第三章 线性系统的能控性
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(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性01010（ 1） A10 1B( 2) A 0 0 1 ,B 011024311113 10 1 1（ 3） A0 10 1 0 3 0 , B00 ( 4) AB0 0 11 001211【解】：(1)11U c B AB 1 1, rankU c n 2 ，所以系统完全能控。
c 0 1 c(2)10 0 1 2U c B AB A 2B1 1 11 1 17前三列已经可使 rankU c n 3 ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算） 。
（3）A 为约旦标准型， 且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零， 所以系统不完全 能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征， 所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控 性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
1213 1223B AB A 2B A 3B2 3 U c1 1 12 13 1 11 12 31111rankU c 2 ，所以系统不完全能控。
3 1110 10 0 x0 3 0x 0 0ux0 01x 0u (1)0 0 12(2)61161101yxy10 0x1 10解】：1）311 已知 A 0 30,B0 001220 0 D CB CAB CA 2B 0 0 前两列已经使 rank D CBCAB110 1 0 00 ， C ，D1 1 0 0 031112CA B m2， 所以系统输出能控。
（2） 系统为能控标准型，所以状态完全能控。
又因输出矩阵 状态维数 n ，所以状态能控则输出必然能控。
C 满秩，且输出维数 m 小于1 0x0 01xx1 1 (1)2 43 ； (2) 1 x 0；011y1 1xyx12 12 1 0 4 0 0x0 20xx4 0x(3)；（4）0 030 1y0 1 1x y11 4x解】：1）已知 A01 00 242-3-3 判断下列系统的能观性。
线性系统的能控性判据分析
线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。
本文主要讨论线性系统的能控性判据。
其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。
一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。
因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。
能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。
现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。
1. 能控性定义 能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。
能控性主要看其状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。
具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。
二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。
设线性定常系统状态方程为：能控性判据：1.格拉姆矩阵判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram ）矩阵其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。
2.秩判据线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是3.PBH 秩判据.,,,,)1(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为p n n n B A p u n t x x Bu A ⨯⨯≥=+=x x x01>t 为非奇异⎰--=tt A T At c dte BB e t W T],0[.][,][11阵称为系统的能控性判别的维数为矩阵其中B A AB B Q A n nB A AB B rank n c n --==线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A 的所有特征值4. PBH 特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A 不能有与B 的所有列相正交的非零左特征向量。
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 ( x n (t )
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
第3章 线性系统的结构分析
一、线性系统的能控性
注意：如果A为对角标准型时含有相同的特征值，
或者A为约当标准型时含有相同特征值的
约当块,则上述结论不成立.
例如:
x&
1 0
0 1
x
1 1
u
是不完全能控的.
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
4、 能控性的格拉姆矩阵判据和秩判据
系统 : x& Ax Bu（或矩阵对[A, B]）完全能控的 充分必要条件是下列条件之一成立：
状态x(0) x0, 存在一个有限时间段[0,t1]和定义在这 个时间段的控制输入u(t),t [0,t1]使得系统状态轨迹 在这个时间段内从状态x0出发在t1时刻达到平衡状态0， 则称时不变系统的状态是完全能控的。
0 x(t)
x0
u(t)
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
• 注意
时变系统的状态能控性定义:
一、线性系统的能控性
u(t) x& Ax Bu x(t) y Cx Du y(t)
• 能控性问题: 在任意给定时刻,输入能否驱 动状态从任意一个位置在有限时间内到达平 衡位置？
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
状态能控性定义：
对于线性时不变系统 x& Ax Bu, 如果对任意初始
0
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
tWc1[0,
t1
]x0
dt
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
t
dt
Wc1[0,
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
第3章 能控性和能观性
注：证明要用到结构的可控性分解的结果
PBH特征向量判据
线性定常系统完全可控的充分必要条件是不存在A 的非零左特征向量 T与B的所有列正交，即
T T T A , B0 i
证明：采用反证法。反设存在向量 0
A , B0 i
T T T T T B 0, T AB B 0, i
3.2 线性定常系统的可控性判据
由定义，可控性仅与状态方程式有关，与输出方 程式无关。 由 x(T ) 0 有
x0 e
t0
T
A
Bu ( )d
由此有 x0 可控的充分必要条件是存在满足上式的
容许控制：
u ( )
t0 T
说明：根据上述条件进行可控性判定难于操作。 引理1 点 x n 可控的充分必要条件是 0
那么对于任意的非零初始状态 x0 可构造控制律
u(t ) B e
T AT t
W (0, t1 ) x0 , 0 t t1
1
在该控制作用下系统在t时刻的状态为
x(t1 ) e x0 e
At1 0
t1
A t1 t t1
Bu (t )dt BB e
1 T AT t
说明：
1. 定义中没有对状态转移的轨迹和具体的时间 长度加以限制和规定，因此它仅是系统运动的一 定性特性； 2. 定义中的容许控制是指满足使系统解唯一存 在的所有控制的集合，对线性定常系统来说，是 要求其每个分量平方可积。 3. 对于时变系统，可控性与初始时间 t0 有关， 而对于线性定常系统，则可控性与初始时间 t0 无 关 4. 对于连续线性定常系统，可控性和可达性等 价，而对于时变及离散系统两者不等价。
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
第3章_线性控制系统的能控性和能观性
证明 定理3.3-1
y(t1) 0(t1)Im 1(t1)Im n1(t1)Im C
y(t2） 0(t2)Im
1(t2)Im
n1(t2)ImC
A x(0)
y(tf)
0(tf)Im
1(tf)Im
n1(tf)ImCnA 1
上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值 y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地 确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。
4)不可控
18
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
3.可控性约当型判据
J1
设
x AxBu
J2
xu
Jk
若 A为约当型，则状态完全可控的充要条件是：
每一个约当块的最后一行相应的 阵中所有的行 元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此
结论不成立。）
精选可编辑ppt
19
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
➢本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 ✓3.1 能控性 ✓3.2 能观性 ✓3.3 能控性与能观性的对偶关系 ✓3.4 零极点对消与能控性和能观性的关系
精选可编辑ppt
1
引言
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系
u
x
y x Ax Bu
y Cx Du
状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程 反映系统输出对控制输入和状态的依赖
10
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.1-1
n1
x(0) AkBk B AB A2B k0
0
An1B1
n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都
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• 从中必可找出n个线性无关的列或行。 • 不同的找法，会找出不同的列（行）。由它们构成
的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列（行）的两种方案
以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控，rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。 如何找出它们？用格栅图表示。 方案 I 列搜索
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的定义
• 能控性
– 状态点的能控性 对t0,x0， 存在t1>t0 和容许控制u(t), t属于[t0,t1], 使系统状态从x0→x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。
– 系统的能控性 状态空间中的所有x0 ，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全 能控。
该搜索方法的特点是， Ai bi 是其左边的向量的线性组合。
方案II 行搜索
先找[b1,b2, ,b p ]中的线性无关列； 再找[Ab1， Ab2， ， Ab p ]中的线性无关列；
直到找够n个线性无关列。 找够后， 再排列成如下形式
{b1，
Ab1， ， A11b1；
b
，
2
Ab2， ，
A2 1b2； ；
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el2 elvl
的表达。 而B的第1列b1就是e1v1 , 所以其表达为
0 0 1； ; 0 0 0T
余类推。 所以，Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
• 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 • 线性定常系统按能控性的结构分解
Q
np
B p
AB p
A 1B p
p
要满秩，须μP>=n.故 p n n p
又若rank B =r<=p
B
AB
A2B
rank r 其中至少有一个 列向量与左边的
r个线性无关的列 向量线性无关
A 1B
r 1 n n r 1
综上，n p n r 1
注： • 单输入系统p=1,系统的能控性指数为n. • 简化计算能控性判别矩阵。不必计算到A的(n-1)次幂乘以B。最多只
从b1开始， 然后A1b1, A2b1, , A11b1, 直到A1b1能表示成
{b1， A1b1, A2b1, , A11b1}的线性组合。（
至此，
已找到
个线性无关列）
1
若 1
n,
选b
，
2
A1b2 , A2b2 ,
,
A
2
1b
2
,
直到A
2
b
能表示成
2
{b1，
A1b1,
, A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
q1 qk | qk1 qn A Aq1 Aqk | Aqk1 Aqn
因rankQc rank[B AB An1B] k
所以，Aq 1, , Aqk都是q1, , qk的线性组合
故，Aq 1, , Aqk 对q1 qk | qk1 qn 的表达中， 从第k 1行以下都为0
即为规范表达式中的形式。
, A2 1b2}的线性组合
（
至此，
已找到
1
个线性无关列
2
）
若1 2 n, 继续选b3， A1b3, A2b3, , A31b3, 直至1 2 r n. 至此， 已找到n个线性无关的列， 即
{b1， A1b1, , A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
, A 2 1b2；
；
b
，
r
A1br ,
, A r 1br }
1v1 2
1v1 1 1v1
Ae1v1 e1v11 e 1v1 1v1
所以，与v1以后的基向量无关，故A中第v1列之前，v1行以下均为0。
对式（3.186)
v2
v1
v1
Ae21 Av2 b2 2 j A j1b2 21b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
br， Abr， ，
Ar 1br }
注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。
这样找到的 A i bi不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列 都线性相关。
性质：如果说 Akb j 与它的前面的列线性相关，则 Ak1b j 亦必是这样。
2 旺纳姆(Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与 之对偶）
需计算到(n-r)次幂。 • 能控性指数集
• 线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集
4 线性时变系统的能控性判据
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 3.4 对偶性原理
• 与能控性判据对偶，自学。
3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形
• 系统完全能控时，rank Qc=n; 系统完全能观测时， rank Qo=n.
对B同理。
Notes:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
A
PAP1
Ac
0
A12 A
c
,
B
Bc
0
设λ为 A的c 特征值，则存在行向量β，满足
A c
构造行向量 0 ， 则
I A
B 0
I Ac
0
பைடு நூலகம்
A12
I A c
Bc
0
0
i.e.
P(I A)P1 PB P (I A)P1 B 0
P 0,
P 0,
– 系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控，则称系统在 t0时刻不完全能控。
• 能观测性
能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题。
3.2 线性连续时间系统的能控性判据 • 1 线性定常系统的能控性判据
反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵P，使
{A, B} {A, B}
(I A)P1 0 (I A) 0 I A
B 0
rankI A B n
与已知矛盾。 反设不成立。
B 0
2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）
• K=n时，Qk即为能控性判别矩阵。
• 有时，在k<n时， Qk的秩就已经是n了。
• 称使rank Qk=n的k的最小正整数μ为系统的能控性指数。[系统综合时用到]
• 按方案I搜索Qc中的n个线性无关列，得
根据上述这种搜索方法的特点，有
根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T
关于旺纳姆能控规范形的证明
• “表达”
•相似变换
Ac T1AT
TAc AT
T e1 e2 en
e1 e2
a11 a12
en
a21
a22
an1 an2
a1i
j2
j 1
j 1
v2
v1
v1
Av2 b2 2 j A j1b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
j 1
j 1
j 1
v1
r2 j1e1 j 21b2 j 1
e11 e12
e1v1 ; ; el1 el 2
0
elvl
21
0
0
Ae22 e21 e 22 2v2
只有Ae21与前面的基向量有关，其余Ae22,…,Ae2v2只与本组基向量 有关。故它们对新的基的表达为
同理，对（3.187)-(3.190) 只有Ae31,…,Ael1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。 所以可确定A c的形式如前所示。
Bc的形式可按相同的方式说明
Bc T 1B T Bc B 即Bc的第i列是B的第i列关于新的基
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el 2
0
0
11
elvl
0
0
0
v1
Ae12 Av11b1
1
j
A
b j 2 1
12b1
12b1
j3
e11
e11 e 12 1v1
Ae13 e12 e 13 1v1
Ae e e 1v11
e1
e2
en
a2i
Aei
ani
a1n
a2n
A
e1
ann
Ae2
Aen
即变换后的矩阵的第i列是Aei这个向量相应于新的基T的表达。
对式（3.184)
类似于SISO系统（3.166)利用凯莱-哈密尔顿定理，此处利用
Ãc 的各列是Aei关于新的基的表达。
v1
Ae11 Av1b1 1 j A j1b1 11b1 11b1 j2 11b1 e 11 1v1
– 分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1. 计算
2. 从中任意选取k个线性无关的列
3. 选取n-k个列向量
，使下列矩阵满秩
4. 取
，即可导出系统按能控性分解的规范表达式
Why?
Q q1 qk | qk1 qn
变换关系
QA AQ
QB B
A的各列是AQ的各列关于Q q1 qk | qk1 qn 的表达
的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列（行）的两种方案
以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控，rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。 如何找出它们？用格栅图表示。 方案 I 列搜索
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的定义
• 能控性
– 状态点的能控性 对t0,x0， 存在t1>t0 和容许控制u(t), t属于[t0,t1], 使系统状态从x0→x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。
– 系统的能控性 状态空间中的所有x0 ，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全 能控。
该搜索方法的特点是， Ai bi 是其左边的向量的线性组合。
方案II 行搜索
先找[b1,b2, ,b p ]中的线性无关列； 再找[Ab1， Ab2， ， Ab p ]中的线性无关列；
直到找够n个线性无关列。 找够后， 再排列成如下形式
{b1，
Ab1， ， A11b1；
b
，
2
Ab2， ，
A2 1b2； ；
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el2 elvl
的表达。 而B的第1列b1就是e1v1 , 所以其表达为
0 0 1； ; 0 0 0T
余类推。 所以，Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
• 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 • 线性定常系统按能控性的结构分解
Q
np
B p
AB p
A 1B p
p
要满秩，须μP>=n.故 p n n p
又若rank B =r<=p
B
AB
A2B
rank r 其中至少有一个 列向量与左边的
r个线性无关的列 向量线性无关
A 1B
r 1 n n r 1
综上，n p n r 1
注： • 单输入系统p=1,系统的能控性指数为n. • 简化计算能控性判别矩阵。不必计算到A的(n-1)次幂乘以B。最多只
从b1开始， 然后A1b1, A2b1, , A11b1, 直到A1b1能表示成
{b1， A1b1, A2b1, , A11b1}的线性组合。（
至此，
已找到
个线性无关列）
1
若 1
n,
选b
，
2
A1b2 , A2b2 ,
,
A
2
1b
2
,
直到A
2
b
能表示成
2
{b1，
A1b1,
, A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
q1 qk | qk1 qn A Aq1 Aqk | Aqk1 Aqn
因rankQc rank[B AB An1B] k
所以，Aq 1, , Aqk都是q1, , qk的线性组合
故，Aq 1, , Aqk 对q1 qk | qk1 qn 的表达中， 从第k 1行以下都为0
即为规范表达式中的形式。
, A2 1b2}的线性组合
（
至此，
已找到
1
个线性无关列
2
）
若1 2 n, 继续选b3， A1b3, A2b3, , A31b3, 直至1 2 r n. 至此， 已找到n个线性无关的列， 即
{b1， A1b1, , A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
, A 2 1b2；
；
b
，
r
A1br ,
, A r 1br }
1v1 2
1v1 1 1v1
Ae1v1 e1v11 e 1v1 1v1
所以，与v1以后的基向量无关，故A中第v1列之前，v1行以下均为0。
对式（3.186)
v2
v1
v1
Ae21 Av2 b2 2 j A j1b2 21b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
br， Abr， ，
Ar 1br }
注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。
这样找到的 A i bi不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列 都线性相关。
性质：如果说 Akb j 与它的前面的列线性相关，则 Ak1b j 亦必是这样。
2 旺纳姆(Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与 之对偶）
需计算到(n-r)次幂。 • 能控性指数集
• 线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集
4 线性时变系统的能控性判据
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 3.4 对偶性原理
• 与能控性判据对偶，自学。
3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形
• 系统完全能控时，rank Qc=n; 系统完全能观测时， rank Qo=n.
对B同理。
Notes:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
A
PAP1
Ac
0
A12 A
c
,
B
Bc
0
设λ为 A的c 特征值，则存在行向量β，满足
A c
构造行向量 0 ， 则
I A
B 0
I Ac
0
பைடு நூலகம்
A12
I A c
Bc
0
0
i.e.
P(I A)P1 PB P (I A)P1 B 0
P 0,
P 0,
– 系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控，则称系统在 t0时刻不完全能控。
• 能观测性
能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题。
3.2 线性连续时间系统的能控性判据 • 1 线性定常系统的能控性判据
反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵P，使
{A, B} {A, B}
(I A)P1 0 (I A) 0 I A
B 0
rankI A B n
与已知矛盾。 反设不成立。
B 0
2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）
• K=n时，Qk即为能控性判别矩阵。
• 有时，在k<n时， Qk的秩就已经是n了。
• 称使rank Qk=n的k的最小正整数μ为系统的能控性指数。[系统综合时用到]
• 按方案I搜索Qc中的n个线性无关列，得
根据上述这种搜索方法的特点，有
根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T
关于旺纳姆能控规范形的证明
• “表达”
•相似变换
Ac T1AT
TAc AT
T e1 e2 en
e1 e2
a11 a12
en
a21
a22
an1 an2
a1i
j2
j 1
j 1
v2
v1
v1
Av2 b2 2 j A j1b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
j 1
j 1
j 1
v1
r2 j1e1 j 21b2 j 1
e11 e12
e1v1 ; ; el1 el 2
0
elvl
21
0
0
Ae22 e21 e 22 2v2
只有Ae21与前面的基向量有关，其余Ae22,…,Ae2v2只与本组基向量 有关。故它们对新的基的表达为
同理，对（3.187)-(3.190) 只有Ae31,…,Ael1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。 所以可确定A c的形式如前所示。
Bc的形式可按相同的方式说明
Bc T 1B T Bc B 即Bc的第i列是B的第i列关于新的基
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el 2
0
0
11
elvl
0
0
0
v1
Ae12 Av11b1
1
j
A
b j 2 1
12b1
12b1
j3
e11
e11 e 12 1v1
Ae13 e12 e 13 1v1
Ae e e 1v11
e1
e2
en
a2i
Aei
ani
a1n
a2n
A
e1
ann
Ae2
Aen
即变换后的矩阵的第i列是Aei这个向量相应于新的基T的表达。
对式（3.184)
类似于SISO系统（3.166)利用凯莱-哈密尔顿定理，此处利用
Ãc 的各列是Aei关于新的基的表达。
v1
Ae11 Av1b1 1 j A j1b1 11b1 11b1 j2 11b1 e 11 1v1
– 分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1. 计算
2. 从中任意选取k个线性无关的列
3. 选取n-k个列向量
，使下列矩阵满秩
4. 取
，即可导出系统按能控性分解的规范表达式
Why?
Q q1 qk | qk1 qn
变换关系
QA AQ
QB B
A的各列是AQ的各列关于Q q1 qk | qk1 qn 的表达