第4章-流体流动守恒原理-讲义2-综合应用分解
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第四章 流体流动基本原理
dA——控制体任意微元面积 ρ——流体密度 v——流体速度矢量 n——微元面外法线单位矢量 θ——流体速度矢量与微元面 外法线单位矢量的夹角
12
v n dA
4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体净输出质量流量 ＝输出控制体的质量流量－输入控制体的质量流量
qm1 A1 v n dA,
系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分 组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加 上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
9
目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
10
4.2 质量守恒积分方程
一、控制体系统的质量守恒方程
24
4.3 动量守恒积分方程（续）
控制体净输出的动量流量
＝输出控制体的动量流量－输入控制体的动量流量
控制体净输出的动量流 量＝ CS v v n dA
控制体内的动量变化率
控制体内的动量变化率 ＝ v dV t CV
动量守恒分方程
F CS v v n dA t CV v dV
dmv F dt 系统
21
4.3 动量守恒积分方程（续）
对于流动系统，以控制体为对象研究其动量守恒时，
根据输运公式动量守恒方程表述为
作用于控制体 系统诸力之矢量和 输出控制体 的动量流量 输入控制体 的动量流量
控制体内的 动量变化率
控制体净输出的 动量流量
22
4.3 动量守恒积分方程（续）
2
R v1R vmax 2v1
2 2
19
12
v n dA
4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体净输出质量流量 ＝输出控制体的质量流量－输入控制体的质量流量
qm1 A1 v n dA,
系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分 组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加 上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
9
目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
10
4.2 质量守恒积分方程
一、控制体系统的质量守恒方程
24
4.3 动量守恒积分方程（续）
控制体净输出的动量流量
＝输出控制体的动量流量－输入控制体的动量流量
控制体净输出的动量流 量＝ CS v v n dA
控制体内的动量变化率
控制体内的动量变化率 ＝ v dV t CV
动量守恒分方程
F CS v v n dA t CV v dV
dmv F dt 系统
21
4.3 动量守恒积分方程（续）
对于流动系统，以控制体为对象研究其动量守恒时，
根据输运公式动量守恒方程表述为
作用于控制体 系统诸力之矢量和 输出控制体 的动量流量 输入控制体 的动量流量
控制体内的 动量变化率
控制体净输出的 动量流量
22
4.3 动量守恒积分方程（续）
2
R v1R vmax 2v1
2 2
19
第4章-流体流动守恒原理-讲义1-守恒方程
动量矩守恒方程： 描述流体动量矩变化 与作用力矩之间的关 系；应用于流体转折 运动或旋转运动动力 学分析。
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(2) 动量矩守恒方程
Sichuan University
d(r v)m 控制面净输出 控制体内总动 M M + 的动量矩流量 量矩的变化率 dt 系统
一般形式的动量矩守恒方程：
M (r v) ( v n)dA
CS
d (r v) dV dt CV
平均速度表示的动量方程：
d F v q v q vx dV 2 x m2 1 x m1 x dt CV d F v q v q v y dV y 2 y m2 1 y m1 d t CV d Fz v2 z qm 2 v1z qm1 vz dV dt CV
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.2 质量守恒方程
(1) 控制面上的法向速度及质量流量
法向速度： vn | v | cos v n
>0, 即 / 2, 流体输出控制面 v n =0, 即 / 2, 流体平行控制面 <0, 即 / 2, 流体输入控制面
v ( v n)dA
CS
d dt
dmv 输出控制体 输入控制体 控制体内的 F + F 的动量流量 的动量流量 动量变化率 dt 系统
一般形式的动量守恒方程： F v ( v n)dA
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(2) 动量矩守恒方程
Sichuan University
d(r v)m 控制面净输出 控制体内总动 M M + 的动量矩流量 量矩的变化率 dt 系统
一般形式的动量矩守恒方程：
M (r v) ( v n)dA
CS
d (r v) dV dt CV
平均速度表示的动量方程：
d F v q v q vx dV 2 x m2 1 x m1 x dt CV d F v q v q v y dV y 2 y m2 1 y m1 d t CV d Fz v2 z qm 2 v1z qm1 vz dV dt CV
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.2 质量守恒方程
(1) 控制面上的法向速度及质量流量
法向速度： vn | v | cos v n
>0, 即 / 2, 流体输出控制面 v n =0, 即 / 2, 流体平行控制面 <0, 即 / 2, 流体输入控制面
v ( v n)dA
CS
d dt
dmv 输出控制体 输入控制体 控制体内的 F + F 的动量流量 的动量流量 动量变化率 dt 系统
一般形式的动量守恒方程： F v ( v n)dA
化工原理第三版（陈敏恒）上、下册课后思考题答案（精心整理版）
化工原理第三版（陈敏恒）上、下册课后思考题答案（精心整理版）第一章流体流动1、什么是连续性假定?质点的含义是什么?有什么条件?连续性假设：假定流体是由大量质点组成的，彼此间没有间隙，完全充满所占空间的连续介质。
质点指的是一个含有大量分子的流体微团，其尺寸远小于设备尺寸，但比分子自由程却要大得多。
2、描述流体运动的拉格朗日法和欧拉法有什么不同点?拉格朗日法描述的是同一质点在不同时刻的状态；欧拉法描述的是空间各点的状态及其与时间的关系。
3、粘性的物理本质是什么?为什么温度上升,气体粘度上升,而液体粘度下降?粘性的物理本质是分子间的引力和分子的运动与碰撞。
通常气体的粘度随温度上升而增大，因为气体分子间距离较大，以分子的热运动为主，温度上升，热运动加剧，粘度上升。
液体的粘度随温度增加而减小，因为液体分子间距离较小，以分子间的引力为主，温度上升，分子间的引力下降，粘度下降。
4、静压强有什么特性?①静止流体中，任意界面上只受到大小相等、方向相反、垂直于作用面的压力；②作用于某一点不同方向上的静压强在数值上是相等的；③压强各向传递。
7、为什么高烟囱比低烟囱拔烟效果好?由静力学方程可以导出，所以H增加，压差增加，拔风量大。
8、什么叫均匀分布?什么叫均匀流段?均匀分布指速度分布大小均匀；均匀流段指速度方向平行、无迁移加速度。
9、伯努利方程的应用条件有哪些?重力场下、不可压缩、理想流体作定态流动，流体微元与其它微元或环境没有能量交换时，同一流线上的流体间能量的关系。
12、层流与湍流的本质区别是什么?区别是否存在流体速度u、压强p的脉动性，即是否存在流体质点的脉动性。
13、雷诺数的物理意义是什么?物理意义是它表征了流动流体惯性力与粘性力之比。
14、何谓泊谡叶方程?其应用条件有哪些?应用条件：不可压缩流体在直圆管中作定态层流流动时的阻力损失计算。
15、何谓水力光滑管?何谓完全湍流粗糙管?当壁面凸出物低于层流内层厚度，体现不出粗糙度过对阻力损失的影响时，称为水力光滑管。
流体运动课件
p0
将流体提升高度h
实例1: 喷雾器
实例2: 水流抽气机
2. 小孔流速
一个很大的开口容器, 器壁上有一小孔, 当容器内注入 液体后, 液体从小孔流出. 设小孔距液面的高度是h, 求液 体从小孔流出的速度.
任意选取一流线, A为流线上通过液面的一点, B为 该流线通过小孔上的一点. S A S B v A 0 A
1 2 p gh v con stan t 2
或在流体中同一流管任意两截面处 有 1 2 1来自p1 gh1 2
2 v1 p2 gh2 v2
2
推导依据: 连续性方程和功能原理.
推导过程：当t→0时
(1) 假设与近似
① aa' 处的截面积近似相等(S1) ② bb' 处的截面积近似相等(S2) ③ aa'体积内的v1、p1不变, 高度h1 ④ bb'体积内的v2、p2不变, 高度h2 ⑤ aa'和bb'体积相等V1 = V2 = V, 质量均为 m ⑥ 流管周围的流体对流体柱ab的力不做功
S3
v3
(A) v/6
(B) v
(C) 3v/2
(D) v/3
例. 你知道一个人约有多少毛细血管吗？ 已知正常人主动脉（从心脏出来的主血管）的 截面积S03cm2，通过它的血流速度v0=30cm/s; 典型的毛细血管（直径约为6m）的截面积约 为3107cm2、血流速度约0.05cm/s。 解：通过毛细管的血液总流量 ＝ 通过主动脉的流量
(3) 流线 (Stream line)
vA C
vC
A
B
vB
① 流线只是一种形象描述; ② 任意两条流线互不相交; ? ③ 稳定流动时, 流线的分布 不随时间改变;
第4章 流体流动的守恒定律
Southwest University of Science and Technology
厚德 博学 笃行 创新
4-2 质量守恒方程
4.2.2 控制体质量守恒方程
d dmCV qm 2 qm1 0 或 (v n)dA dt dV 0 dt A V dmCV 0，即有： 对于稳态系统， dt qm2 qm1 0 或 ( v n)dA 0
dx (qm1 qm 2 ) x qm 2 [(qm1 qm 2 qm )t C ] 0 dt dt dx [(qm1 qm 2 qm )t C ] [qm 2 (qm1 qm 2 ) x] qm 2 x qm1 qm 2
( qm1 qm 2 ) (qm1 qm 2 qm ) ( qm1 qm 2 qm ) t) 1 (1 C
4-2 质量守恒方程
4.2.2 控制体质量守恒方程
输出控制体 输入控制体 控制体内的 dm dm ( )系统 + , ( )0 dt dt 的质量流量 的质量流量 质量变化率
从控制体内总流出的质量为
qm 2 qm1 ( v n)dA [ ( v n)dA]
d vx dV dt CV d v y dV dt CV d vz dV dt CV
y
z
•稳态流动系统的动量方程
F F F
x y
v2 x qm 2 v1x qm1 v2 y qm 2 v1 y qm1 v2 z qm 2 v1z qm1
t
固定的控制体
•输运公式将系统与控制体联系起来，是拉格朗日观点 和欧拉观点的桥梁。
流体流动-讲课-2-小-2015-9
1 1
对桶内液体作质量衡算
0+0=
2
输入+生成=输出+积累
1m
p3 pa = = 101.3J / kg ρ ρ
喉径
2 4 大气 2′ 2 2′ 4
解：假设垂直小管中流体静止
π π dh d u+ D 4 4 dt
2 2
1-1 和 4-4 间 gz1 =
2 u4 2 u4 = 2 × 9.81 × 1 = 4.43m / s
pV = 1.71kPa ,
1.71 × 103 = 1.013 × 105 - 1000 × 9.81 × （2 + H）
4、马利奥特容器 求水面在a-a面以上 时的放水速度： 简易的恒速装置 由a-a面至出口小孔截面2-2排方程
2 pa p u + gz a = a + ρ ρ 2
5、拟定态处理 已知：D=1m, d=40mm, h=0.5m 求：放完水所需时间τ
水平直管阻力：
hf =
p1 − p2 ∆p = ρ ρ
①忽略流经AB段的能量损失,
z1 + p1 u p u + = z2 + 2 + ρg 2 g ρg 2 g
2 1 2 2
②若流经AB段的能量损失为0.2m水柱,
z1 +
2 p1 u1 p u2 + = z2 + 2 + 2 + h fA− B ρg 2 g ρg 2 g
如图所示,水从内径为d1 的管段流向内径为d2 管 2 段,已知 d 2 = 2d 1 ,d1 管段流体流动的速度头 u1 2g 为0.8m水柱, h1=0.7m, ①忽略流经AB段的能量损失, 则h2 =___, h3 =__ 。 ②若流经AB段的能量损失为0.2m水柱, 则h2 =____,h3 =_____。
对桶内液体作质量衡算
0+0=
2
输入+生成=输出+积累
1m
p3 pa = = 101.3J / kg ρ ρ
喉径
2 4 大气 2′ 2 2′ 4
解：假设垂直小管中流体静止
π π dh d u+ D 4 4 dt
2 2
1-1 和 4-4 间 gz1 =
2 u4 2 u4 = 2 × 9.81 × 1 = 4.43m / s
pV = 1.71kPa ,
1.71 × 103 = 1.013 × 105 - 1000 × 9.81 × （2 + H）
4、马利奥特容器 求水面在a-a面以上 时的放水速度： 简易的恒速装置 由a-a面至出口小孔截面2-2排方程
2 pa p u + gz a = a + ρ ρ 2
5、拟定态处理 已知：D=1m, d=40mm, h=0.5m 求：放完水所需时间τ
水平直管阻力：
hf =
p1 − p2 ∆p = ρ ρ
①忽略流经AB段的能量损失,
z1 + p1 u p u + = z2 + 2 + ρg 2 g ρg 2 g
2 1 2 2
②若流经AB段的能量损失为0.2m水柱,
z1 +
2 p1 u1 p u2 + = z2 + 2 + 2 + h fA− B ρg 2 g ρg 2 g
如图所示,水从内径为d1 的管段流向内径为d2 管 2 段,已知 d 2 = 2d 1 ,d1 管段流体流动的速度头 u1 2g 为0.8m水柱, h1=0.7m, ①忽略流经AB段的能量损失, 则h2 =___, h3 =__ 。 ②若流经AB段的能量损失为0.2m水柱, 则h2 =____,h3 =_____。
流体的能量守恒定律
流体的能量守恒定律流体的能量守恒定律是流体力学中的基本原理之一，它描述了在流体运动过程中能量的守恒关系。
在本文中，我们将深入探讨流体的能量守恒定律及其在工程领域的应用。
一、能量守恒定律的基本原理能量守恒定律是基于质点系的动能和势能之和守恒的观念建立起来的，而在流体力学中，这是基于流体体积内的各个微小控制体上的能量守恒推导而来的。
根据能量守恒定律，流体在运动过程中的能量总量保持不变。
在流体中，能量可以以多种形式存在，主要包括动能、势能和内能。
动能指的是流体的运动所具有的能量，势能则是与流体位置有关的能量，而内能则是流体分子的热运动能量。
这三种能量在流体运动过程中相互转化，但总体的能量守恒。
基于流体的能量守恒定律，我们可以得到能量守恒的方程式，即质量流量和能量转移之间的关系。
这可以用以下方程表示：\[ \frac{{\partial \rho h}}{{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho h\mathbf{{u}}) = \nabla \cdot (\rho \mathbf{{u}} u^2) + \nabla \cdot (\rho h\mathbf{{u}}) \]其中，\(\rho\) 表示流体的密度，\(h\) 表示特定能量，\(\mathbf{{u}}\) 表示流体的速度矢量。
这个方程描述了流体在运动中能量守恒的基本原理。
二、能量守恒定律的应用能量守恒定律在工程领域有着广泛的应用。
以下列举了几个常见的实际应用场景：1. 流体动力学在涉及到流体的传动和控制方面，能量守恒定律是理解和预测流体运动行为的基础。
例如，流体力学中的伯努利方程就是基于能量守恒原理推导而来的，该方程可以描述流体在不同位置和速度之间的能量转换情况。
2. 流体工程在流体工程中，能量守恒定律被广泛用于设计和分析各种流体系统，如水力发电厂、管道网络和风力涡轮机等。
通过应用能量守恒定律，工程师可以计算和优化流体系统中的能量转换效率，提高能源利用率。
流体流动中的守恒原理
2013-7-27
2
2
2
根据管截面上流速的分布关系式可以 解出动能校正系数α 。
层流时α=2 ；湍流时α≈1
13
第 1 章 流体流动
u1 p2 u gz1 he gz2 hf 2 2
u12 p2 u22 gz1 1 he gz2 2 hf 2 2 p1
du dy
取一流体微元，在空间三维方向，即x,y,z方向上，分别分析 单位质量流体所受的力。并且应用牛顿第二定律。
与研究静力学时流体微元的受力分析相似。
2013-7-27 第 1 章 流体流动 5
P dz P z 2
理想流体 0
dV dx dy dz
P
第1章 流体流动（fluid flow）
1.3 流体流动中的守恒原理 1.3.1 质量守恒(conservation of mass) （理解、掌握） 1、流量与流速 2、定常态流动与非定常态流动（稳定流动与不稳定流动） 3、连续性方程 1.3.2 机械能守恒 (conservation of mechanical energy) 1、柏努利方程式(Bernoulli equation) （难点、理解） 2、实际流体的机械能衡算式 （重点、掌握）
2 2 P3 u3 u1 Z1 g Z3 g 2 2
P1
2013-7-27
第 1 章 流体流动
15
应用机械能衡算式时注意 （暂时忽略机械能损失）
a
b
c
2 2 p3 u3 u2 z2 g z3 g (a) 正确 2 2 2 2 p3 u3 p1 u1 (a) 正确 z1 g z3 g 2 2 2 2 2 p3 u3 p1 u1 p2 u2 z1 g z2 g z3 g (b)、(c ) 2 2 2
2
2
2
根据管截面上流速的分布关系式可以 解出动能校正系数α 。
层流时α=2 ；湍流时α≈1
13
第 1 章 流体流动
u1 p2 u gz1 he gz2 hf 2 2
u12 p2 u22 gz1 1 he gz2 2 hf 2 2 p1
du dy
取一流体微元，在空间三维方向，即x,y,z方向上，分别分析 单位质量流体所受的力。并且应用牛顿第二定律。
与研究静力学时流体微元的受力分析相似。
2013-7-27 第 1 章 流体流动 5
P dz P z 2
理想流体 0
dV dx dy dz
P
第1章 流体流动（fluid flow）
1.3 流体流动中的守恒原理 1.3.1 质量守恒(conservation of mass) （理解、掌握） 1、流量与流速 2、定常态流动与非定常态流动（稳定流动与不稳定流动） 3、连续性方程 1.3.2 机械能守恒 (conservation of mechanical energy) 1、柏努利方程式(Bernoulli equation) （难点、理解） 2、实际流体的机械能衡算式 （重点、掌握）
2 2 P3 u3 u1 Z1 g Z3 g 2 2
P1
2013-7-27
第 1 章 流体流动
15
应用机械能衡算式时注意 （暂时忽略机械能损失）
a
b
c
2 2 p3 u3 u2 z2 g z3 g (a) 正确 2 2 2 2 p3 u3 p1 u1 (a) 正确 z1 g z3 g 2 2 2 2 2 p3 u3 p1 u1 p2 u2 z1 g z2 g z3 g (b)、(c ) 2 2 2
《流体的运动》课件
流体与固体的比较
形态：流体可以流动，固体则不能 内部结构：流体内部分子间存在间隙，固体内部分子紧密排列 受力反应：流体受力时容易变形，固体则不易变形 运动状态：流体可以流动，固体则保持静止或缓慢运动
流体运动的分类
层流与湍流
层流：流体在流动过程中，各层之 间没有明显的速度差异，流体质点 沿流线流动。
流体运动的描述方 法
拉格朗日法
描述方法：将流体视为一组粒子，每个粒子都有其位置、速度和加速度 优点：能够描述流体的瞬时状态和运动轨迹 缺点：计算量较大，难以处理复杂流体问题 应用领域：广泛应用于流体力学、气象学等领域
欧拉法
描述方法：通过求解欧拉方程来描述流体的运动 特点：适用于描述无粘流体的运动 应用：在流体力学、气象学等领域有广泛应用 局限性：不适用于描述有粘流体的运动
稳流与非稳流
稳流：流体运动状态稳定，速度、压力等参数不随时间变化 非稳流：流体运动状态不稳定，速度、压力等参数随时间变化 稳流分类：层流、湍流 非稳流分类：间歇流、脉动流、旋涡流等
一维流动、二维流动和三维流动
一维流动：流体在管道或通道中流动，只考虑长度方向的变化 二维流动：流体在平面上流动，考虑长度和宽度方向的变化 三维流动：流体在三维空间中流动，考虑长度、宽度和高度方向的变化 流动类型：层流、湍流、过渡流等
描述流体运动的物理量
速度：描述流体运动的快慢 压力：描述流体受到的力 密度：描述流体的质量分布
温度：描述流体的热量分布 黏度：描述流体的流动性 流速：描述流体运动的方向和速度
流体动力学的基本 方程
质量守恒方程
质量守恒定律：流体的质量在运动过程中保持不变
质量守恒方程：描述流体质量守恒的方程
方程形式：ρ(∂u/∂t + ∇·u) = 0 方程解释：ρ表示流体密度，u表示流体速度，∂u/∂t表示流体速度的时间 变化率，∇·u表示流体速度的空间变化率，0表示流体质量守恒
流体力学-第四章 流体动力学基础
Dt t CV
CS
单位质量流体的能量 e (u V 2 gz) 流体系统的总能量
2
DE ed eV ndS
Dt t CV
CS
E ed
初始时刻系统与控制体重合
Q WSYS Q WCV
ed eV ndS Q W
t CV
CS
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
雷诺输运定理：
举例：动量定理运用于流体系统
F Dk Dt
F 是外界作用系统的合力，K 是系统的动量，
k Vd
由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随
时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即
求该流体系统体积分的物质导数。
取 N M 单位体积的质量
DM 0 Dt
d V ndS 0
t CV
CS
d V ndS 0
t CV
CS
积分形式的连续性方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
非定常流动情况下：
d V ndS 0
t CV
CS
即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入 或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流 入与流出控制体的流体质量相等。
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS
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实际流量为：
对于器壁小孔(无接管)： 孔径/壁厚=d / 1: Cc 0.62, Cv 0.98, Cd 0.61
d / 1: Cc 1, Cv Cd 0.86 （孔内边缘直角 ）或 Cv Cd 0.98 （孔内边缘圆弧）
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(1) 虹吸管流动 流速公式：如图：考虑阻力损失，在1-1、2-2截面 之间建立伯努利方程有：
(v v ) (p p ) g ( z2 z1 ) 2 1 +h f ,12 0 2 2 2 2 考虑： z2 z1 h，p1 p2 p0，v v1 v ，得
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.6 守恒方程综合应用 —— 4.6.1小孔流动问题
(1) 小孔稳态流动 小孔流动：流体通过器壁小孔的流动。特点是： 容器截面A1>>A0 (孔口面积)，容器内总体流动缓慢， 总体流速<< 孔口流速。h 恒定时流动稳态。
1 根据排放公式： t Cd A0 2 g
1 D2 t筒 （ H h) 2 Cd A0 2 g
h
Sichuan University
D
z
H
r
H
A( z ) dz z
，积分可得：
1 D2 h2 t锥 （ H 2 h) 10 Cd A0 2 g H
由此可知，两者将液体排放完毕（h=0）的时间关系为：t筒 5t锥 可见： D、H 分别相同时，圆筒体积是圆锥体积的 3 倍，但排液时间却 是圆锥的 5 倍。
4 流体流动的守恒原理
4.6 守恒方程综合应用 —— 4.6.1小孔流动问题 (续1)
(2) 小孔非稳态流动——拟稳态问题 1 孔口流速与流量：应用非稳态质量/能量守恒方程， 考虑 A1>>A0、容器内总体流动缓慢（动能≈0）有 h v0 2gh 1 g 0 g v0 2 gh，qV Cd A0 2 gh L h L 结果表明：除排放末期,流动过程可视为拟稳态流动。 流体排放时间：应用质量守恒方程有
v0 2 gh ， qv 0 A0 2 gh
射流轨迹？
实际流量：收缩现象 ( 缩脉、Amin) + 摩擦效应 实际流速 v v0 。
A0 v0 qV Amin v CcCv A0v0 Cd A0 2gh
理想流量
定义： 收缩系数Cc Amin ，速度系数Cv v ，流量系数Cd CcCv 实际流量
dm qm 2 cv 0 dt
h
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p0
1
A(z)
dz
z
2 2
h
h0
又∵ qm 2 积分得：
dmcv d dh dh A( z )dz A(h) qm 2 A(h) dt dt 0 dt dt dh qV Cd A0 2 gh ∴ Cd A0 2 gh A(h) dt h 1 A( z ) t dz Cd A0 2 g h0 z
vmax p p 2 g 0 v (h1 h f ,1a ) g
hmax
2 vmax h f ,12 2g
上式表明：减小 hf,1-a 或降低 h 1可提高最大流速。
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
理想流速：在1-1、2-2截面之间建立伯努利方程：
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2 (v2 v12 ) (p p ) g ( z2 z1 ) 2 1 0 2 2 2 2 2 考虑：z2 z1 h, p1 p2 p0 ,v2 v1 v2 v0 ，可得小孔理想流速与流量为
2 2 1
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a a
1
4.6 守恒方程综合应用 —— 4.6.2管流中的液体汽化问题
p0
1
h1
h
2 2
v 2 g (h hf ,12 ) or v 2 gh ( for hf ,12 0)
2 va pp h1 h f ,1a a 0 0 2g g
液体粘性不同对排液时间的影响归并到孔流系数Cd中。 例 4-15 圆筒容器与圆锥容器排液时间比较
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.6 守恒方程综合应用 —— 4.6.1小孔流动问题 (续2)
例 4-15 圆筒容器与圆锥容器排液时间比较 敞口圆锥形容器和圆筒形容器如图，其中上部敞 口直径D、容器高度H，两者都装满液体并由底部 中心小孔排放，两者小孔面积与流量系数分别相 同。试比较两者将液体排放完毕所需时间之比。 解：参见右图，将 z 坐标原点设于孔口中心。 对于锥形容器：A( z ) D 2 z 2 / 4H 2 ，圆筒容器：A( z ) D2 / 4
v
p0
最小压力、最大速度：在1-1、a-a 截面之间建立伯努利方程, 并注意 va v 有
pa p0 g (h 1 h h f ,a2 )
Байду номын сангаас
可见：pa 为负压。如果增加 (h 1 h) 使得 pa pv （流体饱和蒸汽压)，则顶点 处流体将产生汽化，使流动终断。由此可确定虹吸管最大流速为
2
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4 流体流动的守恒原理
(2) 离心泵汽蚀现象与安装高度 如图 压差公式：在水池液面0-0与水泵进口a-a 之间应用 2 2 2 v0 va v 2 ，可得： 伯努利方程，并取 va
p0 pa v H g h f ,0a g 2g 即: 泵进口压力 pa p0 , 且随H 增加而降低。