倍长中线法(初二)
初中几何辅助线——“倍长中线法”
初中几何辅助线——“倍长中线法”倍长中线【方法说明】遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC 边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．【方法归纳】1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD ＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE ＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．【典型例题】1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG ＝EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF 的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．【方法一】连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM 是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．【方法二】延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F 作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．。
初二数学倍长中线专题
初二数学倍长中线专题一．求边的数量关系分析：本题中，要求三角形一边的范围，不难想到在三角形三边关系中是有所涉及的。
但这里的AC与AB，AD不在同一三角形中，无法直接来求，必须进行适当转换．由于题目中明确给出中线，则倍长中线，构造全等，将AC转化至某一条线段，与AB、AD组成三角形．分析：本题中，要直接发现BE，EF，CF 间的大小关系，是很困难的，三条线段不在同一个三角形中．受上一题启发，可能有同学会想到倍长中线AD．但是，这样只能将AC转化至某一条线段，与CF没有关系，因此看到中点D，我们也要想到倍长“隐藏的”中线FD．再联系到DE，DF为角平分线，“邻补角的角平分线互相垂直”，∠EDF为90°，想到转化EF，以达到将三条线段转化至同一个三角形的目的．小结：以上两题，均是探究边之间的数量关系，借助倍长中线，构造旋转180°的SAS 型全等，将不是同一三角形的边转化，使之能构成三角形，从而求解．这对学生的思维能力要求还是比较高的．不光看到中线，有时，看到中点也要想到这种辅助线作法．二．证明边等分析：本题是经典老题，解法多样．显然图中△BDF和△ECF不全等，不能直接得到BD＝CE．那就需要对其中一条边进行转化．考虑到F为DE中点，加之有对顶角的存在，已经有一对边，一对角等，要构造全等很容易，可以再添一对角等，或者一对边等，这里提供2种方法．分析：要证边等，第一步分析能否直接通过证明全等得到，显然不能．想到AD为△ABC中线，则应该倍长中线，尝试将AC转化到与BF在同一三角形中．分析：本题其实是在上一题的基础上，去掉了边BF，即擦除了“中线”，只留了中点E，再多加了一条AD，所以方法应该不变．小结：例2和例3及变式，都是证明边等。
但都不能直接通过全等得到，需要用倍长中线进行转化。
而在证明过程中，其实都借助了双等腰三角形的八字形，有一组对顶角作为中间桥梁。
通过四个角等，最后得边等。
新人教版 八年级数学 倍长中线法专题练习卷(含答案)
新人教版八年级数学倍长中线法专题练习卷(含答案)XXX老师的精品教辅资料能够帮助你获得更好的成绩。
以下是一份倍长中线法专题练卷。
一、选择题1.在平行四边形 ABCD 中，将 AB 延长到点 E，使得 BE = AB，连接 DE 并交 BC 于点 F。
以下哪个结论不一定成立。
A。
∠E = ∠XXXB。
EF = DFC。
AD = 2BFD。
BE = 2CF2.在▱ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，AD 和 BE 的延长线交于点 F，DF = 3，DE = 2.则▱ABCD 的周长为A。
5B。
7C。
10D。
143.在□ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，连接 BE 并延长至交 CD 延长线于点 F。
则△EDF 与△BCF 的周长之比是A。
1:2B。
1:3C。
1:4D。
1:54.在平行四边形 ABCD 中，AB = 4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点 E，与 DC 交于点 F，且点 F 为边 DC 的中点，DG ⊥ AE，垂足为 G，若 DG = 1，则 AE 的边长为A。
23B。
43C。
4D。
8二、填空题5.在平行四边形 ABCD 中，AB = 5，AD = 3，AE 平分∠DAB 交 BC 的延长线于 F 点，则 CF = ____________。
6.在▱ABCD 中，E 是 BA 延长线上的一点，AB = AE，连接 CE 并交 AD 于点 F，若 CF 平分∠BCD，AB = 3，则BC 的长为 ____________。
三、解答题7.在□ABCD 中，E 是边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F，(1) 求证：△ADE ≌△FCE；(2) 若∠BAF = 90°，BC = 5，EF = 3，求 CD 的长。
8.已知四边形 ABCD 是平行四边形，E 在 AB 的延长线上，且 BE = AB，求证：BD = EC。
9.在□ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，AE 的延长线与 BC 的延长线相交于点 F。
倍长中线法(初二)电子教案
倍长中线法(初二)全等三角形的构造方法---常用辅助线搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ，∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
中线一倍辅助线作法 △ABC 中延长AD 到E ，AD 是BC 边中线DE=AD ，E A BCDFH连接BE方式2：间接倍长⊥AD 于F ，延长MD作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ，连接BE 连接CD例2、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例3、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业：第 1 题图ABFDEC1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
人教版八年级上册 几何证明-常用辅助线专题讲义：中线倍长法和截长补短法(无答案)
几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。
待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。
证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。
在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
初中数学倍长中线法
初中数学倍长中线法
在初中数学中，倍长中线法是一种求解三角形面积的方法。
它基于中线的性质：连接三角形两边中点的线段叫做中线，且中线的长度等于这两边之和的一半。
因此，对于任意三角形ABC，可以先求出它的三条中线长度，分别记为m<sub>a</sub>、m<sub>b</sub>、m<sub>c</sub>。
然后，用海龙公式：
s = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，s 是三角形的半周长，a、b、c是三边长度。
而半周长 s 可以用三条中线的长度求出：
s = 1/2(m<sub>a</sub> + m<sub>b</sub> + m<sub>c</sub>) 这样，就可以用倍长中线法求出任意三角形的面积了。
需要注意的是，倍长中线法只适用于求解面积，不能用来求解三角形的其他属性。
但在一些实际问题中，求解面积就足够了。
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数学人教版八年级上册中点专题——倍长中线法
《中点专题——倍长中线》教学设计科目数学时间2016年9月8日课题中点专题——倍长中线课型新授课教学内容分析在三角形或有关复合图形中中点的问题经常出现，若能以一个专题的形式向学生展示，学生会掌握得更好。
倍长中线的方法是在人教版八上数学《全等三角形》有关的习题出现，它是以学生已学的全等三角形的性质为载体，在知识储备上是没问题的。
学情分析作辅助线解题对于学生来说是薄弱点，此专题更适合在初三中点专题学习中，在讲完直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一等有关图形的辅助线添加后学习，有助于他们对中点出现的情况系统归纳。
由于晒课的时间限制，本节晒课的学生是我校新学年刚升上初三的学生，他们大部分基础较薄弱，抽象思维能力和分析问题的能力也较欠缺。
学习目标知识技能1、理解倍长中线的意义，掌握添加辅助线的方法。
2、能从复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的基础图形特点，灵活运用这种方法转移相等的边或角。
3、经历观察、猜想、推理的过程，进一步发展思维能力。
数学思想初步体会转化、类比的数学思想并养成归纳问题的良好习惯，提高分析和解决问题的能力。
情感态度通过探究复合图形中利用倍长中线法解决问题过程，培养积极探索、勇于创新的精神，体验学习数学的成功感。
教学重难点教学重点：1、理解倍长中线的意义和添加辅助线的方法；2、学会辨别适用倍长中线法的图形特点。
教学难点：在复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的图形部分，正确作图。
学习方法自主探究合作交流启发引导教学资源PPT课堂教学实施设计教学流程教师活动学生活动设计意图中点情况引入一、情况引入：分别提问：若中点出现在直角三角形的斜边上、等腰三角形的底边上、三角形的两边上、三角形的一条边上，你会想到什么？1. 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2. 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的中线= 底边上的高= 顶角平分线3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.4. 三角形中线：提出质疑：三角形的中线没有定理，若有这样的条件，应怎样解决，下面我们一起来探究。
完整版)倍长中线法(经典例题)
完整版)倍长中线法(经典例题)
倍长中线法是解决几何问题中常用的方法之一。
在利用中线解决问题时，我们可以通过添加辅助线，采用倍长中线法来构造全等三角形，从而运用全等三角形的知识来解决问题。
具体来说，倍长中线法的过程是：延长某一中线一倍，使其构造出全等三角形，然后利用全等三角形的有关知识来解决问题。
在构造全等三角形时，我们可以采用两种常用的方法：一是将中线延长到某一点，使其等于另一条中线，然后利用对顶角的SAS证明全等；二是通过间接倍长的方法，利用垂线和平行线构造出全等三角形。
倍长中线法最重要的一点是延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
我们可以通过经典例题来练这种方法，例如求中线的取值范围、证明BD等于CE、证明AF等于EF 等问题。
自检自测题也是巩固这种方法的好办法。
例如证明AD平分∠BAE、探究线段AB与AF、CF之间的数量关系、证明BE+CF>EF等问题都可以通过倍长中线法来解决。
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全等三角形的构造方法---常用辅助线
搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．
(一)倍长中线法:
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ．
求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ，
∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE=
图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．
小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
中线一倍辅助线作法
△ABC 中 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ，
连接BE
作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，
作BE ⊥AD 使DN=MD ，
连接BE 连接CD
，AC=3，求中线中，AB=AC ，D 在交BC 于F ，且课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
例4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠
课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
作业：
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线
E
A B C
D F H
段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT
于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
4
：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 5、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与
AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论。