基于PDE的数字图像修复
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述
Ｓｃｉ ｃｅ ｅｎ ａｎｄ Ｔｅｃｈ ｏｇｙ ｎ ｎｏｌ ｌ ｎｏｖ ｉ Ｈｅｒ ｄ ａｔ ｏｎ ａｌ
工 程 技 术
基 于偏 激 分方 程 （ 的图像 去噪 的 方法 综述 Ｐ Ｅ） Ｄ
刘 晓娜 冯培 娟 沈 小凤 （ 中央 民族 大学理 学院 北 京 １ ０ ８ ） ０ １ ０
１引言
模 图 像 去 噪 是 数 字 图 像 处 理 中 的一 个 经 典 问 题 。 着 数 字 图像 方 程 代 替 高斯 平 滑 滤 波 ， 型 为 ： － 随 处理技术的发展， 大量 数 字 图像 经 由信 道传 输 或 通 过 介 质 保 存 。 图
￣ｄ（ Ｖ ＝（ｕ“ ｉＩ ） ｖ ｃＶ
摘 要： 偏微分 方：（ Ｅ） ￣ － ＰＤ 方法 ， 图像处理 中的一种较新 的方法 ， 着很 强的数 学基础 ， 图像处理 中的应 用发展 非常快 。 是 有 在 本文将近 几年 应 用较 多的几种 图像去噪方 法进 行 了系统 的概括总结 ， 出了该领域 的学者是如何 一 步步进行 改进得 到新 方法的 ， 指 并对该镊域 的发展做 了新 的 展 望 。 关键词 ： 图像 去噪 偏微 分方程 平 滑滤波 总变差 中 图分类号 ： Ｐ Ｔ ３ 文献 标 识码 ： Ａ 文章编号 ： ４ ０ （ ０ １０ （） Ｉ ０ ０ １ － ９ ｘ ２ １ ） ７ｂ一０ １ － ２ ６ ７ ｓ
，
Ｉ 。
ｌ 、
方法 ， 指 出 了 它们 之 间 的 联 系 。 并
２ 图像去噪模型
偏微 分 方 程 与 图像 去 噪 的结 合 产 生 了许 多模 型 ， 体上 可 以 分 大 为两大类： 一种 是 基 本 的迭 代 格式 ， 着时 间 的变 化 更新 ， 得 图像 随 使 向所 要 得 到 的 效 果 逐 步 逼 近 ， 种算 法 的 代 表 为 Ｐ ｒ＂ 和 Ｍａｉ［ 这 ｅｏ 口 ｌ ｋ】 的方 程 以及 对 其 改进 的 后 续 工作 。 方 法 在前 向扩 散 的 同时 具 有 向 该 后扩 散 的 功 能 ， 以具 有 平 滑 图 像 和边 缘 锐 化 的 能 力 ， 所 并且 扩 散 系 数有 很 大 的选择 空 间 。 但是 该 方 法是 病 态 问题 ， 在应 用 中 不稳 定 。 另 种 是 基 于 变 分 法的 思 想 ， 定 图 像 的能 量 函数 ， 确 通过 求 能 量 函数 的最 小 值 ， 得 图像 达 到 平滑 状 态 ， 在 得到 广 泛应 用 的 总 变差 Ｔ 使 现 Ｖ （ ｔｌ Ｔｏａ Ｖａｉｔ ｎ 模型“ 是这 一 类。 到合 适 的能 量方 程 ， ｒａｉ ） ｏ １ 就 找 保证 演 即对 进行了高斯正则化， Ｖ ｕｔ ）代替ｆ ｌ 克服了 用ｌ （ ｒ ， Ｖ ， 化 的稳 定性 获 得 理想 的 结 果 是这 类 方 法的 关 键所 在 。 比第 一 种方 它 “对 噪 声 敏 感 的 问题 。 则化 模 型 的 解 是存 在 唯 一 的 ， 且 关 于 正 并 法稳 定 ， 具 有 明确 的 理论 解 释 ， 且 是现 在普 遍 应 用的 方 法 。 变 分 不 全 具备 后 向扩 散 的 能 力 ， 理 的 图 像 模糊 ， 处 无边 缘 锐 化 。 文 以 Ｐ 本 Ｍ模 初 值 是 稳 定 的 。 Ｎｉ ｂ ｒ — ｈ ｏ ａ 出Ｐ ｔ ｅｇ ｓ ｉｔ给 ｚ Ｍ模 型 的 一个 时域 正 则 化 形 式 ： 型 和ＴＶ模 型 为基 础 ， 详 细介 绍对 其 改 进 的后 续 工 作 。 并 ２ １迭代去 噪模 型 ．
图像修复毕业论文正稿
摘要随着计算机的普及和数字图像技术的广泛应用，数字图像处理技术已成为计算机视觉领域的一个研究热点。
图像修复是图像处理的重要组成部分，是对图像中的受损区域进行信息填充的过程，其目的是恢复受损的图像，并使观察者无法察觉图像曾经缺损或已被修复。
目前，图像修复算法根据待修复区域的大小，可以分为两类，即基于偏微分方程(PDE)的图像修复和基于纹理的图像修复。
Bertalmio等人把偏微分方程引入了图像修复领域，其基本思想是根据物理学息扩散原理来完成受损区域的修复，当受损区域较小时，修复效果很好，没有任何修复痕迹，但当受损区域较大时，会出现模糊效应。
因为这个缺点，基于纹理的图像修复逐渐成为该领域的主流算法，吸引了众多学者进行研究，该类算法不论对受损区域较大还是较小时都能取得很好的效果。
本文重点研究了Criminisi算法，在Criminisi算法的基础上，对模板大小、优先权计算方式、最佳匹配块的寻找等进行了改进。
论文考虑模板边缘像素点的梯度信息，提出了自适应模板大小策略，以判断能否扩展，从而适应不同的纹理图像；同时对优先权的计算方式进行了改进，考虑了周边信息，引入相关项，同时为置信度、数据项和相关项分配相应权重，避免了单一乘法带来的缺陷；引入颜色直方图以改进最佳匹配块的寻找，颜色直方图定义了图像或图像中区域的颜色分布，并且颜色直方图具有旋转不变性和缩放不变性等。
通过两个模块间颜色直方图的相交距离，从整体上考虑两个模块的相似性，从而减少错误匹配的概率。
最后通过对不同类型，包括纹理较丰富，结构较复杂，曲线较多的图片进行仿真实验，并与Criminisi算法和Sun等算法进行对比，说明了改进算法的有效性。
关键词：Criminisi，纹理合成，优先权，颜色直方图DOC格式.ABSTRACT4. A novel truncation spurious free DDFS structure and algorithm is proposed. By introducing a comparator and an adder into the traditional DDFS architecture, the sine lookup table can be compressed without significant hardware change in the design to eliminate the truncation spurs without increasing the size of the lookup table.Keywords: frequency synthesis, phase noise, spurious, frequency hopping DOC格式.目录第一章绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2国外研究现状 (2)1.3本论文的结构安排 (2)第二章数字图像修复算法及模型 (7)2.1 图像的基础知识 (7)2.2 图像修复的问题描述 (10)2.3 基于偏微分方程的图像修复 (16)2.3.1 BSCB模型及原理 (20)2.3.2 TV模型及原理 (20)2.3.3 CDD模型及原理 (22)2.4 基于纹理合成的图像修复 (16)2.4.1 非参数采样纹理合成..................... 错误!未定义书签。
基于PDE的图像插值技术及其应用的开题报告
基于PDE的图像插值技术及其应用的开题报告一、研究背景与意义图像插值（image interpolation）即为将输入图像扩大或缩小并重新采样成为具有不同分辨率的新图像。
图像插值技术是计算机视觉、数字图像处理等领域中经典的问题之一，其广泛应用于医学图像重建、数字信号处理、卫星遥感图像处理、图像压缩等领域。
在这些领域，图像插值通常用于对低分辨率的图像进行上采样，以使得图像能够被更好地分析和理解。
基于微分方程（Partial Differential Equation, PDE）的图像插值技术已经成为了最流行的图像插值方法之一，因为它既存在高精度，又不存在类似于其他插值方法中出现的锯齿和失真等问题。
PDE方法能够保持图像的局部特征，尤其是在变形和放大处理时具有优势。
PDE方法的主要思想是将图像看作是一个自然界中存在的暂态过程，使用微分方程对其进行建模。
由此，基于PDE的插值方法可以基于局部图像特征，对图像进行一定的平滑，从而使得插值图像在细节和边界的保持上得到了更好的优化。
二、研究内容和方法本文提出的研究将以PDE方法为基础，研究和探讨基于PDE的图像插值技术及其应用。
主要包含以下两个部分内容：1. 探究基于PDE的插值方法如何利用微分方程模型，解决图像插值中存在的过度平滑和失真现象等问题，并重点研究比较具有代表性的三种PDE插值方法，分别为基于梯度的PDE插值方法，基于TV正则的PDE插值方法和基于双曲PDE的插值方法；2. 研究基于PDE的图像插值技术在实际应用中的表现，并探讨其效果、优缺点和可行性等问题。
特别是通过图像重建、实验仿真等方式，来检验基于PDE的插值方法对于数字图像的重建和处理能力，并探究其在医学图像和量子计算机等领域的应用。
三、论文结构本文主要分为以下几个部分：第一章为绪论，主要介绍了本文的研究背景和意义，研究内容和方法等。
第二章为基于PDE的图像插值方法，主要论述了PDE插值技术的基本原理和方法，以及研究比较具有代表性的三种PDE插值方法。
一种改进的基于PDE的图像修复方法
上海交通大学硕士学位论文
类似于灰度图像的做法,当分别作出从Vr , Vg , Vb 到[0,1]的一一映射后,可以得到彩色图 像的连续模型 u : x ∈ Ω → [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] ⊂ R3 而如果Ω被空间采样,Vr , Vg , Vb 被度量化为[0, 1, 2, · · · 255]后,我们可以得到彩色图像的 离散模型: u : (x1 , x 2 ) → G × G × G
这样我们建立了图像的函数模型， 即 u : x ∈ Ω → [0, 1] (2)灰度图象的离散模型： 计算机只能接受和处理离散数据，一幅图像必须要在空间和灰度上离散化才能被计 算机处理。这种离散化了的图像就是数字图像， 相应的过程称为图像的离散化其中 空间坐标的离散化称为空间采样 ， 而灰度的离散化称为灰度量化。 空间采样就是把图像支持集合Ω离散化为一些按行和列整齐排列的小方块。当我 们把图像局部放大就比较容易发现 这些小方块，他们被称为像素（pixel)，在同一幅 图像中， 像素的大小是相等的。 如果Ω被离散化为H 行和W 列，那么整个图像包含了大小相等的W × H 个像素。 我们假设最左下角的那个像素坐标 记为（0，0） ，那么图像中每个像素都有一个离散 的整数坐标(x1 , x2 ) ，0 ≤ x1 ≤ W − 1，0 ≤ x2 ≤ H − 1,在离散 的图像中，每个像素 都被赋予一个唯一的灰度值，记为u(x1 , x2 )。一幅图像经过离散化过程之后，我们就 –2– (1.3)
1
上海交通大学硕士学位论文 1.1.2 静态灰度图象的数学模型
(1) 静态灰度图象的连续模型 一般来说,一幅静态灰度图象(如黑白照片)是一个定义在矩形区域内反映现实场景的 灰度变化的组合. 其中现实图像内容的那个区域被称为图像的支撑集(support)。 假 设图像的支撑集为Ω ⊂ R2 图像u的物理模型是定义在Ω上的一个映射， 即 u:Ω→V (1.1)
基于PDE的图像增强改进方法研究
可避 免的缺 陷， 出一种基于 Ｐ Ｅ的改进 的反差增强方法， 提 Ｄ 算法将增 强和 去噪过程统 一起来 同步进行 ， 并加入 一个 特殊调整 项， 进一步改善图像视觉效果 。实验证 明改进 后 的方法整 体上 比传 统 方法 具有 更好 的 性能， 能够 有效 地避 免传 统 方法 的
缺 陷。
２ １ Ｓ ｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ １ ｃ Ｔ ｃ ． ｎｎ ． ．
基 于 Ｐ Ｅ的 图像 增 强 改进 方 法 研究 Ｄ
荆 萍 刘 丽 陈 伟
（ 山东 师范大学 计算机信息科学 与工程学院 ， 济南 ２０ １ ） ５０ ４
摘
要
实际应用 中， 图像 不仅 需要改善反差 而且还有 噪声污染。针对传 统方 法对 图像先后做 反差增 强和去 噪所 产生 的不
的反差 。实 际 中往 往 是 通 过 增 加 原 图 中某 两个 灰
度 值之 间 的动态 范 围来 实 现 的。直 方 图均 衡 化 、 直
方 图规定化 都 是 这 个 原 理 ， 度 分 布 越 均 衡 ， 像 灰 图
的信息 越丰 富 ， 图像 的对 比度 越 强 。本 文采 用 分段 线 性拉 伸 函数 做直 方 图均衡 的灰 度变 换 函数 ， 图 使 像 的灰 度尽 可能 的平 均 ， 以达 到 图像 反 差 增强 的效
１
处 理与分 析 领 域 得 到 快 速 发 展 。该 方 法 在 图像 的 去噪、 分割 、 边缘检 测 、 强 等方 面都 取得 了很 大 的 增
进展， 该技 术一个 显 著 的优 点 当 图像 表示 为连 续信 号 时 ，Ｄ Ｐ Ｅ可 视为 在无 穷小 邻 域 中 的局 部滤 波 的迭 代， 允许将 已有 的滤 波算 法 进 行合 成 和 分类 并 可 能 得 到新 的滤 波方法 ， 本文 基 于此 优 势 改 进 了一 个新
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
林石算子改善了Catte模型中尖峰被削平的情况，同时还保留了P_M模型以及Catte模型的优点。比较改进的林石算子和Catte模型对图像的处理效果，如图（1）所示从帽沿、头发等细节信息可发现，林石算子对于保持边缘和细节等高频量有明显的改善。
(a)噪声图像(b) Catte模型(c)林石算子
图（1）Catte模型和林石算子的图像处理效果
3.3林石算子
P_M模型以及Catte模型都能够在去噪的同时，较好地保持边缘，但是仍然不能保留边缘的细节信息，尤其是不能保持尖峰状边缘和窄边缘[13]的信息。这两个模型对图像来说是基于大尺度范围的处理，对小目标的处理效果欠佳，处理后的图像真实感很差。所以1999年，林宙辰，石青提出了对Catte[2]模型的改进形式，改进的模型如下：
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
一.引言
医学图像增强技术是临床上应用最多的医学图像处理技术之一。通常情况下，临床医生需要对比度好的图像，以便于医生对图像的判读。在这种情况下，一般是利用图像增强（mage Enhancement）技术改善图像的视觉效果，使医学图像能显示出更多的细节信息。另外，医学图像增强技术也是对医学图像进行进一步分析和处理的先行步骤。许多文献中采用的所谓图像预处理技术指的就是图像增强技术，其目的是为了提高图像的信噪比，突出图像的某些特征，为后续对图像的进一步分析和识别奠定基础。为了改善视觉效果或便于人或机器对图像的分析理解，根据图像的特点、存在的问题或应用目的等，所采取的改善图像质量的方法，或加强图像某些特征的措施称为图像增强。
3.4 J.Weickert模型
针对线形纹理信息较多并且该信息对于图像分析很重要的图像，J.Weickert等人提出了一致性增强扩散，引入了结构张量来分析图像结构；该方法在指纹、纤维编织物图像的去噪方面，已经取得了很好的效果[14]。J.Weickert模型较P-M模型增加了扩散滤波的方向可控性，在梯度方向上进行较弱的平滑滤波，在与梯度垂直方向上进行较大的平滑滤波，但它自身也有缺点，该模型在求解时对方程的离散格式有很高的要求，再迭代收敛时容易产生问题[15]。
基于偏微分方程的图像增强算法研究
基于偏微分方程的图像增强算法研究近年来，图像增强技术在计算机视觉领域中备受关注。
在数码相机、图像处理软件等各种各样的图像设备和应用程序中，图像增强技术越来越成为图像处理中不可或缺的一部分。
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是图像增强技术的一种重要应用方法，它可以对图像进行均衡化、锐化、噪声抑制等各种处理。
本文讨论了基于偏微分方程的图像增强算法的研究。
一、偏微分方程偏微分方程是数学分析中的一个重要分支，它描述了物理现象中的变化率。
偏微分方程与常微分方程的区别在于，偏微分方程中的未知函数是多个变量的函数，因此需要用多元函数的方法来求解。
在偏微分方程的解法中，常用的方法包括有限差分法、有限元法等。
二、偏微分方程在图像处理中的应用偏微分方程可以用于图像处理中的各个方面。
例如，广泛应用的双向扩散滤波器就是一种基于偏微分方程的图像增强算法，它可以用于图像去噪和细节增强。
双向扩散滤波器的数学模型可以表示为一个偏微分方程，通过数值方法求解得到图像的新像素值。
另一种基于偏微分方程的图像增强算法是非线性扩散滤波器。
非线性扩散滤波器的基本思想是通过限制像素点之间的扩散速度，达到图像平滑的效果。
这种算法可以去除图像的噪声，同时保留图像中的细节。
还有一种经典的基于偏微分方程的图像增强算法是大名鼎鼎的Perona-Malik模型。
Perona-Malik模型利用偏微分方程的差分算子去掉图像中的噪声，并且保留图像中的边缘和细节。
Perona-Malik模型被广泛应用于各个领域的图像处理中。
三、基于偏微分方程的图像增强算法的优缺点基于偏微分方程的图像增强算法可以通过数学模型进行精确控制，并且能够保留图像的细节和特征。
相比于其他图像增强算法，基于偏微分方程的算法具有以下优点：1. 具有良好的抗噪性能。
基于偏微分方程的滤波算法是一种非线性滤波算法，能够对噪声进行有效抑制，并且保留图像中的细节；2. 能够对多尺度的图像进行处理。
一种基于PDE提高信噪比的图像处理算法
一种基于PDE提高信噪比的图像处理算法
徐长发;闵志方;张锴
【期刊名称】《华中科技大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(34)2
【摘要】研究了PDE在数字图像处理方面的应用.从能量分析法切入,构造变分问题,从而得到原始模型;以去噪、提升边缘、保留原图信息为目标改进了原始模型.对于图像处理的难点问题———边缘的去噪去模糊,在文中得到较好的解决.结果表明:经过该方法处理后的图像在提升信噪比方面十分显著,由此建立的扩散模型不仅产生了一种新算法,而且为人们在该领域的后续研究提供了参考.
【总页数】3页(P14-16)
【关键词】图像增强;去噪;扩散方程
【作者】徐长发;闵志方;张锴
【作者单位】华中科技大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】TP75
【相关文献】
1.一种基于压缩感知的快速图像处理算法研究 [J], 刘昆;
2.一种提高基于循环频移器的多载波光源光信噪比的方案 [J], 刘娜;席丽霞;李建平;张晓光;田凤;周浩
3.一种基于泊松分布的提高X射线脉冲星脉冲轮廓信噪比的方法 [J], 胡慧君;赵宝
升;盛立志;鄢秋荣;杨颢;陈宝梅
4.一种基于阈值分割的自适应逆光图像处理算法 [J], 田文启;李震;段新涛;张润泽
5.一种基于频率域偏振分析提高三分量地震资料信噪比的方法 [J], 陈赟;高乐;赵烽帆
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• 边缘内部区域，c远离0，图像平滑； • 边缘附近，c近似为0，图像不再平滑。
u( x , y ,t n 1 ) u( x , y ,t n ) t(I 1 I 2 )
n n
2013-6-6
8
P-M算法对整幅图像作用
• Add Text Here
2013-6-6
9
各向异性扩散
• TV图像修复模型利用了图像正则性，易于 从噪声图像的解中反映真实图像的几何正 则性。其思想是将图像修复建模成一个能 量最小化问题，使得图像达到平滑状态。
2013-6-6
23
3000
第六组的工作
2013-6-6
24
2013-6-6
18
总结
• 本小组对热传导方程、P-M模型和全变分方 程进行了学习和研究，并在此基础上运用 MATLAB实现了相应的算法。 • 热传导模型算法速度快，对于边缘的恢复差。 • 二阶全变分算法边缘修复较热传导图像要好， 图像整体质量和漏洞修复质量无法平衡。 • 四阶全变分算法边缘修复性最佳，同时在边 缘效果很好的前提下，图像整体质量也很高。 • 对于大块残缺图像，由于丢失信息过多，上 述方法修复效果不好。
2013-6-6 19
Applications of PDE-Based Inpainting
2013-6-6
20
Fourier’s Heat EquaTotal Variation Equation
2013-6-6
22
4-order Total Variation Equation
基于PDE的数字图像修复
第六组
2013-6-6
1
基于PDE的数字图像修复
• 各向同性修复
–热传导
• 各向异性修复
-- P-M算法 –二阶全变分 –四阶全变分
• 应用
2013-6-6 2
一、热传导模型
• 将图像修复类比于热传导过程，使图像缺损区周 围有效像素所包含的信息逐步向缺损区域传递。
u t
u( x ,t )
u t ( x , y ) u 0( x , y ) t u( x , y )
2013-6-6
3
整幅图像的热传导
• Add Text Here
2013-6-6
4
热传导方程修正
• 利用反向热传导将不需要修复的地方恢 复，反复迭代从而达到修复漏洞的效果。
u t u t- 1 t u (u 0 u t- 1 )
2013-6-6
5
热传导图像修复
2013-6-6
6
热传导图像修复的缺陷
• 热传导作为标准的多尺度图像处理模型，被广泛的采 纳和应用，但是由于它是各向同性的，对于图像纹理 的恢复效果不好。
2013-6-6
7
各向异性扩散
• Perona-Malik算法
u t (c( x , y ,t ) u )
2013-6-6
13
二阶全变分修复结果
• Add Text Here
2013-6-6
14
二阶全变分修复结果
• 问题：总体扩散速度十分缓慢。
2013-6-6
15
二阶全变分图像修复的缺陷
• TV修补模型会产生连通性问题。
• 解决方法：高阶全变分。
2013-6-6
16
四阶全变分
• 通过四阶全变分考虑两个边界条件，即 除了漏洞周围的像素信息之外还加上了 漏洞周围的梯度信息。
ut (
1 u u u )
• 扩散因子 的引入使得漏洞周围像 素能扩散到漏洞以内。
2013-6-6 10
二阶全变分图像修复
• 最小化问题：
min I (u )
u dxdy
• 拉格朗日乘子解算 u ut ( ) - ( u u 0 ) u
2013-6-6
0
u i ,j u i ,j
n
n
))
2013-6-6
12
二阶全变分数值实现
u
n 1 i ,j
u
n i ,j
t (u
n i ,j
u i ,j ) t( (
0
u i ,j u
n i ,j
n
))
• 第2项为数据保真项，它主要起保留原图像特性和降低 图像失真度的作用； • 第3项为正则化项，对平衡去噪与平滑起重要作用。 • 参数 为规整参数，在用于图像修补时，修补区域 为零。
u t ( (
u u ))
• Bertozzi, Esedoglu, Gillette提出了基于 Cahn-Hilliard方程的修复模型:
u t ( u
2013-6-6
1
(u )) (u 0 u )
17
四阶全变分效果及说明
• Add Text Here
11
二阶全变分数值实现
• 最陡下降法 2 2 u y u xx 2u x u y u xy u x u yy u ( ) 2 2 u ux uy • 用差商代替偏导数来计算
u
n 1 i ,j
u
n i ,j
t (u
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u i ,j ) t( (