4.1.1圆的标准方程

y O y x M O y x O
A
A M
A
x M
11
典例分析
待定系数法：先设方程，再代入条件列 方程组，再解出参数.
例2：一直圆心为C的圆经过点A (1 , 1)和B (2 , -2) ， 且圆心C在直线l：x – y+1=0上，求圆C的方程.
解：设圆C的方程为
( x a) ( y b) r .
AB
y l A
∴直线AB的中垂线l’的方程为 O D 1 1 3 B C y ( x )即x 3 y 3 0 2 3 2 x 3 y 3 0 x 3 解 得 x y 1 0 y 2 ∴圆心C为(-3 , -2)，半径r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5, ∴圆C的方程为( x 3)2 ( y 2) 2
l’ x
25.
13
待
探究新知
求圆的方程的常用方法： （1）待定系数法：先设方程，再代入三个独立条件 列方程组，再解出参数； （2）几何法：利用圆的几何性质求出圆心和半径再 代入标准方程。常用性质有
圆心在弦的垂 直平分线上
半径、半弦长、弦心 距构成直角三角形
圆心与切点的连 线垂直于该切线
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知识应用
| 3 (2) 4 3 7 |
O
x
A
16
课堂小结
( x a)2 ( y b)2 r 2. 1.圆的标准方程：
2.点与圆的位置关系的判断. 3.求圆的方程的常用方法.
17
课后作业
教材第124页A组2、3、4题.
18
19
知识应用
练习5：若点(1 , 1)在圆A：( x a)2 ( y a)2 4 的内部，求 a 的取值范围. 解：由点在圆内得
1
自学导读
阅读教材第118页的内容，并思考以下问题： （1）如何确定一个圆？ （2）圆的定义是什么？ （3）在平面直角坐标系内，圆可以用方程来表示吗？ 如果可以，是什么形式的方程？
2
温故知新
1.确定圆的最基本要素是圆心和半径。 2.圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。
即：集合 P {M | MA r}
2 2 2
y l A O
C D
∵点A 、B在圆上， C在l上，
(1 a) (1 b) r (2 a) 2 (2 b) 2 r 2 . a b 1 0
2 2 2
x
B
a 3 b 2 r 5
∴圆C的方程为
2 2
P {M | MA r}
4
探究新知
对于方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 , (1)若点M (x , y) 在圆上，则M的坐标 适合此方程； (2)若点M (x , y)的坐标适合此方程， 则点M 在此圆上。
O
y
A
r
x M
5
探究新知
方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 , 叫做以点 (a , b) 为圆心， r为半径 的圆的标准方程。 作用：
2 2 2
（3） x y a .
2 2 2
解：（1）此圆的圆心为点(2 , -1) ，半径为 2; （2）此圆的圆心为点(0 , -2) ，半径为2；
（3）此圆的圆心为点(0 , 0) ，半径为|a|.7Fra bibliotek知识应用
（1）圆心在x轴上； （2）圆心在y轴上； （3）圆心在原点； 解：（1） ( x a) y r .
A
r
M
3
探究新知
(1)建系：在平面内任选一点为原点 建立直角坐标系； (2)设点的坐标：圆心A为(a , b) ， 设圆上任意一点M为(x , y) ；
O
y
A
r
x
M
(3)列方程：由| MA| = r，得
( x a ) ( y b) r , 两边平方得： 2 2 2 ( x a) ( y b) r .
2 2 2
( x a) ( y b) r
2 2
2
练习2：写出几种特殊条件下圆的方程形式.
（2） x 2 ( y b)2 r 2 . （3） x 2 y 2 r 2 .
8
知识应用
( x a) ( y b) r
2 2
2
练习3：写出满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心为(2 , -3)，半径是 5的圆 ； （2）圆心为(-1 , 2)，且过原点的圆 ； （3）以(0 , 0)， (6 , -8)为直径端点的圆 ； （4）圆心为原点，且与直线x=1相切的圆. 解：（1） ( x 2) ( y 3) 25.
2 2
（2） r (1) 2 5, 方程为( x 1) ( y 2) 5.
2 2
2
2
（3）圆心 (3 , -4)，半径为5，得 ( x 3) ( y 4) 25.
2 2
（4） x y 1.
2 2
9
典例分析
例1：圆的方程为 ( x 2)2 ( y 3)2 25, 判断点M1 (5 , 1)， M2 (-1 , 2)是否在圆上. 解：将M1 (5 , 1)代入圆的方程，左右两边相等， 点M1 适合圆的方程，所以M1 在圆上； 将M2 (-1 , 2)代入圆的方程，左右两边不相等， 点M2 不适合圆的方程，所以M2 不在圆上.
10
探究新知
对于点 M(x0 , y0) 和圆A: ( x a)2 ( y b)2 r 2 , (1)点在圆上 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ; (2)点在圆内 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ; 2 2 2 (3)点在圆外 ( x0 a) ( y0 b) r ;
( x 3) ( y 2) 25.
2 2
几
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典例分析
几何法：利用圆的几何性质求出圆心和 半径，代入标准方程的结果.
例2：一直圆心为C的圆经过点A (1 , 1)和B (2 , -2) ， 且圆心C在直线l：x – y+1=0上，求圆C的方程.
3 1 解：∵线段AB的中点D为 ( , ), 2 2 直线AB的斜率 k 3,
3 练习4：圆的圆心在直线 l : y x 上，到y轴距离为 2 2，且圆与直线m:3x - 4y+7=0相切，求圆的方程.
解：易求出圆心为(2 , -3)或(-2 , 3) ， （1）若圆心为(2 , -3) ，则
l A’ y m
r
| 3 2 4 (3) 7 | 32 (4) 2
2 2 2
2
2.下列方程表示的曲线分别是什么？
y 4 ( x 1)
21
O
y
A
r
x M
需要几个量？
a,b,r.需三个条件
(1)已知圆心坐标和半径可写出圆的方程； (2)可由标准方程直接看出圆心和半径。
6
知识应用
（1） ( x 2) ( y 1) 2,
2 2
( x a) ( y b) r
2 2
2
练习1：说出下列方程表示的圆的圆心和半径. （2） x ( y 2) (2) ,
5,
O x
圆的方程为 ( x 2)2 ( y 3)2 25.
A
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知识应用
3 练习4：圆的圆心在直线 l : y x 上，到y轴距离为 2 2，且圆与直线m:3x - 4y+7=0相切，求圆的方程.
（续上页） （2）若圆心为(-2 , 3) ，则
l A’ y m
11 r , 5 32 (4) 2 121 2 2 圆的方程为 ( x 2) ( y 3) . 25
(1 a) (1 a) 4
2 2
1 a 1
20
能力提升
1.下列方程都表示圆吗？
2 2
( x a ) ( y b) r 2 2 2 ( x a) ( y b) r 2 2 ( x a ) ( y b) m
y 4 ( x 1)