专题函数的周期性.docx
(完整版)专题函数的周期性
专题函数的周期性一知识点精讲1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .(3) f x a的周期T2a .，贝U T xf x(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .(5) f(x a)1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T2a .(6) f(x a) 1 f(x)，则f1 f (x)x的周期T4a数.(7) f(x a) 1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T4a .(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数.(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数f (x)是2 b a为周期的周期函数.(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数.(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.二典例解析1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )A.0.5B. —0.5C.1.5D. —1.52. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为2 2的解析式。
函数的周期性(解析版)
函数周期性基础知识1.函数周期定义：给定函数()f x ，对于定义域中的任意x ，存在不为0的常数T ，恒有()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数，T 为它的周期，且nT 亦为周期。
2.常考周期有：①对于定义域中的任意x ，恒有()()f x T f x +=-，则()f x 为周期函数，且周期为2T ； ②对于定义域中的任意x ，恒有1()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数，且周期为2T ； ③对于定义域中的任意x ，恒有1()()f x T f x +=-，则()f x 为周期函数，且周期为2T ； ④对于定义域中的任意x ，恒有1()()1()f x f x T f x ++=-，则()f x 为周期函数，且周期为T 4； ⑤对于定义域中的任意x ，恒有1()()1()f x f x T f x -+=+，则()f x 为周期函数，且周期为T 2； ⑥如果()f x 有两条对称轴,,x a x b b a ==>，则()f x 为周期函数，且周期为2()b a -； ⑦如果()f x 关于点(,0)a 对称，又关于直线x b =对称，则()f x 为周期函数，且周期为4()b a -； 3：真题练习1. 已知()f x 在R 上是奇函数，且)()4(x f x f =+，当(0,2)x ∈时，22)(x x f =，)7(f = ( )A.-2B.2C.-98D.98【解析】：4=T ，(7)(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，选A 。
2. 已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2021)(2022)f f -+的值为 ( )A.2-B.1-C.1D.2【解析】：2=T ，(2021)(2021)(1)1,f f f -===(2022)(0)0f f ==，选C 。
高中数学函数周期性总结计划.doc
函数的周期性一、周期函数的定义对于函数 f ( x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f ( x T ) f (x) ，那么函数 f ( x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：（ 1）T必须是常数，且不为零；（ 2）对周期函数来说 f ( x T ) f (x) 必须对定义域内的任意x 都成立。
二、常见函数的最小正周期2π正弦函数 y=sin（ω x+φ）（w>0）最小正周期为T=y=cos （ω x+φ）（ w>0）最小正周期为 T=2πy=tan（ω x+φ）（w>0）最小正周期为T= πy=|sin（ω x+φ）|（w>0）最小正周期为T=πf(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？三、抽象函数的周期总结1、2、f ( x T ) f ( x)y f (x) 的周期为Tf ( x a) f (b x) (a b)y f (x)的周期为T b a3、f ( x a) f ( x)c4、 f ( x a)f ( x)y f (x) 的周期为T2a (C 为常数 )y f (x) 的周期为T2a51 f ( x)f (x a)f ( x)116、 f (x a)f ( x) 11 f ( x) 7、 f ( x a)1 f (x) y f (x)的周期为 T 2a y f ( x)的周期为 T 4a y f (x)的周期为 T 4a8、f ( x2a) f ( x a) f ( x)y f (x) 的周期为T 6a9 、f ( x n 2) f (x n) f (x n 1) ；（它是周期函数，一个周期为6）10 、y f (x) 有两条对称轴x a和x b（ a b)y f ( x) 周期T 2(b a)11 、 yf (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)y f (x) 周期 T 2(b a)12 、 yf (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0)y f (x) 周期 T 4(b a)13、奇函数y f ( x) 满足f (a x) f ( a x)y f (x) 周期T4a。
专题四 函数的周期性和二次函数的性质docx-【百强校】江苏省启东中学2020届高考数学一轮复习学
专题四：函数周期性和函数凹凸性研究第1节函数的周期性重点题型：（1）函数的周期性研究（2）函数周期应用（3）单调性、周期性、奇偶性综合问题研究一．课前预习自主热身1.已知是定义在R上的偶函数,并满足：,当,,则( )A. B. C. D.解：,,,即函数的一个周期为4．．是定义在R上的偶函数,．当,,．．故选D．2.已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,,则的值为( )A. B. 0 C. 1 D. 2解：定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,,,即,,故函数的周期为4,,,,,,则,故选A．3.（2016⋅四川）已知函数()f x是定义在R上的周期为2的奇函数，当01x<<时，()4xf x=，则5()(1)2f f-+=________．【解析】()f xQ是定义在R上的周期为2的奇函数，511()()()2 222f f f-=-=-=-，又(1)(1),(1)(1),f ff f-=⎧⎨-=-⎩(1)(1)f f∴=-，(1)0f∴=．4.(2018⋅新课标Ⅱ改编)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+． 若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L ．【解析】∵()f x 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)f x f x +=--，则(2)()f x f x +=-， (4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，∴函数()f x 是周期为4的周期函数． ∵(1)2f =，(0)0f =，(2)(0)0f f =-=，(3)(1)2f f =-=-，(4)(0)0f f ==， (1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，(1)(2)(3)(50)f f f f ∴++++L 12[(1)(2)(3)(4)](49)(50)(1)(2)2f f f f f f f f =+++++=+=．二．例题导思 提升能力例1.设是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有,当时,． 求证：是周期函数； 当,求的解析式；计算：．【答案】证明：,,为周期函数且4是它的一个周期； 解：上的奇函数,,,时,, 当时,,, 时,,又当时,,,即；,,,,,由函数的周期性可得,原式的值．即．变式训练：已知定义在R上的奇函数周期为4,当时．求在上的表达式；求的值．【答案】解：在R 上的奇函数,当时,即, 得当时,,设,则, ,而为奇函数,,故,．在R 上的奇函数周期为3,则,令得,则又,由奇函数性质有,．例2．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，1,20,()ln(),01mx x f x x n x ⎧+-≤<=⎨+≤<⎩，其中,m n R ∈，且(6)0f -=． （1）求n 的值；（2）若函数()f x 的值域为[0,2]，求m 的值． 解：（1）由()f x 是周期为3的函数，得(0)(6)0f f =-=，1,20,()ln(),01,mx x f x x n x ⎧+-≤<=⎨+≤<⎩Q ln 0n ∴=，1n =．（2）由（1）01x ≤<时，()ln(1)f x x =+， 01x ∴≤<时，()f x 的值域为[0,ln 2)．20x -≤<Q 时，()1f x mx =+，∴函数()f x 的值域为[0,2]的必要条件为(2)2f -=，即212m -+=，32m ∴=或12m =-． 当32m =时，31,20,()2ln(1),01x x f x x x ⎧+-≤<⎪=⎨⎪+≤<⎩的值域为[0,2][0,ln 2)[0,2]=U ，满足题意；当12m =-时，11,20,()2ln(1),01x x f x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎪+≤<⎩的值域为[1,2][0,ln 2)[0,2]≠U ，不满足题意；综上，32m =．变式训练：设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩a ∈R ．若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是________．【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-．三．课后检测 提优导练1.定义在R 上的奇函数满足,且在上,则( )A. B. C. D.解：由得,,所以函数的周期是4,因为是定义在R 上的奇函数,且,则,且在上,,所以．故选C ．2.若定义在上的函数满足,是奇函数,现给出下列4个论断：是周期为4的周期函数； 的图象关于点对称；是偶函数； 的图象经过点其中正确论断的序号是_______________请填上所有正确论断的序号． 【答案】解：由得,所以函数的周期为4,故正确； 由是奇函数,知的图象关于原点对称,所以函数的图象关于点对称,故正确；由是奇函数得,所以,所以函数是偶函数,故正确；,无法判断其值,故错误．综上,正确论断的序号是：．3.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩，则((15))f f 的值为_______．【解析】因为(4)()f x f x +=,函数的周期为4，所以1(15)(1)2f f =-=， ∴1π((15))()cos 24f f f ===2．4.(2017⋅南京三模）已知函数()f x 是定义在R 上，且周期为4的偶函数．当[2,4]x ∈时，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为 ．【解析】由()f x 为偶函数，得11()()22f f =-，结合()f x 是周期为4的函数得11()()22f f =-4171(4)()|log 2|222f f =-+===．5.定义：若函数的定义域为R,且存在非零常数T,对任意,恒成立,则称为线周期函数,T 为的线周期．Ⅰ下列函数,,,,其中表示不超过x 的最大整数,是线周期函数的是______ 直接填写序号； Ⅱ若为线周期函数,其线周期为 T,求证：函数为线周期函数；Ⅲ若为线周期函数,求k 的值．【答案】【解析】解：Ⅰ对于,故不是线周期函数对于,故不是线周期函数对于,故是线周期函数故答案为：Ⅱ证明：为线周期函数,其线周期为T,存在非零常数T,对任意,恒成立．,．为周期函数．Ⅲ为线周期函数,存在非零常数T,对任意,．．令,得；令,得；两式相加,得．,检验：当时,．存在非零常数,对任意,,为线周期函数．综上,．第2节函数的凹凸性及抽象函数性质研究重点题型：（1）抽象函数中奇偶性与单调性判断与证明（2）函数的凹凸性研究，通过专项研究提升学生能力一．课前预习自主热身1.若函数的定义域是,则函数的定义域为( )A. B. C. D.解：因为函数的定义域为,则,且,即,且,解得,所以函数的定义域为故选C．2.对任意的实数x,y,函数都满足恒成立,则( )A. B. 0 C. D. 2解：对任意的实数x,y,函数都满足恒成立,令,令．故选A ．3.(2017⋅浙江)已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则实数a 的取值范围是________． 【解析】令4t x x=+，[1,4]x ∈，则()()||h t f x t a a ==-+，[4,5]t ∈，函数()y h t = 的图象关于直线t a =对称，因此①92a ≤时，max [()](5)55h t h a a ==-+=，92a ∴≤；②92a >时，max [()](4)4245h t h a a a ==-+=-=，92a ∴=（舍去）．综上，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．4.对于任意的21,x x ），（∞+∈0，若函数f(x)=lgx,试比较2)()(21x f x f +与)2(f 21x x +的大小二．例题导思 提升能力例1. 凸函数、凹函数的定义：定义1：设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于区间D 上的任意两个点21,x x ，及任意正数12121=+λλλλ，，，都有)()()(f 22112211x f x f x x λλλλ+≤+,则称f(x)为区间D 上的凸函数.定义2：设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于区间D 上的任意两个点21,x x ，及任意正数12121=+λλλλ，，，都有)()()(f 22112211x f x f x x λλλλ+≥+,则称f(x)为区间D 上的凹函数.性质探究1：f(x)为区间D 上的凸函数，则对于D 上任意两个点21,x x ，有2)()()2x f(2121x f x f x +≤+. 性质探究2：f(x)为区间D 上的凹函数，则对于D 上任意两个点21,x x ，有2)()()2x f(2121x f x f x +≥+. 性质探究3：图像特征.应用探究：探究1：探究二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的凸凹性 探究2：对于函数f(x)定义域中的任意不相等21,x x ，有①)()()(2121x f x f x x f =+②)()()((2121x f x f x f x f =+）③0)()(2121>--x x x f x f ④2)()()2x f(2121x f x f x +<+,当f(x)=lgx 时，正确结论是探究3：在函数 x y x y x y x2cos ,,log ,2y 22====,这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2x f(2121x f x f x +>+恒成立的函数的个数是（） A 、0 B 、1个 C 、2个 D 3个探究4：已知函数f(x ）=tanx,x ），，（20π∈若21,x x ），（20π∈，且21x x ≠，求证：2)()()2x f(2121x f x f x +<+ 探究5(2015年福建理科高考第12题）已知函数f(x)在],[b a 上有定义，若对任意21,x x ],[b a ∈,有2)()()2x f(2121x f x f x +≤+，则称函数f （x ）在],[b a 上具有性质P 。
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习).docx
基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。
3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。
函数的周期性教案（最终版）
函数的周期性教案（最终版）第一篇：函数的周期性教案（最终版）函数的周期性定义：对于函数y=f(x)，若存在一个不为零的常数T，使x取定义域中任意一个值时，有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为周期函数，常数T为函数的周期.在所有T的取值中，若存在一个最小的正数t，则称t为函数的最小正周期.（在题目中若没有特殊强调，则周期均值最小正周期.）性质：1.图像重复出现，且在对应的周期区间中，增减性，最值相同；2.若f(x)=f(x+a)，则T=a；若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；若f(x+a)=f(x-b)，则T=a+b；若f(x+a)=f(x+b)，则T=a-b；例题：已知f(x-2)=f(x+2)且f(-1)=2，则f(11)=________；函数f(x)为R 上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(6)=_______；函数f(x)为R上的奇函数且T=4，且x∈[4,6]时，f(x)=2-x2，则f(-1)=______；已知函数f(x)周期为3，且在x∈[-2,0]为增函数，则在区间[4,6]上为_____（填增，减）；函数f(x)为R上的偶函数且T=2，在区间[-1,0]递减，则在区间[2,3]上为_____；函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，x∈[0,1]时，f(x)=x，则f(7.5)=__；函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=-1，x∈[2,3]时，f(x)=x，则f(105.5)=__； f(x)第二篇：函数的周期性教案1解读函数的周期性教案1教学目标1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力．教学重点与难点函数周期性的概念．教学过程设计师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：(老师把图画在黑板左上方．)师：通过观察，同学们有什么发现？生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[－1，1]．图象有规律地不断重复出现．师：规律是什么？生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．(老师在黑板左上方写出课题)师：我们先看函数周期性的定义．(老师板书)定义对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f(x＋T)=f(x)．师：找得准！那么为什么要这样规定呢？师：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？生：如果x属于y=f(x)的定义域，则T＋x也应属于此定义域．师；对．否则f(x＋T)就没有意义．师：函数周期性的定义有什么用途？生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．师：下面我们看例题．(老师板书)例1 证明 y=sinx是周期函数．生：因为由诱导公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．师：要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？y=sinx的周期．义域内的每一个x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在着)某一个x，使f(x＋T)=f(x)乙是正确的．师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求证f(x＋2T)=f(x)．师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？生：若不等于零的常数T是f(x)的一个周期，证明2T仍是f(x)的周期．因为T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．因此2T是f(x)的周期．师：这个命题推广可得到什么结论？生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，…，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．(老师在函数的周期性定义下板书)如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．例4 证明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例2我们证明命题，只要证明什么？生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？生：反证法．假设存在T∈(0，2π)使得y=sinx对于任意的x∈R 都成立．推出矛盾即可．师：你能具体的给予证明吗？生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有sin(x＋T)=sinx．即cosT=1．这与T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．例5 求y=3cosx的周期．师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期生：因为y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？生：可以从数和形两个角度来证明．解(一)因为对一切x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．解(二)因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x(x∈R)增加到x＋2π且必须增加到x＋2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常数)的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．例6 求y=sin2x的周期．(请不同解法的三位同学在黑板上板演)生甲：解因为y=sin(2x＋2π)=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．生乙：解因为y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以y=sin2x的周期是π．生丁：解设2x=u，因为y=sinu的周期是2π，所以y=sin(u＋2π)=sinu，即sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正确的．区别在于解法(三)经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧知识y=sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y=sinx的图象得到y=sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标不变，横坐标是该点横坐标的出现，所以 y=sin2x的周期是π．师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因为所以师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．＞0，x∈R)sin(u＋2π)=sinu，即即师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数有关系，而且(老师板书)师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．师：(总结)通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．(一)研究函数周期的意义是什么？周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为长度的区间内，就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．(二)对于函数周期的定义应注意：1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T(T≠0)，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我们就断言y=f(x)不是周期函数．对于某个确定的常数T≠0，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我们能断言T不是函数y=f(x)的周期，但不能说明y=f(x)不是周期函数．2．定义中的“每一个值”是关键词．此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f(x＋T)=f(x)对函数定义域(－∞，＋∞)中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=－T时，等式不成立．因此函数f(x)不是周期函数．(三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．如：f(x)=c(常数)，任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f(x)=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．作业：课本P178第6题，P132第4题．课堂教学设计说明此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线” 的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视，也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．第三篇：函数的对称性和周期性复习教案函数的对称性和周期性株洲家教：***函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
专题19 函数的周期性(解析版)-2022年高考数学一轮复习考点覆盖专项练之函数(全国通用)
专题19 函数的周期性主要考查：函数周期性的应用一、单选题1．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-，若1(2)2f =，则(2020)f =（ ） A ．12- B ．12 C ．2-D ．2 【解析】11(2)(4)()4()(2)f x f x f x T f x f x +=-∴+=-=∴=+，，， 1(2020)(4)2(2)f f f ∴==-=-，故选：C 2．已知函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(4)()0f x f x -+=成立，若(0)0f =，则()2019(2020)(2021)f f f ++的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-【解析】由(2)()f x f x +=-，可知(2)()f x f x -=．又(4)()f x f x -=-，(4)(2)0f x f x ∴-+-=，(2)()f x f x ∴+=-，(4)[(2)2](2)()f x f x f x f x ∴+=++=-+=，∴函数()y f x =是周期为4的周期函数，(2019)(3)f f ∴=，(2020)(0)f f =，(2021)(1)f f =．由(4)()0f x f x -+=可得(41)(1)0f f -+=，即(3)(1)0f f +=，(2019)(2020)(2021)000f f f ∴++=+=.故选：C ．3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()21f =（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【解析】由()()4f x f x =-知，()f x 图像对称轴为2x =；由()f x 为奇函数得，()f x 图像对称中心为()0,0，则()f x 的周期为8；所以()()()()213311f f f f =-=-=-=-，故选:B.4．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为（ ）A ．()21x f x =+B ．4()21x f x -+=--C ．4()21x f x -+=+D ．()21x f x -=+【解析】当[2,0)x ∈-时，(]0,2x -∈，(]44,6x ∴-+∈又∵当(]4,6x ∈时，()21x f x =+，4(4)21x f x -+∴-+=+ 又(4)()f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4T =，(4)()f x f x ∴-+=- ，又∵函数()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=- ，∴4()21x f x -+-=+，∴当[)2,0x ∈-时，4()21x f x -+=--．故选：B ．5．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且122f ⎛⎫=⎪⎝⎭()00f ≠，则()2021f =（ ）．A ．2021B ．1C ．0D ．1- 【解析】令0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，故()()()20010f f -=，故()01f =，（()00f =舍），令12x y ==，则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()10f =．∴()()()()11210f x f x f x f ++-==，即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=，故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数．∴()()202110f f ==．故选：C ．6．已知函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，()(4)f x f x =+，若(1)6f =，则()()22log 128log 16f f +=（ ）A ．6B ．0C ．6-D ．12-【解析】因为()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期4T =，因为函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，所以(0)0f =，(1)(1)6f f -=-=-，所以()()22log 128log 16f f +=7422(log 2)(log 2)f f +(7)(4)f f =+()()870f f =-++(1)(0)f f =-+(1)(0)f f =-+60=-+6=-.故选：C7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则函数()4log y f x x =-的零点个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】()4log y f x x =-的零点个数，即()y f x =与4log y x =的图像的交点个数，作出图像可得共有8个交点.故选：D.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】∵()()2f x f x +=，则函数()f x 是周期2T =的周期函数．又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =， ∴当[)1,0x ∈-时，()()ππcos cos 22f x f x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数， 分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，显然()f x 与()g x 在[)1,0-上有1个交点，在0,1上有一个交点， 当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤，所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点．综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2． 故选：A二、多选题9．已知()f x 的定义域为R ，其函数图象关于直线3x =-对称且(3)(3)f x f x +=-，当[0,3]x ∈时，()2211x f x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在[6,3]--上单调递减C ．()f x 关于3x =对称D ．(2021)7f =-【解析】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，其函数图象关于直线3x =-对称，所以(3)(3)f x f x -=--，又(3)(3)f x f x +=-，所以(3)(3)f x f x +=--，所以[][](3)3(3)3f x f x -+=---，即()()f x f x =-，所以函数为偶函数，故A 正确；对于B ：因为(3)(3)f x f x +=-，所以()()()(3)333f x f x ++=+-，即()()6f x f x +=所以函数是周期为6的周期函数，当[6,3]x ∈--时，[]60,3x +∈，因为当[0,3]x ∈时，()2211x f x x =+-函数在[]0,3上单调递增，所以当[6,3]x ∈--时，()()()6622611x f x f x x +=+=++-，函数在[]6,3--上单调递增，故B 错误；对于C ：因为函数图象关于直线3x =-对称，所以(3)(3)f x f x -=--，又函数是偶函数，所以()()f x f x =-，即()()(3)33f x f x f x ⎡⎤-=--=-⎣⎦，()()(3)33f x f x f x ⎡⎤--=---=+⎣⎦，所以()()33f x f x +=-，所以()f x 关于3x =对称，故C 正确；对于D ：()()()()()()20213366555561f f f f f f =⨯+==-=-+=，又[0,3]x ∈时，()2211x f x x =+-，所以()()120211221117f f ==+⨯-=-，故D 正确；故选：ACD10．已知函数()f x 为偶函数，且()()22f x f x +=--，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点(2,0)-中心对称B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()f x 的图象关于直线2x =-轴对称D ．(4)f x +为偶函数【解析】因为()2()2f x f x +=--，所以()f x 的图象关于点()2,0中心对称，又因为函数()f x 为偶函数，所以()f x 是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(2,0)-中心对称和关于直线4x =轴对称，所以()4f x +为偶函数.故选：AD.11．已知(2)y f x =+为奇函数，且(3)(3)f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，4()2log (1)1x f x x =++-，则（ ）A ． ()f x 的图象关于(2,0)-对称B ．()f x 的图象关于(2,0)对称C ． 4(2021)3log 3f =+D ． 3(2021)2f = 【解析】因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)f x f x +=--，，所以()f x 的图象关于(2,0)对称．故选项B 正确，由(2)(2)f x f x +=--可得(4)()f x f x +=--，由(3)(3)f x f x +=-可得()(6)f x f x -=+，所以(4)(6)f x f x -+=+，可得(2)()f x f x +=-，所以()2(()4)f x f x f x -+=+=，所以()f x 周期为4，所以()f x 的图象关于(2,0)-对称，故选项A 正确，43(2021)(45051)(1)2log 212f f f =⨯+==+-=.故选项D 正确，选项C 不正确，故选: ABD ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)(6),(2)(6)f x f x f x f x +=+-=-，当02x ≤≤时，()22f x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)(1)f f =B ．函数(2)f x +是偶函数C ．当06x ≤≤时，()f x 的最大值为6D ．当68x ≤≤时，()f x 的最小值为14- 【解析】对任意实数x 满足(2)(6)f x f x +=+，(4)()f x f x ∴+=即函数()f x 是周期函数，周期为4．(2)(6)(2)(42)(2)f x f x f x f x f x -=-⇒-=+-=-，那么()()f x f x -=，∴函数()f x 是偶函数，(2)(6)f x f x -=-，可得函数()f x 关于2x =对称轴， 又当02x 时，2()2f x x x =-，故函数对应图像大致如图，∴函数()f x 在区间1[4，2]上单调递增．∴函数()f x 在区间[0，1]4上单调递减． ∴当02x 时，函数()f x 的最小值为11()48f =-，最大值为f （2）6=． 且(2021)f f =（1）成立，函数(2)f x +是偶函数成立，当06x 时，()f x 的最大值为6，当68x 时，()f x 的最小值为14-不成立，故正确答案为ABC ． 三、填空题13．已知定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，()2x f x =，则23(log )(2018)16f f +=___________. 【解析】函数()f x 满足：()()11f x f x +=，可得：对x R ∀∈，都有()()()121f x f x f x +==+，∴ 函数()f x 的周期2T =. ∴ ()()()()2log 2223123112log log 34log 3163132log f f f f -⎛⎫=-==== ⎪-⎝⎭， 由()()11012f f ==得()()1201802f f ==， ∴()23217log 201816326f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(3)0f x f x ++-=，且当(3,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =+-，若(7)2(11)f f =，则实数a =______.【解析】因为函数是奇函数，所以()()33f x f x -=--，即()()()()()()33330,33f x f x f x f x f x f x ++-=+--=+=-，所以函数()f x 的周期为6， ()()()()()721112121f f f f f =⇔=-=-，即()10f =，()()110f f -=-=，而()21log 20f a -=-=，解得：1a =.15．设函数()f x 满足对任意x ∈Z ，都有()(1)(1)f x f x f x =-++成立，(1)f a -=，(1)f b =，则(2019)(2020)f f +=________【解析】∵函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =-++，∴(1)()(2)f x f x f x +=++，两式相加得到0(1)(2)f x f x =-++，即()(3)0f x f x ++=，①，∴f （x +3）+f （x+6）＝0，②由①②可得f （x ）＝f （x+6），∴函数f （x ）的一个周期T ＝6，∴f （2019）＝f （6×336+3）＝f （3）＝-f （0），f （2020）＝f （6×336+4）＝f （4）＝-f （1）,又(0)(01)(01)(1)(1)f f f f f a b =-++=-+=+，∴(2019)(2020)(0)(1)2f f f f a b +=--=--16．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-，在区间[]2,m -上有2021个零点，则m 的取值范围是___________【解析】由题意，函数()f x 为R 上奇函数，所以(0)0f =，且()()f x f x -=-，又(2)()0f x f x -+=，可得(2)()f x f x -=-，可得函数()f x 的图象关于点()1,0对称，联立可得(2)()f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的周期函数，又由函数sin y x =π的周期为2，且关于点(,0)()k k Z ∈对称，因为当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，由图象可知，函数2()log f x x =-和sin y x =π的图象在[)1,1-上存在1234111,,0,22x x x x =-=-==四个零点， 即一个周期内有4个零点，要使得函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点， 其中1234312,,1,22x x x x =-=-=-=-都是函数的零点,即函数()()sin F x f x x π=-在[]0,m 上有2017个零点，如果m 是第2017个零点，则20171210084m -=⨯=，如果m 是第2018个零点，则12017100822m =+=，即20171008,2m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.四、解答题17．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-．当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-．（1）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（2）计算(0)(1)(2)(2020)f f f f ++++的值．【解析】（1）因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=．所以()f x 是周期为4的周期函数．当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，由已知得22()2()2f x x x x x -=---=--，又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x -=-=--，所以2()2f x x x =+．当[2,4]x ∈时，4[2,0]x -∈-，所以2(4)(4)2(4)f x x x -=-+-，又()f x 是周期为4的周期函数，所以22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x =-=-+-=-+．故当[2,4]x ∈时，2()68f x x x =-+．（2）(0)0f =，(1)1f =，(2)0f =，(3)1f =-，又()f x 是周期为4的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++=+++(2012)(2013)(2014)(2015)f f f f ==+++(2016)(2017)(2018)(2019)0f f f f =+++=，所以(0)(1)(2)(2020)(2020)(0)0f f f f f f =+++=+=． 18．设()f x 是定义在R 上的函数，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，(2)()f x f x +=-．（1）当[2,0]x ∈-时，求()f x 的表达式；（2）求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++的值；（3）判断()f x 的奇偶性，并求出()f x 的单调区间及()f x 的解析式．【解析】（1）当[2,0]x ∈-时，2[0,2]x +∈，()(2)f x f x =-+=22[2(2)(2)]2x x x x -+-+=+；（2）由(2)()f x f x +=-，得()f x 的周期为4．(1)1f =，(2)0f =，(0)0f =，(1)1f -=-．∴(3)1f =-，(4)0f =，(1)(2)(3)(2008)0f f f f ++++=；（3）由（1）（2）可知：222,[0,2]()2,[2,0)x x x f x x x x ⎧-∈=⎨+∈-⎩，当[2,0)x ∈-时，22()2()()(2)()f x x x x x f x -=---=-+=-，当2(]0,x ∈时，22()()2()(2)()f x x x x x f x -=-+-=--=-，而(0)0f =，所以当[2,2]x ∈-时，函数是奇函数，因为函数的周期为4，所以函数在整个定义域内是奇函数；当[0,2]x ∈时，()()22211f x x x x =-=--+， 则有当[0,1]x ∈时，函数单调递增，当[1,2]x ∈函数单调递减，当[2,0)x ∈-时，()222(1)1f x x x x =+=+-，则有当[2,1]x ∈--时，函数单调递减，当[1,0)x ∈-函数单调递增，而(0)0f =因此有当[2,1]x ∈--时，函数单调递减，当[1,1]x ∈-函数单调递增，当[1,2]x ∈函数单调递减，而函数的周期为4，所以函数单调区间为：()f x 在[41,41]k k -+上递增，在[4143]k k ++，递减，其中k Z ∈．因为[2,2]x ∈-时，222,[0,2]()2,[2,0)x x x f x x x x ⎧-∈=⎨+∈-⎩ 由函数的周期为4，所以函数的解析式为：222(4)(4),[4,42]()()(4)2(4),[42,4)x k x k x k k f x k Z x k x k x k k ⎧---∈+=∈⎨-+-∈-⎩. 19．已知函数()y f x =，()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，且()15f =-. （1）求()f x 的一个周期；（2）求()()25f f 的值.【解析】（1）由()()12f x f x +=，所以()()()142f x f x f x +==+， 所以函数的一个周期为4（2）()()251f f =，又()15f =-，所以()()2515f f ==-，所以()()()()()11255115f f f f f =-=-==- 20．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()1()11()f x f x f x -+=+. （1）若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）证明：2是函数()f x 的周期；（3）当[)0,1x ∈时，()f x x =，求()f x 在[)1,0x ∈-时的解析式，并写出()f x 在[)()21,21x k k k Z ∈-+∈时的解析式.【解析】（1）1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1111312211231122f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=== ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 3111512313221132f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=== ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭； （2）因为()1()11()f x f x f x -+=+，令x 取1x +得， 所以1()11(1)1()(2)()1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++===-++++， 所以，2是函数()f x 的周期.（3）当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，则()11f x x +=+，又()1()11()f x f x f x -+=+，即1()11()f x x f x -=++，解得()2x f x x =-+. 所以，当[)1,0x ∈-时，()2x f x x =-+.所以，[)[),1,0()2,0,1x x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩. 因为()f x 的周期为2，所以当[)()21,21x k k k Z ∈-+∈时， ()[)[)2,21,2()2222,2,21x k x k k f x f x k x k x k x k k -⎧-∈-⎪=-=-+⎨⎪-∈+⎩.21．已知定义域为R 的函数()f x 是以2为周期的周期函数，当[]0,2x ∈时，()()21f x x =-； （1）求()2015f 的值；（2）求()f x 的解析式；（3）若()()lg g x f x x =-，求函数()g x 的零点的个数.【解析】（1）由题意，()f x 是以2为周期的周期函数，∴()()()()220152*********f f f =⨯+==-=.（2）由题意，对于任意的x ∈R ，必存在一个k Z ∈，使得(]2,22x k k ∈+，则(]20,2x k -∈，∴()()()2221f x f x k x k =-=--， ∴()f x 的解析式为：()()(]()221,2,22,f x x k x k k k Z =--∈+∈. （3）由()0g x =，()lg 0f x x -=，即()lg f x x =，∵当[]0,2x ∈时，()01f x ≤≤.()f x 最小值为0，最大值1，其它区间可根据周期性进行平移. 又∵lg101=，∴当010x <<时，lg 1x <；当10x >时，lg 1x作出()y f x =与lg y x =的大致图像如下：()y f x =与lg y x =的图像在(]0,10上有10个交点，在()10,+∞上没有交点.∴函数()g x 的零点的个数为10.22．设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 有3()2f x f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭成立. （1）证明：对任意实数x ，等式(3)()f x f x +=成立；（2）若(1)2f =，求(2)(3)+f f 的值； （3）若函数2()3g x x ax =++，且函数()|()|()h x f x g x =⋅是偶函数.求函数21y x x a=++的单调区间. 【解析】（1）由3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且()()f x f x -=-， 可知33(3)22f x f x ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]3()()2f x f x f x ⎛⎫=-+=--= ⎪⎝⎭，所以()y f x =是周期函数，且3T =是其一个周期.所以对任意实数x ，等式(3)()f x f x +=成立.（2）因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，且(1)(1)2f f -=-=-，又3T =是()y f x =的一个周期， 所以()()()()2310202f f f f +=-+=-+=-；（3）因为|()|()y f x g x =⋅是偶函数，由于|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，所以2()3g x x ax =++为偶函数，即()()g x g x -=恒成立.于是22()()33x a x x ax -+-+=++恒成立，于是20ax =恒成立，所以0a =. 所以()22111==1y x x a x x x x =++++，1x ≠-且0x ≠，由复合函数的单调性可知， 函数单调递增为1(,1),(1,)2-∞---；单调递减为1(,0),(0,)2-+∞.。
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专题函数的周期性一知识点精讲1. 周期函数的定义：对于/（兀）定义域内的每一个兀，都存在非零常数使得 /（X4- T ）= f （x 恒成立，则称函数/（兀）具有周期性，丁叫做/（兀）的一个周期，则灯（R W ZK H O ）也是/（兀）的周期，所有周期中的最小正数叫/⑴ 的最小正周期.周期函 数的定义域一定是无限集2性质①若/U ）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为夬兀）的最小正周期； ②若周期函数心）的周期为T,则/（亦）（0^0）是周期函数，且周期为丄丨力|（9） 函数y = f （x ） （XG ^）的图象关于直线x = a ^x = b （a<b ）都对称，则函数/（兀）是 以2（h-a ）为周期的周期函数.（10） 函数y = f （x ） （x G 7?）的图象关于两点A 仏％）、（° </?）都对称,则函数 /（兀）是2（b —a ）为周期的周期函数.（11） 函数y = fM （XG /?）的图象关于4（仏％）和直线x = b （a<h ）都对称，则函数 /（X ）是以4 （h-a ）为周期的周期函数.（⑵ f （x + a ） = f （x ）-f （x-a ）t 则/（兀）的周期T = 6a.二典例解析1. 设 f （x ）是（一8,+8）上的奇函数，f （x+2）二-f （x ）,当 OWxWl 时,f （x ）二X,则 f （7.5）=（）A.0.5B. -0.5 C 」.5 D. -1.5a h2. 若y=fi2x ）的图像关于直线x =—和兀=刁（/?>。
）对称，则/（兀）的一个周期为（ ）3.几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数歹=/（兀）满足对定义域内任一实数兀（其中。
>0为常数） /（无）=/（兀 +。
），则 y = f^x ）的周期 T = a ./（x+a ） = -/（%）,则/⑴的周期 T = 2a./（x + a ） = ±y^-j,则/G ）的周期 T = 2a./（x + d ） = /（x-d ）,则/（兀）的周期 T = 2a ・+ 则/（x ）的周期 T = 2a. 1 + /（兀） f （兀+ G ） =」7（X ）,则/（兀）的周期T = 4a 数. 1 + /O ）f （兀 + G ） = I + 心）,则 /（x ）的周期:T = 4a . 1-/（兀）函数y = 满足/（^ + .v ） = f （a-x ） （Q >0）,若/（x ）为奇函数，则其周期为 (1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)3. _________________________________________________________________ 已知/⑴在R 上是奇函数满足/(x + 3) = -/(x),/(l) = 2,则/(5)= ____________________________4.已知定义在R 上的奇函数/(劝满足/(兀+2) = —/(“)，则/(200^|= _________________ 例5.已知函数)u /(劝是定义在/?上的周期函数，周期7 = 5,函数y = /(x)(-l<x<l)是奇函数，又知y = /(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x = 2时函数取 得最小值-5。
①证明：/(I) + /(4)=0；②求J = /(X ),XG ［1,4］的解析式；③求y = f(x)在［4,9］上 的解析式。
9、函数 y = f(x)定义域为 R,且恒满足 f(x + 2) = /(2-x)/(6 + x) =/(6-x),当2<x<6 时，/(%) = 2--x 9 求/(兀)解析式。
10、已知偶函数y = f(x)定义域为R,且恒满足/(x + 2) = /(2-x),若方程/(%) = 0在 ［0,4］上只有三个实根，且一个根是4,求方程在区间(-&10］中的根。
附参考答案：7,： -1 T 2： (1,0)人：x = lG ：y 轴即 x = 0 T 5：① y 轴② x = l T 6 ： (£)x =—②兀=— T-,: C T Q :②④ 4 2(8Zr -2 < x <8k+ 2,k e Z)(8k + 2 W 兀 W 8R + 6, £ w Z) 7］0 :方程的根为一 6、一4、一 2、024、6、&10共9个根。
2. /(兀)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且/⑴=0,则方程/(x) = 0在区间(0,6)内 解的个数的最小值是 ( )A. 5B. 4C. 3D. 24. /⑴ 是偶函数，且/(0) = 993,又g(x) = /(x —1)为奇函数，则f(1992)二 _______________ 6-数列｛色｝中吗=1® =5,陽+2 =色+］ —色,贝忆006 = ___7已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当兀w (0,1)时,/(兀+ 1)=兀+ 1・求/(%)在(1,2)上 的解析式。
A.B. 2(h - a) D ・ 4(b-a) —(x — 8£)一扣―8灯+2/(X)= <8 /⑴ 的定义域是 R ,且 /(X 4-2)[1-/(X )] = 1 + /(X ),若/*(0) = 2008,求 /(2000 的值。
9.已知函数/(兀)满足/(兀+1) =1 + /(兀),若/(0) = 2004,试求/ (2005)o1 一 /(兀)(2009山东理)10.定义在R 上的幣数f(x)满足f(x)=(2009)的值为() A.-l B.O C.l 【解析】:由已知得/(-l) = log 22 = 1,/(0) = 0,/(l) = /(O)一/(-l) = -l, /(2) = /(!)-/(O) = -1 ,/(3) = /(2)-/(l) = -l-(-l) = O, /(4) = /(3) - /(2) = 0-(-1) = 1,/ (5) = /(4) - /(3) = 1 ,/(6) = /(5) - /(4) = 0, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f (2009) =f (5)二1,故选C.(2009山东理)16.己知定义在R 上的奇函数/(%),满足/(x-4) = -/(%),_&在区间［0,2］ 上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区问［-&8］上有四个不同的根西,兀，则/(x-8) = /(x),所以函数是以8为周期的周期函数,乂因为/(X )在区间［0,2］上是增函数，所 以/(兀)在区间1-2,0］±也是增函数.如图所示，那么方程f(x)二m(m>0)在区间［-&8】上有四个 不同的根X i ,X 2,X 3,X 4,不妨设兀］< x 2 < x 3 < x 4由对称性知%! +x 2 =-12兀3 +兀4 = 4所以 西+勺 + %3 +无= -12 +4 = -8答案:・8(2009全国一)(11)函数/(兀)的定义域为R,若/(刈 与/(x-1)都是奇函数，则(D )flog 2(l-x),x<0[/(x-l)-/(x-2),x>0 D. 2【解析】：因为定义在R 上的奇函数，满足= 以/(x — 4) = /(—x),所以, 由/(兀)为奇函数，所以函数图象关于直线兀=2对称且/(0)= 0,由/(%-4) = -/(%)知(A) /(%)是偶函数(B) /(兀)是奇函数(C) /(x) = /(x + 2) (D) /(x + 3)是奇函数解：/(x + 1)与/(x-1)都是奇函数，.•./(—无+ 1) = -/(x + l),/(-x-l) = -/U-1),••・函数f(兀)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数/(兀)是周期T = 2[l-(-l)] = 4的周期函数・・•・/(一兀一1 + 4) =—/(兀一1 + 4), f(-x+3) = _/(兀+3),即/(x + 3)是奇函数。
故选D专题函数对称性一知识点精讲：I函数y = /(x)图象本身的对称性(自身对称)若/(X + Q)= ±/(兀+历，则/(兀)具有周期性；若/(0 +兀)=±于(/?一兀)，则/(兀)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f\a + x) = f(b-x) oy = /(尢)图象关于直线对称推论1：f(a + x) = f(a-x) oy = /(x)的图象关于直线x = a对称推论2、/(x) = f(2a - x) <=> y = /'(兀)的图象关于直线x = a对称推论3> /(-%) = f(2a + x) o y = /(兀)的图象关于直线x-a对称2、f(a + x) + f(b - x) = 2c y = f(x)的图象关于点(° ：方,c)对称推论1、f(a + x) + f(a -x) = 2b U> y = /(x)的图彖关于点(G,/?)对称推论2、/(x)4- f(2a - x) = 2b o y = /(兀)的图象关于点(a,b)对称推论3、/(-x) + f(2a + x) = 2h oy = /(兀)的图象关于点(a上)对称IT两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何屮的对称曲线轨迹方程理解)1> y = /(x)与y = /(-x)图象关于Y轴对称2、y = /(x)与丁 = -/(-兀)图象关于原点对称函数3、函数y = /(x)与丿=-/(兀)图象关于X轴对称4、函数y = /(劝与其反函数y =广丫兀)图象关于直线y = x对称5.函数y = /(。
+兀)与y = /(方一x)图象关于直线X」2"对称推论1:函数y = f(a + x)与y = f(a-x)图象关于直线兀=0对称推论2:幣数y =/(x)与丿=f(2a - x)图象关于直线x = a对称推论3:函数y = /(-兀)与y = f(2a +兀)图象关于直线X ——CL对称二典例解析：1、定义在实数集上的奇函数/(兀)恒满足/(l + x) = /(l-x),且xe(-1,0)时,/(x) = 2“ +£,则/(log2 20) = ___________ 0解析：y = /(x)关于直线x = l对称，/(—兀)=/(2 +兀)，又•・•是/(劝奇函数，f(~x) = -f(x) ,故有f(2 + x) = -f(x) ,5 4 io昭1T = 4,/(log2 20) = /(log2 20-4) = /(log2 -) = -/(log2 -) = -2 4+- = l2、已知函数y = f(x)满足于(兀)+ /(2 —兀)=0,则y = f(x)图象关于 _________________ 对称。