二次型及矩阵形式-标准型
化二次型为标准型的方法解读
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax 2 +2bxy+ cy 2 = f .为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。
，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况.（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最 基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,・・・,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n+... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2J xnii Ii i *in i n匕 .n 二 n nil n称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y nx 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n（4）/n =C niy2+C n2y2+-C nnyn称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。
如果|cJ #。
，那么线性替换（4）就 称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
另, i<j.由于XjXj=XjXi ,所以f （x p x 2,...,x n ） = a 11x 12 +2a 12X!X 2 +... +2a ln X!X n +a 22x 22 +... + 2a 2n x 2x n +... + a nn x n 2n n= Z»,jXjXjj —1它的系数排成一个n*n 矩阵(1)向转轴） x = x cos 0-y sin 。
[全]线性代数之化二次型为标准形的方法总结[下载全]
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线性代数之化二次型为标准形的方法总结
线性代数考研中的两道大题是线性方程组，二次型和相似轮流来的。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
二次型的标准型：
二次型的标准型
化二次型为标准型：
化二次型为标准型
用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为：（1）把二次型表示成矩阵形式；
（2）求矩阵A的特征值及对应的特征向量；（3）对重根对应的特征向量作施密特正交化；（4）全体特征向量单位化；
（5）将正交单位特征向量合并成正交矩阵；（6）令x=Qy。
题型一：化二次型为标准型
例1：用正交变换把如下二次型化为标准型：
解题思路：按照上面用正交变换化二次型为标准型的方法来求解。
解：
总结：用正交变换把二次型化为标准型的题型是考研必考的大题，所以同学们一定要熟练掌握。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax" + 2bxy+ cy' =f .(1)为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin&• •y = X sin0+y cos0把方程（1）化成标准方程。
在二次曲而的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最 基本的性质。
向转轴）(2)设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，•…Xn 的二次齐次多项式f(XpXx ・・・,Xn)= a…xf +2apX]X 》+・•・+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +・・・ + 2a*nXjXn +・・・ + annXn2称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式X| =勺』|+匂汙2+・・・5人X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。
32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
另 那二ivj ・由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，・・・,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+・・・ + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, +n n =工工a/iXj i —1它的系数排成一个n*n 矩阵州2…％ 幻2…幻n它就称为二次型的矩阵。
第六章二次型答案详解
【解析】上课已经证明过，自己看 ppt.
习题 6.5 正交线性替换
1．用正交线性替换化下列二次型为标准形：
x12 2x22 +3x32 4x1x2 4x2 x3
2
【答案】正交线性替换为：
x1 x2 x3
3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
A 11
2 3
53
0 0
1 2
2 4
0 0
1 0
2 0
，秩为
2
3． 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22+cx32 2x1x2 6x1x3 6x2x3 的秩为 2 ，求常数 c 及此二次型
院系
班级
姓名
学号
第六章 二次型
习题 6.1 二次型及其标准形
1． 把下列二次型写成矩阵形式：
(1) f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 4x1x3 3x22+x2 x3 +7x32 ； (2) f (x, y, z) x2 4xy 2 y 2+4yz+3z 2 ．
1 3 2 3
2 3
y1 y2 y3
，标准形为：
y12
2
y22
5
y32
.
2．已知实二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22+3x32 2ax2x3 ，其中 a 0 ，经正交线性替换化成标准形 为 y12 2 y22 +5y32 ，求 a 及所用的正交线性替换．
实二次型及其标准型
返回
二、合同变换
1. 矩阵合同
定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同.
返回
A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
返回
t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
返回
将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
返回
四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
返回
x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为
二次型和矩阵合同
⼆次型和矩阵合同1. ⼆次型含有n个变量x_{1},x_{2},...,x_{n}的⼆次齐次函数f(x_{1},x_{2},...,x_{n})称为n元⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式，如f(x) = ax^{2} \\ f(x,y) = ax^{2} + by^{2} + cxy \\ f(x,y,z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。
⼆次型中每⼀项都是⼆次的，没有⼀次项和常数项，之所以不研究包含⼀次项和常数项的⼆次⾮齐次多项式，是由于：⼀次项与常数项的改变不会影响函数图像的⼤致形状。
⼀个⼆次型可以⽤⼀个矩阵表⽰成如下的形式：f(x) = x^{T}Ax其中x是⾃变量组成的列向量。
⼀定都会找到⼀个对称的矩阵A来表⽰表⽰这个⼆次型，假如A不对称，那么必然有对称矩阵B = (A + A^{T}) / 2满⾜x^{T}Ax = x^{T}Bx因为实对称矩阵具有许多特别的性质，为了⽅便研究，规定⼆次型矩阵就是⼀个实对称矩阵。
更为关键的是：如果⼆次型矩阵是对称的，那么它将是唯⼀的。
⼆次型的图形：为了⽅便研究⼆次型，我们代⼊具体的函数值，研究⼀个具体的图形：x^{T}Ax = C这样就表⽰成⼀个曲线或者曲⾯，这个图形由取具体函数值的⾃变量全体构成的。
描述它的参考系(少了函数值那个维度)不同，⼆次型矩阵也不同，这涉及到合同的概念。
2. 矩阵合同在线性代数，特别是⼆次型理论中，常常⽤到矩阵间的合同关系。
定义：设A和B是两个n阶⽅阵，若存在可逆矩阵C，使得C^{T}AC = B则⽅阵A与B合同，A到B的变换C称为合同变换。
那矩阵A和B合同到底有什么意义呢？我们已经知道相似是相同的线性变换在不同基下的表⽰，那合同呢？下⾯针对⼀个⼆次型的图形来表述，即代⼊具体函数值之后的曲线或曲⾯。
线性代数二次形及其标准型
f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换 化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半， 的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则 ， 令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 ）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 ， 。 线性代数 的特点 使其易于识别 第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 用满秩线性变换化二次型为标准形 配方法 例2 化二次型
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.
3
第十五讲：配方法与正定二次型
y1x1x22x3 令 y22x2x3
y3 x3
1 1 5
2 2
P
0
1 2
1 2
0 0 1
15
即
x1 x2
y1 2y2 2y3
11
2
y2
2y3
x3 y3
变换
x Cy 及 xPz
使
f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k r y r 2 k i 0
及
f 1 z 1 2 2 z 2 2 r z r 2
i 0
则 k1,k2,,kr中正数的个数与1,2,,r中正数的个数相等.
这个定理称为惯性定理.
标 准 化 后 正 系 数 称的 为个 正数 惯 性 指 数 p ， 记
.
2
第十五讲：配方法与正定二次型
一、配方法化标准型
例1 化二次型 f x 1 2 5 x 2 2 4 x 3 2 2 x 1 x 2 4 x 1 x 3
成标准型，并求所用的变换矩阵.
解: f x 1 2 5 x 2 2 4 x 3 2 2 x 1 x 2 4 x 1 x 3
x 1 2 2 x 1 ( x 2 2 x 3 ) 5 x 2 2 4 x 3 2
x3 y3
.
5
第十五讲：配方法与正定二次型
就把 f 化成标准形 f y12 y22
所用变换矩阵为
1 1 1 P 0 1 2,
0 0 1
（|P|=1≠0）
.
6
第十五讲：配方法与正定二次型
二、正定二次型的概念
1.惯性定理： 定理11 设有实二次型 f xTAx,它的秩为 r ，有两个实可逆
第十五讲：配方法与正定二次型
班级：
时间：
年 月 日；星期
教学目的
重点 难点 讲授方法 讲授内容 主线 时间安排
掌握二次型及标准型定义，掌握二次型的矩阵表 达式，理解合同矩阵定义与性质，理解二次型化 成标准型的基本原理和方法，会用配方法化二次 型为标准型
作业
二次型化成标准型
同上
讲练结合
对称矩阵对角化方法－二次型及矩阵形式－标准 型、合同矩阵与性质－化标准型的基本方法－练 习－配方法练习
.
10
第十五讲：配方法与正定二次型
（2）主子式判定定理
定理13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主
子式都为正，即
a11 0,
a11 a12 0, ,
a a 21
22
a11 a12 a1n
a 21
a 22
a2n
0;
a n1 a n 2 a nn
例4: 判断二次型 f 6 x 1 2 5 x 2 2 7 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3
练习册
第39 页－41页
第10题 至
第13题
复习对称矩阵对角化方法：15分钟；二次型概念： 15分钟；合同矩阵及性质：30分钟；二次型化标 准型方法：35分钟；机动：5分钟
.
1
第十五讲：配方法与正定二次型
本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟 训练题 本次上课交作业P49—P50,T20可暂不 做，课堂上讲
[ x 1 2 2 x 1 ( x 2 2 x 3 ) x 2 2 x 3 2 ] x 2 2 x 3 2 5 x 2 2 4 x 3 2
x 1 x 2 2 x 3 2 4 x 2 2 4 x 2 x 3 8 x 3 2
x 1 x 2 2 x 3 2 [ 2 x 2 2 2 ( 2 x 2 ) x 3 x 3 2 ] 9 x 3 2
x1x2x32x2 2x3 22x2x32x2 25x3 26x2x3
x 1 x 2 x 3 2 x 2 2 4 x 3 2 4 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3 2 x 2 2 x 3 2
令
y1x1x2x3 y2x22x3
即
x1y1y2y3 x2y22y3
y3 x3
.
8
第十五讲：配方法与正定二次型
2.正定二次型的定义：
定义9 设有实二次型 fxxTA, x如果对任何 x，0
都有 f x >0 （显然 f (0) = 0）， 则称 f 为正定二次型，
并称对称矩阵 A 是正定的； 如果对任何 x，0 都有
fx0则称为负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的.
三、正定二次型的判定方法：
1.标准型系数法：
定理12 实二次型f x正TA定x的充分必要条件是：它的标 准形的 n 个系数全为正.
.
9
第十五讲：配方法与正定二次型
2.特征值判定方法
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特
征值全为正 分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成 了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特
征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。 3.主子式判定方法：
（1）什么是主子式
沿主对a 角 1开 1 线 始， ，从 a 11依 1、 a21、 2 次 n阶 计 a 1 n行 算列2 a 22
,
a 21 a 22 a 2 n
分别称 1,2为 ,n阶主子式a n 1 a n 2 a nn
负 （ 含 零 ） 系 数 称的 为个 负数 惯 性 指 数
.
7
第十五讲：配方法与正定二次型 该定理说明了：
（1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所
含的项数是确定的（即是二次型的秩）。
（2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个 数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也 不变
（3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知， 一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好 是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的 个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯 性指数
( P 0)
标准型为: fy1 2y2 29y3 2
.
4
第十五讲：配方法与正定二次型
例2 化二次型 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3 成标准型，并求所用的变换矩阵.
解 f x 1 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 2 5 x 3 2 6 x 2 x 3