机械振动 第2章(习题)

第二章 单自由度系统习题2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：ω2n=g/δ运动微分方程（式2.5）：x +ω2nx=0初始条件：x (0)=3δ,x (0)=0 由式2.8有： A=2020)(ωnx x+=3δϕ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x =3δcos(δg t)2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：ω2n=g/δ=9.8/0.2=49运动微分方程（式2.5）：x +ω2nx=0初始条件：x (0)=-0.2,x (0)=0 由式2.8有：振幅：A=2020)(ωnxx+=0.2ϕ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2π/ωn弹簧刚度：k=mg/δ=1⨯9.8/0.2=49(N/m) 最大弹簧力：F Smax =-kA=-49⨯0.2=9.8(N)2.3 重物m l 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m 2从高度为h 处自由落到m l 上而无弹跳，如图T —2.3所示，求其后的运动。

图 T —2.3解：ω2n=k/(m 1+m 2)运动微分方程（式2.5）：x +ω2nx=0初始条件：x (0)=- m 2g/k m 2gh=21(m 1+m 2)x 2(0)⇒ x (0)(以下略)2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图T —2.4所示，求系统的固有频率。

图 T —2.4解：系统的势能：U=21kr 2θ2系统的动能：E t =21I ∙θ2+21mr2∙θ2由d(U+E t )=0得：（I+ mr 2）∙∙θ+kr 2θ=0ω2n=22mr I kr+2.5 均质杆长L 、重G ，用两根长h 的铅垂线挂成水平位置，如图T —2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO 微幅振动的周期。

图 T —2.5解：系统的势能：U=21k ⨯(21a θ)2+21k ⨯(21a θ)2=41ka 2θ2系统的动能：E t =21I ∙θ2由d(U+E t )=0得：I ∙∙θ+21ka 2θ=0ω2n=Ika22T=2π/ωn2.6 求如图T —2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k 2＝2k 1，k 3=k 1。

图 T —2.6解：设k 1=k则121k =11k +21k =k 1+k 21⇒k 12=32k系统的势能：U=21k 12x 2+21k 3x 2=65kx 2系统的动能：E t =21m ∙x 2由d(U+E t )=0得：m ∙∙x +35kx=0ω2n=m k35T=2π/ωn2.7 如图T —2.7所示，半径为r 的均质圆柱可在半径为R 的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

图 T —2.7解：系统的势能：U=mg(R-r)(1-cos θ)=21mg(R-r)θ2 {说明：21mg(R-r)θ2为重心变化引起的势能； 由于重心变化引起的势能为：mg(R-r) (1-cos θ)； 由三角函数的的倍角公式：cosa=1-2sin 2（a/2），且当a 很小时，sina ≈a⇒cos θ=1-2sin 2（θ/2）=1-2（θ/2）2=1-θ2/2 ⇒ mg(R-r)(1-cos θ)=21mg(R-r)θ2}系统的动能：E t =21m(R-r)2∙θ2+21I （rr R -）2∙θ2{说明：圆柱质心点的速度:(R-r)∙θ=r ∙ψ⇒∙ψ=rr R -∙θ}由d(U+E t )=0得柱体的摆动方程： [m(R-r)2+ I （rr R -）2] ∙∙θ+ mg(R-r)θ=0对于均质圆柱：I=21mr 223m(R-r)2θ∙∙+ mg(R-r)θ=0ω2n= 2g/[3(R-r)2]2.8 横截面面积为A ，质量为m 的圆柱形浮子静止在比重为γ的液体中。

设从平衡位置压低距离x (见图T —2.8)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。

图 T —2.8解：建立如图所示坐标系，系统平衡时0x =，由牛顿第二定律得： mx ’’+γ(Ax)g=0 有： ω2n=mAgγ初始条件为：x 0=x ，∙x 0=0所以浮子的响应为：()sin()2x t x tπ=+2.9 求如图T —2.9所示系统微幅扭振的周期。

图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O 1A 与O 2B 在同一水平线上)，弹簧不受力。

摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m 1，m 2。

图 T —2.9解：设盘1转角为ϕ1，令i=ϕ1/ϕ2，则系统的动能：E T =21I 1∙1ϕ2+21I 2∙2ϕ2=21I 1i2∙2ϕ2+21I 2∙2ϕ 2=21( i 2I 1+ I 2)∙2ϕ2系统的势能：U=21k 1r 12ϕ12+21k 2r 22ϕ22=21(i 2k 1r 12+ k 2r 22)ϕ22由d(U+E t )=0得： ( i 2I 1+ I 2)∙∙2ϕ+(i2k 1r 12+ k 2r 22) ϕ2=0ω2n=(i 2k 1r 12+ k 2r 22)/ ( i 2 I 1+ I 2)T=2π/ωn2.10 如图T —2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。

在图示位置，由水平弹簧维持平衡。

半径R 与a 均已知，求微振动的周期。

图T —2.10解：系统的势能：U=21ka 2θ2(未计重力势能)系统的动能：E t =21I θ’2+21mR 2∙θ2 由d(U+E t )=0得：（I+ mR 2）∙∙θ+ka 2θ=0ω2n=22mR I ka+m=P/g T=2π/ωn2.11 弹簧悬挂一质量为m 的物体，自由振动的周期为T ，如果在m 上附加一个质量m 1，则弹簧的静伸长增加∆l ，求当地的重力加速度。

解：T=2π/ωn ⇒ωn =2π/Tω2n=k/m ⇒k=m ω2n=4π2 m /T 2k δ=(m+m 1)g ⇒∆l=m 1g/k ⇒ g=∆lk/m 1=4π2 m ∆l (/T 2m 1)2.12 用能量法求图T —2.12所示三个摆的微振动的固有频率。

摆锤重P ，(b )与(c )中每个弹簧的弹性系数为k /2。

(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。

图T —2.12解：(1) 杆重不计 (a)系统的势能：U=PL(1-cos θ)=21PL θ2 系统的动能：E t =21mL 2∙θ2由d(U+E t )=0得：mL 2∙∙θ+PL θ=0ω2n=PL/( mL 2)=mgL/( mL 2)=g/L(b)系统的势能：U= 21PL θ2+2⨯21⨯2k a 2θ2=21(PL+k a 2) θ2 系统的动能：E t =21mL2∙θ2由d(U+E t )=0得：mL 2∙∙θ+(PL+k a 2) θ=0ω2n=(PL+k a 2)/( mL 2)(c)同(b)(2)杆质量均匀，计入杆重（略）2.13 求如图T —2.13所示系统的等效刚度，并把它写成与x 的关系式。

图 T —2.13解：系统的势能：U= 21kx 2+21kb a 22x 2=21bba222)(+kx 2系统的动能：E t =21m ∙x 2由d(U+E t )=0得： m ∙∙x +bba 222)(+kx=0系统的等效刚度：bba222)(+k2.14一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图T—2.14所示。

每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI＝1.66⨯105N·m2。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

图T—2.142.15一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为ρ的弹性梁的一端，如图T—2.15所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

图T—2.152.16见图T—2.16。

求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。

图 T —2.16解：设U 形管内液柱长L ，截面积为A ，密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x 时，有：系统的势能：U=ρA ⨯2xg ⨯x 系统的动能：E T =21ρAL ∙x 2由d(U+E T )=0得：ρAL ∙∙x +4ρAgx=0ω2n=Lg 4T=2π/ωn2．17 水箱l 与2的水平截面面积分别为A 1、A 2，底部用截面为A 0的细管连接。

求液面上下振动的固有频率(图T —2.17)。

图 T —2.172.18 如图T —2.18所示，一个重W 、面积为A 的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。

设T 1、T 2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。

试证明：2222212T T T gAT W -=πμ并指出μ的意义(式中液体阻尼力F d =μ•2Av )。

图 T —2.18证明：对于无阻尼自由振动：T 1=2π/ωn =2π/mk =2πkgW ⇒k=4π2W/(gT 21) (1)对于有阻尼对于无阻尼的振动： ωd =ξ21—ωn ，即有：T 2= T 1/ξ21—⇒ζ=21222_1T T T阻尼力：F d =μ•2Av=cx ’， v= x ’⇒μ = c/2A 又（式2.26）：c=2ζmk⇒μ =2ζmk/(2A)= ζmk/A=21222_1T T Tmk/A (2)将（1）式和m=W/g 代入（2）式，即有：2222212T T T gAT W -=πμ证明完毕。

2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示nx x n0ln1=δ(式中x n 是经过n 个循环后的振幅)。

并给出在阻尼比ζ 为0.0l 、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。

证明：设系统阻尼自由振动的响应为()x t 。

0t 时刻的位移为0x ；0n t t nT =+时刻的位移为n x ；由式（2.36）有：000()0cos()cos[()]n n dn d t nT d t nT nd d x Xe t ex X et nT ζωζωζωωϕωϕ--+-==+-⇒001ln lnn d nx x nT n n x x ζωδ===，即：nx x n 0ln 1=δ（参见式2.41）当振幅衰减到50%时，00.5n x x =，即：1ln 2ln 22n δπζ==1)当 0.01ζ=时，11n =；要11个循环； 2)当 0.1ζ=时， 1.1n =；要2个循环； 3)当 0.3ζ=时，0.34n =；要1个循环；2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m 1=1151kg ，前悬架刚度为k 1=1.02⨯105N ／m ，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。