中国余数定理
中国余数定理公式
中国余数定理公式中国余数定理，也称为孙子定理，是一种基于模运算的经典数学定理。
它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。
这个定理在代数学、计算机科学、密码学等领域都有广泛的应用。
中国余数定理的原理假设给定两个正整数m1和m2，他们互质，对于任意两个整数a1、a2，下面的同余方程：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)都有一个解x在模m1m2下唯一确定。
特别的，当给定n个正整数m1、m2、...、mn，它们两两互质时，对于任意n个整数a1、a2、...、an，下面的同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)都有一个解x在模M=m1m2...mn下唯一确定。
中国余数定理的应用场景1. 线性同余方程组的求解中国余数定理可以将多个线性同余方程组转化为一个单一的同余方程，从而简化了求解问题。
在密码学领域中，线性同余方程组的求解常常涉及多个密码学密钥的计算和变换。
2. 数论问题的求解中国余数定理在数论领域中有广泛的应用。
它可以用来求解大量数据的最小公倍数，检测质数的性质，以及判断两个数是否是互质的。
3. 数据加密和解密中国余数定理可以用来设计和实现许多加密算法和协议，例如RSA加密算法和离散对数算法。
这些算法和协议通常需要利用中国余数定理来处理数字的加密和解密过程。
4. 编程语言中的应用在计算机科学领域，中国余数定理被广泛应用于编程语言中。
Java语言中可以利用中国余数定理来计算大型整数的模运算，而C++语言中则可以利用中国余数定理解决多项式求值问题。
总结：中国余数定理是一种重要的数学定理，常常在代数学、计算机科学、密码学等领域中得到广泛应用。
它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。
在实际应用中，中国余数定理被广泛用于线性同余方程组的求解、数论问题的求解、数据加密和解密、以及编程语言中的应用等方面。
数论.第4讲.余数问题(二).教师版
第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。
3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国余数定理
中国余数定理(CR T)及其应用中国余数定理(Chinese Remainder Theory,CRT)目前我还没有看出什么用处，作为数论里一个知识罗列一下吧。
所以叫中国余数定理，是因为据信他是中国古代数学家在公元100年左右发现的。
笛卡儿积笛卡儿积是集合论中很重要的概念，已知一组集合S1、S2、...、S n，他们的笛卡儿积S定义为：S = {(x1,x2,...,n) |x1∈S1，x2∈S2，......x n∈S n}一个相关的概念叫关系，集合族S1、S2、...、S n的一个关系定义为他们的笛卡儿积S的一个子集。
如果这个子集是空集或者S本身，则称这个关系是一个平凡关系。
举例而言，集合N和N的笛卡儿集合为二维空间集合{(x,y) | x,y∈N}，而关系y=2x可以表示为笛卡儿集合的一个子集 {(x,2x)|x∈N}映射集合X和Y，如果存在一种关系，使得X中的任意一个元素x都对应于集合Y的一个元素y或者一组元素y，则称呼这种关系为X集合到 Y集合的一个映射，记做f:x→y。
其中x称作y在X中的原象，y称为x在Y中的象。
有时，映射也记做y = f(x)如果X中任意一个元素在Y中只有一个象，称这个映射为一个单射。
如果y中任意一个元素在X中都存在一个原象，则称呼映射为满射。
映射f:x→y，如果能找到象到原象的映射，则称为该映射的逆映射。
一个映射如果既是单射又是满射，则称该映射为一个一一映射距离算子集合S上定义的距离算子ρ指得是S×S到非负实数集合R+上得一个映射满足：1.ρ(x,y) ≥0，且当且仅当x=y时取0，非负律2.ρ(x,y) = ρ(y,x) 交换律3.ρ(x,y) + ρ(y,z) ≥ ρ(x,z) 三角公式运算集合S上定义的二元运算是指S×S 到S的一个单射，即任意x,y∈S 存在z∈S，z = x⊙y是S×S中元素(x,y)在S 中的象，其中⊙称呼为这个运算的运算符，运算也可以表示为一个二元函数关系，记做z = ⊙(x,y)同态映射和同构映射集合X到Y上的一个一一映射f，X、Y上分别定义了运算+和×（注意，这是抽象运算，和四则运算中的对应符号没有关系），如果对于X中的任意元素x1、x2，他们在Y中的象分别是y1、y2，如果x3=x1 +x2y3=y1 ×y2则y3是x3在Y上的象，也就是说f(x1 +x2) = f( x1) × f( x2)则称这个映射f为集合X到Y的一个同态映射。
(完整版)同余问题知识点讲解
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数-中国剩余定理
例6、今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五 数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5 除余3。
中国剩余定理
2015.08.22
整数除法
被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） A ÷ B = C ＋ R （被除数－余数）÷除数 = 商 (A － R) ÷ B = C
例1、 一个两位数,用它除58余2,除73 余3,除85余1,求这个两位数
用它除58余2，意外着这个两位数是56（58 － 2）的因数。同样的也是70和84的因数。
BYE
The End！ Thank you For your listening!
2015. 08. 22
4。这个数最小是多少?
这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准 备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌 诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是 多少呢?
歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数； 21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是 能被3和5整除，而被7除余1的最小数。
利用这个思路，我们来解答例7。 因为[7，9] =63，63÷5=12……3；而63 x 2=126，
126÷5=25……1。 所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。
例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除
以9余4。这个数最小是多少?
能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。 同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7
中国余数定理c语言
中国余数定理c语言摘要：1.引言2.中国余数定理简介3.中国余数定理在C 语言中的应用4.总结正文：1.引言中国余数定理，又称孙子定理，是我国古代数学家孙子所提出的一个关于同余方程组的定理。
随着现代计算机科学的飞速发展，中国余数定理在计算机编程领域也有着广泛的应用，特别是在C 语言中。
本文将简要介绍中国余数定理，以及如何在C 语言中运用这一定理。
2.中国余数定理简介中国余数定理是一种解决同余方程组的方法，它可以求解一组同余方程在模某个数时的非负整数解。
该定理的表述如下：设a_1, a_2, ..., a_n 两两互质，m 是a_1, a_2, ..., a_n 的最大公约数，那么同余方程组：x ≡ a_1 (mod m)x ≡ a_2 (mod m)...x ≡ a_n (mod m)有唯一解x ≡ 0 (mod m)。
3.中国余数定理在C 语言中的应用在C 语言中，中国余数定理可以应用于多种计算场景，例如大数运算、模运算等。
下面以一个简单的示例来说明如何在C 语言中使用中国余数定理求解同余方程组：```c#include <stdio.h>#include <stdbool.h>bool chinese_remainder(int a[], int m[], int n, int M) {int x = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (m[i] == 1) {x = (x + a[i]) % M;} else {int u = chinese_remainder(a, m + 1, n - 1, M / m[i]);x = (x * m[i] + u) % M;}}return x == 0;}int main() {int a[] = {2, 3, 5};int m[] = {5, 7, 11};int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);int M = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) {M *= m[i];}if (chinese_remainder(a, m, n, M)) {printf("同余方程组有解");} else {printf("同余方程组无解");}return 0;}```在这个示例中，我们定义了一个名为`chinese_remainder` 的函数，用于求解给定的同余方程组。
初识中国余数定理（ChineseRemainderTheorem）
初识中国余数定理（ChineseRemainderTheorem）初识中国余数定理 (Chinese Remainder Theorem)中国余数定理介绍起源：在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩⼆（除以7余2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。
解法：设未知数为X1. 找到三个数：1). 从3和5的公倍数中找到被7除余1的数，15；2). 从5和7的公倍数中找到被3除余1的数，70；3). 从3和7的公倍数中找到被5除余1的数，21。
2. ⽤第1步得到的三个数除以响应的余数：1). 15乘以2（2为X除以7的余数），30；2). 70乘以2（2为X除以3的余数），140；3). 21乘以3（3为X除以5的余数），63。
将三个乘积结果相加，30 + 140 + 63 = 233。
3. ⽤第2步结果除以三个数的最⼩公倍数的余数即为所求结果X = mod(233,105) = 23原理：前提已知：前提1. if a % b = c, then (a + kb) % b = c;前提2. if a % b = c, then 2a % 2b = 2c.则由此1. 设n1, n2, n3分别为除3, 5, 7分别余2, 3, 2的数，1). n1 % 3 = 2;2). n2 % 5 = 3;3). n3 % 7 = 2.则问题变为能否找到数n1+n2+n3满⾜条件1). (n1+n2+n3) % 3 = 2;2). (n1+n2+n3) % 5 = 3;3). (n1+n2+n3) % 7 = 2.2. 可见，当1). n2与n3是3的倍数，条件1成⽴；2). n1与n3是5的倍数，条件2成⽴；3). n1与n2是7的倍数，条件3成⽴。
3. 此时有1). n1为5与7的公倍数；2). n2为3与7的公倍数；3). n3为3与5的公倍数。
中国剩余定理
汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。
又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。
计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。
一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。
未知”。
原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。
问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。
孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。
因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。
1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。
明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。
除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。
意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。
在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。
例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国余数定理(CRT)及其应用
中国余数定理(Chinese Remainder Theory,CRT)目前我还没有看出什么用处，作为数论里一个知识罗列一下吧。
所以叫中国余数定理，是因为据信他是中国古代数学家在公元100年左右发现的。
笛卡儿积
笛卡儿积是集合论中很重要的概念，已知一组集合S1、S2、...、S n，他们的笛卡儿积S定义为：
S = {(x1,x2,...,n) |
x1∈S1，
x2∈S2，
......
x n∈S n}
一个相关的概念叫关系，集合族S1、S2、...、S n的一个关系定义为他们的笛卡儿积S的一个子集。
如果这个子集是空集或者S本身，则称这个关系是一个平凡关系。
举例而言，集合N和N的笛卡儿集合为二维空间集合{(x,y) | x,y∈N}，而关系y=2x可以表示为笛卡儿集合的一个子集 {(x,2x)|x∈N}
映射
集合X和Y，如果存在一种关系，使得X中的任意一个元素x都对应于集合Y的一个元素y或者一组元素y，则称呼这种关系为X集合到 Y集合的一个映射，记做f:x→y。
其中x称作y在X中的原象，y称为x在Y中的象。
有时，映射也记做y = f(x)
如果X中任意一个元素在Y中只有一个象，称这个映射为一个单射。
如果y中任意一个元素在X中都存在一个原象，则称呼映射为满射。
映射f:x→y，如果能找到象到原象的映射，则称为该映射的逆映射。
一个映射如果既是单射又是满射，则称该映射为一个一一映射
距离算子
集合S上定义的距离算子ρ指得是S×S到非负实数集合R+上得一个映射满足：
1.ρ(x,y) ≥0，且当且仅当x=y时取0，非负律
2.ρ(x,y) = ρ(y,x) 交换律
3.ρ(x,y) + ρ(y,z) ≥ ρ(x,z) 三角公式
运算
集合S上定义的二元运算是指S×S 到S的一个单射，即任意x,y∈S 存在z∈S，z = x⊙y是S×S中元素(x,y)在S 中的象，其中⊙称呼为这个运算的运算符，运算也可以表示为一个二元函数关系，记做z = ⊙(x,y)
同态映射和同构映射
集合X到Y上的一个一一映射f，X、Y上分别定义了运算+和×（注意，这是抽象运算，和四则运算中的对应符号没有关系），
如果对于X中的任意元素x1、x2，他们在Y中的象分别是y1、y2，如果
x3=x1 +x2
y3=y1 ×y2
则y3是x3在Y上的象，也就是说
f(x1 +x2) = f( x1) × f( x2)
则称这个映射f为集合X到Y的一个同态映射。
如果X,Y上还定义距离算子ρ和ρ'，且满足ρ(x1,x2) ＝ρ'(y1,y2) ，则称
这个同态映射为同构映射。
中国余数定理
如果整数M可以表示为n个彼此互质得整数m i得乘积，则M的完全余数集Z M和他所有因子的完全余数集的笛卡儿集合之间存在一个同态映射
也就是说，存在映射关系
A ∽(a1,a2,...,a n)
B ∽(b1,b2,...,b n)
则
(A+B) mod M ∽((a1+b1) mod m1,(a2+b2) mod m2,..,(a n+b n) mod m n)
(A-B) mod M ∽((a1-b1) mod m1,(a2-b2) mod m2,..,(a n-b n) mod m n)
(A×B) mod M ∽((a1×b1) mod m1,(a2×b2) mod m2,..,(a n×b n) mod m n)
A 到(a1,a2,...,a n)的映射很简单，用关系式
a i = A mod m i
计算即可。
对于反向映射，可以这样计算：
定义M i = M / m i
则由于m i和其他任意m j互质，M i和m i也互质，根据
欧几里德算法和扩展欧几里德算法一文中所述，M i
存在唯一的模m i的逆元M i，令
c i = M i M i
则A = (a1c1 + a2c2 + ... + a n c n) mod M
下面举一个例子，假设整数4×9×25 ＝ 900，数729是900的完全余数集中的一个元素，则按照上述关系可以得到对应关系
729 -> (1,0,4)
由(1,0,4)计算729可以这样进行：
M1 = 9*25 = 225，M1-1 mod 4 = 1
M2 = 4*25 = 100，M2-1 mod 9 = 1
M3 = 4*9 = 36，M3-1 mod 25 = 16
则729 = ( 1* 1 * 225 + 0 * 1 * 100 + 4 * 16 *36) mod 900
这也是一个古题的传统解法：一个数，被3除余一，被5除余2，被7除余一，问这个数是多少？套用上面公式，计算也太简单了。
也就是M=3×5×7=105，计算105和(3,5,7)完全余数集之间的映射关系而已。
这个问题可以统一表述为：已知整数m1、m2、...、m n彼此互质，则求整数x的方程
x mod m1 = a1
x mod m2 = a2
.......
x mod m n = a n
有模M的唯一解，M =所有m i的乘积
实际上，上述叙述是CRT的另外一种表示形式，证明也很容易，在此我就不在赘述了。