专题07 立体几何初步(重难点突破)教师版

专题07 立体几何初步

【重难点知识点网络】：

一、空间几何体的有关概念

1．空间几何体

对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体.

2．多面体

（1）多面体：一般地,我们把由若干个围成的几何体叫做多面体.

（2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC ′B′等.

（3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 如图中棱AA′,棱BB′等.

（4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如图中顶点A,B,C等.

3．旋转体

（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成.

（2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.

二、几种最基本的空间几何体

1．棱柱的结构特征

①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱

ABCDEF?A′B′C′D′E′F′.

②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示

为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱.

①棱柱的底面：棱柱中，两个互相的面叫做棱柱的底面，简称底.

③棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

①底面互相 .

②侧面都是 . 2．棱锥的结构特征

3．棱台的结构特征

4．圆柱的结构特征

5．圆锥的结构特征

6．圆台的结构特征

7．球的结构特征

8．简单组合体的结构特征

①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.

②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.

①多面体与多面体的组合体

图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到,图(2)中几何体由一个四棱柱与一个四棱锥组合而成,图(3)中几何体由一个三棱柱与一个三棱台组合而成.

②多面体与旋转体的组合体

图(1)

中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到,图(2)中几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱得到,图(3)中几何体由一个球挖去一个三棱锥得到.

③旋转体与旋转体的组合体

图(1)中几何体由一个球体和一个圆柱组合而成,图(2)中几何体由一个圆台和两个圆柱组合而成,图(3)中几何体由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成.

知识参考答案：

二、1．平行四边形平行；平行；平行平行四边形平行；斜棱柱正棱柱

2．多边形三角形；多边形三角形公共顶点；四面体

3．平行；平行相似一点梯形；正棱台

4．矩形旋转体；平行平行平行且相等矩形

5．直角三角形直角；圆面相等顶点等腰三角形

6．平行于；平行不等无数等长等腰梯形

7．直径；圆心半径直径

8．柱体锥体台体球体

【重难点题型突破】：

一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征

例1．（1）某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．故选A.

（2）下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是(写出所有真命题的编号)．

【答案】②④

【解析】因为必须是相邻的两个侧面垂直于底面，则四棱柱为直四棱柱．因此1错误

3中，也不符合直四棱柱的定义，排除，只有2,4符合定义，成立 【变式训练1】．判断下列命题的真假. （1）四棱柱一定是平行六面体；

（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体； （3）直平行六面体一定是长方体； （4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.

【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题. 【解析】

（1）四棱柱一定是平行六面体，当四棱柱底面是梯形时不是平行六面体，假命题； （2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体，根据长方体的结构特征知正确，真命题； （3）直平行六面体一定是长方体，当底面为平行四边形时不是长方体，假命题； （4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体，当侧棱与底面不垂直时不是长方体，假命题；

【变式训练2】．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，过

A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】D 【解析】 如图，

延长EF 与A 1B 1的延长线相交于M ，连接AM 交BB 1 于H ，

延长FE 与A 1D 1的延长线相交于N ，连接AN 交DD 1 于G ，可得截面五边形AHFEG ． ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是边长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，

∴EF＝AG＝AH==EG＝FH==

∴截面的周长为D．

二、圆柱、圆锥、圆台的结构特征

例2．（1）下列命题：

①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线相互平行．

其中正确的是（）

A．①②B．②③C．①③D．②④

【答案】D

【解析】①所取的两点与圆柱的轴OO′两端点所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质，故正确．

考点：圆柱、圆台、圆锥母线的定义与性质.

（2）下列叙述正确的是（）

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥．

⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台．

⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台．

⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线．

⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体．

A．①②③④⑤⑥⑧B．①③④⑦⑧

C．①②⑤⑧D．⑤

【思路分析】：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确

的，必须能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可．

【解答过程】：如图所示，由图（1）可知①是错误的；由图（2）可知②③是错误的；由图（3）可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的．

因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线．”是错误的，即⑦是不正确的．

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体．所以⑧是错误的．所以只有⑤是正确的．故应选D．

【变式训练1】．如图所示，正四棱台AC'的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.

【答案】这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为

【解析】

设棱台两底面的中心分别是点O和O'，B C''，BC的中点分别是E'，E.连接O O'，E E'，O B''，OB，O E''，OE，则四边形OBB O''，OEE O''都是直角梯形，如图.

正方形ABCD 中，∵16cm BC =，

∴OB =，8cm OE =.

在正方形A B C D ''''中，∵4cm B C ''=，

∴O B ''=，2cm O E ''=. 在直角梯形O OBB ''中，

19(cm)BB '===.

在直角梯形O OEE ''中，

EE '===.

故这个棱台的侧棱长为

19cm ，斜高为.

【变式训练2】．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，且正方体1111ABCD A B C D -内接于圆锥，求这个正方体的棱长.

【答案】(

)22

h h 2r -

【解析】

过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为

x

因为△V A 1C 1∽△VMN

，所以

2r

=h x h -.

，

所以

=()

22h h 2r

-.

即圆锥内接正方体的棱长为

()

22

h h 2r -.

【变式训练3】．一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为24cm π和225cm π． （1）求圆台的高；

（2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】

(1) . (2) 20cm . 【解析】

（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD ，1O ，O 分别为AD ，BC 的中点，作

AM BC ⊥于点M ，连接1O O .

由已知可得上底半径12cm O A =，下底半径5cm OB =，且腰长12cm AB =，

∴)cm AM ==

，即圆台的高为.

（2）如图，延长BA ，1OO 交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为cm l ，则由1SAO SBO △∽△，得

1AO SA SB BO =，即122

5

l l -=，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

三、球的结构特征

例3．（1）如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是()

A．①③B．①②C．②④D．②③

【答案】A

【解析】

（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如①图所示；

（2）棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，所以②是错误的；

（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如③图所示；

（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以④是错误的．

故选A．

（2）．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）

A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5

【答案】B

【解析】

考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；

4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；

n大于4，也不成立；

在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；

若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，

第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，

由三角形的两边之和大于三边，故不成立；

同理n ＞5，不成立． 故选B ．

四、空间几何体的平面展开图

例4．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．120 B ．150

C ．180

D ．240

【答案】C 【解析】

圆锥的表面积是其侧面积与底面积之和,根据题意有侧面积是底面积的2倍.又因为圆锥的侧面展开图是扇

形,其圆心角0α>,半径为

,且其弧长等于圆锥底面周长,所以,根据扇形面积公式有

221

22R r απ=,代入,得

.即圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为180，故选C.

【变式训练1】．圆台的上、下底面半径分别为5cm 、10cm ，母线长20AB cm =，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点（B 在下底面），求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】（1）；（2）

．

【解析】

（1）画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为．

有图得：所求的最短距离是

，设

，圆心角是，则由题意知，

①，②，由①②解得，，，

∴，则．故绳子最短的长度为：．

（2）作

垂直于

交于

，

是顶点

到

的最短距离，

则是与弧的最短距离，，

即上底面圆周上各点到绳子的最短距离是．

五、空间几何体的综合问题

例5．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为（ ）

A ．

B ．

C ．

2

D

【答案】A

【解析】如图所示：,,F G H 是对应线段的中点.易知：RF 与HQ 相交，确定一个平面

HQ ‖RG ，故G 在平面内，同理P 在平面内

故平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR

12

623

S π=?=故选A

【变式训练1】．春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注；长方体点心盒的高小于长、宽.）

【答案】同意，详见解析 【解析】

设长方体点心盒子的长、宽、高分别为x ，y ，z ，

依据是图（2）的捆扎方式，把彩绳的长度记作l ，因为长方体的每个面上的那一段绳都与相交的棱垂直，故224l x y z =++.

依据题图（1）的捆扎方式，绳长记作m .示意图如图，由三角形中两边之和大于第三边，得

111x y m +>，22z x m +>，343x y m +>，54y z m +>，

665x y m +>，56x z m +>，437x y m +>，28y z m +>

∴

1234561234564x x x x x x y y y y y y z ++++++++++++145678

m m m m m m >+++++，即

224x y z m ++>，即l m >，因此，如题图（1）所示的捆扎方式节省材料.