拉弦音乐滤波去噪——使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器
巴特沃斯滤波器
摘要巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。
巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。
在振幅的对数对角频率的波得图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。
关键词巴特沃斯滤波器;MA TLAB;脉冲响应不变法;双线性变换法引言数字滤波是语音和图像处理、模式识别、谱分析等应用中的一个基本处理算法，在数字信号处理中占有极其重要的地位。
研究了基于Matlab环境下的IIR 数字滤波器的设计与实现，给出了相应的Matlab函数命令，并将滤波器应用于图像噪声的去除，取得了不同的效果，就其结果做了进一步的解释和说明。
数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。
数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。
1设计要求及设计步骤1.1设计要求设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。
指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。
试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。
1.2设计方案低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用式求出滤波器的阶数N。
(2)按照式，求出归一化极点pk，将pk代入式，得到归一化传输函数Ha(p)。
(3)将Ha(p)去归一化。
巴特沃斯数字低通滤波器课程设计
巴特沃斯数字低通滤波器课程设计目录1.题目.......................................................................................... .22.要求 (2)3.设计原理 (2)3.1 数字滤波器基本概念 (2)3.2 数字滤波器工作原理 (2)3.3 巴特沃斯滤波器设计原理 (3)3.4脉冲响应不法 (5)3.5实验所用MATLAB函数说明 (7)4.设计思路 (9)5、实验内容 (9)5.1实验程序 (9)5.2实验结果分析 (13)6.设计总结 (13)7.参考文献 (14)一、题目：巴特沃斯数字低通滤波器二、要求：利用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器，通带截止频率100HZ,阻带截止频率120Hz,采样频率1000HZ，通带最大衰减为0.5HZ，阻带最小衰减为10HZ，画出幅频、相频相应曲线。
并假设一个信号x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中f1=50HZ,f2=200HZ。
用此信号验证滤波器设计的正确性。
三、设计原理1、数字滤波器的基本概念所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤波器除某些频率成分的数字器件或程序，因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是的形式和实现滤波方法不同。
正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波处理精度高、稳定、体积小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实验模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。
如果要处理的是模拟信号，可通过A\DC和D\AC,在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。
2、数字滤波器的工作原理数字滤波器是一个离散时间系统，输入x(n)是一个时间序列，输出y(n)也是一个时间序列。
如数字滤波器的系统函数为H(Z),其脉冲响应为h(n),则在时间域内存在下列关系y(n)=x(n) h(n)在Z域内，输入输出存在下列关系Y(Z)=H(Z)X(Z)式中，X(Z),Y(Z)分别为输入x(n)和输出y(n)的Z 变换。
巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯低通滤波器的设计1、巴特沃斯滤波器的介绍巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为2221|()|1NH j C λλ=+其中C 为一常数参数，N 为滤波器阶数，λ为归一化低通截止频率,/p λ=ΩΩ。
式中N 为整数，是滤波器的阶次。
巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N 阶低通滤波器在0Ω=处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。
巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图a 所示。
滤波器的特性完全由其阶数N 决定。
当N 增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由a 式决定了在p Ω=Ω处的幅度函数总是衰减3dB ，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。
滤波器的振幅特性对参数N 的依赖关系如图a 所示。
设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为λ，归一化传递函数为()H p ，其中p j λ=，则可得：2221()1(1)N NpjH j C pλλ==+- 由于p图a 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性221()()()1()a a jsNcH s H s A s j Ω=--=Ω=+Ω所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。
2、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标p λ：通带截止频率； p α：通带衰减，单位：dB ；s λ：阻带起始频率；s α：阻带衰减，单位：dB 。
说明：（1）衰减在这里以分贝（dB ）为单位；即222110lg10lg 1()NC H j αλλ⎡⎤==+⎣⎦（2）当3dB α=时p C Ω=Ω为通常意义上的截止频率。
（3）在滤波器设计中常选用归一化的频率/C λ=ΩΩ，即1,p sp s ppλλΩΩ===ΩΩ图b 为巴特沃斯低通滤波器指标3、设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：（1）计算归一化频率1p p pλΩ==Ω，ss pλΩ=Ω。
（2） 根据设计要求按照210101pC α=-和lg lg saN λ=其中a =特沃斯滤波器的参数C 和阶次N ；注意当3p dB α=时 C=1。
基于matlab脉冲响应不变法的Butterworth数字滤波器设计
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采样周期为 ｒ ． ２ 。 设计程序如下 ：
’ Ｉ ＝２ ’ ：
｛ ．
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％设置采样周期为 ２
ｆ ｓ ＝ｌ Ｉ Ｔ； Ｗｐ ＝ ０ ２ ５ ’ ｐ ｉ ｔ Ｔ；
Ｗｓ ＝ ０ ３ ５ ｐ ｉ ｔ Ｔ；
％采样频率 为周期倒数 ％设置归一化通带和阻带截止频率 ｎ ； ｌ ｕ 曲 四 菩
ｓ ｕ ｂ ｐ ｌ ｏ ｔ （ ２ ， １ ， ２ ） ；
％调用脉冲响应不变法 ％返 回频率响应 ％ 绘 出巴特沃斯数字低通滤波器的幅频特性曲线
ｐ ｌ ｏ ｔ （ Ｗ／ ｐ ｉ ． ｂｓ ａ （ Ｈ ｚ ） ／ ｂｓ ａ （ Ｉ ｑ ｚ （ １ ） ） ） ；
ｓ ｎａ ｏ ｎ；
利用 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ设计滤波器方法简单 、 快捷直观 。本文运用脉冲 响应不变法 ， 利用 ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ 设 计了 Ｂ ｕ ｔ ｔ ｅ ｒ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ数字滤 波器 ， 程序运行 结果符合设计技术指标要求 ， 取得 了较理想的实验效果。 参 考 文 献 【 １ 】 赵晓群． 巴特 沃斯低通滤波器的 实现 方法研 究［ Ｊ 】 ． 大连民族学院学 报， ２ ０ １ ３ ， １ ５ （ １ ） ： ７ ２ － ７ ５ ． 【 ２ ］ ５ － 彬． Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ数 字信 号 处 理［ Ｍ 】 ． 北 京： 机 械 工 业 出版 社 ， ２ ０ １ ０ ： １ ０ ５ 一
【 Ｂ ， Ａ ］ ＝ ｂ ｕ ｔ ｔ ￣ ｒ （ Ｎ ， Ｗｃ ， ’ ｓ ’ ） ；
Ｗ＝ ｌ ｉ ｎ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ （ ０ ， ｐ ｉ ， ４ ０ ０ Ｐ ｉ ） ；
ｈ ｆ ＝ ｆ ｒ ｅ ｑ ｓ ， Ａ ， Ｗｌ ；
脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器课程设计
脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器课程设计关键字：巴特沃斯低通滤波器脉冲响应不变法第二章引言滤波器设计在电子工程、应用数学和计算机科学领域都是非常重要的内，。
而低通滤波器在信号处理中的作用等同于其它领域如金融领域中移动平均数（movingaverage)所起的作用，低通滤波器有很多种，其中，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。
在振幅的对数对角频率的波得图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。
巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。
只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。
其他滤波器高阶的振幅对角频率图和地结束的振幅对角频率有不同的形状。
第三章基本原理3.1滤波器的基本理论3.1.1滤波器的分类滤波器分两大类：经典滤波器和现代滤波器。
经典滤波器是假定输入信号中的有用成分和希望取出的成分各自占有不同的频带。
这样，当通过一个线性系统（即滤波器）后可讲欲去除的成分有效的去除。
现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。
经典滤波器分为低通、高通、带通、带阻滤波器。
每一种又有模拟滤波器（AF）和数字滤波器（DF）。
对数字滤波器，又有IIR滤波器和FIR滤波器。
IIRDF的转移函数是：FIRDF的转移函数是：FIR滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计，而IIR滤波器目前最通用的方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法进行设计。
3.1.2滤波器的技术要求低通滤波器：：通带截止频率：阻带下限截止频率：通带允许的最大衰减：阻带允许的最小衰减（，的单位dB）：通带上限角频率：阻带下限角频率（，）即3.2模拟滤波器的设计3.2.1巴特沃思(Butterworth)滤波器的介绍：因为我们设计的滤波器的冲击响应一般都为实数，所以有这样，如果我们能由，，，求出，那么就容易得到所需要的。
巴特沃斯滤波器原理
巴特沃斯滤波器原理
巴特沃斯滤波器是一种常见的滤波器类型，用于对信号进行频率选择和过滤。
它是由英国工程师巴特沃斯于20世纪30年代提出的。
巴特沃斯滤波器的原理是在信号的频域中实现一个特定的频率响应，以达到对不同频率信号的选择性滤波。
该滤波器通过将输入信号与一个特定的频率响应函数进行卷积运算，达到滤除希望去除的频率成分的目的。
巴特沃斯滤波器的频率响应函数是一个理想的低通、高通或带通滤波器响应函数的近似。
通过选择不同的滤波器阶数和截止频率，可以实现不同类型的滤波器。
滤波器阶数是指滤波器去除信号频率的能力，阶数越高，滤波效果越好。
而截止频率是指滤波器对信号频率削弱的程度，截止频率越高，滤波器允许的信号频率范围越宽。
巴特沃斯滤波器的设计基于一定的数学公式和算法，可以通过计算来确定滤波器的参数。
常见的设计方法包括基于极点零点、频率转换等。
值得注意的是，巴特沃斯滤波器在设计时需要权衡滤波器的阶数和截止频率以及信号的要求，以平衡滤波效果和计算复杂度之间的关系。
在实际应用中，巴特沃斯滤波器常用于音频处理、图像处理、
通信系统中的信号处理等领域。
它在去除杂波、增强信号质量方面具有广泛的应用。
巴特沃斯滤波器参数
巴特沃斯滤波器参数1. 什么是巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器是一种常用的模拟滤波器，由英国工程师巴特沃斯于1930年提出。
它是一种无限脉冲响应（IIR）滤波器，具有平坦的通带和陡峭的阻带特性。
巴特沃斯滤波器在信号处理、通信系统和电子系统中广泛应用。
2. 巴特沃斯滤波器的传递函数巴特沃斯滤波器的传递函数可以用以下形式表示：H(s) = 1 / [1 + (s / ωc)^2N]^0.5其中，s 是复频域变量，ωc 是截止频率，N 是阶数。
3. 巴特沃斯滤波器的频率响应巴特沃斯滤波器的频率响应是指输入信号在不同频率下经过该滤波器后输出信号的幅度和相位变化情况。
根据传递函数可以计算得到巴特沃斯滤波器的幅度响应和相位响应。
3.1 幅度响应巴特沃斯滤波器的幅度响应可以用以下公式计算：|H(jω)| = 1 / [1 + (ω / ωc)^2N]^0.5其中，ω 是频率。
3.2 相位响应巴特沃斯滤波器的相位响应可以用以下公式计算：∠H(jω) = -arctan(ω / ωc)^N4. 巴特沃斯滤波器的特性巴特沃斯滤波器具有以下几个重要的特性：4.1 平坦的通带增益巴特沃斯滤波器在通带范围内具有平坦的增益，即不引入额外的幅度变化。
这使得它在需要保持信号幅度不变的应用中非常有用。
4.2 陡峭的阻带衰减巴特沃斯滤波器在阻带范围内具有非常陡峭的衰减，可以有效地抑制不需要的频率分量。
这使得它在需要去除噪声或其他干扰信号的应用中非常有用。
4.3 阶数决定滤波器性能巴特沃斯滤波器的阶数决定了它的滤波器性能。
较高阶数的滤波器可以实现更陡峭的阻带衰减，但也会引入更大的相位延迟。
4.4 可以设计低通、高通、带通和带阻滤波器巴特沃斯滤波器可以根据需求进行设计，实现不同类型的滤波功能。
通过调整截止频率和阶数，可以设计出低通、高通、带通和带阻滤波器。
5. 巴特沃斯滤波器参数选择在设计巴特沃斯滤波器时，需要选择合适的参数来满足应用需求。
数字巴特沃斯滤波器的设计
目录第1章摘要 (2)第2章巴特沃斯滤波器的设计 (2)第3章脉冲响应不变法 (4)第4章 MATLAB简介 (7)4.1 MATLAB介绍 (7)4.2 MATLAB命令介绍 (8)第5章仿真过程及仿真图 (8)5.1 仿真程序 (8)5.2 仿真波形 (9)第6章设计结论 (10)第7章结束语 (10)参考文献 (11)第1章 摘要随着科学技术的发展，信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。
本题目是设计一个脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。
在对信号进行分析与处理时，信号中经常伴有噪声。
根据有用信号和噪声的不同特征，消除或削弱干扰噪声.提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。
从本质上说，滤波就是改变信号中各频率分量的相对幅度和相位。
根据性质分为模拟滤波器和数字滤波器。
前者处理的是连续时间信号，后者处理的是离散时间信号。
模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟，如巴特沃斯滤波器，切比雪夫滤波器，椭圆滤波器，贝塞尔滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。
设计要求要设计一个巴特沃斯滤波器，在用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。
第2章 巴特沃斯滤波器的设计2.1巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是()N c N c a j j j H 222)/(11)/(11ΩΩ+=ΩΩ+=Ω （5-6）式中N 为整数，是滤波器的阶次。
Ω=0时，)(Ωj H a =1时；当Ω=c Ω时，)(c a j H Ω=1/2 ，所以c Ω又称为3dB 截止频率。
2.2幅度平方函数的极点分布及)(s H a 的构成将幅度平方函数2)(Ωj H a 写成s 的函数 Nc s j N c a a j s j j s H s H 22)/(11)/(11)()(Ω+=ΩΩ+=-=Ω（5-7） 此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点k s 用下式表示 )21221(2)212(2/1*)()1(N k j c c j N k j c N k e e e j s +++Ω=Ω=Ω-=πππ k=0,1,2，……（5-8）这2N 个极点分布在s 平面半径为c Ω的圆上，角度间隔是π/N 弧度。
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拉弦音乐滤波去噪——使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器学生姓名：雷淑英指导老师：胡双红摘要本课程设计主要内容是设计利用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器，对一段含噪语音信号进行滤波去噪处理并根据滤波前后的波形和频谱分析滤波性能。
本课程设计仿真平台为MATLAB7.0，开发工具是M语言编程。
从网站上下载一段拉弦乐器演奏的音乐信号，并人为加入一单频噪声，然后对信号进行频谱分析以确定所加噪声频率，即fn=3000Hz，并设计滤波器进行滤波去噪处理，最后比较滤波前后的波形和频谱，得出结果为，滤波器后的语音信号与原始信号基本一致，即设计的巴特沃斯滤波器能够去除信号中所加单频噪声，达到了设计目的。
关键词课程设计；滤波去噪；巴特沃斯滤波器；脉冲响应不变法；MATLAB1 引言本课程设计需要在网上下载的一段频率为8000Hz，8位的单声道拉弦语音信号，并绘制波形观察其频谱，再对其进行加噪处理，同样要绘制加噪后的频谱图，再用MATLAB 利用脉冲响应不变法设计一个巴特沃斯滤波器，将该语音信号进行滤波去噪处理。
1.1 课程设计目的课程设计是教学的最后一个步骤，课程设计有利于基础知识的理解，我们掌握了基础知识和基本技能，但是要真正接触才能真正理解课程的深入部分；还有利于逻辑思维的锻炼，在许多常规学科的日常教学中，我们不难发现这样一个现象，不少学生的思维常常处于混乱的状态，写起作文来前言不搭后语，解起数学题来步骤混乱，这些都是缺乏思维训练的结果，所以我们可以通过实践来分析问题、解决问题、预测目标等目的；同时也有利于与其他学科的整合，例如我们这次的课程设计就要运用MATLAB软件的帮助才能实现；最重要的有利于治学态度的培养，在课程设计中，我们可能经常犯很多小错误，可能要通过好几次的反复修改、调试才能成功，但这种现象会随着学校的深入而慢慢改观。
这当中就有一个严谨治学、一丝不苟的科学精神的培养，又有一个不怕失败、百折不饶品格的锻炼。
《数字信号处理》课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB的结合后的基本实验以后开设的。
本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实现一个较为完整的小型滤波系统。
这一点与验证性的基本实验有本质性的区别。
开设课程设计环节的主要目的是通过系统设计、软件仿真、程序安排与调试、写实习报告等步骤，使学生初步掌握工程设计的具体步骤和方法，提高分析问题和解决问题的能力，提高实际应用水平。
1.2 课程设计的要求（1）滤波器指标必须符合工程设计。
（2）设计完后应检查其频率响应曲线是否满足指标。
（3）处理结果和分析结论应该一致，而且应符合理论。
（4）独立完成课程设计并按要求编写课程设计报告。
1.3设计平台MATLAB是美国MathWorks公司生产的一个为科学和工程计算专门设计的交互式大型软件，是一个可以完成各种精确计算和数据处理的、可视化的、强大的计算工具。
它集图示和精确计算于一身，在应用数学、物理、化工、机电工程、医学、金融和其他需要进行复杂数值计算的领域得到了广泛应用。
它不仅是一个在各类工程设计中便于使用的计算工具，而且也是一个在数学、数值分析和工程计算等课程教学中的优秀的数学工具，在世界各地的高和大型计算机上运行，适用于Windows、UNIX等多种系统平台。
MATLAB作为一种科学计算的高级语言之所以受欢迎，就是因为它有丰富的函数资源和工具箱资源，编程人员可以根据自己的需要选择函数，而无需再去编写大量繁琐的程序代码，从而减轻了编程人员的工作负担，被称为第四代编程语言的MATLAB最大的特点就是简洁开放的程序代码和直观实用的开发环境[1]。
2 设计原理本课程设计需要在网上下载的一段频率为8000Hz，8位的单声道拉弦语音信号，并绘制波形观察其频谱，再对其进行加噪处理，同样要绘制加噪后的频谱图，再用MATLAB 利用脉冲响应不变法设计一个巴特沃斯滤波器，将该语音信号进行滤波去噪处理。
2.1 IIR滤波器IIR滤波器具有无限长脉冲响应，因此能够与模拟滤波器相匹敌；一般来说，所有的模拟滤波器都有无限长脉冲响应。
因此，IIR滤波器设计的基本方法是利用复值映射将大家熟知的模拟滤波器变换为数字滤波器。
这一方法的优势在于各种模拟滤波器设计（AFD）表格和映射在文献中普遍都能获得。
这种IIR滤波器设计的基本方法存在两种途径：途径1：期望的IIR滤波器途径2：期望的IIR滤波器我们将研究途径二的设计基本方法，在这种IIR滤波器设计方法将按下列步骤进行：（1）设计模拟低通滤波器。
（2）研究并实行滤波器变换以得到数字低通滤波器。
（3）研究并实行频带变换以便从数字低通滤波器得到其他数字滤波器[2]。
2.2 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器是用上述IIR滤波器的性质表征的：它的幅度响应在通带和阻带都是平坦的。
一个N阶低通滤波器的幅度平方响应给出为：（2-1）式中，N为整数，是滤波器的阶，)/(sradc是截止频率。
称为滤波器的阶数，N越大，通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡。
幅度平方响应的图如下所示。
设计模拟低通滤波器实行频带变换S → S实行滤波器变换S→Z设计模拟低通滤波器实行滤波器变换S→Z实行频带变换Z→Z01020304050607080901000.20.40.60.811.2N=1N=2N=200N=100图2.1 幅度平方响应图从这张图可看出下面几个性质：（1）12)0(,0==Ωj Ha =1，对全部N 。
（2）21)(,2=ΩΩ=Ωc j Ha c ，对全部N ，这意味着在c Ω有3dB 衰减。
（3）2)(Ωj Ha 是Ω的单调下降的函数。
（4）2)(Ωj Ha 随N →∞向一个理想低通滤波器趋近。
（5）2)(Ωj Ha 在0=Ω世最大平坦，因为在这里所有阶的导数存在且等于零。
为了确定系统函数)(s Ha 现将得到（2-2）由（2-2）式分母多项式的根（或)()(s Ha s Ha -）的极点）给出为122(21)12122(1)(),0,1,,21NN j k N k c c k j N c p j eek N ππ++-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-Ω=Ω=Ω=- （2-3）（2-3）式的解释是：（1）2N 个极点均匀分布在半径为Ωc 的圆上，相隔 pi/N （2）N 为奇数时， pk= Ωc ej2pik/N22222211()()1()()()()a a Nc N Nc c NN Nc k k H s H s s j j j s j s p =-=⎛⎫+ ⎪Ω⎝⎭ΩΩ==+Ω-∏（3）N 为偶数时， pk= Ωc ej(pi/2N+kpi/N) （4）极点对虚轴(jΩ)对称分布（5）极点永远不会落在虚轴上，且仅当N 为奇数时才会落在实轴上 （6）选取极点全部落在左半平面可得到因果稳定的Ha(s) 作为一个例子，三阶和四阶巴特沃斯滤波器的极点分布如图所示：图2.2巴特沃斯滤波器的极点图通过选取在左半面的极点就能给出一个稳定和因果的)(s Ha ，并且能将)(s Ha 写成：（2-4）2.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序h(n)模仿模拟滤波去的冲击响应h a (t)，使h(n)正好等于h a (t)的采样值，即h(n)=h a (nT) （2-5）T 为采样周期。
如以H a (s)及H(z)分别表示h a (t)的拉式变换及h(n)的z 变换。
变换前：∑=-=Nk kka p s R s H 1)( （2-6）变换后：∑=--=Nk T p kz e R z H k 111)( （2-7）1()()N ca Nkk H s s s =Ω=-∏由于z=jw e 是在单位圆上，s=j Ωj 是在虚轴上，所以有下面从s 平面到z 平面的变换 z=sT e（2-8）系统函数H （z ）和Ha （s ）是经过频域混叠公式联系的：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞∞→=m T j s Ha T z H m e z ST π21|)( （2-9）在（2-8）式的映射关系下，复平面的变换如图2.3图2.3脉冲响应不变法中的复平面映射映射特征：（1）记σ = Re(s):σ < 0, 映射到 |z |<1 (单位圆内)，σ = 0,映射到 |z|=1 (单位圆上)。
σ >0,映射到 |z|>1 (单位圆外)。
（2）多个 s 映射到一个 z : 多点对一点的映射，每个宽度为2π/T 的全部半无限带都映射到单位圆内。
（3）因果稳定的AF 仍然映射为因果稳定的DF 。
（4）如果滤波器不是真正带限会产生混叠误差(Aliasing )。
3.设计步骤3.1设计流程图拉弦音乐滤波去噪——使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器，设计流程图如下3.1所示：开始1、拉弦音乐信号的采集（wavread函数），画时域图快速傅里叶变换，并且画频谱图2、加入3000Hz的噪声画出加噪后频谱图3、设定滤波器性能指标，通带截止频率fp=2600，阻带截止频率fs=2950，通带波纹Rp=3，阻带波纹As=16脉冲响应不变法法设计巴特沃斯滤波器验证并进行频谱分析4、设计好的滤波器进行滤波处比较滤波前后语音信号的波形及频回放语音信号结束图3.1 脉冲响应不变法巴特沃斯滤波器对拉弦音乐信号去噪流程图3.2语言信号的采集从网站上下载一段格式为.wav拉弦乐器演奏音乐，时间在2-3s左右，要求为8000Hz，8位单声道的音频格式。
然后在Matlab软件平台下，利用函数wavread对语音信号进行采样，函数为[x,fs,bits]=wavread('2quanyy.wav'),记住采样频率fs和采样点数。
所下载音乐的属性设置如图3.2：图3.2 语音信号参数设置3.3语音信号的频谱分析首先使用MATLAB分别画出原始二胡音乐信号的时域波形，再对原始二胡音乐信号进行快速傅里叶变换，画出原始信号的频率——幅度谱，然后再原始二胡语音信号的基础上加入单频噪声后，噪声频率为fn=3000Hz,再所得到的音乐做时间——幅度谱，同样对它做傅里叶变换，得到此信号的频率——频谱特性。
可得到图形3.3和图3.4。
其中傅里叶变换表示为：X=abs(fft(x)); Y=abs(fft(y))图3.3原始信号与加噪后的程序运行图由上图可知，单频噪声频率fn=3000Hz，此数据是在对原始音乐信号的频率——幅度谱得出，此语音信号的主频带在2000Hz内，我们取3000Hz是为了达到更好的干扰效果。
因此带上耳塞后可以听到原始音乐和加噪后的带有尖锐单频啸叫声的音乐。
可以从听觉上感知噪声的存在，经过试验当fn取2000Hz以内的频率时，听到的干扰信号无明显的尖锐单频啸叫声。