第四章线性系统的可控性和可观性3
线性系统的可控性.ppt
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
线性系统的能控性与能观性 习题与解答
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A则有，010******* 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100030013A则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23103399030 00000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为2113399000000202020C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
现代控制理论课后习题答案
前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。
本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。
由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。
另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。
编者 2005年5月第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
名词解释线性系统的可控性
名词解释线性系统的可控性在现代控制理论中，线性系统的可控性是一个重要的概念。
可控性指的是对于一个给定的线性系统，是否存在一种控制方法，可以将系统从任意初始状态控制到任意目标状态。
在本文中，我们将对线性系统的可控性进行解释。
1. 线性系统首先，我们需要了解什么是线性系统。
线性系统是指满足线性等式的系统，其输出仅依赖于输入和系统本身的性质。
线性系统具有许多重要的特性，例如可以通过叠加原理来分析系统的行为，使得控制设计变得相对简单。
2. 可控性的定义可控性是指在给定时间范围内，系统的状态可以从任意初始状态控制到任意目标状态的性质。
换句话说，如果一个线性系统是可控的，那么存在一种控制方法，可以使得系统从任何初始状态到达任何目标状态。
这种控制方法可能需要对系统施加一系列的输入信号，以实现对系统状态的精确调节。
3. 可控性矩阵要判断一个线性系统是否是可控的，我们需要引入可控性矩阵的概念。
可控性矩阵是由系统的状态方程和控制输入组成的矩阵，用于描述系统的可控性。
该矩阵的秩可以告诉我们系统的可控性。
4. 可控性判据通过可控性矩阵的秩的计算，我们可以得到一个重要的结论：当且仅当可控性矩阵的秩等于系统状态的维数时，系统才是可控的。
要注意的是，当系统的可控性矩阵的秩小于系统状态的维数时，系统是不可控的。
5. 可控性的意义为什么可控性是一个重要的概念呢？可控性是控制系统设计的基础，它决定了我们是否能够通过适当的输入信号实现对系统状态的控制。
如果一个系统是不可控的，那么无论我们采取怎样的控制策略，都无法将系统从某个初始状态控制到目标状态，这是控制系统设计中的一个致命缺陷。
6. 提高可控性的方法对于一个不可控的系统，我们需要采取措施来提高其可控性。
一种常用的方法是增加系统的输入维度。
通过引入更多的控制输入，我们可以扩展控制空间，从而增加系统可控性矩阵的秩。
另一种方法是通过设计适当的反馈控制策略，利用系统动态特性来增强系统的可控性。
线性定常系统的可控性和可测性
• 结论： 结论： 状态完全可控和可观的必要条件是： 状态完全可控和可观的必要条件是： 系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。 相约现象。 或： 系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约 的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系 对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D 为系统∑ S2 为系统 S1 和 S2对偶 对偶.
• 对定义的说明 对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的 也即x(t)的各 时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各 也即x(t) 时的值无论如何给定,都存在容许 分量在 t0 时的值无论如何给定 都存在容许 控制,在 时刻将初始状态转移到零,系统方 控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方 为可控,否则系统不可控 否则系统不可控. 为可控 否则系统不可控 2). t1 应为有限的时间 t1 的选取与 t0 有关 应为有限的时间, 有关, 趋于无穷则可控失去意义. 若 t1 趋于无穷则可控失去意义
y = [ β0
ˆ β1 ⋯ βn−1] x + du
• 其中
1 a 1 O n−1 p = An−1b ⋯ Ab b ⋮ ⋮ ⋱ a2 a3 ⋯ 1 a1 a2 ⋯ an−1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的 由于{A,b}对可控, {A,b}对可控 一定是非奇异的
0 0 ɺ = ⋮ ˆ x 0 −− −a0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ˆ x + u 1 ⋮ ⋮ −− −an−1 1
−− −− −− −a1 −a2 ⋯
__ __ __ __ | __ ɺ = 1 0 ⋯ 0 | −a1 x + β1 u ˆ x ˆ 0 1 ⋯ 0 | −a2 β2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 | −an−1 βn−1
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
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3、最小实现定义4.9（最小实现定义）：传递函数矩阵)(s G 的一个实现（没有相同的零、极点或相同零、极点已经对消）Cxy Bu Ax x=+=称为最小实现。
如果)(s G 中不存在其它实现xC y u B x A x=+=使x 的维数小于x 的维数。
定理4.11：传递函数矩阵)(s G 的一个实现∑),,(C B ACxy Bu Ax x=+=为最小实现的充分必要条件是∑),,(C B A 既是可控的又是可观测的。
【例4.9.4】试求如下传递函数矩阵的最小实现。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=)3)(2(1)2)(1(1)(s s s s s G解：（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=⨯)3)(2)(1(1)3)(2)(1(3)(21s s s s s s s s s G说 明：设传递函数矩阵为r m s G ⨯)(，在求其最小实现时，先初选一种实现（可控标准型实现或可观测标准型实现）。
r 为输入变量的维数，m 为输出变量的维数。
初选规则是：（1）m r >时，先初选可观测标准型实现。
（2）m r <时，先初选可控标准型实现。
[]13)3)(2)(1(1+++++=s s s s s[][]{}13116116123++++=s s s s即60=a ，111=a ，62=a []130=β，[]111=β，[]002=β由21)()(⨯⨯=s G s G r m ，2=r ，1=m ，m r >，故先选可观测标准型。
12100000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=m m mmm m mm m m o I a I I a I I a A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6101101600⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001113210βββo B ，[][]10001===m m mm o I C（2）检验可观测标准型实现∑),,(o o o C B A 是否可控。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------==5311111113116600132oo o o oc B A B A B Qn rankQc==3，故∑),,(o o o C B A 可控可观测，∑),,(o o o C B A 为最小实现。
四、可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系定理4.12 ：SISO 系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。
SISO 系统可控的充分必要条件是：b A sI 1)(--不存在零极点对消。
SISO 系统可观测的充分必要条件是：1)(--A sI c 不存在零极点对消。
【例4.9.5】试分析下列系统的可控性、可观测性与传递函数的关系。
（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=105.15.210 ，[]x y 15.2=（2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=15.25.115.20 ，[]x y 10=（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=015.201 ，[]x y 01=解：三个系统的传递函数均为 )5.2)(1(5.2)()()(+-+==s s s s U s Y s G显然存在零极点对消。
（1）b A 、为可控标准型，故此系统可控不可观测。
（2）c A 、为可观测标准型，故此系统可观测不可控。
（3）系统不可控、不可观测。
【例4.9.6】设二阶系统如下图。
试用状态空间及传递函数描述判别系统的可控性和可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。
解：由结构图有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-=-+-=)(11)(4521221x u x y ys x x u s x 整理后，有：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=150154 ， []u x y +-=11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=---15154)(11s s b A sI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=15)5)(1(1s s s []1115411)(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-s s A sI c []11)5)(1(1-+--=s s s显然，都出现零极点对消，故系统不可控、不可观测。
分析：系统的特征多项式为)1)(5(-+=-λλλA I ，二阶系统的特征多项式应是二次多项式，但对消的结果是使二阶系统降为一阶。
56)1)(5()1(6)()(1+-=-+--=-=-s s s s b A sI c s G原系统是不稳定的，含有一个右特征值1=λ。
但用对消后的传递函数描述系统时，会误认为系统是稳定的。
因此说传递函数描述是不完全的。
定理4.13 ：多输入系统可控的充要条件是：B A sI 1)(--的n 行线性无关。
多输出系统可观测的充要条件是：1)(--A sI C 的n 列线性无关。
【例4.9.7】试用传递函数矩阵判别下列MIMO 系统的可控性、可观测性。
Bu Ax x+= ，Cx y = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10240231A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010010B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10001C 解：1110240231)(--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-s s s A sI ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=40210234)4()1(12s s s s s s （1）判别可控性⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--040242)4()1(1)(21s s s s s B A sI 令[][][]0040242321=-++-s a a s a解此方程组，有0321===a a a ，故B A sI 1)(--三行线性无关，系统可控。
（2）判别可观测性 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=--40234)4()1(1)(21s s s s s A sI C 令0420304321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-s a a s a解此方程组，有0321===a a a ，故1)(--A sI C 三列线性无关，系统可观测。
§4-10 线性定常系统的规范分解系统中只要有一个状态变量不可控便称系统不可控，那么不可控系统便含有可控和不可控两种状态变量；只要有一个状态变量不可观测便称系统不可观测，那么不可观测系统便含有可观测和不可观测两种状态变量。
从可控性、可观测性角度出发，状态变量可分解成可控可观测状态变量co x 、可控不可观测状态变量o c x 、不可控可观测状态变量o c x 、不可控不可观测状态变量o c x 四类。
由相应状态变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，称为系统的规范分解。
一、系统按可控性的结构分解设不可控线性定常系统为Bu Ax x += ，Cx y =，其可控性判别矩阵的秩为r （n r <），即n r rankQc<=，则存在非奇异变换x R x c =将状态空间表达式变换为：u B x A x+= ，x C y = 其中：非奇异变换阵 []n r rc R R R R R R121+=中的n 个列向量可按如下方法构造：前r 个列向量r R R R ,,,21 是可控性判别矩阵[]B AABBQ n c 1-=中的r 个线性无关的列；另外)(r n -个列向量n r R R ,,1 +在确保c R 为非奇异的条件下任意选择。
将变换后的动态方程展开，有}})(02212111r n r A A A AR R A cc -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-r)(r n }})(r n r x x x c c -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-011B B R Bc r )(r n -[]21C C CR C c==)(r nu B x A x A xc c c 11211++= c c x A x22= c c x C x C y 21+= 即可控子系统动态方程为：u B x A x A xc c c 11211++= c x C y 11=不可控子系统动态方程为：c c x A x22= c x C y 22=可控部分不可控部分按可控性进行结构分解示意图。