经过点O B。
经过点PC.平行于直线OP D。
垂直于直线OP4。
（2020全国1，理4）已知A为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9，则p=(）A。
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何
1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0）y2＝－2px(p〉0)x2＝2py（p〉0)x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!【知识拓展】1．抛物线y2＝2px(p〉0)上一点P(x0，y0）到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝－错误!。
3．设AB是过抛物线y2＝2px（p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B（x2,y2)，则(1）x1x2＝错误!，y1y2＝－p2.(2）弦长|AB｜＝x1＋x2＋p＝错误!(α为弦AB的倾斜角）．（3）以弦AB为直径的圆与准线相切．(4）通径:过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×"）(1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（×）(2）方程y＝ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(错误!，0)，准线方程是x＝－错误!.（×）（3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（×）（4)AB为抛物线y2＝2px（p>0）的过焦点F(错误!，0)的弦，若A(x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2＝错误!,y1y2＝－p2,弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p。
( √)1．（2016·四川）抛物线y2＝4x的焦点坐标是( ）A．（0，2）B．（0,1)C．(2，0）D．（1,0）答案D解析∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为错误!，∴对于y2＝4x,焦点坐标为(1，0)．2．(2016·甘肃张掖一诊）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1,y1)，Q（x2,y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )A．9 B．8 C．7 D．6答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0）,准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋｜QF｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )A.错误!B．［－2，2］C．［－1，1］D．[－4，4]答案C解析Q(－2，0）,设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0,由Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64(1－k2）≥0，解得－1≤k≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2,－4)，则该抛物线的标准方程为________________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px（p≠0)或x2＝2py（p≠0)．将P（－2,－4）代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。
2022届高考一轮复习第9章解析几何第7节抛物线课时跟踪检测理含解
第九章 解析几何第七节 抛物线A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届沈阳质检)抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B 由x 2＝2px 的焦点到准线的距离为p ，得x 2＝4y 中的焦点到准线的距离为2，故选B ． 2．(2019届广东七校第二次联考)已知抛物线y 2＝24ax(a>0)上的点M(3，y 0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20x解析：选A 抛物线y 2＝24ax(a>0)的准线方程为x ＝－6a ，点M(3，y 0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y 0)到准线的距离也为5，即3＋6a ＝5，∴a＝13，∴y 2＝8x ，故选A ．3．(2019届石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3解析：选A 解法一：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．解法二：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x－1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM′⊥x 轴，垂足为M′，过点N 作NN′⊥x 轴，垂足为N′，则△MM′F∽△NN′F，∴|NF|∶|MF|＝|NN′|∶|MM′|＝|－2|∶22＝1∶2，故选A ．解法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．解法四：设直线l 的倾斜角为α，则|MF|＝p 1－cos α，|NF|＝p1＋cos α，∴|NF|∶|MF|＝(1－cosα)∶(1＋cos α)，又M(2，22)，F(1，0)，∴tan α＝22，∴cos α＝13，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．4．(2019届江西五校联考)过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与抛物线C 的准线相交于点M ，若|MN|＝|AB|，则直线l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，所以|NN′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12|AB|.因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝12|MN|，即在△MNN′中，cos ∠MNN ′＝12，所以∠MNN′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°.又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°，故选B ．5．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( )A ．2B ．3C ．32D ．4解析：选C 设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，把直线AB 的方程代入抛物线的方程得y 2－2my －2t ＝0，Δ＝4m 2＋8t>0，所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2t.由题意得OA⊥OB，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212×y 222＋y 1y 2＝0，得y 1y 2＝－4，所以－2t ＝－4，即t ＝2，故直线AB 恒过定点(2，0)，则抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32，故选C ． 6．(2019届湖南岳阳二模)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 过P 1作P 1M ⊥准线l ，垂足为M ，过P 2作P 2N ⊥准线l ，垂足为N ，由抛物线定义知|P 1F|＝|P 1M|＝y 1＋1，|P 2F|＝|P 2N|＝y 2＋1，∴|P 1P 2|＝|P 1F|＋|P 2F|＝y 1＋y 2＋2＝8，故选C ．7．(2019届江西五校协作体2月联考)已知点A(0，2)，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM||MN|＝55，则p 的值等于( )A ．18B ．14C ．2D ．4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF|＝|MP|，因为|FM||MN|＝55，所以|MP||MN|＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12.又∠OFA＋∠MNP＝90°(O 为坐标原点)，所以tan∠OFA ＝2＝ 2 12p ，则p ＝2，故选C ．8．(2019届沈阳市第一次质量监测)抛物线y 2＝6x 上一点M(x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．解析：由y 2＝6x ，知p ＝3，由抛物线定义得，x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入y 2＝6x 中，得y 21＝18，则|MO|＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)．答案：3 39．(2020届成都摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，|AF||BF|－|AF|＝1，则抛物线C 的标准方程为________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE⊥l 于点E ，则|DF|＝p.由抛物线的定义知|BE|＝|BF|.设|BE|＝|BF|＝m ，因为△AEB∽△ADF，所以|AF||AB|＝|DF||BE|，即|AF||AF|－|BF|＝|DF||BF|，所以|AF||AF|－m ＝p m ，所以|AF|＝pm p －m .由|AF||BF|－|AF|＝1，得pmp －m m －pmp －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x. 答案：y 2＝2x10．(2019届河北省“五个一名校”高三考试)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F|＋|P 2F|＋|P 3F|＋…＋|P 10F|＝________．解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px(p>0)上的点P(x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF|＝x 0＋p 2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F|＋|P 2F|＋…＋|P 10F|＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：1011．(2019届昆明市高三诊断测试)过点E(－1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，F 是抛物线C 的焦点．(1)若线段AB 中点的横坐标为3，求|AF|＋|BF|的值； (2)求|AF|·|BF|的取值范围．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6. 由抛物线的定义知|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1， 则|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝8. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x 得y 2－4my ＋4＝0. 由Δ＝16m 2－16>0，得m 2>1，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. 由抛物线的定义知|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1， 则|AF|·|BF|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝m 2y 1y 2＝4m 2. 因为m 2>1，所以|AF|·|BF|>4. 故|AF|·|BF|的取值范围是(4，＋∞)．12．(2019届郑州市第一次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N.R 为准线上一点．(1)若AR∥FN，求|MR||MN|的值；(2)若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．解：由已知，得F(1，0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线y 2＝4x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由题知M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，设R(－1，y R )．(1)∵AR∥FN，即AR →∥FN →，AR →＝(－1－x 1，y R －y 1)，FN →＝(－2，y 2)，∴0＝(－1－x 1)y 2＋2(y R －y 1)＝(－2－my 1)y 2＋2(y R －y 1)＝－2(y 1＋y 2)－my 1y 2＋2y R ＝－4m ＋2y R ，∴y R ＝2m ＝y 1＋y 22，∴R 是MN 的中点，∴|MR||MN|＝12.(2)若R 是MN 的中点，则R(－1，2m)，RA →·RB →＝(x 1＋1，y 1－2m)·(x 2＋1，y 2－2m)＝(my 1＋2，y 1－2m)·(my 2＋2，y 2－2m)＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋(y 1－2m)(y 2－2m)＝(m 2＋1)y 1y 2＋4m 2＋4＝－4(m 2＋1)＋4m 2＋4＝0.∴RA →⊥RB →，即RA⊥RB， ∴点R 在以AB 为直径的圆E 上.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR|＝( )A ．2B ． 3C ．2 3D ．3解析：选A 如图，连接MF ，QF ，设准线l 与x 轴交于H ，∵y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|.∵M，N 分别为PQ ，PF 的中点，∴MN∥QF.∵PQ 垂直l 于点Q ，∴PQ ∥OR.∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，∴△PQF 为等边三角形，∴MF⊥PQ.又M 为PQ 的中点，∴F 为HR 的中点，∴|FR|＝|FH|＝2.故选A ．14．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5，0)，O 为坐标原点，则S △AOB ＝( )A ．2 2B ． 3C ． 6D ．3 6解析：选A 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线l ：y ＝k(x －1)(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线y ＝k(x －1)代入y 2＝4x ，化简整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)－2k ＝2k ＋4k －2k ＝4k ，所以AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，AB 的垂直平分线方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2.由于AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5，0)，所以0－2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－1－2k 2，化简得k ＝±1，即直线AB 的方程为y ＝±(x－1)．点O 到直线AB 的距离d ＝|1|1＋1＝22，又|AB|＝1＋1|x 1－x 2|＝1＋1（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×36－4＝8，所以S △AOB ＝12×22×8＝22，故选A ．15．(2019届洛阳市第二次联考)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点S(0，3)，SA ，SB 与圆C ：x 2＋y 2－my ＝0(m>0)和抛物线x 2＝－2py(p>0)都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，SA∥ON，则点A 到抛物线准线的距离为( )A ．4B ．2 3C ．3D ．3 3解析：选A 连接OM ，∵SM，SN 是圆C 的切线，∴|SM|＝|SN|，|OM|＝|ON|.又SA∥ON，∴SM∥ON，∴四边形SMON 是菱形，∴∠MSN＝∠MON.连接MN ，由切线的性质得∠SMN＝∠MON，则△SMN 为正三角形，又MN 平行于x 轴，所以直线SA 的斜率k ＝tan 60°＝ 3.设A(x 0，y 0)，则y 0－3x 0＝ 3 ①.又点A 在抛物线上，∴x 2＝－2py 0 ②.由x 2＝－2py ，得y ＝－x 22p ，y′＝－1p x ，则－1px 0＝ 3 ③，由①②③得y 0＝－3，p ＝2，所以点A 到抛物线准线的距离为－y 0＋p2＝4，故选A ．16．(2020届湖北部分重点中学联考)已知点A(0，1)，抛物线C ：y 2＝ax(a ＞0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a 的值为________．解析：依题意得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过M 作抛物线的准线的垂线，垂足为K ，由抛物线定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3∶1.又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN||KM|＝－3，所以－4a ＝－3，解得a ＝433.答案：43317．(2019届昆明市教学质量检测)已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x －3y ＋11＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m ，焦点为F ，分别过点P ，F 作PA⊥m，PM⊥l，FN⊥l，垂足分别为A ，M ，N.连接PF ，因为点P 在抛物线上，所以|PA|＝|PF|，所以(d 1＋d 2)min ＝(|PF|＋|PM|)min ＝|FN|.点F(1，0)到直线l 的距离|FN|＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d 1＋d 2)min ＝3.答案：3。
数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。
3。
双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。
3。
若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
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2022高考数学（理）一轮复习单元测试（配最新高考＋重点）第九章解析几何第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、（2020陕西理）已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能2 ．（2020浙江理）设a ∈R,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．【2020厦门期末质检理】直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于A .2 B . 2 C .22 D . 44、【2020宁德质检理4】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>4，则双曲线的焦距等于 （ ）A．B．C．D．5、（2020新课标理）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =则C 的实轴长为（ ）AB．C ．4D ．86．（2020湖南理）已知双曲线C :22x a -22y b =1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为 （ ）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =17、【2020海南嘉积中学期末理】设椭圆22221(0)x y abab 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆上的一点，21AF AF ,原点O 到直线1AF 的距离为112OF ，则椭圆的离心率为（ ） A 、13B 、31C 、22D 、219、【20203230x y 与圆22:4O x y 交于A 、B两点，则OA OB（ ）A 、2B 、-2C 、4D 、-410、【2020黑龙江绥化市一模理】若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.611．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0) C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 12、（2020山东理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 （ ）A ．22182x y += B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y +=二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．【2020粤西北九校联考】点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是__ __; 14、（2020江西理）椭圆22221x y a b +=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 15、（2020北京理）在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________.16、【2020 浙江瑞安期末质检理】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ▲ .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)【山东省青岛市2020届高三期末检测】已知圆1C的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 0x y --=相切.(Ⅰ) 求圆的标准方程； （Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ；18. (本小题满分12分) （2020广东理）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.19．(本小题满分12分) （2020北京理）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈(1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,求m 的范畴;(2)设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证:A,G,N 三点共线.20．(本小题满分12分) 【广东省肇庆市2020届高三第二次模拟理】已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．21．(本小题满分12分) (安徽省合肥一中2020届高三下学期第二次质量检测理科)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率2e =的点到焦点的最短距离为21-直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB 3AP =.（1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范畴．22．(本小题满分12分) （2020年海淀区高三期末考试理19）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由.祥细答案一、选择题 1、【答案】A解析: 22304330+-⨯=-<,因此点(3,0)P 在圆C 内部,故选A.2、 【答案】A【解析】当a =1时,直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0明显平行;若直线l 1与直线l 2平行,则有:211a a =+,解之得:a =1 or a =﹣2.因此为充分不必要条件.3、【答案】B【解析】求圆的弦长利用勾股定理，弦心距232,4,3,2222-=+===l l d r r d =2，选B; 4、【答案】A4，因此⎪⎩⎪⎨⎧==2542a c a ，522,5==c c5、【答案】C【解析】设222:(0)C x y a a -=>交xy 162=的准线:4l x =-于(4,A-(4,B --得:222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=6、 【答案】A【解析】设双曲线C :22x a -22y b =1的半焦距为c ,则210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±,点P (2,1)在C 的渐近线上,12b a∴=,即2a b =.又222c a b =+,a ∴==,∴C 的方程为220x -25y =1.7、【答案】B【解析】由条件得21,,2(1,1AF c AF a c e ====8、【解析】选C设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =;则点A 到准线:1l x =-的距离为3得:1323cos cos 3θθ=+⇔= 又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+AOB ∆的面积为113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=9、【答案】A230y 与圆22:4O x y 交于A （1，），B （2，0），OA OB210、【答案】C【解析】直线260ax by ++=过圆心C （-1,2），03=--b a ，当点M (,)a b 到圆心距离最小时，切线长最短；2,2682)2()1(222=+-=-++=a a a b a MC 时最小，1-=b ，现在切线长等于4； 11、答案 D解析 设Q (x ，y )，则P (－x ，y )，由BP →＝2P A →，∴A (－32x,0)，B (0,3y )．∴AB →＝(32x,3y )．从而由OP →·AB →＝(x ，y )(32x,3y )＝1. 得32x 2＋3y 2＝1其中x >0，y >0，故选D. 12、【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23,因此23==a c e ,2243a c =,222243b a a c -==,因此2241a b =,即224b a =,双曲线的渐近线为x y ±=,代入椭圆得12222=+bx a x ,即1454222222==+b x b x b x ,因此b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=,则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ,因此四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ,因此52=b ,因此椭圆方程为152022=+y x ,选D. 二、填空题13、【答案】01=-+y x【解析】点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点，则该弦所在直线与PC 垂直，弦方程01=-+y x 14、【答案】5【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:1AF a c =-,122F F c =,1F B a c=+.又已知1AF ,12F F ,1F B成等比数列,故2()()(2)a c a c c -+=,即2224a c c -=,则225a c =.故5c e a ==.即椭圆的离心率15、【解析】由24y x =,可求得焦点坐标为(1,0)F ,因为倾斜角为60︒,因此直线的斜率为tan 60k =︒=,利用点斜式,直线的方程为y =-,将直线和曲线方程联立21(,34y A B y x⎧=⎪⎨⎪=⎩,因此11122OAFA S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=16、【答案】251+【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，因此215,1)(+=-=-⨯e cba b三、解答题17、解: (Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d，则2d ==因此圆1C 的方程为224x y +=（Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(,0)x y m x y n x =+，因此000()x m n x x y my =+=⎧⎨=⎩即:001x x y y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m 代入224x y +=,得222144x y m += 18、解析:(Ⅰ)因为e =,因此2223c a =,因此223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ,则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭(b y b -≤≤).当01b <<时,2PQ在y b =-时取到最大值,且最大值为244b b ++,由2449b b ++=解得1b =,与假设01b <<不符合,舍去. 当1b ≥时,2PQ在1y =-时取到最大值,且最大值为236b +,由2369b +=解得21b =.因此23a =,椭圆C 的方程是2213x y +=.(Ⅱ)圆心到直线l的距离为d =,弦长AB =,因此OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=,因此()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点,因此2213m n +=,即2233m n =-,因此22221132d m n n ==+-,而11n -≤≤,因此201n ≤≤,21323n ≤-≤,因此2113d ≤≤,因此当212d =时,2S 取到最大值14,现在S 取到最大值12,现在212n =,232m =.综上所述,椭圆上存在四个点22⎫⎪⎪⎝⎭、22⎛- ⎝⎭、22⎛ ⎝⎭、22⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大,且最大值为12.19、【解析】(1)原曲线方程可化简得:2218852x y m m +=--,由题意可得:8852805802m m m m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩,解得:752m <<(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:22(21)16240k x kx +++=,2=32(23)k ∆-,解得:232k >由韦达定理得:21621M N k x x k +=+①,22421M N x x k =+,②设(,4)N N N x k x +,(,4)M M M x kx +,(1)GG x ， MB 方程为:62M M kx y x x +=-,则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，, ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，,()2N N AN x x k =+，,欲证A G N ，，三点共线,只需证AG ,AN 共线即3(2)6MN NM x x k x x k +=-+成立,化简得:(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立,则A G N ，，三点共线得证. 20、解：（1）由题意得，())12,F F （1分）圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）从而12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>= （3分）∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆,其中长轴24a =,焦距2c =则短半轴1b =， （4分） 椭圆方程为:2214x y += （5分）（2）设()00,K x y ，则220014x y +=．∵HK KQ =，∴()00,2Q x y ．∴2OQ == （6分） ∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．(7分) 又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． (8分)令2x =，得0082,2y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (9分)又()2,0B ，N 为DB 的中点，∴0042,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (10分)∴()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． (11分)∴()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++()()0000220x x x x =-+-=． (13分) ∴OQ NQ ⊥．∴直线QN 与圆O 相切. (14分)21、解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，c a ＝22，∴a ＝1，b ＝c ＝22 故C 的方程为：y 2＋x 212＝1（2）当直线斜率不存在时：12m =±当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 ∴Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，① x 1x 2＝m 2－1k 2＋2 ② ∵AP ＝3PB →∴－x 1＝3x 2 ③由①②③消去x 1，x 2，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0……9分整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， ∴k 2＝2－2m 24m 2－1≥0，∴211-<≤-m 或121≤<m 把k 2＝2－2m 24m 2－1代入（*）得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m ……11分,综上m 范畴为112m -<≤-或112m ≤< 22、解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c .由题意可知：1b，32ca . 因此24a .因此，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y .（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-.因为1AQ BQ k k ⋅=-，因此 AQ BQ .因此2AQB π∠=.（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠. 由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5在椭圆C 的内部，明显0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+，因此1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k=++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 因此QA QB ⊥.因此 QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA=取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB .记点6(,0)5为N . 另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520Mx x k k x k k ， 因此 点M 的纵坐标266()5520M Mky k x k .因此222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NMk k k k222601320(520)k k .因此QM 与NM 不垂直，矛盾.因此 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB 为等腰三角形.。