第三章线性系统的能控性解析
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第三章 线性系统的能控性与能观测性
。 显见第二、三行元素相同。 rank Qk 2 3 故不能控。
例6 桥式电路图中，若取电感L的电流 i及电容 L C的电压 v 为状态变量，取 为输出变量，则系 iL c 统方程为：
R R 1 R R iL ( 1 2 3 4 ) d L R1 R2 R3 R4 1 dt ( R2 R4 ) vC C R1 R2 R3 R4 1 R3 1 R1 ( ) iL L R1 R2 R3 R4 L u 1 1 1 ( ) vC 0 C R1 R2 R3 R4
1 0 ~ 2 A n 0 中，输入矩阵
~ b11 ~ ~ b21 , B ~ bn1
~ b12 ~ b21 ~ bn 2
~ b1r ~ b2r ~ bnr
(3.4)
.
表明: 状态变量 , x1 都可通过选择输入u而 x2 由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。 x x
2
1
完全能控，不完全能观系统！
例3: 桥式电路如图所示， 选取电感L的电流为 为 状态变量， i (t ) x(t )
u (t ) 为电桥输 入，输出
量为 y (t ) 。 解: 从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0 u (t ，则不论 如何 ) 选取，对于所有 ，有 t 0 ，即ut(t)不能控制x(t)的变化， x( ) 0 t 故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的 x(t 0 ) 初始电流 取为多少， 对所有时刻 t 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故 t0 系统是状态不能观测的。 该电路为状态既不能控，也不能观测系统。
线性系统 第3章
∴ || X 0 || X 0
2
==> X 0 0 ，与假设 X 0 0 矛盾。 Wc 非奇异。
At e 用上述定理，首先求 ==>能控性，n 大时计算复杂，
不实用。
定理 3-2：线性定常系统为完全能控的充要条件是
Rank[B | AB | | A B] n
n 1 Q Rank [ B | AB | | A B] 称系 其中 n 为矩阵 A 的维数， c
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1I A, B 0 1 0 0 1 2 1 0 1 2
ˆ b 111 ˆ b211 ˆ b r11 ˆ b 112 ˆ b r12 ˆ b 121 ˆ b r 21
行线性无关。 同理， 2 也可推出此结果。
例：线性定常系统的约旦标准型
(2) 当矩阵 A 的特征值有重根，即：
（ （ （ , 1 2 l n）时，则 1 1重）， 2 2 重）， l l 重）且（
ˆ ˆ Bu ˆ AX ˆ , 其中 X ˆ B J1 1 ˆ J B 2 ˆ ˆ 2 , J 表示相应于特征值 的约旦块 , B A i i n n n p Jl ˆ Bn J i1 Ji ( i i ) ˆ B i1 ˆ J i2 B , B ˆ i2 i ip ˆ J i i B ii J 表示J 中第j个约当块
bˆ ri 1 bˆ
由
ˆ B ik
ri
2
最后一行所组成的矩阵
bˆ ri
i
对 i 1, 2 , l 均线性无关。 证明：定理中（1）是（2）的特例，故只需证（2） 。设：
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
第3章 线性系统的结构分析
一、线性系统的能控性
注意：如果A为对角标准型时含有相同的特征值，
或者A为约当标准型时含有相同特征值的
约当块,则上述结论不成立.
例如:
x&
1 0
0 1
x
1 1
u
是不完全能控的.
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
4、 能控性的格拉姆矩阵判据和秩判据
系统 : x& Ax Bu（或矩阵对[A, B]）完全能控的 充分必要条件是下列条件之一成立：
状态x(0) x0, 存在一个有限时间段[0,t1]和定义在这 个时间段的控制输入u(t),t [0,t1]使得系统状态轨迹 在这个时间段内从状态x0出发在t1时刻达到平衡状态0， 则称时不变系统的状态是完全能控的。
0 x(t)
x0
u(t)
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
• 注意
时变系统的状态能控性定义:
一、线性系统的能控性
u(t) x& Ax Bu x(t) y Cx Du y(t)
• 能控性问题: 在任意给定时刻,输入能否驱 动状态从任意一个位置在有限时间内到达平 衡位置？
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
状态能控性定义：
对于线性时不变系统 x& Ax Bu, 如果对任意初始
0
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
tWc1[0,
t1
]x0
dt
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
t
dt
Wc1[0,
现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ 【解】：(1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CAB CB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
现代控制理论第三章4
~ ~ x1 A11 ~ 0 x2 ~ y [C1
其中nc维子系统 是状态完全能控的。 而n-nc维子系统 是状态完全不能控的。
~ ~ ~ A12 x1 B1 ~ ~ u A22 x2 0 ~ ~ x1 C2 ]~ x2
定理中非奇异变换阵的构造 对能观性分解,能将状态不完全能观的线性定常连续系 统进行能观性分解的变换矩阵Po的逆阵可选为 q1 q Po1 2 ... q n 其中前no个行向量q1,…, qn 为能观性矩阵Qo的no个线性无关 o 的行向量,qno 1,…,qn为任意选择的n-no个线性无关的行向 量但必须使变换矩阵Po-1可逆。
q1 Ap1 ... qnc Ap1 0 ... 0
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
... qnc Apnc ... 0 ... ... ... 0
定理表明: 任何状态不完全能观的线性定常连续系统,
总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统 和完全不能观子系统两部,
且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵 Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。 对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。
~ B1
+ +
~ x1
~ A11
~ x1
~ C1
y1
u
能观部分
+
y
+
~ A21
~ x2
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第二节 能控性判定
预备知识 时间函数的线性无关定义及其判别定理
线性时变系统的能控性判定： 格拉姆矩阵判据，秩判据
线性定常系统的能控性判定 格拉姆矩阵判据，频域判据，秩判据，PBH秩
判据，PBH特征向量判据，约当标准型判据 输出能控性
一 预备知识
时间函数的线性无关性
假定 f1(t), f2 (t),..., fn (t)是一组复值时间函 数，如果在复数域C中可以找到这一组
第三章 线性系统的能控性和能观 测性
1.能控性定义 2. 连续时间系统的能控性判定 3.连续时间系统的能观测性定义及判据 4. 对偶性原理 5. 线性离散时间系统的能控性和能观测性 6.用MATLAB对能控性和能观测性进行
检测
7.线性系统的状态空间结构 8.单输入单输出系统的能控规范型和能观
测规范型
2. 无约束容许控制中无约束表示的是输入分 量的幅值无限制，可以任意大到所要求的 值。容许控制就是说控制作用要满足状态 方程解存在且唯一的条件，具体的说就是 要保证输入u的每个分量在J上是平方可积的。
3.上述定义中都是相对于J中的一个取定 的 是初非始常时重刻要t的0而，言因的为，时这变对系于统时的变能系控统性
不全为零的复数1, 2 ,..., n ，使得
n
i1
i
fi
(t)
0,
t [t0 ,t1]
那么就称这组复值函数在区间[t0,t1] 内是线性相关的，否则就称他们在 [t0,t1]内是线性无关。
注意：应明确时间区域，因为在不
同的时间段内，这组时间函数的线
性相关或线性无关性将会发生改变。
例如
f1 (t) t,
cos45
~x2
2 1 2 1
1~x1
1
~x2
即T
2 1 2 1
1
1
T 1
2
T
1
AT
1
0
0 3
B~
T
1 B
2
0
在新坐标下，系统状态描述为：
~~xx12
~x1 3~x2
2u
显然，u ~x2 的通道被截断，系统
是不完全能控的。
二 严格定义
定义1：对于线性时变系统
x A(t)x B(t)u, t J
如果对于非零初始状态X0,t0 J ，都存 在某一时刻 t1 J ,t1 t0 和一个无约束的 容许控制 u(t), t [t0 ,t1] ，使得状态由初 始点转移到t1时刻的原点，则称此初始 状态x0在t0时刻是能控的。
定义2：如果状态空间中所有的非零状态 在t0时刻都是能控的，那么就称系统在 t0时刻是完全能控的。
t [1,1]
t t [1,0]
f 2 (t)
t
t [0,1]
[-1,0] [0,1] [-1,1]
线性相关 线性相关 线性无关
时间向量的线性无关性：
假设 fi (t) 是一组p维的复值函数行向量， i=1,2,…,n，如果在复数域中存在一组不 全为零的复数 1, 2 ,..., n ，使得：
经典控制论:
W s 0 ，u 就可以控制 y
现代控制理论：
①(u,y)多对多控制，虽然W s 0 ，但是 ys W sus ，如果Ws某一行为零，该
输出不可控；若两行相等，则两输出具 有一样的控制效果，不能任意控制。 ② (x,u)多对多控制， 状态能控性：u对x的支配能力；状态能 观测性：y反映x的能力
RC 1 3
2 1
A
1
2
B
1 1
e At
1 et 2 et
e3t e3t
et e3t
e t
e 3t
问题：两个状态与u 均有联系，是否都 可控？
回答：有联系不是 充分条件，两通道 作用可以抵消。
坐标变换后更容易理解：~x 是x转过45°
x1
x2
cos45 sin 45
sin 45~x1
例2
x
1
0
02x 10u
u和x2的联系被切 断，有联系是可 控性的必要条件， 是否充分？
而且采用状态反 馈进行控制时， 模态e-t可以改变， 模态e-2t不可改变。
例3．
实际电路，两个电容的端电压x1和x2是 状态变量，输入u可以使状态转移到任 意目标值，但是不能将状态分别转移到 不同的目标值，也就是说无论输入取为 何种形式，对所有的t>0都有x1=x2，这 就表明该电路系统是不完全能控的。
9.结构分解 10.传递函数阵的零极对消与可控可观性
第一节 能控性定义
能控性研究系统的内部变量—状态是否可以 由输入影响；能观测性体现了系统状态的运 动是否可以由输出来完全反应，换而言之能 控性反应的是系统输入对状态的控制能力， 而能观测性是输出对状态的反应能力。
直观的讨论 严格定义
一．直观的讨论
支配能力的三种表达方法：
在有限时间内，找到u(t)，使
某态 0 能控 0 某态 能达 某态 另一态 联合
例1．给定系统如下：
x1 4x1 u x2 5x2 u y 6x2
状态变量x1和x2可以通过选择输入u而 使得他从初始点转移到原点。因而系统 是完全能控的，但输出只反应出状态x2， 状态x1与输出既无直接关系也无间接关 系，所以是不完全能观测的。
与初始时刻的选择有很大的关系。而对
于定常系统来讲，其能控性与初始时刻 t0的选择无关。 4.上述定义中规定从非零初始状态转移到
零状态，如果改成由零状态转移到非零
状态，就称之为系统状态是能达的。对
于线性连续定常系统，其能控性和能达
性是等价的，而对于离散系统和时变系 统，二者严格来讲是不等价的。
5.系统为不完全能控的情况只是一种奇异 的情况。系统中组成元件的参数值发生 微小变动，都可能使系统变成能控的， 就拿上述实际电路来讲，如果其中一个 电阻值发生微小变化，而使电路对称性 破坏的话，此电路就由不完全能控变成 了完全能控的。所以说对一个实际的系 统，系统是完全能控的概率几乎为1， 也就是说，如果随机地选取系数矩阵A 和B，那么系统几乎就是完全能控的。
定义3：取定初始时刻t0，如果存在一个 或一些非零状态在t0时刻是不能控，那 么就称系统在t0时刻是不完全能控的。
注释：
1. 上述定义中，只要求能够找到这样的控制 输入u，使得t0时刻的非零状态经过一段时 间之后转移到状态空间中的坐标系原点， 而对状态转移的轨迹不作任何要求和限制， 这就是说能控性是表征系统状态运动的一 个定性的特性