高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析
【精品高考数学】2020年高三数学(江苏专用)-第05讲(含有绝对值函数的取值范围问题)+答案
第05讲（含有绝对值函数的取值范围问题）【目标导航】在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一类函数，绝对值函数在高考中往往以填空小题的形式出现，绝对值函数可以视为分段函数，也可以整体处理，因此恰当的进行分类整合，探究绝对值函数的图象与性质是解决此类问题的核心方法. 【例题导读】例1、已知函数f (x )＝x |x －4|，x ∈[0，m ]，其中m >0，且函数f (x )的值域为[0,4]，则实数m 的取值范围是_________．例2、已知函数f (x )＝x |x －a |在[0,2]上的值域为[0,4]，则实数a 的值是_________．例3、已知函数f (x )＝x ||x －a ＋2x －3，若f (x )在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是_________．例4、 若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是_________．例5、 已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(其中实数a >0)，则f (x )的单调减区间是_______________．例6、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧||x ＋3，x ≤0，x 3－12x ＋3，x >0，设g (x )＝kx ＋1，且函数y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________．例7、 已知f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是________．例8、 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．【反馈练习】1、函数y ＝|x －1|＋|x ＋a |是偶函数，则实数a 的值是__________．2、函数y ＝2||x －m 在(2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________.3、设f (x )＝|lg(x －1)|，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．4、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．5、若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．6、若函数g (x )＝x 2－a |x |＋3只有两个单调区间，则a 的取值范围为_________．7、已知函数f (x )＝|sin x |－kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x 0，则x 0(1＋x 20)sin2x 0＝________.8、已知t 为常数，函数f (x )＝||x 3－3x －t ＋1在区间[－2,1]上的最大值为2，则实数t ＝_________.9、设函数f (x )＝x |x ＋2|，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．10、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x ＞1，函数g (x )＝2－f (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．11、已知函数f (x )＝x |x －a |＋2x ，若存在a ∈[0,4]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实根，则实数t 的取值范围为________．12、设a 为实数，函数f (x )＝e 2x ＋|e x －a |(x ∈R )，则当0<a <12时，函数f (x )的值域为_________(用a 表示)．13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1，x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．14、已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．第05讲（含有绝对值函数的取值范围问题）【目标导航】在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一类函数，绝对值函数在高考中往往以填空小题的形式出现，绝对值函数可以视为分段函数，也可以整体处理，因此恰当的进行分类整合，探究绝对值函数的图象与性质是解决此类问题的核心方法. 【例题导读】例1、已知函数f (x )＝x |x －4|，x ∈[0，m ]，其中m >0，且函数f (x )的值域为[0,4]，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】[2,2＋22]【解析】 由函数f (x )＝x |x －4|图象可知(如图4－1所示)，当x >4时，令x |x －4|＝4，即x 2－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f (x )的值域为[0,4]，所以实数m 的取值范围是[2,2＋22].例2、已知函数f (x )＝x |x －a |在[0,2]上的值域为[0,4]，则实数a 的值是_________． 【答案】 0或4【解析】(1)当a <0时，f (x )＝x (x －a )，f (2)＝2(2－a )＞4，显然不满足条件；(2)当a ＝0时，f (x )＝x 2，在[0,2]上的值域为[0,4]，满足条件； (3)当a >0时，①当0<a ≤2时，f (x )＝|x 2－ax |，f (0)＝0，f (2)＝|4－2a |＝4－2a ＜4，f⎝⎛⎭⎫a 2＝a 22－a 24＝a 24≤1，不满足条件；②当2<a <4时，f (x )＝－x 2＋ax ＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24≤a24＜4，不满足条件； ③当a ＝4时，f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，满足条件； ④当a >4时，f (x )＝－x 2＋ax ，f (2)＝－4＋2a >4，不满足条件．综上所述，a ＝0或a ＝4.例3、已知函数f (x )＝x ||x －a ＋2x －3，若f (x )在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】 [－2,2]【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2－a x －3，x ≥a ，－x 2＋2＋a x －3，x ＜a ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －a －222－a －224－3， x ≥a ，－⎝⎛⎭⎫x －a ＋222＋a ＋224－3，x ＜a .f (x )在R 上恒为增函数的充要条件是⎩⎨⎧a －22≤a ，a ＋22≥a .解得－2≤a ≤2.例4、 若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是_________．【答案】 (－∞，0]∪[3，＋∞)【解析】 (1)当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，显然在区间[0,2]上是增函数；(2)当a ＞0时，记g (x )＝x 3－ax 2，令g ′(x )＝3x 2－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a3，g (x )在(－∞，0)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a3，＋∞上单调递增，又g (0)＝g (a )＝0，所以f (x )＝|g (x )|在(－∞，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，2a 3上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f (x )在区间[0,2]上是增函数，只要2a3≥2，即a ≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．例5、 已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(其中实数a >0)，则f (x )的单调减区间是_______________． 【答案】 ()－a ＋1－1，－a 和()a ＋1－1，a【解析】 因为f (x )＝⎩⎨⎧e x x 2－a ，x |＞a ，e x a －x 2，x |≤a .当|x |＞a 时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －a )，由f ′(x )<0，解得－1－a ＋1<x <－1＋a ＋1.因为－1－a ＋1<－a ，－1＋a ＋1<a ，所以f (x )的单调减区间为(－1－a ＋1，－a )，同理当|x |≤a ，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －a )，所以 f (x ) 的单调减区间为(a ＋1－1，a )． 所以f (x )的单调减区间为()－a ＋1－1，－a 和()a ＋1－1，a .例6、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧||x ＋3，x ≤0，x 3－12x ＋3，x >0，设g (x )＝kx ＋1，且函数y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－9，13 【解析】 令h (x )＝f (x )－g (x )．(1)当x ≤0时，h (x )＝||x ＋3－(kx ＋1)，因为h (0)＝2，所以h (x )必过第二象限，即只须使h (x )过第三象限， 当k ≥1时，h (x )只在第二象限，故不合题意； 当k ≤－1时，h (x )必过第三象限，故符合题意； 当－1<k <1时，需h (－3)<0，所以－1<k <13，故k <13；(2)当x >0时，h (x )＝x 3－(12＋k )x ＋2，因为h ′(x )＝3x 2－(12＋k )，所以须使h (x )过第四象限， 必须⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋k >0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋k >0，12＋k 3·12＋k3>1，所以k >－9 综上，－9<k <13.例7、 已知f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是________． 【答案】 (－7，－2)【解析】一 (大函数法)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋4，0<x ≤2，2x 2＋kx －4，2<x <4，(1)当k ≥0时，因为f (x )在(0,2]上没有零点，且f (x )在(2,4)递增即至多一个零点，所以不合题意； (2)当k <0时，当f (2)>0即－2<k <0时，因为f (x )在(0,2]上没有零点，且f (x )在(2,4)递增即至多一个零点，所以不合题意；当f (2)＝0即k ＝－2时，不合题意；当f (2)<0即k <－2时，因为f (x )在(0,2]上有一个零点，所以须f (x )在(2,4)有一个零点．因为f (2)<0， 由二次函数图象得只须f (4)>0，解得k >－7. 综上，－7<k <－2.【解析】二(小函数法)因为f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx 在(0,4)上有两个不同的零点，所以方程||x 2－4＋x 2＋kx ＝0在(0,4)上有两个不同的解， 即||x 2－4＝－(x 2＋kx )在(0,4)上有两个不同的解，所以函数y ＝||x 2－4与y ＝－(x 2＋kx )图象在(0,4)上有两个不同的交点． 由两函数图象发现只须满足：错误!解得－7<k <－2.【解析】三(分离参数法)因为f (x )＝||x 2－4＋x 2＋kx 在(0,4)上有两个不同的零点，所以方程－k ＝||x 2－4＋x 2x在(0,4)上有两个不同的解，所以函数y ＝－k 与y ＝⎩⎨⎧4x，0<x ≤2，2x －4x ，2<x <4图象在(0,4)上有两个不同的交点．由函数y ＝⎩⎨⎧4x ，0<x ≤2，2x －4x ，2<x <4的图象可知，只须2<－k <7，即－7<k <－2.例8、 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________． 【答案】11 【解析】解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，1≤x ≤32，4－2x ， 32<x <2. 设x ∈[2n－1,2n )(n ∈N *)，则x 2n －1∈[1,2)，又f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ，①当x 2n －1∈⎣⎡⎦⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；②当x2n －1∈⎝⎛⎭⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n )，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n )，所以无解．综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x ∈[2n－1,2n )时，因为f (x )＝12n －1·f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1.令g (x )＝32x .当x ＝32·2n －1时，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1，所以当x ∈[2n －1,2n)时，x ＝32·2n －1为y ＝2xf (x )－3的一个零点． 下面证明：当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．当x ∈[2n－1,3·2n －2]时，y ＝f (x )单调递增，y ＝g (x )单调递减，f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以x ∈[2n－1,3·2n －2]时，有一零点x ＝3·2n －2；当x ∈(3·2n －2,2n)时，y ＝f (x )＝12n －1－12n －1⎝⎛⎭⎫x 2n －2－3，k 1＝f ′(x )＝－122n －3，g (x )＝32x ，k 2＝g ′(x )＝－32x 2∈⎝⎛⎭⎫－13·22n －3，－322n ＋1，所以k 1<k 2.又因为f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以当x ∈[2n －1,2n)时，y ＝2xf(x)－3只有一个零点．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法3 分别作出函数y＝f(x)与y＝32x的图像，如图，交点在x1＝32，x2＝3，x3＝6，…，x n＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.【反馈练习】1、函数y＝|x－1|＋|x＋a|是偶函数，则实数a的值是__________．【答案】 1【解析】由函数y＝|x－1|＋|x＋a|的图象所示)知：“断”点位置为x＝1和x＝－a，所以－a＝－1，即a＝1.2、函数y＝2||x－m在(2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________.【答案】(－∞，2]x－m的图象所示)知：m≤2.【解析】由函数y＝2||3、设f(x)＝|lg(x－1)|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．【答案】(4，＋∞)【解析】由于函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示．由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b＞2ab(由于a＜b)，所以ab的取值范围是(4，＋∞).图444、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．【答案】7【解析】由题意作出y ＝f (x )在区间[－2,4]上的图象所示，与直线y ＝1的交点共有7个，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为7.5、若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 【解析】作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图如图所示，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.6、若函数g (x )＝x 2－a |x |＋3只有两个单调区间，则a 的取值范围为_________． 【答案】 ( －∞，0]【解析】 若函数g (x )＝x 2－a |x |＋3只有两个单调区间，则a2≤0，所以a 的取值范围是(－∞，0]．7、已知函数f (x )＝|sin x |－kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x 0，则x 0(1＋x 20)sin2x 0＝________.【答案】 12【解析】由y ＝|sin x |(x ≥0)和y ＝kx 的图像可知，当曲线与直线恰有三个公共点时，直线y ＝kx 与曲线y ＝－sin x (x ∈[π，2π])相切，设切点横坐标为x 0，斜率为－cos x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧－sin x 0＝kx 0，－cos x 0＝k ，得tan x 0＝x 0. 因为sin2x 0＝2sin x 0cos x 0cos 2x 0＋sin 2x 0＝2tan x 01＋tan 2x 0＝2x 01＋x 20，所以x 0(1＋x 20)sin2x 0＝12.8、已知t 为常数，函数f (x )＝||x 3－3x －t ＋1在区间[－2,1]上的最大值为2，则实数t ＝_________. 【答案】 1【解析】所示，先作出函数y ＝x 3－3x 的图象，发现其经过点(－2，－2)，(－1,2)，(1，－2)，所以函数y ＝||x 3－3x 的图象经过点(－2,2)，(－1,2)，(1,2)．因为函数f (x )＝||x 3－3x －t ＋1在区间[－2,1]上的最大值为2，当1－t ＞0，t ＜1，不符合题意．当1－t ＝0，t ＝1，符合题意．当1－t ＜0，t ＞1，f (－2)＝f (1)＝|t ＋1|＞2，不符合题意．所以t ＝1.9、设函数f (x )＝x |x ＋2|，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________． 【答案】 (－∞，2－1]【解析】设f (x )＝t ，则f (t )≤3，由函数f (x )＝x |x ＋2|图象可得t ≤1，即f (x )≤1，所以，x ≤2－1，不等式f (f (x ))≤3的解集为(－∞，2－1]．10、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x ＞1，函数g (x )＝2－f (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (2,3]【解析】由题意，当y ＝f (x )－g (x )＝2[f (x )－1]＝0时，即方程f (x )＝1有4个解．又由函数y ＝a －|x ＋1|与函数y ＝(x －a )2的大致形状可知，直线y ＝1与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，x －a 2，x ＞1的左右两支曲线都有两个交点，如图所示．那么，有错误!即错误! 所以实数a 的取值范围是(2,3]．11、已知函数f (x )＝x |x －a |＋2x ，若存在a ∈[0,4]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实根，则实数t 的取值范围为________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫1，98 【解析】f (x )＝x |x －a |＋2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a －2x ，x ≥a ，－x 2＋a ＋2x ，x ＜a ，f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －a －222－a －224，x ≥a ，－⎝⎛⎭⎫x －a ＋222＋a ＋224，x ＜a ，因为0≤a ≤4，所以a －22＜a ，(1)当a ＋22≥a ，即0≤a ≤2时，f (x )在R 上递增， 不合题意； (2)当a ＋22＜a ，即2＜a ≤4时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a ＋22上递增，在⎝⎛⎭⎫a ＋22，a 上递减，在(a ，＋∞)上递增，若关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实根，则f (a )＜tf (a )＜f ⎝⎛⎭⎫a ＋22，2a ＜2at ＜⎝⎛⎭⎫a ＋222，所以1＜t ＜18⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋4，所以实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，98. 12、设a 为实数，函数f (x )＝e 2x ＋|e x －a |(x ∈R )，则当0<a <12时，函数f (x )的值域为_________(用a 表示)．【答案】 [a 2，＋∞)【解析】令e x ＝t >0，则f (x )＝g (t )＝t 2＋|t －a |，因为0<a <12，所以g (t )＝t 2＋||t －a ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋t －a ，t ≥a ，t 2－t ＋a ， 0<t <a ，所以 g (t )在(0，a ]递减，在[a ，＋∞)递增，所以g (t )值域为[a 2，＋∞)，即所以f (x )值域为[a 2，＋∞)．13、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，0)∪(2，＋∞)【解析】因为f (0)＝－1，x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a ≥0，只需x ＞0时，f (x )min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f (x )＜0分离参数，得⎝⎛⎭⎫x 2＋|x －2|x min ＜a ，易求得⎝⎛⎭⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．14、已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________． 【答案】116或－1－332【解析】 思路分析1 函数f(x)有且仅有三个零点，通常转化为方程f(x)＝0有三相异实根，再转化为两个新函数的图像有三个不同的交点，这两个新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点，所以构造的是函数y ＝4x ＋3与y ＝|x ＋a|－a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥－a ，－x －2a ，x<－a 的图像有且仅有三个不同的交点，再通过分类讨论的思想方法和三个零点构成等差数列建立关于a 的方程，从而求得a 的值．思路分析2 注意所研究的函数为分段函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋4x ＋3＋2a ，x<－a ，－x ＋4x＋3，x≥－a ，因此，分别来研究每一段中的零点的个数，由于函数分为两段，因此，只有两种可能，一段为两个零点，另一段为一个零点．另外，注意到当x≥－a 时，函数为f(x)＝－x ＋4x＋3不含参数，可以直接求解，因此需对这两个零点是否在解法1 由f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|＝0，得4x ＋3＝|x ＋a|－a ，原函数有三个零点，即可转化为函数y ＝4x＋3与y ＝|x ＋a|－a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥－a ，－x －2a ，x<－a图像有且仅有三个不同的交点，设三个交点的横坐标为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，易知a≠0.下面分两种情况讨论：(1)a>0.如图1所示．,图1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋3，y ＝x ，解得x 2＝－1，x 3＝4. 又三个零点构成等差数列，则x 2＝x 1＋x 32，得x 1＝－6，则有4－6＋3＝－(－6)－2a ，解得a ＝116符合题意．(2)a<0.如图2所示．,图2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋3，y ＝x ，解得x 3＝4，由x 2＝x 1＋x 32，得x 1－2x 2＝－4；再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋3，y ＝－x －2a ，消去y ，得x 2＋(2a ＋3)x ＋4＝0 (*)．由根据与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－（2a ＋3），x 1x 2＝4，且x 1－2x 2＝－4，解得⎩⎨⎧x 1＝－4a －103，x 2＝1－2a3，即（－4a －10）（1－2a ）9＝4，化简得4a 2＋8a －23＝0，综上(1)(2)可得a 的值为116或－1－323. 解得a ＝－2±332，检验方程(*)Δ(2a ＋3)2－16＝4a 2＋12a －7>0，但a<0，则a ＝－2－332满足题意．解法2 因为f(x)＝⎩⎨⎧x ＋4x ＋3＋2a ，x<－a ，－x ＋4x＋3，x≥－a ，所以由f(x)＝－x ＋4x＋3＝0得x ＝－1或4.(1)若－1≥－a ，即a≥1时，由于函数有三个零点，且成等差数列，所以，另一个零点x 0<－1，故－2＝4＋x 0，从而x 0＝－6，故－6＋4－6＋3＋2a ＝0，解得a ＝116，满足条件；(2)若－1<－a ，即a<1时，设函数f(x)＝x ＋4x ＋3＋2a(x<－a)的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，即x 1，x 2是方程x 2＋(2a ＋3)x ＋4＝0 (*)的两个实数根，从而x 1＋x 2＝－2a －3，x 1x 2＝4，又由于三个零点成等差数列，所以2x 2＝x 1＋4，消去x 1，x 2得4a 2＋8a －23＝0，解得a ＝－2±332，检验方程(*)Δ>0，而a<1，则a＝－2－332满足题意． 综上，实数a 的值为116或－2－332.。
[数学]-专题41 含绝对值的一次函数(原版)
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专题41 含绝对值的一次函数1．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y x =的图象和性质，并解决问题： （1）完成下列步骤，画出函数y x =的图象； ①列表、填空：②描点； ③连线．（2）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质．2．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数|1|y x =+的图象和性质，并解决问题．(1)按照下列步骤，画出函数|1|y x =+的图象； ①列表；②描点； ③连线．(2)观察图象，填空；①当x ___________时，y 随x 的增大而减小；x ___________时，y 随x 的增大而增大； ②此函数有最 ___________值（填“大”或“小” ），其值是 ___________； (3)根据图象，不等式11|1|22x x +>+的解集为 ___________．3．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：(1)在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象； ①列表填空：②描点、连线，画出|1|y x =-的图象；(2)结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质；(3)1102x -=的近似解． 4．某班“数学兴趣小组”对函数11y x =---的图象和性质进行了探究，探究过程如下： (1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：其中，m = ___________，n = ___________．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．(3)观察这个函数图象，写出它的两条性质：①___________；②___________．(4)请根据函数图象，直接写出当方程111x m ---=-有解时，m 的取值范围___________． 5．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数13y x =+-的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整：表格中m 的值为__________，n 的值为___________．(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；①当自变量x ________时，函数y 随x 的增大而增大； ②方程132x +-=的解是x =____________； ③不等式14x +<的解集为________．6．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数1y x a =-+的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．(1)列表：请根据表格中的信息，可得=a __________，b = __________．(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．②若点()11,A x y ，()22,B x y 在函数图象上，且121x x <<，观察图像写出1y 、2y 的大小关系． 并说明理由．(3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程112x a x m -+=+有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的m 取值范围是___________．7．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数1(3)2(3)x x y x -<⎧=⎨≥⎩的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：（2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有 ． ①函数图象关于y 轴对称； ②此函数无最小值；③当x ＜3时，y 随x 的增大而增大；当x ≥3时，y 的值不变．（3）若直线y ＝12x +b 与函数y ＝1(3)2(3)x x x -<⎧⎨≥⎩的图象只有一个交点，则b ＝ ．8．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数312y x =+-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）如图，在平面直角坐标系xoy 中，请同学们自己列表并画出函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的两条性质： ①____________②_____________（3）若关于x 的方程312x b +-=有两个互不相等的实数根，则实数b 的取值范围是______． 9．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象： ①列表填空：②描点、连线，画出|1|y x =-的图象：（2）结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质； （3）结合所画函数图象，当x =________时，|1|1x -=． 10．已知函数32x ky -+=，且当1x =时2y =；请对该函数及其图像进行如下探究： (1)根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为___________； (2)根据解折式，求出如表的m ，n 的值；m =___________，n =___________．(3)根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图像； (4)写出函数图像一条性质___________； (5)请根据函数图像写出当312x kx -+>+时，x 的取值范围．11．请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数1y x =-的图象和性质，并解决问题． (1)根据函数数表达式，填写下表：m =______，n =______．(2)利用（1）中表格画出函数1y x =-的图象．(3)观察图象，当x ______时，y 随x 的增大而减小． (4)利用图象，直接写出不等式1112x x -<+的解集． 12．小颖根据学习函数的经验，对函数11y x =--的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表：①k =______；②若()7,5A -，(),5B m -为该函数图象上不同的两点，则m =______． (2)描点并画出该函数的图象．(3)根据函数图象可得： ①该函数的最大值为______；②观察函数11y x =--的图象，写出该图象的两条性质：______，______； ③已知直线1112y x =-与函数11y x =--的图象相交，则当1y y ≤时x 的取值范围是______． 13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题： 在y a x b =+中，下表是y 与x 的几组对应值．(1)求a 、b 的值；(2)m =______，n =______；(3)在给出的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______；②写出该函数的另一条性质____________；(4)已知直线14y x =+与函数y a x b =+的图象交于两点，则当1y y >时，x 的取值范围为______． 14．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数21y x =--及其图像进行如下探究．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如表：其中m = ，n = ．(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质： ．(3)当112133x x --≤+时，x 的取值范围为___________．15．小颖根据学习函数的经验，对函数1|1|y x =--的图象与性质进行了探究，下面是小颍的探究过程，请你补充完整．(1)列表：①k =__________；②若(8,6),(,6)A B m --为该函数图象上不同的两点，则m =___________； (2)描点并画出该函数的图象．(3)根据函数图象可得：该的数的最大值为_____________；观察函数1|1|y x =--的图象，写出该图象的一条性质：_____________________； (4)已知直线1112y x =-与函数1|1|y x =--的图象相交，则当1y y <时x 的取值范围是__________．16．九年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数1y x =+的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m = ．描点：根据表中各组对应值(),x y ，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号） ①函数值y 随x 的增大而减小； ②1y x =+关于y 轴对称； ③1y x =+有最小值1． (3)在上图中，若直线1522y x =+交函数1y x =+的图象于A ，B 两点（A 在B 左侧），记()0,1为C 点．则ABC S ∆= ．17．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数13y x =+-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：(1)①表中a 的值为 ，b 的值为 ；②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象，发现函数的最小值为 ； (2)在函数13y x =+-的图象所在坐标系中，作13y x =的图象，交13y x =+-的图象于点A ，B （A 在B 的左侧），并观察图象，直接写出下列结果： ①方程组1313y x y x ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩的解为 ； ②不等式1133x x +-＜的解集为 ．18．有这样一个问题：探究函数21y x =-+的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数21y x =-+的图像与性质进行了探究．(1)①函数21y x =-+的自变量x 的取值范围是_____________；②若点A （－7，a ），B （9，b ）是该函数图像上的两点，则a ___________b （填“＞”“＜”或“＝”）；(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图像：(3)函数12y x =-和函数2211y x =-++的图像如图所示，观察函数图像可发现：①12y x =-的图像向___________平移________个单位长度得到21y x =-+，2211y x =-++的图像向___________平移________个单位长度得到21y x =-+； ②当21211x x -+=-++时，x ＝_____________；③观察函数2211y x =-++的图像，写出该图像的一条性质．19．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数2y x =-+的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．(1)列表：y 与x 的部分对应值如下表，则m =______，n =______；(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数2y x =-+的图象；(3)结合图象，写一条函数2y x =-+的性质：________________； (4)根据函数图象填空：①方程22x -+=有______个解；②若关于x 的方程2x a -+=无解，则a 的取值范围是______．20．小慧根据学习函数的经验，对函数y ＝|x ﹣1|+1的图象与性质进行了探究，下面是小慧的探究过程，请补充完整．（1）函数y ＝|x ﹣1|+1的自变量x 可以取 ； （2）列表，找出y 与x 的几组对应值．若A （8，8），B （m ，8）为该函数图象上不同的两点，则m ＝ ；（3）在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象，根据函数图象可得： ①该函数的最小值为 ；x+3与函数y＝|x﹣1|+1的图象交于C，D两点，当y1≥y时x的取值范围②已知直线y1＝12是．。
含绝对值的三角函数题型归纳
含绝对值的三角函数题型归纳1.sin .y x =的图象2.cos cos y x y x ==与的图象.3.tan y x =的图象.4.sin y x y x ==与的图象.5.tan y x y x ==与的图象.题型一：含绝对值的三角函数判断与应用1．关于三角函数的图像，有下列说法：①sin ||y x =与sin y x =的图像相同；②cos()y x =-与cos ||y x =的图像相同；③|sin |y x =与sin()y x =-图像关于x 轴对称；④cos y x =与cos()y x =-图像关于y 轴对称.其中正确的是__________.（写出所有正确说法的序号）【答案】②④【解析】对于②，()cos cos ,cos ||cos y x x y x x =-===，故其图像相同；对于④，()coscos y x x =-=，故其图像关于y 轴对称；由函数图像可知①③均不正确.故正确的说法是②④.故填②④2.图中的曲线对应的函数解析式是（）A．|sin |y x =B．sin ||y x =C．sin ||y x =-D．|sin |y x =-【答案】C【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|.3（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称B.函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数C.θ为第二象限的角，且cos tan θθ>，则sin cos θθ>.D.函数2cos sin y x x =+的最小值为1-答案AD 解：对于A：函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B：函数sin y x ==sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；对于C：由为第二象限的角,得tan sin θθ>,由cos tan θθ>,得sin cos θθ<,故C 错误;对于D：函数22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭当sin 1x =-时，函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD．3．函数sin sin y x x =-的值域是（）A.0B.[]1,1- C.[]0,1D.[]2,0-【答案】D【解析】：00y sinx sinx 20sinx sinx sinx >⎧=-=⎨<⎩，，，由此值域为[]y 2,0∈-4．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是（）A.3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.57,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A，【解析】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与cos y x =，()0,x π∈的图像，如图.观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选A.5.已知函数()sin cos f x x x =，则（D ）A.()f x 的值域为[]1,1- B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调C.π为()f x 的周期D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心6.（多选）.已知函数()[]sin cos f x x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大正数部分），则（AB）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 是偶函数C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的值域为[]sin1,sin1-.题型二：方程零点与函数交点问题1．（2022·全国课时练）方程cos x x =在(),-∞+∞内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【答案】C【解析】在同一坐标系中作出函数y x =及函数cos y x =的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程cos x x =有2个根．2．方程3sin ([2,2])xx x ππ=∈-的实数解有_______________个.【答案】2.【解析】在区间[]2π,2π-上，分别画出3x y =和sin y x =的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像在区间[]2π,2π-上有两个交点，也即3sin ([2,2])x x x ππ=∈-的实数解有2个.故填：2.3．函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内的零点个数为__________．【答案】6.【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数lg y x =和cos y x =的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数lg y x =和cos y x =的图像应有六个交点，即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有六个零点，应填答案6。
高考数学二次函数绝对值的问题典型试题及答案详解(6页)
高考数学二次函数绝对值的问题典型试题及答案详解 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明例1 设为实数，函数， （1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值解；（1）时，为偶函数时，为非奇非偶函数（2）当当当例2 已知函数，. (1)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒函数成立，求实数的取值范围；(3)求函数在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演a 2()||1f x x x a =+-+x R ∈()f x ()f x 0a =()f x 0a ≠()f x 22222131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ⎧⎛⎫+-+=++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=+-+=⎨⎪⎛⎫-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩()min 13,24a f x a ≤-=-()2min 11,122a f x a -<<=+()min 13,24a f x a ≥=+1)(2-=x x f |1|)(-=x a x g x )(|)(|x g x f =a R x ∈)()(x g x f ≥a )(|)(|)(x g x f x h +=算步骤）.解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得.（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立， ①当时，（*）显然成立，此时；②当时，（*）可变形为，令因为当时，，当时，，所以，故此时.综合①②，得所求实数的取值范围是.（3）因为=|()|()f x g x =2|1||1|x a x -=-|1|(|1|)0x x a -+-=1x =|1|x a +=0a<()()f x g x ≥x ∈R 2(1)|1|x a x --≥x ∈R 1x =a ∈R 1x ≠21|1|x a x -≤-21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩1x >()2x ϕ>1x <()2x ϕ>-()2x ϕ>-2a -≤a 2a -≤2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥当时，结合图形可知在上递减，在上递增， 且，经比较，此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且, ，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递增，在上递减， 故此时 在上的最大值为.综上所述，当时，在上的最大值为；当时， 在上的最大值为；当时， 在上的最大值为0.1,22a a >>即()h x [2,1]-[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+()h x [2,2]-33a +01,22a a 即0≤≤≤≤()h x [2,1]--[,1]2a -[1,]2a --[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+2()124a a h a -=++()h x [2,2]-33a +10,02a a -<<即-2≤≤()h x [2,1]--[,1]2a -[1,]2a --[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+2()124a a h a -=++()h x [2,2]-3a +31,222a a -<-<-即-3≤≤()h x [2,]2a -[1,]2a -[,1]2a [,2]2a -(2)330h a -=+<(2)30h a =+≥()h x [2,2]-3a +3,322a a <-<-即()h x [2,1]-[1,2]()h x [2,2]-(1)0h =0a ≥()h x [2,2]-33a +30a -<≤()h x [2,2]-3a +3a <-()h x [2,2]-练习：1. 已知函数.（1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值2. 已知函数（1）若，，求的值（2）若时，恒成立，求的取值范围3. 已知函数，其中a 是实数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，的最小值为，求a 的值答案：1.（1）函数为偶函数非奇非偶函数（2）2||)(2+-+=a x x x f )(x f )(x f ()221()f x x mx m R =-+∈2m =[]0,3x ∈()()max min D f x f x =-[]0,2x ∈()8f x ≤m |21|21)(2a x x x f -++=)(x f ]1,1[-∈x )(x f 221a 0a =0a ≠()22117,2(),24x a f x x x a x a ≥=++-=++-()22217,224x a f x x x a x a ⎛⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭2.（1）4（2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置 当在上递增 ，当在上递减，上递增当在上递减 综上所述： 3.（1）①当时，，有，所以为偶函数； ②当时，，所以不是奇函数；又因为，而， 即，所以不是偶函数； 综上，当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）①若，即，当时，，2min 71,4211()2,2271,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩0,m <()f x []0,2()32804f m ≤∴-≤<02,m ≤≤()f x []0,m [],2m ()()833428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨≤⎪⎩2,m >()f x []0,2()132824f m ≥-∴<≤31344m -≤≤21=a ||21)(2x x x f +=)()(-x f x f =)(x f 21≠a 0|21|)0(≠-=a f )(x f 2)12(21)1-2(-=a a f |21|2)12(21)2-(12a a a f -+-=)12()2-(1-≠a f a f )(x f 21≠a )(x f 2213(1)2,2122()11(1)2,2122x a x a f x x a x a ⎧--+<-⎪⎪=⎨⎪++-≥-⎪⎩112-≤-a 0≤a ]1,1[-∈x a x a x x x f 221)1(212121)(22-++=-++=故在上递增，所以，得.②若，即， 当时，， 故在上递减，所以，得或.③若，即， 故在上递减，在上递增； 所以，得.综上，或或或.)(x f ]1,1[-=-=-=a f x f 221)1()(min 221a 52--=a 112≥-a 1≥a ]1,1[-∈x a x a x x x f 223)1(212121)(22+--=+--=)(x f ]1,1[-=+-==a f x f 223)1()(min 221a 1=a 3=a 1121<-<-a 10<<a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--++-<≤-+--=)112(221)1(21)121(223)1(21)(22x a ax a x ax x f )(x f ]12,1[--a ]1,1[2-a 22min 212122)12()(a a a a f x f =+-=-=31=a 52--=a 31=a 1=a 3=a。
2024年高考数学专题复习冲A专题(1)含绝对值的函数
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冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
知识提要
专题考点
二、已知y=|f(x)-(kx+b)|在区间x∈[s,t]上的最大值为M,则M的最小
值是
.
这里仅通过类比或数形结合进行理解.
1.多点控制:|f(x)|在x∈[s,t]上的最大值的最小值问题(端点或切比雪
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
2
பைடு நூலகம்
化简得 t≤
解得
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冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
专题考点
专题考点
3.(2019年6月浙江学考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)
上单调递增.若对任意x∈R,不等式f(a+|x-b|)≥f(|x|-2|x-1|)(a,b∈R)
冲A专题(1)
含绝对值的函数
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冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
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专题考点
一、绝对值的意义
1.绝对值函数的代数表达:f(x)=|x-a|=
-, ≥ ,
-, < .
一般解决绝对值问题,常规方法是采用分类讨论去绝对值,比较适
合大题的解答;对选择填空,可采用几何意义或两边夹逼近的思想.
则f(x)≤4恒成立⇔M≤4.
(i)当a≤0时,由(2)可知,
对于任意的x∈[-1,1],f(x)≤a2-a+2恒成立,
所以M=a2-a+2.
专题32：绝对值函数答案
专题21：含有绝对值的问题一．V 形函数相关问题1．已知函数f (x )＝|2x －3|，若0＜2a ＜b ＋1，且f (2a )＝f (b ＋3)，则T ＝3a 2＋b 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0______． 2．已知关于x 的方程1+=ax x 有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是 a ≥1 ；3．若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围 是9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭_. 二．平底函数相关问题1．不等式21x x a -++≤，对[1,5]x ∀∈恒成立的实数a 的取值范围 是 9a ≥ ；2．已知|3||1|)(-++=x x x f ，若对一切R x ∈都有a x f >)(成立，则实数a 的取值范围是 。
3．若函数|||1|)(a x x x f -+-=的对称同轴方程为2=x ，则实数a 的取值范围 是 3=a ；4．函数||||)(a x x x f ++=在),0[+∞上为增函数，则a 的取值范围为____（答：0≥a ）5．若函数|||2|)(a x x x f -+-=的对称方程为3=x ，则实数=a 。
三．“Z ”型函数1．已知|3||1|)(--+=x x x f ，若对一切R x ∈都有a x f >)(成立，则实数a 的取值范围是 。
2．直线y kx =与曲线|ln ||2|x y e x =--有3个公共点时，实数k 的取值范围 是 (0,1) ．3．设直线x=t 与函数2()f x x =， ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为 22 ： 4．设,m n Z ∈,函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若关于x 的方程012||=++m x 有唯一的实数解，则m n += 1 .5．设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x=++∈∈+最大值为()g m ，则()g m 的最小值 为 34 ． 6．函数2121(0)()2(0)x x x x f x ax -⎧+-≤⎪=⎨+>⎪⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围 为 12a <- ． 7．已知t 为常数，函数3()31f x x x t =--+在区间[]2,1-上的最大值为2，则实数t = 1 ．8．已知函数|11|)(xx f -=,若b a <<0，且)()(b f a f =，则b a +2的最小 值为 32+9．设函数f(x)＝|x 2－1|，若a ＜b ＜0，且f(a)＝f(b)，则a 2－1b 2的取值范围为___(－∞，0)__．10．若关于x 的方程2||1x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围 是 4-<k ．11．若函数f (x)满足(1)-()f x f x +=，且 (1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数为 4 。
高考数学难点突破：含绝对值三角函数问题含详解
高考数学难点突破：含绝对值三角函数问题一、单选题1．已知函数()cos sin f x x x =-，则下列结论中，正确的有()A ．π是f (x )的最小正周期B ．f (x )在(4π，2π)上单调递增C ．f (x )的图像的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈Z D ．f (x )的值域为[02．已知函数()sin 2062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围为（）A ．0,4π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．关于函数()11cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增；③()f x 是周期函数，且最小正周期为π；④()f x a ≥恒成立的充要条件是a ≤则其中所有正确结论的编号是（）A ．①②④B ．①③C ．②③D ．①④4．已知函数sin 24()e xx xf x +=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数1()sin 22f x x =+．给出下列结论：①()f x 最小正周期为π；②()f x 最小值为12；③把函数()y f x =的图象上所有点向左或向右平移4π个单位所得()y g x =都是偶函数；④()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．其中所有正确结论的序号是()A ．①④B ．③C ．②③D ．①②③6．若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[1,-D ．[1,7．关于函数()|2sin |cos =+f x x x 有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调；③函数()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则-=M m ；④若12a <<，则函数()y f x a =-在[,]-ππ上有4个零点．其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②③8．已知()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b ab ∈≠R .若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切的x ∈R 恒成立，且π02f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是()A ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 9．已知函数()sin 02{e 0x x x f x x π=<，， ，若存在实数()12345i x i =，，，，．当()11234i i x x i -<=，，，时，满足()()()()()12345f x f x f x f x f x ====．则()51i i i x f x =∑的取值范围为（）A ．61e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦，B ．510e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，C ．()4∞-，D ．514e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，10．函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A ．11B ．9C ．7D ．511．定义在R 上的偶函数f (x )满足()(2)f x f x =-，当x ∈[0，1]时2()f x x =，则函数()()sin 2()g x x f x π=-在区间1522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的所有零点的和为（）A ．10B ．9C ．8D ．612．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现有下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π；②()510log 42f <<；③()f x 的图象关于直线3x π=-对称；④()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.其中所有正确结论的序号为()A ．①③④B ．①②④C ．①③D ．②④二、多选题13．已知函数()f x =()A ．()f x 的图象关于2x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的最小值为1D ．()f x 的最大值为34214．已知函数()sin cos sin 2f x x x x =++，则（）A ．π是函数()f x 的一个周期B ．4x π=-是函数()f x 的一条对称轴C ．函数()f x1，最小值为1-D ．函数()f x 在35[,]43ππ上单调递增15．已知函数f (x )＝sin(|cos x |)＋cos(|sin x |)，则以下结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )是最小正周期为2π的偶函数C ．f (x )在区间(0,)2π上单调递减D ．方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根16．高斯是德国著名的数学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[3.8]4-=-，[1.5]1=），则[]y x =称为高斯函数．已知函数()sin sin f x x x =+，()[()]ϕ=x f x ，下列结论中不正确是（）A ．函数()ϕx 是周期函数B ．函数()ϕx 的图象关于直线2x π=对称C ．函数()ϕx 的值域是{}012，，D ．函数()()2g x x x πϕ=-只有一个零点17．关于函数()sin ,024,2x x f x x x π⎧≤≤=⎨->⎩，下列说法正确的是（）A ．()1(32f f >B ．17(()34f f >C ．不等式()1f x >的解集为()2,3D ．若存在实数(),,,,a b c d e a b c d e <<<<满足()()()()()f a f b f c f d f e ====，则()()()()()af a bf b cf c df d ef e ++++的取值范围为()0,718．已知函数()(sin cos )|sin cos |f x x x x x =+⋅-，下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．若()()122f x f x +=.则12(Z)2k x x k π+=∈C ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．()y f x =的对称轴是(Z)4x k k ππ=+∈第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题19．已知函数()sin f x x x =-，下列关于函数()f x 的说法正确的序号有________.①函数()f x 在73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；②2π是函数()f x 的周期；③函数()f x 的值域为[2,1]-；④函数()f x 在[2,2]ππ-内有4个零点.20．设函数()cos f x x x =-，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的值域为⎡-⎣；③()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④()f x 在[],ππ-上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.21．若关于x 的不等式2sin sin 1(0)a x b x c a ++≤>的解集为[]2,2,k k k Z πππ+∈，则a 的取值范围是_______.22．已知函数()|2cos 2|f x x x =+的图象关于直线(02)x m m π=<<对称，则m 的最大值为________．23．函数()sin cos 2f x x x =+的值域是________.24．不等式sin 02x x π⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-的解集为________.四、双空题25．已知函数()[][]sin cos 32x x f x =+，[]0,2x π∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：[]11=，[]0.50=，[]0.51-=-．①56f ⎛⎫=⎪⎝⎭π______；②若()f x x m >+对任意[]0,2x π∈都成立，则实数m 的取值范围是______．26．已知函数()3log ,03sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，方程()f x m =有四个不相等的实数根()12341234,,,x x x x x x x x <<<．（1）实数m 的取值范围为_____________；（2）1234x x x x 的取值范围为______________．27．已知函数()f x =()f x 的最小正周期为___________；当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为___________.28．函数()3sin cos 2f x x x =-[]()0,2x π∈的最大值为_________，所有零点之和为_________.参考答案：1．B 【解析】【分析】根据()()2f x f x π+=可知()f x 的一个周期为2π，由此可判断A ；化简()f x 在(4π，)2π上解析式，即可得出()f x 的单调性，由此可判断B ；根据()f x 的奇偶性判断C ；根据()2f x 的范围即可求f (x )值域，由此可判断D ．【详解】①cos sin 222f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()sin cos cos sin x x x x f x =--=-=，∴2π是()f x 的一个周期，故A 错误；②当(4x π∈，)2π时，()cos sin sin cos 4f x x x x x x π=-=--，(4x π∈ ，)2π，(0,)44x ππ∴-∈，()f x ∴在(4π，)2π上单调递增，故B 正确；③显然()f x 是偶函数，故0x =是()f x 的一条对称轴，故C 错误；④[]2cos sin 12sin cos 1sin 20,1x x x x x -=-=-∈，∴()[]0,1f x ∈，故D 错误.故选：B.2．B 【解析】【分析】由,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得26x πϕ++的取值范围，根据函数sin y x =的单调性可得出关于ϕ的不等式组，由此可解得ϕ的取值范围.【详解】因为,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以572,666x πππϕϕϕ⎛⎫++∈++⎪⎝⎭．因为02πϕ<<，所以554663πππϕ<+<，则775663πππϕ<+<，因为函数sin y x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以567362πϕπππϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得63ππϕ≤≤.故选：B.3．D 【解析】【分析】根据奇偶性定义判断出①正确；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2144f x x x ππ=⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数单调性、复合函数单调性的判断方法可知②错误；由()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭知③错误；利用②③的结论可知()min f x =.【详解】对于①，由cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩得：x k π≠且()2x k k Z ¹+Îpp ，()f x ∴定义域关于原点对称；又()()()()1111cos sin cos sin f x f x x xx x -=+=+=--，()f x ∴为定义域上的偶函数，①正确；对于②，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()11sin cos cos sin sin cos x x f x x x x x +=+=，()2211sin cos sin cos 44f x x x x x xx ππ∴==⎛⎫+-+-⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；则当,442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，144y x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭单调递增，()f x ∴单调递减；当3,424x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，144y x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭单调递减，()f x ∴单调递增；②错误；对于③，()11112sin cos cos sin 22f x f x x x x x πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，2π∴是()f x 的周期，即()f x 的最小正周期不是π，③错误；对于④，由②推导过程可知：()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭由③知：2π是()f x 的周期；()f x ∴在定义域上的最小值为∴对于实数a ，()f x a ≥恒成立的充要条件是a ≤.故选：D.4．A 【解析】【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再取特殊值根据函数图象的变化趋势判断【详解】定义域为R ，因为sin(2)(4)sin 24()()e ex xx x x xf x f x --+-+-==-=-，所以()f x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以排除CD ，当1x =，sin 24(1)(1,2)ef +=∈，当x →+∞时，e x 的增加幅度远大于sin 24x x +的变化幅度，则x →+∞时，()0f x →，所以排除B ，故选：A 5．C 【解析】【分析】①根据绝对值的意义，结合图像即可判断；②根据正弦函数值域即可求解；③求出平移后函数解析式判断即可；④去掉绝对值符号判断即可.【详解】y ＝sin2x 的最小正周期为π，sin 2y x =的图像是：y ＝sin2x 图像在x 轴上方部分保持不变，将在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，根据对称性可知，sin 2y x =的最小正周期缩短为y ＝sin2x 周期的一半，为2π；sin 2y x =＋12是将sin 2y x =图像向上平移12个单位，周期保持不变，∴f (x )的最小正周期为2π，故①错误；111()sin 20222f x x =++=≥，∴()f x 最小值为12，故②正确；π1π11()sin 2sin 2cos 242222g x x x x ⎛⎫⎛⎫=±+=±+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()y g x =是偶函数，故③正确；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()20,πx ∈，sin2x ＞0，∴()1sin 22f x x =+，∴f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故④错误.故选：C ．6．A 【解析】【分析】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.对k 进行讨论，即可求出答案.【详解】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.（1）当12k <时，则2()220t t k t kt -≤⇒--≤，令2()2g t t kt =--，max ()(1)101g t g k k ==--≤⇒≥-.故112k -≤<.（2）当1k >时，则2()220t k t t kt -≤⇒-+≥，令2()2g t t kt =-+①当12k<时，212k k <⇒<<，则22min ()()201242k k k g t g k ==-+≥⇒<≤②当12k≥时，2k ≥，则min ()(1)120323g x g k k k ==-+≥⇒≤⇒≤≤故13k <<（3）当112k ≤≤时，则||2t t k -≤在1[,1]2t ∈上恒成立，故112k ≤≤.综上所述：[1,3]k ∈-故选：A.7．A 【解析】【分析】①利用函数奇偶性的定义判断；②③④由()2sin cos f x x x =+=)x ϕ+，结合函数的对称性和周期性，作出()f x 的大致图象判断；【详解】由 ()|2sin()|cos()|2sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，可知()f x 为偶函数，①对.由2sin(2π)cos()|2sin |cos (()2π)||2πx f x x x x f x -+==+-=-，得()f x 关于πx =对称；由(2π)()f x f x +=，得()f x 的周期为2π；当[0π]x ∈，时，()2sin cos f x x x =+=)x ϕ+，其中1tan 2ϕ=且π06ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，；作出()f x 在[0π]，上的图象，并根据()f x 的对称性及周期性作出()f x 的大致图象.由图可知，()f x 在π02ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在ππ2ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，所以()f x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，②错；()f x的最大值M ，最小值1m =-，故1M m -=+，③错；若12a <<，则()y f x a =-在[ππ]-，上有4个零点，④对，故选：A.8．B 【解析】【分析】利用辅助角公式，化简得())f x x θ=+．根据()6f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，可得当6x π=时函数有最大值或最小值，从而得出6k πθπ=+，k ∈Z ．再由()02f π>知1k =-，56πθ=-，进而得到5())6f x x π=-，最后根据正弦函数单调增区间即可求得()f x 的单调递增区间．【详解】根据题意，可得()sin 2cos2)f x a x b x x θ=+=+，其中tan b aθ=．()()6f x f π对一切x ∈R 恒成立，∴当6x π=．因此，262k ππθπ⨯+=+，解得6k πθπ=+，k ∈Z ，())02f ππθθ+=> ，sin 0θ∴<，从而取1k =-得到566ππθπ=-=-．由此可得5()6f x x π-，令5222262k x k πππππ-+-，得263k x k ππππ++ ，()f x ∴的单调递增区间是[6k ππ+，23k ππ+，k ∈Z ．故选：B ．9．D 【解析】【分析】由正弦函数的性质可知，231x x +=，453x x +=，10x <，所以()()()()15111144x iii x f x xf x x e ==+=+∑，令()()4e (0)xg x x x =+<，利用导数得到函数()g x 的单调性和极值，求出()g x 在0x <时的值域，从而得到()51i i i x f x =∑的取值范围．【详解】由正弦函数的性质可知，231x x +=，453x x +=，10x <，()()()()()()15123451111144e x i i i x f x x x x x x f x x f x x =∴=++++=+=+∑，令()()4e (0)xg x x x =+<，则()()5e x g x x +'=，当()5x ∞∈--，时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当()50x ∈-，时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，又 当4x <-时，()0g x <，且()04g =，()min 51()5g x g e ∴=-=-，()514e g x ∴-≤<，()51i i i x f x =∴∑的取值范围为514e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，故选：D ．10．D 【解析】【分析】结合正弦函数的最值，对称性求ϕ的值，再结合单调性确定ω的最大值.【详解】∵||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3sin x x f ωϕ=+，∴32k ππωϕπ+=+，k Z ∈，又对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴6m πωϕπ-+=，m Z ∈，∴3(2)2k m πϕπ=++，又2πϕ<，∴6π=ϕ或6πϕ=-，当6π=ϕ时，31w k =+，k Z ∈且61w m =-+，当7w =时，()3sin 76f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，若52,369x p p 骣琪Î琪桫，则4131736618x πππ≤+≤，∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，C 错误，当6πϕ=-时，32w k =+，k Z ∈且61w m =--，当11w =时，()3sin 116f x x π⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，若52,369x p p 骣琪Î琪桫，则49411136618x πππ≤-≤，∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 错误，当5w =时，()3sin 56f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，若52,369x p p 骣琪Î琪桫，则1917536618x πππ≤-≤，∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，D 正确，故选：D.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.11．A 【解析】【分析】根据条件()(2)f x f x =-可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f (x )在512⎛⎤⎝⎦，的图象；令()()sin 2h x x π=，画出其图象，进而得出函数()sin 2y x π=的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论．【详解】因为定义在R 上的偶函数f (x )满足()(2)f x f x =-，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，2()f x x =，可以得出函数f (x )在112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象，进而得出函数f (x )在1522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的图象.画出函数2()f x x =，1522x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，的图象；令()()sin 2h x x π=，可得周期T 22ππ==1，画出其图象，进而得出函数()sin 2y x π=的图象．由图象可得：函数()()sin 2()g x x f x π=-在区间1522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为5210⨯=.故选：A ．12．A 【解析】【分析】根据绝对值对函数图像的影响，作出函数图像，有图像即可判断①③；根据02x π<<时f (x )的值域可判断()5log 4f 范围，根据f (x )在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性，可比较()451log log 23f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、的大小.【详解】作出()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 的最小正周期是π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，故①③正确；当02x π<<时，1()2f x >，而50log 412π<<<，∴()51log 412f <<，故②错误；∵()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且44511log 3log log 123263ππ<-=<<<<--，∴()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故④正确.故选：A.【解析】【分析】A ：验证()f x π-与()f x 是否相等即可；B ：验证()f x π+与()f x 相等，从而可知π为f (x )的一个周期，再验证f (x )在(0，π)的单调性即可判断π为最小正周期；C 、D ：由B 选项即求f (x )最大值和最小值.【详解】()()f x f x π-=，故选项A 正确；∵()()f x f x π+=，故π为()f x 的一个周期.当(0,)x π∈时，()f x =此时3322cossin 22()cos sin 22x x x x f x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令()0f x '=，得cossin 22x x =，故,242x x ππ==.∵当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最小正周期为π，选项B 错误；由上可知()f x 在[0,]x π∈上的最小值为()(0)1f f π==，最大值为3422f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x 的周期性可知，选项CD 均正确.故选：ACD.14．ABC 【解析】【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A ，B ；换元借助二次函数最值判断选项C ；利用复合函数单调性判断选项D 作答.因()()()()()sin cos sin 2sin cos sin 2f x x x x x x x f xππππ+=+++++=++=，A 正确；因()|sin()cos()|sin 2()|cos sin |2222f x x x x x x ππππ--=--+--+--=--+sin(2)x π--sin cos sin 2()x x x f x =++=，B 正确；令sin cos x x t +=，有2sin 21x t =-，则2sin cos sin 21y x x x t t =++=+-，0,4t x π⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，因为21y t t =+-在⎡⎣上单调递增，即函数()f x 1，最小值为1-，C正确；函数()f x 由21y t t =+-和sin cos x x t +=复合而成，函数21y t t =+-在⎡⎣上单调递增，4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在35[,)44ππ上递增，在55(,]43ππ上递减，则函数()f x 在35[]43ππ，上不单调，D 不正确.故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.15．ACD 【解析】【分析】根据对称性，周期性，复合函数单调性可判断选项ABC ，结合单调性和周期性对函数1()2g x x =和()f x 的图象交点情况讨论可判断D.【详解】()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ-=-+-=+ ，()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ+=+++=+，()()22f x f x ππ∴-=+，故A 正确；()sin(cos())cos(sin())sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x πππ+=+++=+= ，故B 不正确；当(0,2x π∈时，cos t x =单调递减，sin ,(0,1)y t t =∈单调递增，所以，sin(cos )sin(cos )y x x ==单调递减，同理，cos(sin )cos(sin )y x x ==单调递减，故函数()f x 在区间(0,2π上单调递减，所以C 正确；易知()f x 为偶函数，综上可知：()f x 的周期为π，且在区间(0,2π上单调递减，在区间(,)2ππ上单调递增，在区间3(,)2ππ上单调递减.令1()2g x x =，因为(0)sin11(0)0f g =+>=，()cos1cos ()24224f g ππππ=<==，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(0,)2π内有且只有一个交点；又2()sin11sin 1()422f g ππππ=+>+==，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(,)2ππ内有且只有一个交点；又333(cos1()224f g πππ=<=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间3(,2ππ内有且只有一个交点.因为(2)sin11(2)f g πππ=+<=，由()f x 周期性和()g x 单调性可知，当2x π>或0x ≤时，两函数图象无交点.综上所述，方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根故选：ACD 16．AB 【解析】【分析】由题可知函数()sin sin f x x x =+为偶函数，结合条件可得2,225()[()]0,22,222,Z 6651,22,2662x k x f x k x k k x k k k x k x k ππππϕπππππππππππ⎧=+⎪⎪⎪==<<++<≤+∈⎨⎪⎪+≤≤+≠+⎪⎩，然后逐项判断即得.【详解】∵()sin sin ,R f x x x x =+∈，∴()()sin sin sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()sin sin f x x x =+为偶函数，sin y x =不是周期函数，sin y x =是周期函数，对于0x >，当22,Z k x k k πππ<≤+∈时，()2sin f x x =，当222,Z k x k k ππππ+≤≤+∈时，()0f x =，∴2,225()[()]0,22,222,Z 6651,22,2662x k x f x k x k k x k k k x k x k ππππϕπππππππππππ⎧=+⎪⎪⎪==<<++<≤+∈⎨⎪⎪+≤≤+≠+⎪⎩，由函数()sin sin f x x x =+为偶函数，函数()ϕx 是偶函数，0x >时函数()f x 成周期性，但起点为0x =，所以函数()ϕx 不是周期函数，故选项A 不正确；由函数()ϕx 是偶函数，函数()ϕx 的图象关于0x =对称，由()22πϕ-=，3()02πϕ=，故函数()ϕx 的图象不关于2x π=对称，故B 不正确；由上可知函数()ϕx 的值域是{}012，，，故C 正确；由()()02g x x x πϕ=-=可得，2()x x ϕπ=，当20x π=时，0x =，(0)0ϕ=，当21x π=时，2x π=，()22ϕπ=，当22x π=时，x π=，()0ϕπ=，故直线2y x π=与()y x ϕ=的图象只有一个交点，即函数()()2g x x x πϕ=-只有一个零点，故D 正确.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数()f x 的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数()ϕx 的性质即得.17．BCD 【解析】【分析】根据给定条件计算判断选项A ，B ；解不等式()1f x >判断选项C ；作出函数()y f x =的图象与直线y t =，数形结合计算判断D 作答.【详解】因函数()sin ,024,2x x f x x x π⎧≤≤=⎨->⎩，则1()|sin |122f π==，(3)431f =-=，A 不正确；1(|sin |33f π==77()|sin |44f π==，B 正确；当02x ≤≤时，()01f x ≤≤，则不等式()1f x >化为241x x >⎧⎨->⎩，解得23x <<，()1f x >的解集为()2,3，C 正确；因存在实数(),,,,a b c d e a b c d e <<<<满足()()()()()f a f b f c f d f e ====，令()f a t =，则方程()f x t =有4个互异实根,,,,a b c d e ，即函数()y f x =的图象与直线y t =有4个公共点，作出函数()y f x =的图象与直线y t =，如图，因当02x ≤≤时，()01f x ≤≤，则01t <<，又()|sin |f x x π=在[0,1]上的图象关于直线12x =对称，在[1,2]上的图象关于直线32x =对称，因此有：1,3,4a b c d e t +=+==-，则()()()()()(8)af a bf b cf c df d ef e t t ++++=-，而函数28t t -+在(0,1)上递增，则有0(8)7t t <-<，所以()()()()()af a bf b cf c df d ef e ++++的取值范围为()0,7，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.18．BD 【解析】【分析】把函数()f x 化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】依题意，3cos 2,2244()(Z)5cos 2,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧-+<<+⎪⎪=∈⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，函数()f x部分图象如图，函数()f x 是周期函数，周期为2π，而()[sin()cos()]|sin()cos()|()f x x x x x f x πππππ+=+++⋅+-+=-，即π不是()f x 的周期，A 不正确；因()11f x ≤且()21f x ≤，则当()()122f x f x +=时，1|cos 2|1x =且2|cos 2|1x =，则112k x π=且222k x π=，12,Z k k ∈，因此，1212()22k k k x x ππ++==，12Z k k k +=∈，B 正确；观察图象知，()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，事实上，(0)10()4f f π=>=，()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，C 不正确；观察图象知，4x π=，34x π=-是函数()y f x =图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，事实上()[sin()cos()]|sin()cos()|()22222f x x x x x f x πππππ-=-+-⋅---=，即()y f x =图象关于4x π=对称，同理有()y f x =图象关于34x π=-对称，而函数()f x 的周期是2π，所以函数()y f x =图象对称轴,Z 4x k k ππ=+∈，D 正确.故选：BD 【点睛】结论点睛：存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.19．①③④【解析】【分析】①化简解析式，求出3x π+范围，根据正弦函数的单调性即可判断；②根据奇偶性举特例验证f (x ＋2π)与f (x )关系即可；③分类讨论求出f (x )解析式，研究在x ≥0时的周期性，再求出值域即可；④根据值域和单调性讨论即可.【详解】∵函数()sin f x x x =-，定义域为R ，()()()sin sin f x x x x x f x -=--=-=，∴()f x 为偶函数.当73,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0x <，()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，311326x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，此时正弦函数为增函数，故①正确；∵sin 0333f πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴033f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，而52333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2π不是函数()f x 的周期，故②错误；当022x k ππ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，或32222k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，，k ∈Z 时，cos cos x x =，此时()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，当32222x k k ππππ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，，k ∈Z 时，cos cos x x =-，此时()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故0x 时，2π是函数的一个周期，故考虑[]0,2x π∈时，函数的值域，当02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x 单调递增，();f x ⎡⎤∈⎣⎦当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，53,362x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减，()()2,1f x ∈-；当322x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，75,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()2,f x ⎡∈-⎣，综上可知，()[]2,1f x ∈-，故③正确；由③知，02，π⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，()002f f π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且函数单调递增，故存在一个零点，当726x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，7026f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当[]0,2x π∈时，函数有2个零点，∵函数为偶函数，∴函数()f x 在[]2,2ππ-内有4个零点.故④正确；故答案为：①③④.20．①②④【解析】【分析】讨论x 的范围去掉绝对值可得到()f x ，结合图象逐项分析可得答案.【详解】当()2,2,2πππ⎡⎫∈+∈⎪⎢⎣⎭x k k k Z 时，()cos sin cos 2sin 6π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭f x x x x x x ，当()22,2，ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭x k k k Z 时，()cos sin cos 2sin 6π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭f x x x x x x ，当()322,2，ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭x k k k Z 时，()cos cos 2sin 6π⎛⎫=-=+=-- ⎪⎝⎭f x x x x x x ，当()3222,2ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭x k k k Z 时，()cos cos 2sin 6π⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭f x x x x x x ，所以()2sin 2,2622sin 2262()32sin 226232sin 22262，，，，，，，πππππππππππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫-∈+ ⎪⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎪⎪⎛⎫⎡⎫+∈++⎪ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=∈⎨⎛⎫⎡⎫⎪--∈++ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎪⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩x x k k x x k k f x k Z x x k k x x k k ，()f x的图象如下所以()f x 的最小正周期为π，①正确；()f x的值域为⎡-⎣，②正确；()f x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有增有减，③错误；()f x 在[],ππ-上有4个零点，④正确.故答案为：①②④.21．(]0,8【解析】【分析】令sin t x =，将原问题转化为关于t 的不等式211(0)at bt c a -≤++≤>的解集为[]0,1，结合二次函数的性质，即可求出结果.【详解】令sin t x =，若关于x 的不等式2sin sin 1(0)a x b x c a ++≤>的解集为[]2,2,k k k Z πππ+∈，等价于若关于t 的不等式21(0)at bt c a ++≤>的解集为[]0,1，即关于t 的不等式211(0)at bt c a -≤++≤>的解集为[]0,1，若0a >，可知函数2y at bt c =++的对称轴为10122t +==，开口向上，所以函数2y at bt c =++图象如图所示：当0=t 时，1c =，当1t =时，1a b c ++=，即=-b a 最小值为12t =时，11142a b c ++≥-，所以111142a a -+≥-，解得08a <≤，即(]0,8a ∈.故答案为：(]0,822．2312π##2312π【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简，再根据sin y x =的对称轴，即可求解.【详解】解：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又sin y x =的对称轴为()2k x k Z π=∈，令2()62k x k ππ+=∈Z ，得()124k x k ππ=-+∈Z ，因为02m π<<，所以当8k =时，m 的最大值为2312π．故答案为：2312π23．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由题知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 为周期函数，最小正周期为π，进而将问题转化为求[]0,x π∈时函数的值域，再结合二倍角公式和二次函数性质求解即可.【详解】解：因为()()()sin cos 2sin cos 2sin cos 2f x x x x x x x f x -=-+-=-+=+=，所以函数()f x 为偶函数，所以当0x ≥时，()sin cos 2f x x x =+，()()()()sin cos 2sin cos 2f x x x x x f x πππ+=+++=+=⎡⎤⎣⎦，所以当0x ≥时，()f x 为周期函数，周期为π，所以当[]0,x π∈时，()2219sin cos 22sin sin 12sin 48f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 0,1∈x ，所以当1sin 4x =时，()f x 取得最大值98；当sin 1x =时，()f x 取得最小值0，所以当0x ≥时，()90,8f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以根据偶函数性质，函数()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦24．(),0,,222πππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】分别在[],2x ππ∈-时解不等式组02sin 0x x π⎧-<⎪⎨⎪>⎩、02sin 0x x π⎧->⎪⎨⎪<⎩，综合可得出原不等式的解集.【详解】因为[],2x ππ∈-，若02x π-<，可得22x ππ-<<，由sin 0x >可得0πx <<，则不等式组02sin 0x x π⎧-<⎪⎨⎪>⎩在[],2x ππ∈-时的解为02x π<<；若02x π->，可得2x ππ-≤<-或22x ππ<<，由sin 0x <可得0x π-<<或2x ππ<<，则不等式组02sin 0x x π⎧->⎪⎨⎪<⎩在[],2x ππ∈-时的解为2x ππ-<<-或2x ππ<<.综上所述，不等式sin 02x x π⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭在[],2x ππ∈-时的解集为(),0,,222πππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ .故答案为：(),0,,222πππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .25．324,23π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】①代入，由函数的定义计算可得答案；②分别计算0x =时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2x π=时，,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,22x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2x π=时，()f x x -的值，建立不等式，求解即可．【详解】解：①∵()[][]sin cos 32x x f x =+，∴551sin cos 016625332323262f πππ⎡⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭．②当0x =时，()013203f x x -=+-=；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()003222,22f x x x x π⎛⎫-=+-=-∈- ⎪⎝⎭；当2x π=时，()1032422f x x ππ-=+-=-；当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0133332,2222f x x x x ππ-⎡⎫-=+-=-∈--⎪⎢⎣⎭；当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()11553532,6626f x x x x ππ--⎛⎫-=+-=-∈-- ⎪⎝⎭；当3,22x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()104443322,3332f x x x x ππ-⎛⎤-=+-=-∈-- ⎥⎝⎦；当2x π=时，()0132232f x x ππ-=+-=-．又()f x x m >+对任意[]0,2x π∈都成立，即()m f x x <-恒成立，∴()423f x x π->-，∴423m π≤-，∴实数m 的取值范围是4,23π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．故答案为：32；4,23π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于理解函数的定义，分段求值，建立不等式求解.26．(0,1)(45,72)【解析】【分析】利用数形结合可得实数m 的取值范围，然后利用对数函数的性质可得121=x x ，再利用正弦函数的对称性及二次函数的性质即求.【详解】作出函数()y f x =与函数y m =的图象，则可知实数m 的取值范围为(0,1)，由题可知，12340136,1215x x x x <<<<<<<<，∵3132log log x x =，∴3133211log log log x x x -==，即121=x x ，又3436,1215x x <<<<，3492x x +=，∴()2123433331818x x x x x x x x =-=-，又函数23318y x x =-在()3,6上单调递增，∴()2331845,72x x -∈，即()123445,72x x x x ∈.故答案为：(0,1)；()45,72.【点睛】关键点点睛；本题的关键是数形结合，结合对数函数的性质及正弦函数的性质可得()12343318x x x x x x =-，再利用二次函数的性质即解.27．π542⎤⎥⎦【解析】【分析】先根据函数周期性的定义说明π是函数()f x =说明函数的单调性，从而证明π是最小正周期；根据函数()f x =的单调性可求得最大值，再比较,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时端点处的函数值大小，即可求得答案.【详解】因为(+)()f x f x π==，故x π=为()f x 的一个周期,而当()0,x π∈时，()f x ，由题意可知3322cos sin 22()cos sin 22x x x x f x ⎛⎫⎡⎤⎪⎛⎫⎛⎫⎥'==- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令()0f x '=，得cossin 22x x =，故24x π=，2x π=，因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最小正周期为π，且()f x 在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为5422f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，而()f π=，14313f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故2()3f f ππ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故当,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x的值域为542⎤⎥⎦,故答案为：π；542⎤⎥⎦28．2-143π【解析】（1）化简函数得()26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可得()max 2f x =-；（2）令6t x π=-，将函数()f x 的零点问题转化为sin y t =与33y =的交点求解，作出两个函数的图象，根据图象可求解.【详解】（1）()3sin 2f x x x =-- ，()26f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，又[]0,2x π∈，11,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎣⎦，()max 2f x ∴=；（2）令6t x π=-，则()0f x =即可转化为311sin ,366t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎣⎦，作出sin y t =与3y ，由图知：交点关于直线322，x x ππ==对称，设函数()f x 的零点为1x ，2x ，3x ，4x 则有1266x x πππ-+-=，34366x x πππ-+-=1234143x x x x π∴+++=.故答案为：(1).2(2).143π【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，函数零点问题的求解，考查了数形结合的数学思想，转化与化归的思想.。
含绝对值的函数专题.docx
已知函数f (x) =X2 - 2ax+5 (a>l),若f (x)在区间(-8, 2]上是减函数，R对任意的X：, x,e [1,a+1],总有|f (x,) - f (xj |W4,求a的取值范围.【试题來源】辽宁省大连二十四中、四十八中2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题【答案解析】【考点】二次函数的性质.【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用.【分析】由条件利用二次函数的性质可得a^2.故只要f(l)・f(a) W4即可，即(a -1) W4,求得a的范围.【解答】解：由于函数f (x)二X」2ax+5的图象的对称轴为x=a,函数f (x)二x」2ax+5 在区间(・8, 2]上单调递减，・・・aN2.故在区间G上，1离对称轴x=a最远，故要使对任意的X；, X G ,都有If(X,) - f(X，) |W4,只要f (1)・f (a) W4即可，即(a・l) W4,求得・1再结合a^2,可得2WaW3,故a的取值范围为：.【点评】本题主要二次函数的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题._1 _1已知函数f (x) =|x+x| - |x - x|.I丄(1)指出f (x)二|x+x| - |x- x|的基本性质(两条即可，结论不要求证明)，并作出函数f(X)的图象；(2)关于x的方程P (x) +m|f (x) |+n二0 (m, n^R)恰有6个不同的实数解,求m 的取值范围.▲ X421 1 1 1 1 1 1V 1 1 1 ■-50-2-4---------------------------- k. 5【试题来源】辽宁省大连二卜四中、四卜八中2015-2016^年离一上学期期中联考数学试题【答案解析】【考点】分段函数的应用.【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用.-2x, -l<x<02x,【分析】(1)化简f⑴4?x>1,判断函数的性质，再作其图象即可;(2)结合右图可知方程xH-mx+n=O有两个不同的根x；, x.,且x二2, x e (0, 2)；从而可得故xFnx+n二(x - 2) (x - x,),从而解得.U X<-1X-2x, - l<x<02x,2, Ql【解答】解：(1)化简可得f (x)二I"故f (x)是偶函数,且最大值为2；作其图象如右图，(2) I关于x的方程f，(x) +m|f (x) |+n=0 (m, n^R)恰有6个不同的实数解, ・••结合右图可知，方程x；+mx+n二0有两个不同的根x：, x“且x尸2, x£ (0, 2)；故x;+mx+n= (x - 2) (x - xj=x1 - (2+x?) x+2x..,故nF- (2+xJ ,故・4VmV・2.【点评】本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用设偶函数f(X)满足f (x)觇・4 (x$0)，若f (x-2) >0,则X的取值范围是( ) A.(-8,0) B. (0,4) C. (4,+g) D.(- 8, 0) U (4, +8)［试题来源］辽宁省大连二十四中、四十八中2015 2016学年商一上学期期中联考数学试题【答案解析】D【考点】指数型复合函数的性质及应用.【专题】整体思想；数形结合法；函数的性质及应用.【分析】先利用偶函数的图象关于y轴对称得出f (x) >0的解集，再运用整体思想求f (x・2) >0的解集.【解答】解：根据题意，当x$0时.f (x)二2-4,令f (x)二2、・4>0,解得x>2,又Tf(X)是定义在R上的偶函数f (x),其图象关于y轴对称，・••不等式f (x) >0在xeR的解集为(・8,・2) U (2, +8),因此，不等式f (x-2) >0等价为：x・2E (・8,・2) U (2, +8), 解得xW ( - °°, 0) U (4, +°°),故选D.【点评】本题主要考查了指数世复合函数的图象和性质，涉及函数的奇偶性和不等式的解法，属于屮档题.设f (x)是定义在R上的偶函数，且f (2+x) =f (2-x),当xw时，f (x) = (V2)* - 1,若关于x的方程f (x) - log, (x+2) =0 (a>0且aHl)在区间(-2, 6)内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )_1A. (4, 1)B. (1, 4)C. (1, 8) 1). (8, + oo )［试题來源］山西省太原市2016届高三上学期期中数学试题【答案解析】D【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用.【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用.【分析】由题意，讨论0Va< 1时，当0Va< 1时，-2<xV0时，y二f (x)和y=log, (x+2)只有一个交点；故a>l.关于x的方程f (x) - log. (x+2) =0 (a>l),在区间(・2, 6)内恰有四个不同实根可化为函数f (x)与函数y二log”(x+2)有四个不同的交点，作出函数f (x)与函数y=log. (x+2)的图象，由图象解出答案.【解答】解：由f(x)是定义在R上的偶函数，且f (2+x) =f (2 - x),即为f (x+4)二f (・ x) =f (x),则f (x)为周期为4的函数.当xW 时，f (x) = (V2) * - 1,可得xG 时，f (x) =f ( -x)=(迈)一1,又Tf (x)二log”(x+2) (a>0 且a#l),当OVaVl 时，-2<xVO 时，y二f (x)和y=log. (x+2)只有一个交点; 在0<x<6 时，f (x) >0, log, (x+2) <0,则没有交点，故a>l,作出它们在区间(・2, 6)内图象如右图：当x二6 时，f (6)二f (2) =1, log. (6+2)二1,解得沪8, 由于・2<x<6,即有a>8,y=f (x)和y=log. (x+2)有四个交点.【点评】本题考查了方程的根与函数的冬点Z间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于屮档题.偶函数y=f (x)的图象关于直线x=2对称，f (3) =3,贝'J f ( - 1) = ____________ .［试题來源］陕两省西安音乐7浣阳屮岛M高7 L；；：期期屮数7试观【答案解析】3【考点】函数奇偶性的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f (x+4) =f (x),即可得到结论.【解答】解：法1：因为偶函数尸f (x)的图象关于直线x=2対称，所以f (2+x) =f (2 - x) =f (x-2),即f (x+4) =f (x),贝lj f (・ 1) =f (・ 1+4) =f (3) =3,法2：因为函数y二f (x)的图象关于直线x=2对称，所以f (1) =f (3) =3,因为f (x)是偶函数，所以f ( - 1)二f (1)二3,故答案为：3.【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f(x+4) =f (x)是解决本题的关键，比较基础函数f (x)二lgx的单调递减区间是 ______________ .［试题来源］陕西省西安音乐学院附中商三2016届高三上学期期中数学试题【答案解析】(-0)【考点】复合函数的单调性.【专题】函数的性质及应用.【分析】先将f(X)化简，注意到XH0,即f(X)=21g|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成山I尸复介而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再來判断.【解答】解：方法一：y二lgx=21g|x|,・••当x>0时，f （x） =21gx在（0, +8）上是增函数；当x<0时，f （x） =21g （ - x）在（-8, 0）上是减函数.・•・函数f （x）二lgx啲单调递减区间是（-8, 0）. 故答案为：（・8, 0）・方法二：原函数是由I尸复合而成，Tt二疋在（・8, 0）上是减函数，在（0, +8）为增函数；乂y=lgt在其定义域上为增函数，.*.f （x） =lgx?在（・g, 0）上是减函数，在（0, +°°）为增函数，・•・函数f （x） =lgx啲单调递减区间是（・8, 0）•故答案为：（■ 8, 0）.【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx-21g|x|屮的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，木题还可以利用数形结合的方式，即画出y=21g|x|的图象，得到函数的递减区间.1 V2已知幕函数尸f（X）的图象过点（2 叵），则logf （2）的值为（）_1 _1A.刁B. - 刁C. 2D. - 2［试题來源］陕西省西安音乐学院附中高三2016届高三上学期期中数学试题【答案解析】A【考点】幕函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点.【专题】函数的性质及应用.【分析】先利用待定系数法将点的朋标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值.1 V2【解答】解：由设f（X）二x”，图象过点（2 T）,丄返丄:.（2） -= 2_,解得a=2,1 1Alog；f （2） =log；2 二4.故选A.【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值.已知f （x）是定义在R上的奇函数,且当时，购C,则的值为（）1 1A. -3B. 3C.彳1）. 3【试题來源】河北定州中学2016届高三上学期月考一数学（文理）试题【答案解析】B:因为h"时，购"，所以工“时，只-©=-/厲=1*,即/»=-尸，所 /0"«4勿=/^勿"T 1*1=-£以3,故选B 。
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高考数学函数专题训练 含绝对值的函数一、选择题 1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为（ ） A ．{}3,1 B.{}3,1- C.{}3,1-- D.{}3,1- 【答案】B【解析】当sin 0,cos 0x x >>时3y =,sin 0,cos 0x x ><时1y =-,sin 0,cos 0x x <>时1y =-,sin 0,cos 0x x <<时3y =,∴值域为{}3,1-2．函数()ln 11x f x x-=-的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于()ln 3022f =>，排除C 选项，()ln 1220f =->，排除B 选项，11221ln20f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，不选A,故选D.3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是( )A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称 【答案】C【解析】因为函数()f x 是奇函数,所以()f x 是偶函数,即()f x 与()g x 均为偶函数,其图象均关于y 对称,所以(1)f x -与(1)g x -的图象都关于直线1x =对称,即()(1)(1)h x f x g x =-+-的图象关于直线1x =对称,故选C ．4.已知()()211f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( )A ．54B ．34C ．3D ．1【答案】A【解析】由题意得：()()222111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+11x -≤≤ 22221511124x x x x x x x ⎛⎫∴-+=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭∴当12x =，即12x =±时，()2max514x x -+=即：()54f x ≤，即()f x 的最大值为54，故选A .5．若函数()111101x x f x x x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根，则（ ） A ．b ＜﹣2且c ＞0 B ．b ＞﹣2且c ＜0 C ．b ＝﹣2且c ＝0 D ．b ＞﹣2且c ＝0【答案】C【解析】令t ＝f （x ），则t 2+bt +c ＝0，设关于t 的方程有两根为t ＝t 1，t ＝t 2，关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根等价于函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数为3个，作出()f x 的简图如下：由函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的位置关系可得： t 1＝2，t 2＝0，由韦达定理可得：1212022020b t t c t t -=+=+=⎧⎨=⋅=⨯=⎩，即b ＝﹣2，c ＝0，故选C ． 6．已知函数()ln(1)f x x =-，满足()(4)f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(2,4)【答案】A【解析】函数()ln(1)f x x =-的定义域为()1,+∞，由()(4)f a f a >-可得：ln(1)ln(41)ln(3)a a a ->--=-，两边平方：[][][][]22ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)0a a a a a a ->-⇔----+->则ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩（1）或ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩（2）解（1）得：a 无解 ，解（2）得：12a <<，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选A.7.已知函数)0(|4|||)(>---=a a x a x x f ,若对R ∈∀x ,都有)(1)2(x f x f ≤-,则实数a 的最大值为（ ） A ．81 B ．41 C ．21D ．1【答案】B【解析】(2)1()f x f x -≤,即为(2)()1f x f x -≤,即22441x a x a x a x a -----+-≤,设()2244g x x a x a x a x a=-----+-,则0,242,2 ()22,282,240,4axax a x ag x x a a x aa x a x ax a⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎩,由题意,当2ax a<≤时,1()42212g x x a a a=-≤≤⇒≤,当2a x a<≤时,1()22212g x x a a a=-≤≤⇒≤,当24a x a<≤时,1()22414g x x a a a=-<≤⇒≤,所以14a≤,即a的最大值为14,选B.8.若函数()221f x x x ax=-+--没有零点，则实数a的取值范围是A．332a-≤<B．31a-≤<C．332a a≥<-或D．13a a≥<-或【答案】A【解析】因为函数()221f x x x ax=-+--没有零点，所以方程221x x ax-+-=无实根，即函数()221g x x x=-+-与()h x ax=的图像无交点，如图所示，则()h x的斜率a应满足332a-≤<，故选A.9.定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗babbaaba,,,令()()t xxxxf-⊗-+=224（t为常数）,且[]3,3-∈x,则使函数()x f最大值为4的t值是（）A．2-或6B．4或6C．2-或4D．4-或4【答案】C．【解析】y=4+2x﹣x2在x∈[﹣3,3]上的最大值为4,所以由4+2x﹣x2=4,解得x=2或x=0．所以要使函数f（x）最大值为4,则根据定义可知,当t＜1时,即x=2时,|2﹣t|=4,此时解得t=﹣2．当t＞1时,即x=0时,|0﹣t|=4,此时解得t=4．故t=﹣2或4．10.已知函数()||––10||f x mx x m =>（）, f (x )=|mx |–|x –1|（m ＞0）,若关于x 的不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个,则实数m 的取值范围为（ ）．A.0＜m ≤1 B .34m ≤＜23C.1＜m ＜23D.23≤m ＜2【答案】B【解析】不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个,即|||–|1mx x <的解集中的整数恰有3个. |||–|1mx x <可化为22()10,()mx x --<即([m (1)1]10][1,)m x x +-⋅-+<由于不等式解集中整数恰有三个,所以10,1,m m ->>不等式的解为11111x m m -<<<-+,从而解集中的三个整数为2,1,0--,132,1m --≤<--即1231m <≤-,2233m n m -<≤-,所以34m ≤＜23.11.已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 【答案】B【解析】先画出函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象,方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,由0x ≤时,()1f x x =+,则横坐标为1x 与2x 两点的中点横坐标为1x =-,即：122x x +=-,当0x >时,由于2log y x =在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数,又因为34x x <,4232log log x x =,则4310x x <<<,有1log log 434232=⇒=-x x x x ,又因为方程ax f =)(有四个不同的解,所以1log 32≤-x ,则213≥x ,则3122341()x x x x x ++=3312x x +-,)121(3<≤x ,设t t t g 12)(+-=,（121<≤t ）,由于012)(2<--='tt g ,则)(t g 在)1,21[上是减函数,则1)(1≤<-t g .12.已知函数()121f x x =--,[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =,21()(())f x f f x =,……,1()(())n n f x f f x -=,2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不动点的个数是（ ）A.2n 个B.22n 个 C.2(21)n-个 D.2n 个【答案】D.【解析】函数12, 02()121122,12x x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-<≤⎪⎩,当1[0,]2x ∈时,1()20f x x x x ==⇒=,当1(,1]2x ∈时,12()223f x x x x =-=⇒=,∴1()f x 的1阶不动点的个数为2,当1[0,]4x ∈,1()2f x x =,2()40f x x x x ==⇒=,当11(,]42x ∈,1()2f x x =,22()245f x x x x =-=⇒=,当13(,]24x ∈,1()22f x x =-,22()423f x x x x =-=⇒=,当3(,1]4x ∈,1()22f x x =-,24()445f x x x x =-=⇒=,∴2()f x 的2阶不动点的个数为22,以此类推,()f x 的n 阶不动点的个数是2n个.二、填空题 13.方程18|cos()||log |2x x π+=的解的个数为__________．（用数值作答）【答案】12【解析】由题意得求方程18sin log x x = 的解的个数，因为sin y x = 周期为π，而5π186π<<，又(0,1)x ∈时sin y x =与18log y x =-有一个交点，(1,π)x ∈时sin y x =与18log y x =有一个交点， (π,π+π),(1,2,3,4,5)x k k k ∈=时sin y x =与18log y x =有两个交点，因此共有2612⨯=个.14. 已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．【答案】3或 【解析】当时，= 函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意. 令，经检验不满足题意.当时，, 函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，, 函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令， 令,所以.综上所述，故填3或.15.a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a . 当a = 时,()g a 的值最小. 【答案】322-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-.①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示.函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-.aO yx②当0a =时,2()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-.③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示.xyO a（i ）若12aa <<,即12a <<,()()2max 4a f a g a ==；（ii ）若12a,即2a,()max 1f a a =-；（iii ）若01a <<,()()()22max,22114max ,141,0221a a a f a a a a ⎧-<⎧⎫⎪=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪-<<-⎩. 综上所述,()()()212212212412a a ag a a a a ⎧-<-⎪⎪=-<⎨⎪⎪-⎩，，，,因此()()min 221322g a g ⎡⎤=-=-⎣⎦.16. 已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________． 【答案】【解析】根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公共点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是,故答案为.。