第17章习题 非线性电路
第十七章 非线性电路简介
i
u1 = f1 ( i )
u2 = f 2 ( i )
充气二极管
u = f (i )
0
u
③ 并联： 并联： 压控型电阻 i = g(u)
i
i1
i2
u
a、解析法： 、解析法：
KVL: KCL:
u1
u2
u = u1 = u2
i = i1 + i2 = g1 ( u) + g 2 ( u) = g ( u)
IS
u ①当 I S = 1 Α 时， = f (1 ) = 101 V u = f (i ) u 当 I S = 3 Α 时， = f ( 3 ) = 309 V
f ( 3 ) ≠ 3 f (1 ) ，齐性定理不成立。 齐性定理不成立。 不成立
②
f ( I 1 + I 2 ) = 100 ( I 1 + I 2 ) + ( I 1 + I 2 ) 2
压控型电阻 ②压控型电阻
i = g (u)
i
i0
“N形”特性曲线，隧道二极 形 特性曲线， 管
电阻中的电流是电阻两端电压的 单值函数，反函数不一定单值。 单值函数，反函数不一定单值。 反之， u 每一个 u 对应唯一的 i 。反之， 对同一个 i ，可能有多个 u 与之 对应。 对应。
注意到随 的变化，切线斜率时正时负，负时为负电阻， 注意到随 u 的变化，切线斜率时正时负，负时为负电阻，此段 为有源，且为单向性元件。测取这些元件的伏安特性时， 为有源，且为单向性元件。测取这些元件的伏安特性时，必须 改变一个电压，测一个电流，不能反。 变电压源 变电压源) 改变一个电压，测一个电流，不能反。(变电压源
u = UQ i = IQ
17-非线性电路
ig(u)u02
(u0) (u0)
i0
+ 1 6V
iS i + u
课堂练习
求通过电压源的稳态电流i(t)。已知： uS(t)=10+0.1sint V，非线性电阻的伏安特性为：
ig(u)0.7u0.00 u31
i
+
i0
uS
1F
1、解析法
条件：非线性元件的伏安关系能写成确定的
函数式：u=f1(i) 或 i=g1(u) ---。
方法： 1）将线性部分作戴维南/诺顿等效变换，得出端
口u-i的关系： u=f2(i) 或 i=g2(u) ---；
2）联立非线性元件的方程求解，即可得此 时的工作点 u、i。
２、图解法
二、小信号分析法
解题步骤：
Ro i
Uo
+
1、求出非线性电阻静态工作 点的值（UQ、IQ）及响应的 直流分量；
+ uS(t)
u
i=g(u)
2、确定交流电阻Rd或Gd；
3、确定交流小信号对应的响
应分量；
4、总响应=直流分量+交流 分量
例1：计算电压u、电流i。
i
已知：
IS iS(t) + RS u
Ro i U 0u S(t)R 0i(t)u (t)
+
u i=g(u)
非线性电阻
静态工作点的确定
Ro i
+
Uo
u i=g(u)
1、解析法
Ui o
g
Roi (u)
u
( UO，IO )
2、图解法
第十七章 非线性电路简介
第十七章非线性电路简介非线性元件中的电压和电流之间的关系是非线性的，有时不能用函数是来表示，要靠对应的曲线来表征其特征，这一特点是分析非线性电路的困难所在。
与线性电路的一个根本区别就是不能使用叠加定理和齐性定理。
但是分析非线性电路的基本依据仍然是KCL、KVL和元件的特性方程。
一、基本要求1、掌握非线性电阻元件的电特性；2、掌握含非线性电阻电路方程的建立；3、掌握非线性电路的计算方法—图解法和小信号分析法。
二、重点和难点重点：1. 非线性元件的特性；2. 非线性电路的小信号分析法；难点：非线性电阻电路方程的列写。
三、学时安排共计4学时四、基本内容§17.1 非线性电阻1．非线性电路在线性电路中, 线性元件的特点是其参数不随电压或电流而变化。
如果电路元件的参数随着电压或电流而变化, 即电路元件的参数与电压或电流有关, 就称为非线性元件, 含有非线性元件的电路称为非线性电路。
实际电路元件的参数总是或多或少地随着电压或电流而变化, 所以严格说来, 一切实际 电路都是非线性电路。
但在工程计算中，可以对非线性程度比较弱的电路元件做为线性元件来处理, 从而简化电路分析。
而对许多本质因素具有非线性特性的元件，如果忽略其非线性特性就将导致计算结果与实际量值相差太大而无意义。
因此，分析研究非线性电路具有重要的工程物理意义。
2．非线性电阻线性电阻元件的伏安特性可用欧姆定律来表示, 即Ri u =, 在 i u -平面上它是通过坐标原点的一条直线。
非线性电阻元件的伏安关系不满足欧姆定律, 而是遵循某种特定的非线性函数关系。
非线性电阻在电路中符号如图 17.1（a ）所示 。
图 17.1(a) 图 17.1 (b) 图 17.1 (c)（1）电流控制型电阻： 非线性电阻元件两端电压是其电流的单值函数, 它的伏安特性可用下列函数关系表示：)(i f u =其典型的伏安特性如图17.1（b ）所示 , 从其特性曲线上可以看到: 对于同一电压值, 与之对应的电流可能是多值的。
第17章非线性电路
二、回路电流方程的列写 (非线性电阻为流控电阻 )
i1
R1
+
u1
+
i2
U s il1
u2 R2 il2
非线性电阻特性:
i3 +
u3 20i31 3
u3
u1 u2 Us
u2 u3 0
u1 R1il1 u2 R2 (il1 il 2 ) u3 20il123
i
对每一电压值有唯一的电流与
之对应，对任一电流值则可能
有多个电压与之对应(不唯一)。
隧道二极管( 单极晶体管 )具有
0
u 此伏安特性。
压控电阻的伏安特性呈“N”型。
“S”型和“N”型电阻的伏安特性均有一段下倾段，在 此段内电流随电压增大而减小。
i
i
0
u0
u
3 单调型电阻：伏安特性单调增长或单调下降。
P点 (U0 , I0 ) 称为上述电路的静态工作点。
即： Us Rs I0 U0
(2)
I0 g(U0 )
(3)
当考虑信号电源 us ( t ) 存在时( U s 仍作用)，此时 解答可视为在工作点 P(U0 , I0 ) 处产生了电压、电 流的扰动(或称变化量) u1( t ),i1( t，) 此时电路解 答可表示为：
+
u2 (i)
i i1 i2 u u1 u2
u
u'
u1'
u'2
u1'
o
i'
u(i ) u2 (i) u1 (i )
i
在每一个 i 下，图解法求 u ，将一系列 u、i 值连成 曲线即得串联等效电阻 (仍为非线性)。
电路分析理论多媒体课件第17章 非线性电路(6h)
第17章 非线性电路勤学 务实 园融 卓越宋绍民1本章内容提要 概述 非线性电阻 非线性电容和非线性电感 非线性电路的方程 小信号分析法 分段线性化分析法 补充内容Circuit Analyse21、非线性电路概述1、非线性元件与非线性电路9 非线性元件：参数随着电压或电流而变化(即参数与电压或电流有关)的电路元件。
9非线性电路：至少含有一个非线性元件的电路。
2、研究非线性电路的意义9 实际电路元件和实际电路本质上都具有非线性，若忽略其非线性特征，则发生在电路中的某些物理现象将无法得以解释，因而非线性电路的研究具有 重要现实意义。
3、研究非线性电路的依据9 同线性电路一样，分析非线性电路基本依据仍然是KCL、KVL和元件的伏安特性。
Circuit Analyse32、非线性电阻1、非线性电阻的概念9 定义：伏安关系不满足欧姆定律而遵循某种特定的非线性函数关系的元 件，元件参数随电压或电流变化。
9 电路符号：i +R u –如 u=f (i)i0Circuit Analyseu42、非线性电阻2、非线性电阻的种类9 电流控制电阻： • 电阻两端电压是其电流的单值函数。
•伏安关系：u = f (i ) •对于同一电压，有多个电流值与之对应。
•例如，某些充气二极管就具有这样的特性。
9 电压控制电阻： • 电阻中电流是其两端电压的单值函数。
•伏安关系：i = f (u) •对于同一电流，有多个电压值与之对应。
•例如，某些隧道二极管就具有这样的特性。
Circuit Analyse N和S型都有一下倾段—电流随电压增大而减少i0“S”形特性曲线ui下 倾 段0“N”形特性曲线u52、非线性电阻9 单调型电阻： • 既是流控型又是压控型。
• 伏安关系：单调增长或单调下降。
•例如，PN结二极管就有这样的特性。
伏安特性： i = I s (e −1) u = kT ln( 1 i +1) q Isqu kTii + u – 0 u(1) (2)式中：k—波尔兹曼常数(1.38 ×10–23J/k)； IS —常数，反向饱和电流； q — 电子电荷(1.6×10–19C)； T — 热力学温度。
非线性电路
磁通控制电感 或
＝f (i )
电流控制电感
非线性电感的电路符号和 i 特性曲线如图所示。
2.静态电感L和动态电感Ld
静态电感 动态电感
L
i
|P
L
d d |P di
注：
电感也可以是单调型的，但 带有铁芯的电感具有回线形 状，如图示。
§17-3 非线性电路的方程
u f1 (i1 ) f 2 (i2 ) f (i)
（2）非线性电阻的并联 i
+ u
i1
+ i2
u1
+
u2
i1 f1 ( u1 )
i2 f 2 ( u2 ) i i1 i2
i
i' ' i2
' i1
f (u)
f 1 ( u) f 2 ( u)
f1 ( u1 ) f 2 ( u2 )
(u 0)
10 3u u
2
UQ 2 V, IQ 4 A
2u U
Q 2
(2) 求出工作点处的小信号等效电路 工作点处动态电导 Gd di 则动态电阻
1 1 Rd Ω Gd 4
du
UQ
4S
小信号等效电路如图：
is ( t ) 0.5 u1 ( t ) cos t Gs Gd 7 0.0714cos t V
（2）动态分析
当 | us ( t ) | U 0时，U 0＝0，即us ( t )单独作用。
us ( t ) R0 i1 ( t ) Rd i1 ( t )
由上式得工作点（UQ,IQ）处的小信号等效电路如图示。
第十七章 非线性电路简介
第十七章 非线性电路简介17．1 基本概念17．1．1 非线性元件与非线性电路 1． 非线性电阻（1） 定义：线性电阻的电压、电流关系是i u -平面上一条过原点的直线，否则称为非线性电阻，用函数)(i u u =或)(u i i =来表示。
（2） 分类：根据电压与电流的函数关系，非线性电阻可以区别成:电压控制型（电流是电压的单值函数，简称压控型）、电流控制型（电压是电流的单值函数，简称流控型）、单调型（电压是电流的单调函数）。
2． 非线性电感（1） 定义：线性电感的磁链、电流关系是i -ψ平面上一条过原点的直线，否则称为非线性电感，用函数)()(ψψψi i i ==或来表示。
（2） 分类：根据磁链与电流的函数关系，非线性电感可以区别成：电源控制型（磁链是电流的单值函数，简称流控型）、磁链控制型（电流是磁链的单值函数，简称链控型）、单调型（磁链是电流的单调函数）。
3． 非线性电容（1） 定义：线性电容的电荷、电压关系是u q -平面上一条过原点的直线，否则称为非线性电容，用函数)()(q u u u q q ==或来表示。
（2） 分类：根据电荷与电压的函数关系，非线性电容可以区别成：电压控制型（电荷是电压的单值函数，简称压控制）、电荷控制型（电压是电荷的单值函数，简称荷控制）、单调型（电荷是电压的单调函数）。
4． 非线性电路及其工作点用非线性方程描述的电路称为非线性电路，通常是指含有非线性元件的电路；不含动态元件的非线性电路称为非线性电阻电路，描述非线性电阻电路的方程是非线性代数方程；含有动态元件的非线性电路称为非线性动态电路，描述非线性动态电路的方程是非线性微分方程。
工作点：非线性电路的直流解称为工作点，它对应特性曲线上的一个确定位置。
5． 非线性元件的静态参数和动态参数（1） 静态参数：工作点与原点相连的直线的斜率，即：静态电阻：)()(Q i Q u RQ=，静态电感：)()(Q i Q L Q ψ=，静态电容：)()(Q u Q q C Q=。
第17章 非线性电路
①+
i1 G1
i3
u3
− i 3 + i4 + i5 = 0 − i4 − i 2 − I s = 0
3 i3 = 5 u 3
② i4 − + +
u5
u4
−
③
Is
+
Us
1 i5 = 15 u 5 5
−i
将下列式子代入方程
i4 = 10 u 1 3 4
−
5
u 3 = u n1 − u n 2
u4 = un2 − un3
代入方程 U s + us (t ) = Rsi + u
得
US+ uS(t )= RS [IQ + ∆ i(t) ]+ UQ + ∆ u(t)
又US= RSIQ + UQ为直流工作状态
1 u S ( t ) = RS ∆ i ( t ) + ∆ U ( t ) = RS ∆ i ( t ) + ∆i ( t ) Gd = RS ∆i ( t ) + Rd ∆i ( t )
i '1
i2 = f 2 (u )
u'
u
10
page
七、含有一个非线性电阻元件电路的求解 先求出线性含源电阻网络的戴维宁等效电路， 先求出线性含源电阻网络的戴维宁等效电路，再用图解法求解
a
线性 含源 电阻 网络
a i i
+
u
−
R + U −
0 0
+
u
−
b
左右一端口网络分别满足以下关系式： i u=f(i) u =U 0− R0i U0 两关系式同时满足两条伏安特性交点，即 R0 U Q =U 0− R0 I Q U =f(I ) I
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第十七章 非线性电路简介17.1 学习要点含有非线性元件的电路称为非线性电路。
本章简要介绍非线性电阻元件及含有非线性电阻电路的分析方法。
要求理解非线性电阻元件的特性，掌握非线性电路的分析方法—小信号分析法。
17.2 内容提要 17.2.1 非线性电阻1.定义含有非线性元件的电路称为非线性电路，实际元件都是非线性的，而当其非线性程度比较薄弱时，即可作为线性元件来处理。
线性电阻元件的伏安关系满足欧姆定律Ri u =，在i u -平面上是一条通过原点的直线。
非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，在i u -平面上不是直线。
非线性电阻元件的图形符号如图17.1（a ）所示。
（1）若电阻元件两端的电压是其电流的单值函数，这种电阻称为电流控制型的非线性电阻，其伏安关系可表示为)(i f u = （17-1）它的典型伏安特性如图17.1（b ）所示。
（2）如果通过电阻的电流是其两端电压的单值函数，这种电阻称为电压控制型的非线性电阻，其伏安关系可表示为)(u g i = （17-2）它的典型伏安特性如图17.1（c ）所示。
2.动态电阻非线性电阻元件在某一工作状况下（如图17.2中P 点）的动态电阻为该点的电(c)(a)(b)i图17.1uiu 0压对电流的导数，即didu R d =图17.2中P 点的动态电阻正比于tan β（区别于其静态电阻R ，R 正比于tan α）。
3.静态工作点如图17.3（a ）所示电路由线性电阻R 0和直流电压源U 0及一个非线性电阻R 组成（其虚线框也可由复杂网络等效而得）。
设非线性电阻的伏安特性如图17.3（b ）所示，并可表示为式（17.2）。
根据KVL 和KCL ，对此电路列方程有 u i R U +=00或 i R U u 00-= （17-3） 是虚线方框一侧的伏安特性，如图17.3（b ）中直线AB 所示。
直线AB 与伏安特性)(u g i =的交点（U Q ，I Q ），同时满足式（17-3）和式（17-2），所以有：Q Q U I R U +=00 )(Q Q U g I =交点Q （U Q ，I Q ）称为电路的静态工作点。
由上述分析可知：Q 点可通过图解法（作直线AB 与伏安特性)(u g i =或)(i f u =的交点）或解析法（联立求解i R U u 00-=及非线性电阻的伏安特性式）求出。
+ (b)1'B i - (U Q ,I Q )R U A 1 i =g (u )-R 0Q+ O(a) uU 0 Ru iU 0 图17.3uα i βO P图17.217.2.2 小信号分析法1.适用范围求解非线性电路有多种方法，如小信号分析法、分段线性化法等。
如果电路中有作为偏置电压的直流电源U 0作用，同时还有时变输入电压)(t u S 作用，如图17.3（a ），并且在任何时刻有)(0t u U S 》，则把)(t u S 称为小信号电压，分析此类电路即可用小信号分析法。
2.解题步骤（1）求静态工作点；（2）求动态电阻）（或动态电导d dG R ； （3）画出小信号等效电路并由此求出微小偏差量； （4）求出电路的全解（静态工作点的值加微小偏差量）。
17.3 例 题例17.1 如图17.4 (a)，已知：A 10=S I ，A cos t i S ω=，Ω=10R ， 非线性电阻的伏安特性为 )0( 22>=u u i ，试用小信号分析法求电压u 。
解：（1）求静态工作点 在图17.1（a ）中，0=S i 时，Q Q S u I I R +=又因为22 (0)Q Q Q I u u =>，联立二式并代入已知值得01022=-+Q Q U U ，解得 V 2=Q U A 4=Q I （2）求d G 动态电导s 8222=⨯====Q U u d u dudiG +-u (b)R d-i s + R 0 (a)i I si su 1 i 1 R 0 图17.4或 Ω=81d R（3）画出小信号等效电路如图17.4（b ）（4）由小信号等效电路可得微小偏差量V cos 91) //R (R d 01t i u S ω=⨯=电路的解为112cos 9Q u U u t ω=+=+（）V 例17.2 如图17.5(a)，已知：V 250=U ，V sin t u S =，Ω=20R ， 非线性电阻的伏安特性为 i i u 2513-=(0>i )，试用小信号分析法求电流i 。
解：(1) 求静态工作点 在图17.5（a ）中，0=S u 时，00U U I R Q Q =+ 即 252=+Q Q U I又因为 Q Q Q I I U 2513-= ， 联立二式解得A 5=Q I （V 15=Q U ）(2) 求d R 动态电阻Ω=-=== 1325352i d i di du R (3) 画出小信号等效电路如图17.5（b ） (4) 由小信号等效电路可得微小偏差量A sin 151) R (R /d 01t u i S =+= + - u (b)R d-i s + R 0 (a)i I si su 1 i 1 R 0 图17.4+ R d -(a)图17.5u 1 + u s R 0-(b)i 1 -u + u sU 0+ iR电路的解为115sin 15Q i I i t =+=+（）A 17.4 习题选解17.1 如果通过非线性电阻的电流为A cos ）（t ω，要使该电阻两端的电压中含有4ω角频率的电压分量，试求该电阻的伏安特性，写出其解析表达式。
解： 由题意知，非线性电阻中的电流为A cos ）（t i ω=而 222cos4 2cos (2)12[2cos 1]1t t t ωωω=-=--（）（） )(cos 8)(8cos -1 42t t ωω+=因此若非线性电阻的伏安关系为42881i i u +-=则该电阻两端的电压的角频率为 4ω。
该题表明非线性电阻元件在电路中具有倍频作用。
例题： 设有一非线性电阻，其伏安关系为32)(i i i f u +==（1）、分别求出mA 10A 1021==i i 、时对应的电压21u u 、的值； （2）、设)(2112i i f u +=，问12u 是否等于)(21u u +？ 解： （1）A 101=i 时V 102010 10231=+⨯=u mA 102=i 时0.020001V )10( 1023-222=+⨯=-u从上述结果看出V 10201=u 远大于20V ，0.020001V 2=u 与0.02V 很接近，这表明如果把这个电阻作为2Ω线性电阻，当电流较小时，引起的误差不大。
（2）假设)(2112i i f u += 则)3 )322))221212121213223113212112i i i i u u i i i i i i i i i i i i u +++=+++++=+++=（（（（不等于)(21u u +。
这表明非线性电阻元件不满足叠加定理。
17.2 写出图示电路的结点电压方程，假设电路中各非线性电阻的伏安特性为2/333222311,,u i u i u i ===。
解：由KCL 对结点a ,b 列出方程(2)4(1) 123221=+-=+i i i i将各支路电流用结点电压表示2/32/33322223311)(bb a au u i u u u i u u i ==-====。
将上述各支路电流代入到方程式（1）和（2）中，得3223/2()12()4a ab a b bu u u u u u+-=--+=可见，电路的方程为一组非线性的代数方程。
+ 4A- u 3 + 12Ab - u 1 - 题17.2图a + i 1i 2i 3u 217.10 如题17.10图(a)所示，已知：V 50=U ，cos V S u t ω=（t ）（），Ω=20R ， 非线性电阻的伏安特性为：32i i u += (0>i )，现已知当 0=）（t u S 时，回路中的电流为1A 。
如果) ( cos t t u S ω=）（V ，试用小信号分析法求回路中的电流i 。
解：(1) 由已知电路的静态工作点为 1=Q I A(2) 工作点的d R 动态电阻为Ω=+====53212i I i d i didu R Q(3) 画出小信号等效电路如题17.10图（b ） (4) 由小信号等效电路可得微小偏差量10d1/(R R )cos( )A 7S i u t ω=+=（t ） 所以原电路中的总电流为11[1cos( )]7Q i I i t ω=+=+ AR d(a)题17.10图 + u s R 0-(b)i 1 -u + u s- + u 0iR17.11 如题17.10图(a)所示，已知：V 90=U ， Ω=20R ， 非线性电阻的伏安特性为312 V 3u i i =-+，如果t t u S cos =）（V ，试求电流i 。
解：(1) 求电路的静态工作点令0=）（t u S ，由KVL 得 00U u i R =+再将非线性电阻的伏安特性312 3u i i =-+，代入到上式中，得9 31223=+-i i i解得A 3=Q I ， V 3=Q U(2) 工作点的动态电阻为Ω=-==== 7232i I i d i didu R Q(3) 画出小信号等效电路如题17.10图（b ） (4) 由小信号等效电路可得微小偏差量10d1/(R R )cos A 9S i u t =-+=-（t ） 所以原电路中的总电流为11cos 9Q i I i t =+=-（3） AR d(a)题17.10图 + u s R 0-(b)i 1 -u + u s- + u 0iR 0。