机理建模方法
数学建模之机理模型建立的平衡原理
k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼， 不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3：棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题：
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3
机理建模名词解释
机理建模名词解释
机理建模是一种数学建模方法，用于描述和预测化学反应的动力学过程。
它基于化学反应的分子层面机理，考虑反应物之间的相互作用和反应过程中的中间产物，从而建立反应速率方程。
机理建模可以用于研究各种化学反应，包括燃烧、氧化、催化等，以及其它领域中的反应，如大气化学、生物化学等。
机理建模的核心是反应速率方程，它描述了反应物浓度和反应速率之间的关系。
反应速率方程通常采用Arrhenius方程形式，其中包括反应物的浓度、温度和反应物的活化能等参数。
机理建模还需要考虑反应物之间的相互作用和反应过程中的中间产物，这些都可以通过实验数据和计算方法来确定。
机理建模的应用范围非常广泛，包括燃烧、大气化学、催化、生物化学等领域。
在燃烧领域，机理建模可以用于研究燃料的燃烧过程、污染物的生成和控制等问题；在大气化学领域，机理建模可以用于研究大气中的化学反应、污染物的生成和传输等问题；在催化领域，机理建模可以用于研究催化反应的机理和催化剂的设计等问题；在生物化学领域，机理建模可以用于研究生物分子的反应机理和代谢途径等问题。
总之，机理建模是一种非常重要的数学建模方法，可以用于研究各种化学反应的动力学过程，为实际应用提供理论基础和指导。
第5章机理分析建模法
1第四章 机理分析建模法机理分析方法立足于揭示事物内在规律机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.的认识来源对现实对象 *与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设). 模型特点：有明确的物理或现实意义8.1 微分方程的建立实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律：y=y(t).建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程23在工程实际问题中““改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.建立方法常用微分方程运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法应用分析法机理分析法一.运用已知物理定律建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍例8.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m的介质中时，T的变化速率正与周围介质的温度差..比于T与周围介质的温度差45分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,,保持为保持为mm ，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，“T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差” 翻译为成正比与m T dtdT −数学语言6⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT 建立微分方程其中参数k >0，m =18. 求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,代入条件，求得c=42 ，k=－ , 最后得2116ln 31,0,≥+=−t ce m T kt 或7最后得 T (t )=18+42 , t ≥0. t e2116ln 31结果 ：T(10)=18+42 =25.87℃，102116ln 31×e该物体温度降至300c 需要8.17分钟.二. 利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系建立有关变量间的相互关系..例8.1.2人口增长模型对某地区时刻t t的人口总数P(t)，除考虑个对某地区时刻体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响影响..89 在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：{Δt 时间内的人口增长量}={Δt 内出生人口数}－{Δt 内死亡人口数}+ {Δt 内迁入人口数}－{Δt 内迁出人口数}{Δt 时间内的净改变量}={Δt 时间内输入量}－{Δt 时间内输出量时间内输出量}}般化更一基本模型不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程.输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立10例8.1.28.1.2 战斗模型两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：预测哪一方将获胜？1.1. 预测哪一方将获胜？估计获胜的一方最后剩下多少士兵？2.2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？兵才能赢得这场战斗？11问题分析设x(t) ) ——t时刻X方存活的士兵数；y(t) ) ——t时刻Y方存活的士兵数；假设：1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队a 名士兵；3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵；1213即有 Δx =－a y Δt ,同理 Δy =－b x Δt ,令Δt 0, 得到微分方程组：0,>−=a ay dtdx 0,>−=b bx dtdy {Δt 时间内X 军队减少的士兵数 }= {Δt 时间内Y 军队消灭对方的士兵数}平衡式14三. 微元法基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.例8.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为积为11平方厘米平方厘米. . . 试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间..152米对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t ).2 ．整个放水过程无能量损失。
数学建模讲座机理分析方法及例子1
不稳定，轨道{xn}趋向稳定点
■ 当3<a<1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动,
例 a =3.2
x2k-1 →0.799455
x2k →o.513045
这两个数满足
x f 2 ( x), x f ( x)
也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期
n = 0,1,2,…
● 数值迭代（ a 逐渐增加，迭代会有何结果）
1．倍周期分叉现象
■ 当0<a <1时，由于0<xn<axn+1
xn →0
物种逐渐灭亡
■ 当1<a<3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于
x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点
（周期1点)例：a =1.5时 xn → 1/3.
~总和生育率
f
(t )
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,
t)
p(r , t )dr
人口发展方程和生育率
f
(t)
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,t)
p(r,
t)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p0
约35年增加一倍，与1700－1961年世界人 统口计结果一致
与近年统计结果有误差，由a >1,xn趋向无穷， 模型在人口长期预测方面必定是失效的.
● Logistic模型
.
生存资源是重要的因素，修改模型为：
xn+1 － xn= r xn－ b xn2 － b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则
机理建模法概念
机理建模法概念
机理建模法指的是通过对系统的物理、化学、生物或其他科学原理进行建模，来描述和解释系统的行为和性质的一种方法。
它通过对系统的组成、相互作用和动力学过程进行分析和描述，从而揭示系统中的基本机理和规律。
机理建模法的主要目标是建立一个能够准确反映系统行为的数学模型，通过模拟和预测系统的响应、优化系统设计和控制，并提供对系统的深入理解。
这种建模方法广泛应用于各个领域，如物理、化学、生物学、工程学等，用于研究和解决各种科学和工程问题。
在机理建模法中，常用的建模工具包括数学方程、动力学模型、随机过程模型等。
通过对系统的基本原理和机制进行建模，可以推导出系统的动态方程和关联方程，从而对系统的行为进行定量描述。
这种建模方法需要充分理解系统中的各种物理和化学原理，以及它们之间的相互作用和影响，从而能够比较准确地预测系统的响应和性质。
需要注意的是，机理建模法注重对系统内部机制和原理的建模和理解，而不是通过大量的观测数据来进行直接描述和预测。
因此，它通常需要对系统进行深入的研究和实验验证，以验证模型的准确性和可靠性。
机理模型
§3.3 平衡原理与机理模型一. 平衡原理自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。
二. 机理模型在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。
三. 微分方程模型微元法：在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系, 再利用微分学的思想进一步处理它, 得到以微分方程的形式描述的数学模型。
例1. 人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。
即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
假设1. 人群个体同质。
令N(t)表示t时刻的人口数。
假设2. 群体规模大。
N(t) 连续可微.假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
平衡关系：人口数在区间[t，t+ ❒t ]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。
令B(t, ❒t, N), D(t, ❒t , N) 分别表示在时间区间[t，t+ ❒t ]内生育数和死亡数, 则有N(t+∆t)-N(t)=B(t, ∆ t,N)-D(t, ∆ t,N)假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。
（生育率和死亡率）生育率b(t, ❒t, N) = B(t, ❒t, N)/N, 死亡率d(t, ❒t, N) = D(t, ❒t, N)/N记增长率为 R(t, ∆ t,N)= b(t, ∆ t,N)-d(t, ∆ t,N) 则有 N(t+∆t)-N(t)=R(t, ∆ t,N)N 将R(t, ❒t,N)关于❒t展开. 由于R(t, h, N)|h=0=0，所以两边除以❒t, 并令❒t →0, 得到 dN/dt=r(t, N)N假设5. 群体增长恒定。
（r与 t 无关） dN/dt=r(N) N假设6. 个体增长独立。
（r 与 N 无关） dN/dt=r N给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus 模型) N(t)=N0e rt在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有 N(k+1) = e r N(k )Maithus: “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。
软测量技术
对辅助变量的选择通常遵循如下原则： （1）灵敏性。能对过程输出（或不可测扰动）作出快速反应。 （2）特异性。能对过程输出（或不可测扰动）之外的干扰不敏感。 （3）工业适应性。工程上易于获得并达到一定的测量精度。 （4）精确性。构成的估计器达到要求的精度。 （5）鲁棒性。构成的估计器对模型误差不敏感。
传感检测技术基础
软测量技术
软测量技术主要包括四部分的内容：（1）辅助变量的选取；（2）数 据处理；（3）软测量模型的建立；（4）软测量模型的自校正及维护。
1.1 辅助变量的选择
辅助变量的选择非常重要，因为不可测的主导变量需要由这些辅助变 量推断出来；这其中包括辅助变量的类型、数目及测点位置三个关键点。 这三点是互相关联的，在实际中受到经济性、维护的难易等额外因素的制
（2）辨识建模方法
1）动态软测量模型的间接辨识 2）静态软测量模型的辨识——回归分析法 3）非线性软测量模型的建立
1.4 软测量模型的自校正及维护
工业生产过程的对象特征由于工艺改造、原料特性变化、操作条件改 变等原因都会发生变化。如果软测量模型不作修正，测量精度必然下降， 因此模型采用在线自校正和不定期更新的两级学习机制。 （1）在线自校正。根据对被测量参数的离线测量值（人工采样，实验室 分析）与软测量中主导变量估计值之间的偏差来对模型进行在线修正，使 软测量估计器能跟踪系统特性的变化，最简便的在线校正算法为常数项修 正法。 （2）模型更新。当对象特性发生较大变化，即使软测量估计器进行在线 学习也无法保证估计值的精度时，则必须使用已积累的历史数据进行模型
传感检测技术基础
软测量建模就是设法根据某种最优原则由可测变量得到无法直接测量 的主导变量的估计值。软测量模型的建立方法主要有机理建模方法和辨识
机理分析建模概要
———成都大学
机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系，找出反映内部机理的规律。
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对现实对象的认识来源： ➢与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识； ➢通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的 猜想(模型假设)。
模型特点：有明确的物理或现实意义
在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。
(一) 微分方程的建立
建立常微分方程模型的常用方法：
➢ 运用已知物理定律 ➢利用平衡与增长式 ➢运用微元法 ➢运用分析法
ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记 r 1002 (100 h)2 200h h2
令Δt 0, 得 dV=－πr2 dh， (2)
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
0.62 2ghdt (200h h2 )dh
dT
k(T
m)
dt
T (0) 60
其中参数k >0，m=18，求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c 或 T m cekt (t 0)
代入条件，求得c=42 ，
k
1 3
ln 16 21
,
最后得
1 ln 16 t
T (t ) 18 42e 3 21 (t 0)
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单 的模型是：
{Δt时间内的人口增长量} ={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}