第3章 线性系统的可控性与可观测性
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注意: (1).(2-6) 是无穷矩阵。如不注意到这一点容 易出错; (2). t 是[t1，t2] 中的任一固定点（包括端 点）！
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
第3章_线性系统的能控性和能观测性
段连续的输入U(t)，能在[t0，tf]有限时间区间内使得 系统的某一初始状态X(t0)转移到指定的任一终端状态 X(tf)，则此状态是能控的。
若系统的所有状态都是能控制的，则称此系统是状 态完全能控的，或简称系统是能控的。
“任意”的要求意味着U(t) 应可以独立地影响状态向量的 每一分量。
能控性反映了控制输入对状态的制约能力。
此电路是状态不能控和状 态不能观测的。
[例3.2] 如图所示的电路。
此电路是状态不能控和状 y 态完全能观测的。
(1)对于状态空间表达式：
（教材例）
x1
x
2
1 0
0
2
x1 x2
02u
y 1
0
x1 x2
分析：将动态方程矩阵写
成方程组形式：
x x
1 2
x1 2x2
2u
y x1
i0
(3.24)
X (0 ) n 1A iB tf 0
i()u ()d
i 0
(3 .2 5 )
X (0)n 1A iB0 tfi( )u()d
(3.25)记
tf 0
i()u()dUi
i0
U0
n1
X(0) AiBUi B
i0
AB
An1BU 1
Un1
(3.26)
由此分析，将状态完全可控性的条件阐述为：当且仅 当向量组 BA , 是B ,线An性1B无关的，或n×n维矩阵
能控性判据说明 设线性系统为： X 06 15X12u
方法1： M cBA B 1 2 4 2 ran c1 k2 M
系统不能控
方法2：其对角标准型 X ˆ 02 03X ˆ 10u
若系统的所有状态都是能控制的，则称此系统是状 态完全能控的，或简称系统是能控的。
“任意”的要求意味着U(t) 应可以独立地影响状态向量的 每一分量。
能控性反映了控制输入对状态的制约能力。
此电路是状态不能控和状 态不能观测的。
[例3.2] 如图所示的电路。
此电路是状态不能控和状 y 态完全能观测的。
(1)对于状态空间表达式：
（教材例）
x1
x
2
1 0
0
2
x1 x2
02u
y 1
0
x1 x2
分析：将动态方程矩阵写
成方程组形式：
x x
1 2
x1 2x2
2u
y x1
i0
(3.24)
X (0 ) n 1A iB tf 0
i()u ()d
i 0
(3 .2 5 )
X (0)n 1A iB0 tfi( )u()d
(3.25)记
tf 0
i()u()dUi
i0
U0
n1
X(0) AiBUi B
i0
AB
An1BU 1
Un1
(3.26)
由此分析，将状态完全可控性的条件阐述为：当且仅 当向量组 BA , 是B ,线An性1B无关的，或n×n维矩阵
能控性判据说明 设线性系统为： X 06 15X12u
方法1： M cBA B 1 2 4 2 ran c1 k2 M
系统不能控
方法2：其对角标准型 X ˆ 02 03X ˆ 10u
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型
返回
说说 明明
⎧x&(t) = Ax(t) ⎩⎨y(t) = Cx(t)
e 当输出个数与状态个数相等，且C 阵可逆时，
状态观测值可以立刻获得：x(t) = Cn×n−1y(t)
a 当输出个数少于状态个数时，状态观测值需要一定
c的时间来确定，即：
y(t0 ) = Cx(t0 )
y y(t1) = Cx(t1) = CeA(t1−t0 )x(t0 )
tc M
x(t ) = eA(t−t0 )x(t0 )
y(t) ⇒ x(t0 ) ⇒ x(t)
——由输出测量值求状 态初值，再由状态初值 求状态任意时刻的值。
定义
3
二、线性定常连续系统的可观测性判据
e 格拉姆矩阵判据
ca 线性定常连续系统完全可观 ⇔ 存在 t1 > 0
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
注 意 对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a ⎢
λ1
⎥ ⎥
⎢⎣
λ2 ⎥⎦
A 的两重特征值有两个 独立的特征向量
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关 tcy or:秩判据
⎡C⎤
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣CA
n−1
⎥ ⎦
返回
8
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可观性。
CA M
⎥
⎥ ⎥
=
dim
A
=
n
tc ⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nq×n阶可观测性矩阵
返回
4
例：判别下列系统的可观性。
⎡0 1 0⎤
e x&
现代控制理论 工程硕士 第三章 线性系统的能控性与能观性
如果存在着无约束的阶梯输入序列
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
第3章 能控性和能观性
注：证明要用到结构的可控性分解的结果
PBH特征向量判据
线性定常系统完全可控的充分必要条件是不存在A 的非零左特征向量 T与B的所有列正交，即
T T T A , B0 i
证明：采用反证法。反设存在向量 0
A , B0 i
T T T T T B 0, T AB B 0, i
3.2 线性定常系统的可控性判据
由定义，可控性仅与状态方程式有关，与输出方 程式无关。 由 x(T ) 0 有
x0 e
t0
T
A
Bu ( )d
由此有 x0 可控的充分必要条件是存在满足上式的
容许控制：
u ( )
t0 T
说明：根据上述条件进行可控性判定难于操作。 引理1 点 x n 可控的充分必要条件是 0
那么对于任意的非零初始状态 x0 可构造控制律
u(t ) B e
T AT t
W (0, t1 ) x0 , 0 t t1
1
在该控制作用下系统在t时刻的状态为
x(t1 ) e x0 e
At1 0
t1
A t1 t t1
Bu (t )dt BB e
1 T AT t
说明：
1. 定义中没有对状态转移的轨迹和具体的时间 长度加以限制和规定，因此它仅是系统运动的一 定性特性； 2. 定义中的容许控制是指满足使系统解唯一存 在的所有控制的集合，对线性定常系统来说，是 要求其每个分量平方可积。 3. 对于时变系统，可控性与初始时间 t0 有关， 而对于线性定常系统，则可控性与初始时间 t0 无 关 4. 对于连续线性定常系统，可控性和可达性等 价，而对于时变及离散系统两者不等价。
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
线性系统的可控性与可观测性
第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数 学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的。 1
8
第3章 线性系统的可控性和可观测性
三．可观测性定义
1．系统完全可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称
Ak rm Am，k n
m0 n 1
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
15
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
e At m (t ) Am
m0 n 1
1 2 例3-4：已知A ，计算A100=? 0 1
完全可控的充分必要条件是
n 1 rank B AB A B n n 1 B AB A B 其中: n为矩阵A的维数，S 称 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
18
第3章 线性系统的可控性和可观测性
证明：充分性：已知 rankS=n，欲证系统完全可控， 采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：
10
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3. 2 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时 刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。
W (0, t1 ) e
0 t1 At
BB e
T AT t
dt ,
t1 0
为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量α使
0 W (0, t1 ) e
T T 0 t1 At
BB e
T
T
AT t
dt
e 0
T
t1
At
B e
T
At
B dt
T e At B 0,
可得到:
t 0, t1
将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
19
第3章 线性系统的可控性和可观测性
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
统在[t0, ∞)内是完全可观测的。
9
第3章 线性系统的可控性和可观测性
2．系统不可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0, t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 , 对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状 态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不 能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
BB e
T
AT t
dtW 1 (0, t1 ) x0 x0 R n
e At1 x0 e At1W (0, t1 )W 1 (0, t1 ) x0 e At1 x0 e At1 x0 0
这表明：对任一取定的初始状态 x0≠0 ，都存在有限 时刻t1>0和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态 x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全可控。
12
第3章 线性系统的可控性和可观测性
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反
设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
T x0 W (0, t1 ) x0 0
0 x W (0, t1 ) x0 x e
T 0 0 T 0 t1 T
t1
At
W [0, t1 ] e
0 t1 At
BB e
T
AT t
dt
注意：在应用该判据时需计算 eAt，这在 A的维数较 高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。
11
第3章 线性系统的可控性和可观测性
证：充分性：已知 W(0, t1) 为非奇异，欲证系统为完 全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0 可构造控制u(t)为：
2．系统可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
如 果 状 态 空 间 中 的 所 有 非 零 状 态 都 是 在 t0 （ t 0 Tt ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是
完全可控的，简称系统在时刻 t0 可控。若系
统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致
2．秩判据（※）
1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为
(s) | sI A | sn n1sn1 1s 0
则矩阵A满足其特征方程，即
( A) An n1 An1 1 A 0I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多 项式
根据数学归纳法有
Ak kA (k 1) I
所以：
A
100
100 200 99 0 100 A 99I 0 100 0 99 1 200 0 1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
4）秩判据（※）
线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
可控的。
6
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※）
3.4 对偶原理
2
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
一．可控性与可观测性的物理概念
13
第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
T Ai B 0;
At
t1 T T AT t Bu (t )dt x0 u (t ) B e x0 dt 0
T
x0
2
0
即 x0 0
0
此结果与假设 x0 0 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成 立。因此，若系统完全可控， W(0, t1)必为非奇异。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
u (t ) B e
T AT t
W 1 (0, t1 ) x0 ,
t 0, t1
则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:
x(t1 ) e x0 e A(t1 t ) Bu (t )dt
At1 0 t1
e x0 e
At1
At1
t1ຫໍສະໝຸດ 0e At
解：A的特征多项式为：
(s) det(s I A) s2 2s 1
由凯莱-哈密顿定理，得到
2 ( A) A2 2 A I 0 A 2 A I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
故
A3 AA2 2 A2 A 2(2 A I ) A 3 A 2I A4 AA3 3 A2 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数 学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的。 1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
三．可观测性定义
1．系统完全可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称
Ak rm Am，k n
m0 n 1
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
e At m (t ) Am
m0 n 1
1 2 例3-4：已知A ，计算A100=? 0 1
完全可控的充分必要条件是
n 1 rank B AB A B n n 1 B AB A B 其中: n为矩阵A的维数，S 称 为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
证明：充分性：已知 rankS=n，欲证系统完全可控， 采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3. 2 线性定常连续系统的可控性判据(※)
一、线性定常连续系统的可控性判据（※）
1．格拉姆矩阵判据 线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时 刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。
W (0, t1 ) e
0 t1 At
BB e
T AT t
dt ,
t1 0
为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量α使
0 W (0, t1 ) e
T T 0 t1 At
BB e
T
T
AT t
dt
e 0
T
t1
At
B e
T
At
B dt
T e At B 0,
可得到:
t 0, t1
将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
T B 0, T AB 0, T A2 B 0, , T An1B 0
统在[t0, ∞)内是完全可观测的。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
2．系统不可观测
对于线性时变系统
A(t ) x, x y C (t ) x x(t0 ) x0 t0, t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 , 对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状 态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不 能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
BB e
T
AT t
dtW 1 (0, t1 ) x0 x0 R n
e At1 x0 e At1W (0, t1 )W 1 (0, t1 ) x0 e At1 x0 e At1 x0 0
这表明：对任一取定的初始状态 x0≠0 ，都存在有限 时刻t1>0和控制u(t)，使状态由x0转移到t1时刻的状态 x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全可控。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反
设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
T x0 W (0, t1 ) x0 0
0 x W (0, t1 ) x0 x e
T 0 0 T 0 t1 T
t1
At
W [0, t1 ] e
0 t1 At
BB e
T
AT t
dt
注意：在应用该判据时需计算 eAt，这在 A的维数较 高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
证：充分性：已知 W(0, t1) 为非奇异，欲证系统为完 全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0 可构造控制u(t)为：
2．系统可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
如 果 状 态 空 间 中 的 所 有 非 零 状 态 都 是 在 t0 （ t 0 Tt ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是
完全可控的，简称系统在时刻 t0 可控。若系
统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致
2．秩判据（※）
1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为
(s) | sI A | sn n1sn1 1s 0
则矩阵A满足其特征方程，即
( A) An n1 An1 1 A 0I 0
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多 项式
根据数学归纳法有
Ak kA (k 1) I
所以：
A
100
100 200 99 0 100 A 99I 0 100 0 99 1 200 0 1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
4）秩判据（※）
线性定常系统
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x x(0) x0 t 0
可控的。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※）
3.4 对偶原理
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义
一．可控性与可观测性的物理概念
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
n 1 T S T B AB A B 0
T Ai B 0;
At
t1 T T AT t Bu (t )dt x0 u (t ) B e x0 dt 0
T
x0
2
0
即 x0 0
0
此结果与假设 x0 0 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成 立。因此，若系统完全可控， W(0, t1)必为非奇异。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
u (t ) B e
T AT t
W 1 (0, t1 ) x0 ,
t 0, t1
则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:
x(t1 ) e x0 e A(t1 t ) Bu (t )dt
At1 0 t1
e x0 e
At1
At1
t1ຫໍສະໝຸດ 0e At
解：A的特征多项式为：
(s) det(s I A) s2 2s 1
由凯莱-哈密顿定理，得到
2 ( A) A2 2 A I 0 A 2 A I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
故
A3 AA2 2 A2 A 2(2 A I ) A 3 A 2I A4 AA3 3 A2 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
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第3章 线性系统的可控性和可观测性