(最新整理)广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训点直线平面之间的位置关系含解析
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习学业达标集训圆与方程含解析
一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()A．8πB．4πC．2πD．πC[原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.]2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0C[圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k＝2－04－3＝2，可知C正确．]3．在平面直角坐标系xOy中，动点P的坐标满足方程(x－1)2＋(y－3)2＝4，则点P的轨迹经过()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限A[点P的轨迹是以点(1,3)为圆心，2为半径的圆，画图可知图象在第一、二象限]4．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m≤2 B．m＜1 2C．m＜2 D．m≤1 2B[由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，即m ＜12.]5．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C [圆心一定在AB 的中垂线上，AB 的中垂线方程是y ＝x ，排除A ，B 选项；圆心在直线x ＋y －2＝0上验证D 选项，不成立．故选C ．]6．若圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝4B ．(x －1)2＋(y －4)2＝4C ．(x －4)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝4B [圆C (x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标为C (3,2)，半径为2，设C (3,2)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为C ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－y ′＋22＋1＝0，y ′－2x ′－3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝4，∴C ′(1,4)，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4.故选B ．] 7．直线3x －4y －4＝0被圆x 2＋y 2－6x ＝0截得的弦长为( ) A ．2 2B ．4C ．4 2D ．2C [圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为P (3,0)，半径为r ＝3，∴圆心到直线3x －4y －4＝0的距离d ＝|3×3－4|32＋(－4)2＝1.∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－1＝42，故选C ．]8．已知圆C 1：x 2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A ．内含B ．外离C ．相交D ．相切B [两圆的圆心距|C 1C 2|＝(3－0)2＋(4－0)2＝5>4＝r 1＋r 2，所以两圆外离．]9．过两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线的方程是( )A ．x ＋y ＋2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．5x ＋3y －2＝0D ．不存在A [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0，①x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，②①－②得x ＋y ＋2＝0.]10．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0D [圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0.] 11．圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交D ．内切C [两圆的标准方程分别为(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为(1,0)，(0，－2)，两圆圆心之间的距离d ＝(1－0)2＋(0＋2)2＝ 5.∵2－1<5<2＋1，∴两圆相交．故选C ．]12．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a <0，b >0，直线y ＝－1a x－ba ，k ＝－1a >0，－ba >0，直线不经过第四象限．]13．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得 (2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4. 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]14．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B [由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1)．又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.]15．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( )A ．{1，－1}B ．{3，－3}C ．{1，－1,3，－3}D ．{5，－5,3，－3}C [∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1，外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．]二、填空题16．已知直线y ＝kx －2k ＋1与圆(x －2)2＋(y －1)2＝3相交于M ，N 两点，则|MN |等于 ．23 [直线y ＝kx －2k ＋1恒过(2,1)点，即直线y ＝kx －2k ＋1恒过圆(x －2)2＋(y －1)2＝3的圆心，故|MN |＝2R ＝2 3.]17．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16有公共圆心，且过点P (－1，1)的圆的标准方程是 ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝25 [圆心为(2，－3)，设所求圆的半径长为r ，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2.又因为过点P (－1,1)，所以r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.]18．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB 的长为23，则a＝.0[圆心到直线的距离d＝|a－2＋3|a2＋1＝22－(3)2＝1，解得a＝0.]19．已知圆A过点C(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆A 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为．x＋y－3＝0[如图所示，设圆心A(x0,0)，x0>0，则r＝|AC|＝x0－1，|BC|＝2，由直线l的方程可知∠BCA＝45°，∴r＝2，x0＝3.∵l⊥AB，∴k AB＝－1，∴直线AB的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.]三、解答题20．(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3，0)．[解](1)∵点M的坐标适合圆的方程，∴点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为O(0,0)，则直线OM的斜率k OM＝62.∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率为k＝－2 6 .故经过点M的切线方程为y－6＝－26·(x－2)，整理得：2x＋6y－10＝0.(2)容易判断点Q(3,0)在圆外．设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，又圆的圆心为(0,0)，半径为2，所以|－3k|1＋k2＝2.解得：k＝±255.∴所求切线方程为：y ＝±255(x －3)， 即25x ＋5y －65＝0或25x －5y －65＝0.21．(2018·韶关市高一期末)已知直线ax －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2＝9相交于不同两点A ，B ．(1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得过点P (－2,1)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)圆C 的圆心C ：(0,0)，r ＝3，C 到直线ax －y ＋5＝0距离为d ＝5a 2＋1，∵直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交，∴d <r ∴5<3a 2＋1，∴a >43或a <－43. (2)∵AB 为圆上的点， ∴AB 的垂直平分线过圆心， ∴l PC 与ax －y ＋5＝0垂直 而k PC ＝－12，k AB ＝a ， ∴－12a ＝－1，∴a ＝2.∵a ＝2符合(1)中的a >43或a <－43.∴存在a ＝2，使得过P (－2,1)的直线l 垂直平分弦AB ．。
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数列一、选择题1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B ．b －a 2C ．b －a 3D ．b －a 4C [由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.]2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36D ．45C [S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.]3．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A ．12B ．2C ．14D ．4 A [由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.]4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15D [由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 C [∵S n ＝a n －1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．]6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190B [设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100.]7．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32 C [由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.] 8．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24 A [由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．第3项为－12，公比为－12－6＝2，故数列的第四项为－24.]9．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．n [(－1)n －1]2B ．(－1)n ＋1＋12C ．(－1)n ＋12D ．(－1)n －12D [S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.]10．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D ．52B [依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.]11．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189C [由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q ＞0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22·21＝84.]12．已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．⎣⎡⎭⎫－157，－2 C ．(－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－157，－2 B [由题意可得等差数列{a n }的首项为a 1＝31，由题意可得a 15≥1且a 16<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧31＋14d ≥1，31＋15d <1，解关于d 的不等式组可得－157≤d ＜－2.故选B ．]13．在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为( )A ．9B ．10C ．11D ．12B [由题意及等差数列的性质可得4(a 1＋a n )＝20＋60＝80，∴a 1＋a n ＝20.∵前n 项之和是100＝n (a 1＋a n )2，解得n ＝10.]14．等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( ) A ．452B ．12C ．6D ．454C [在等差数列{a n }中，∵S 15＝90，由S 15＝15a 8＝90，得a 8＝6.]15．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158C [设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2(q ＝1舍去)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.] 二、填空题16．在等比数列中，若a 2＝2，a 6＝162，则a 10＝ . 13 122 [由a 26＝a 2a 10得a 10＝1622×12＝13 122.] 17．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 ．4 [依题意，a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＋(a 1＋8d )＝5(a 1＋4d )＝10， 同理，5(a 1＋5d )＝30，两式相减得：d ＝4.]18．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为 ．3(9n －1)4 [∵a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6(1－9n )1－9＝3(9n －1)4.] 19．设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝ .10 [由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.] 三、解答题20．设数列{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3－a 2＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3n2＋log 3a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3－a 2＝12， 得2q 2－2q －12＝0，即q 2－q －6＝0.解得q ＝3或q ＝－2， ∵q ＞0，∴q ＝－2不合题意舍去，∴a n ＝2×3n －1. (2)由b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3n 2＋log 3a n ，且a n ＝2×3n －1，得 b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3n2×2×3n －1＝log 332n －1＝2n －1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列，∴S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n )＝2(3n －1)3－1＋n (1＋2n －1)2＝3n －1＋n 2.21．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，(1)求证数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .[解] (1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，①S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)，②①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．n ＝1时，a 1＝1.∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可得S n ＝n (n ＋1)2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训统计含解析
统计一、选择题1．贵阳地铁1号线12月28日开通运营，某辆机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这组数据的众数、中位数、平均数的和为( )A ．170B ．165C ．160D ．150D [将这组数据从小到大排列：10、30、30、40、40、50、60、60、60、70，易知其众数为60，中位数为45，平均数为45，故众数、中位数、平均数的和为150.]2．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为( )A ．8B ．10C ．12D ．16B [系统抽样的分段间隔为805＝16，设样本中产品的最小编号是x,42是第三组编号，因此x ＋2×16＝42，得x ＝10.]3．由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于－1，则样本1，x 1，－x 2，x 3，－x 4，x 5的中位数为( )A ．1＋x 22B ．x 2－x 12C ．1＋x 52D ．x 3－x 42C [因为x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜－1，题目中数据共有六个， 排序后为x 1＜x 3＜x 5＜1＜－x 4＜－x 2，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数是12(x 5＋1)．故选C ．]4．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92A [∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数为12×(91＋92)＝91.5.平均数为18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.]5．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D ．劳动生产率为1千元时，工资为90元C [因工人月工资依劳动生产率变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.]6．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167C [由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.] 7．从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5C [∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5,124.5)内的有116,120,120,122共有四个，∴样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410＝0.4，故选C ．]8．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝50.]＝150.39．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁C[由题图可知，在区间[25,30)上的数据的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋(35－30)×0.250.35≈33.6(岁)．]10．在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是() A．平均数B．标准差C．众数D．中位数B[利用平均数、标准差、众数、中位数等统计特征数的概念求解．由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变．]11．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A ．13B ．17C ．19D ．21C [因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.]12．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6D ．3,7D [依题意得9＋10×2＋2＋x ＋20×2＋7＋4＝17×5，即x ＝3，y ＝7，故选D ．] 13．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25A [由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1， 所以x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A ．]14．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和xB ，样本标准差分别为s A 和s B ，则()A ．x A ＞xB ，s A ＞s B B ．x A ＜x B ，s A ＞s BC ．x A ＞x B ，s A ＜s BD ．x A ＜x B ，s A ＜s BB [A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A ＜x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A ＞s B ．]15．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A ．x －，s 2＋1002 B ．x －＋100，s 2＋1002 C ．x －，s 2D ．x －＋100，s 2D [x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变，故选D ．]二、填空题16．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为 ．40 [∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， 一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1， ∴三年级要抽取的学生人数是24＋3＋2＋1×200＝40.]17．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14 (x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为 ．4 [由方差的计算公式可得：s 21＝1n [x 21＋x 22＋…＋x 2n ]－x 21＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，可得平均数x 1＝2.对于数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2有x 2＝2＋2＝4.]18．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为18，则n 的值是 ．48 [根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75. 又∵这三组频率之比为1∶2∶3， ∴第3小组的频率为31＋2＋3×0.75＝0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n ＝180.375＝48.]19．已知x ，y 的值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为y ^＝b ^x ＋3.5，那么b ^＝ .x 2 3 4 y5460.5 [由表可知x ＝3，y ＝5，代入y ＝b x ＋3.5得b ＝0.5.] 三、解答题20．随机抽样某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差．[解] (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～179之间，因此乙班的平均身高高于甲班．(2)x甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差 s 2甲＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得Σ10i ＝1x i ＝80，Σ10i ＝1y i ＝20，Σ10i ＝1x i y i ＝184，Σ10i ＝1x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝Σni ＝1x i y i －n x y Σn i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．[解] (1)由题意知n ＝10，x ＝110Σn i ＝1x i ＝8010＝8，y ＝110Σ10i ＝1y i ＝2010＝2， b ^＝Σ10i ＝1x i y i －10x y Σ10i ＝1x 2i －10x 2＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).。
广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训常用逻辑用语含解析
常用逻辑用语一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”B[依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．]2．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p：2∈(A∪B)，则命题“綈p”是( ) A．2∉AB．2∉∁S BC．2∉(A∩B)D．2∈(∁S A)∩(∁S B)D[p：2∈(A∪B)，綈p：2∈∁S(A∪B)，即2∈(∁S A)∩(∁S B)．]3．“x2>2 019”是“x2>2 018”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由于“x2>2 019”时，一定有“x2>2 018”，反之不成立，所以“x2>2 019”是“x2>2 018”的充分不必要条件．]4．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是( )A．∃x0∉∁R Q，x30∈QB．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈QD．∀x∈∁R Q，x3∉QD[特称命题的否定是全称命题．“∃”的否定是“∀”，x3∈Q的否定是x3∉Q.命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是“∀x∈∁R Q，x3∉Q”，故应选D．]5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵菱形的对角线互相垂直，∴“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BC”，∴“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又∵对角线垂直的四边形不一定是菱形，∴“AC⊥BD”D/⇒“四边形ABCD为菱形”，∴“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．]6．设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件C[由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C．故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．]7．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[m⊂α，m∥βD/⇒α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．]8．已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个B[原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题．当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x 2－8x ＋15＝0，则x ＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．]9．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )D [不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p )∨(綈q )为真命题．]10．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由“綈p 为真”可得p 为假，故p ∧q 为假；反之不成立．]11．已知命题p ：“x ＞2是x 2＞4的充要条件”，命题q ：“若a c 2＞b c2，则a ＞b ”，那么( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假A [由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，因此选A ．] 12．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1＞0B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D ．∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5 B [A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1＞0；B 项，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2＞0矛盾；C 项，当x 0＝110时，lg 110＝－1＜1；D 项，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5.]13．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：∀k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是( )A ．(綈p )∨q 是真命题B ．p ∧(綈q )是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．p ∨q 是假命题A [命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝|0|k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．]14．命题p ：∀x ∈R ，sin x ＜1，命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列结论是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∨(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )B [当x ＝π2时，sin x ＝1，故p 为假命题，易知q 为真命题，则(綈p )∧q 为真命题，选B ．]15．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅B [若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，得m ＝e xx ，设f (x )＝exx，则f ′(x )＝e x ·x －exx 2＝x －1e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，此时函数单调递增，当0<x <1时，f ′(x )<0，此时函数单调递减，当x <0时，f ′(x )<0，此时函数单调递减，∴当x ＝1时，f (x )＝exx取得极小值f (1)＝e ，∴函数f (x )＝exx的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，若命题p 为假命题时，则0≤m <e.命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.]二、填空题16．“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为 ．若x ，y 不全为零，则xy ≠0 [由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为“若x ，y 不全为零，则xy ≠0”．]17．命题“每个函数都有奇偶性”的否定是 ．有些函数没有奇偶性 [命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．故应填：有些函数没有奇偶性．]18．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． (－∞，－1)∪(3，＋∞) [∵命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.] 19．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a ＝ .－1[由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.]三、解答题20．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x2－2x＋1＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.[解] (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．21．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．[解] 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真，则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.若q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.又p∧q为真，故p，q均为真命题．所以m<－1且m≥－2，所以m的取值范围为－2≤m<－1.。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习学业达标集训基本初等函数(Ⅰ)含解析
一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (2)的值为( )A ． 2B ．－ 2C ．2D ．－2A [设幂函数y ＝f (x )＝x α，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入可得22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，即f (x )＝x 12，故f (2)＝212＝2，故选A ．]2．log 42－log48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B ．] 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝lg xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，f (x )＝－x ，f (x )＝1x ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选C ．]4．函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0且a ≠1)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)A [要使函数有意义，需满足2x －1>0，解得x >0，即函数的定义域为(0，＋∞)，故选A ．]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值是( )A ．－1B ．－1或12 C ．－1或 2D ． 2C [当log 2x ＝12，解得x ＝2，当2x ＝12，解得x ＝－1，故选C ．] 6．已知x －23＝4，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 A [由题意，可知x －23＝4，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．]7．已知f (x )＝log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，下列关系中成立的是( ) A ．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) B ．f (ab )＝f (a )＋f (b ) C ．f (a ＋b )＝f (a )f (b ) D ．f (ab )＝f (a )f (b )B [∵f (x )＝log 5x ，a ，b ∈(0，＋∞)，∴f (ab )＝log 5 (ab )＝log 5a ＋log 5b ＝f (a )＋f (b )．故选B ．]8．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )A [观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C ．又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C ．故选A ．]9．设实数a ＝log 312，b ＝20.1，c ＝0.932，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜cA [∵a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝20.1＞20＝1,0＜c ＝0.932＜0.90＝1. ∴a ＜c ＜b ，故选A ．]10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y ＝x 12的图象是( )A ．①B ．②C ．③D ．④D [幂函数y ＝x 12为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合．故选D ．] 11．已知2a ＞2b ＞1，则下列不等关系式中正确的是( )A ． sin a ＞sin bB ． log 2a ＜log 2bC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD [∵2a ＞2b ＞1，∴a ＞b ＞0，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故选D ．]12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜aC [a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32.∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .] 13．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )A [结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．]14．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)D ．a ∈(9,10)A [因为f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8, 令g (a )＝a ＋log 2a －8，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (5)＝5＋log 25－8<0，g (6)＝6＋log 26－8>0，所以存在零点a ∈(5,6)．故选A ．]15．已知函数f (x )＝3－x －1，则( ) A ．它的定义域是R ，值域是R B ．它的定义域是R ，值域是(0，＋∞) C ．它的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．以上说法都不对C [f (x )＝3－x －1＝13x －1＞－1，故选C ．] 二、填空题16．34 36.(填“>”或“<”)． < [由y ＝3x 为增函数可得34<36.]17．计算0.008114＋log 26－log 23的值是 ．1.3 [0.008114＋log 26－log 23＝0.34×14＋log 22＋log 23－log 23＝0.3＋1＝1.3.] 18．关于x 的不等式2x ≤2x ＋1－12的解集是 ．{x |x ≥－1} [令2x ＝t ，则原不等式可化为t ≤2t －12，解得t ≥12，即2x ≥12＝2－1，由指数函数y ＝2x 单调递增可得x ≥－1.] 19．下列说法中，正确的是 ．(填序号) ①任取x ＞0，均有3x ＞2x ； ②当a ＞0，且a ≠1时，有a 3＞a 2； ③y ＝(3)－x 是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称． ①④⑤ [对于①，可知任取x ＞0,3x ＞2x 一定成立． 对于②，当0＜a ＜1时，a 3＜a 2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确． 对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．]三、解答题 20．化简或求值：(1)(27)－13＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5－3e 0；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋|lg 2－2|.[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12713 ＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－3＝13＋100＋53－3＝99.(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋(2－lg 2)＝lg 2＋(2－lg 2)＝2. 21．已知函数f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )． (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性； (2)若f (m )－f (－m )＝2，求实数m 的值． [解] (1)f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )是奇函数． 证明：f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )的定义域为(－1,1)， 设任意x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝－[ln(1－x )－ln(1＋x )]＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知，f (x )是奇函数，则f (－m )＝－f (m ) ∴f (m )－f (－m )＝f (m )＋f (m )＝2f (m )＝2， 即f (m )＝1，∴ln 1－m 1＋m ＝1，即1－m 1＋m ＝e ，解得m ＝1－e1＋e.。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习教师用书：第6章直线与方程
考纲展示考情汇总备考指导直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及2017年1月T52019年1月T52020年1月T4本章的重点是根据所给条件求直线的方程,难点是两条直线的位置关系的判定，易错点是在根据两直线的位置关系求参数的值时,容意漏解或出现增根,出错的根本原因是没有掌握两直线平行或垂直的充要条件。
一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
直线的倾斜角、斜率和位置关系1．直线的倾斜角和斜率（1)倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°。
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角．注：倾斜角的取值范围为错误!.（2)直线的斜率当直线l的倾斜角θ≠90°时（即直线与x轴不垂直)，直线l的斜率存在，且斜率k＝tan θ.当直线的倾斜角为θ（θ≠90°）,斜率为k,则k≥0⇔θ∈错误!；k<0⇔θ∈错误!.(3)直线l经过两点P1(x1,y1），P2(x2，y2）（x1≠x2)的斜率k＝错误!.注:任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．2．两条直线平行和垂直的判定(1）当直线l1∥l2或l1与l2重合,倾斜角α1＝α2。
若斜率存在，则k1＝k2.若斜率不存在，则k1与k2都不存在．（2）直线l1∥l2,若斜率存在，则k1＝k2，且在y轴上的截距不同，若斜率不存在，则l1与l2都垂直于x轴且在x轴上的截距不同．(3)若斜率存在，且直线l1⊥l2，则k1·k2＝－1.若其中有一条斜率不存在，且l1⊥l2，则另一条直线斜率为0.（4）若直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且A1，A2，B1,B2都不为零．①l1∥l2⇔错误!＝错误!≠错误!.②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习标准示范卷1
标准示范卷（一）（时间：90分钟；分值：150分,本卷共4页）一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A＝{1,2｝，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A,那么实数m等于( ）A．－1 B．0C．2 D．4C[∵A∩B＝A，∴A⊆B．∵A＝{1，2}，B＝{1，m,3},∴m＝2．］2．下列函数中，与函数y＝错误!定义域相同的函数为（)A．y＝错误!B．y＝错误!C．y＝x－2D．y＝ln xD[函数y＝错误!的定义域是(0，＋∞），A中的定义域是｛x｜x≠0}，B中的定义域是｛x｜x≥0｝，C中的定义域是{x｜x≠0｝，D 中的定义域是（0，＋∞)，故选D．］3．复数z＝错误!＋2＋i的虚部是（)A．3 B．2C．2i D．3iB［依题意z＝错误!＋2＋i＝1＋i＋2＋i＝3＋2i，故虚部为2，所以选B．］4．“sin A＝错误!"是“A＝30°”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B［因为sin 30°＝错误!，所以“sin A＝错误!”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是错误!,故“sin A＝错误!”不是“A＝30°"的充分条件．故“sin A＝错误!”是“A＝30°”的必要不充分条件．］5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－错误!(x－1），那么此直线的倾斜角为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C[因为k＝tan α＝－错误!，α∈［0,π），所以α＝错误!.］6．若点A（2，2错误!）在抛物线C:y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ）A．错误!B．错误!C．2错误!D．错误!C［将A坐标代入抛物线方程得（22)2＝2p·2，p＝2，故焦点坐标F（1,0）,直线AF的斜率为错误!＝2错误!，故选C．] 7．已知a＝（－2，2），b＝（x，－3），若a⊥b，则x的值为( ) A．3 B．1C．－1 D．－3D［a·b＝－2x－6＝0，解得x＝－3。
2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习标准示范卷4 Word版含解析
姓名，年级：时间：标准示范卷（四)(时间:90分钟；分值：150分，本卷共4页)一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝｛1,2｝，N＝{0,1,3｝，则M∩N＝( ）A．｛1｝B．｛0，1｝C．{1,2｝D．{1，2,3}A[由题得M∩N＝{1，2｝∩｛0,1,3｝＝{1｝．]2．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝( ）A．1 B．2C．3 D．5C[设等差数列｛a n｝的公差为d，则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d ＝4，解得a1＝1,d＝2，∴a2＝a1＋d＝3。
]3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当a·b＝0时，a，b的夹角为直角，故“a·b≥0"不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角”时，a·b＝|a|·|b｜·cos〈a，b〉>0,即能推出“a·b≥0”．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．]4．在x轴、y轴上的截距分别是－2，3的直线方程是（)A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0C［由直线的截距式得，所求直线的方程为错误!＋错误!＝1,即3x －2y＋6＝0.］5．已知a,b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（) A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直C[a，b是两条异面直线，c∥a,那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．若c∥b,因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾．故选C．］6．在平行四边形ABCD中，错误!＋错误!等于（）A．错误!B．错误!C．DB，→D．｜错误!｜A[错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。