方阵高次幂的若干算法毕业论文
一类方阵高次幂的计算方法毕业论文
一类方阵高次幂的计算方法毕业论文一类方阵高次幂的计算方法毕业论文一类方阵高次幂的计算方法摘要本文是在总结方阵高次幂多种实用计算方法的基础上,根据其中一种方法,对一类特殊矩阵的高次幂计算进行了研究,并得到了相应的计算公式. 关键词方阵高次幂; 标准形; 定理; 最小多项式; 矩阵计算中图分类号O151.21 Calculation Method for a Class of the Square Matrix High Power Abstract: On the basis of summarizing a variety of practical calculation method of the matrix high power, a class of special matrix of high power calculation is studied according to one of the methods, and corresponding calculation formulas are obtained. Keywords: Matrix High Power; Standard Form; Theorem; Minimal Polynomial; Matrix Calculation 1 引言方阵求高次幂的问题是高等代数中的常见问题之一,也是学习矩阵函数的基础之一[1],在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用.它的求法原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识[2].目前,已有许多学者对方阵高次幂的求法进行了研究.计算方阵高次幂的常用方法有标准形法、定理法、最小多项式法、数学归纳法、二项式展开法等.在矩阵高次幂计算中,针对不同类型,选择适当的计算方法,可以降低计算难度. 2 预备知识 2.1 几个定义及定理定义1[3] 次数最低的首项系数为1的以为根的多项式称为的最小多项式. 定理1[1] 每个阶复矩阵都与一个阶矩阵相似.即存在阶可逆阵,使得. 定理2[2] 若已知矩阵可对角化,即存在可逆阵,使,其中为对角阵,则其对角线上元素为矩阵的特征值. 定理3[3](定理) 设是数域上一个矩阵,是的特征多项式,则. 2.2 已有方阵高次幂的计算方法方法1[2] 矩阵对角化法由定理2可知,则.从而把求的方幂的问题就转化为求过渡矩阵和对角阵的幂的问题. 该方法只适用于可对角化的矩阵,故要先判断阶方阵是否有个线性无关的特征向量. 方法2[1] 标准形法由定理1易得,从而有. 该方法对于高阶矩阵比较困难.因为该方法不仅要解出矩阵的特征值,还要解出相应的特征向量,这对高阶矩阵是较困难的. 方法3[4] 哈密顿—凯莱()定理法设是数域上阶方阵,其特征多项式为,为求,令,做带余除法:.由定理3知:,并且的次数小于的次数,进而可得. 方法4 最小多项式法由于矩阵的最小多项式整除以为根的任一多项式,且是唯一的.由定理知,的最小多项式是的特征多项式的因式.利用多项式理论,我们可以得到次数比的次数低的余式,从而达到降次的目的[1]. 与用标准形计算方阵高次幂的方法相比,利用定理与最小多项式降次求幂的方法计算量小(求出特征值不必再求出对应的特征向量).另外,利用最小多项式降次的方法又比利用定理降次的方法所需参数的个数少,所以更方便. 方法5[5] 数学归纳法适合类型为,,它是有规律可循的. 先计算,,找出规律,再归纳出,并利用数学归纳法证明结论. 方法6[2] 乘法结合律法当阶矩阵的秩时,矩阵可以写成维列向量和维行向量的乘积,即.然后利用矩阵乘法的结合律有:,其中是矩阵,即是一个数.所以有.该方法只适用于矩阵的秩为1的情况. 方法7[6] 二项式展开法若是主对角线上元素相同的某些特殊阶矩阵时(如三角阵等),则考虑先将分解为,其中为幂零阵(即对有),或为秩的矩阵,并且,其中常数等于列向量与行向量内积的值. 根据数量阵与任何矩阵乘法可交换,利用二项式定理展开得. 3 主要结论及证明命题 1 形如,令,于是,且,.则. 证明,令,则,且,.于是. 又, 得. 所以. 命题 2 形如,令,于是,且,.则. 证明,令,则,且,.于是. 又, 得. 所以. 4 初步应用例 1 设矩阵,计算. 解法1 由于. 故矩阵的特征多项式,所以的最小多项式为的因式.显然,,,,于是的最小多项式为.所以令,从而得. 所以. 解法2 由于,令,则,且,.从而. 又, 得. 所以. 解法3 令,则,且,.由命题1得. 例2 设矩阵,计算. 解令,则,且, .由命题1得. 例3 设矩阵,计算. 解据题意知,.令,则,且, .由命题2得. 致谢本篇论文是在周建仁老师的悉心指导下完成的,在此谨向周老师表示由衷的感谢. 参考文献[1]余跃玉.阶方阵高次幂的计算方法[J].四川文理学院学报,2011,21(2):22-24. [2]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京:科学出版社,2008. [3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003. [4]陈军,韩静媛,矩阵高次幂的简单求法[J].承德民族师专学报,2007,27(2):2-3. [5]刘爱兰.矩阵高次幂的计算方法[J].上海电力学院学报,2007,23(1):93-96. [6]全生寅.矩阵高次幂的实用计算方法(I)[J].青海大学学报(自然科学版),2001,19(4):76-80. [7]王文,魏春强,方阵的次幂计算[J].高师理科学报,2011,31(4):22. [8]胡洁萍,杨树林,田益民.矩阵乘法巧算及其拓广应用[J].北京印刷学院学报,2012,20(4):60-62.[9]全生寅.矩阵高次幂的实用计算方法(II)[J].青海大学学报(自然科学版),2002,20(3):53-56. 9。
毕业论文求实矩阵的指数次幂
毕业论文求实矩阵的指数次幂楚雄师范学院本科生毕业论文(设计)题目求实矩阵的指数次幂专业数学与应用数学年级班级学号姓名指导老师 ________ 职称_____教务处印刷目录摘要........................................................................ I 关键词. (I)Abstract (II)Keywords ................................................................... II 前言 (1)1 矩阵的指数次幂 (1)1.1矩阵的指数次幂的概念 (1)2 几种特殊的矩阵 (2)2.1幂等阵 (2)2.2幂幺阵（或周期阵） (2)2.3幂零阵 (2)3 求一般实矩阵高次幂 (3)3.1一般实矩阵解的说明 (3)3.2 数学归纳法求k A (3)A (6)3.3最小多项式法求k3.4 分块矩阵法求k A (7)3.5 Jordan标准型法求k A (8)3.6 矩阵分解法求k A (11)3.7 利用MATLAB求k A (12)3.7.1 MATLAB软件在矩阵解题中的应用 (12)3.7.2当k为正数时在MATLAB中的求k A与说明 (12)4 求一些矩阵高次幂的例题 (15)4.1 求一些矩阵高次幂的例题 (15)5 总结 (20)6 参考文献 (20)7 感谢词 (20)求实矩阵的指数次幂摘要:本文主要讨论实矩阵的高次幂的求解方法。
运用数学归纳法、Jordan标准型法、n≥次特征值多项式法、矩阵分解法，讨论幂零阵、幂等阵、幂幺阵以及一般矩阵的n()1幂的求解方法；最后，我们简要介绍利用Matlab数学软件求解是矩阵的高次幂.关键词：实矩阵；矩阵的n次幂；方法Exponential order of the real matrixAbstract：In this thesis, we mainly consider the methods for exponentiating real ing induction, the Jordan canonical forms of matrices, the characteristic polynomials of matrices and dividing matrices to blocks, we discuss the methods for exponentiating Nilpotent Matrices, Idempotent matrix and general matrices. Finally, we condsider the problems by Matlab.Keywords：real matrices; the n-th exponential of a matrices; the solution求实矩阵的指数次幂前言矩阵理论是高等代数的一个重要内容,矩阵理论和方法对于图论的研究起着重大的推动作用,同时也是数学及许多学科领域的重要工具,有着广泛的运用.从很早的矩阵幂的运算开始,简单的幂运算就是采用矩阵的乘法定义求解,但是对于高次幂的求解还是一个难题.赵辉在《n 阶矩阵m 次幂的计算方法及其应用分析》文中采用“矩阵乘法结合律进行计算”、“数学归纳法”、“运用矩阵转置法”的方法分别对矩阵高次幂进行了计算和讲解；上海电力学院数理系刘爱兰在《矩阵高次幂的计算方法》一文中针对不同类型的矩阵，给出计算矩阵高次幂的6种方法，并对其举例；喀什师范学院数学系邓勇在《关于方阵高次幂计算方法的一个注记》文中利用凯莱-哈密顿（Cayley-Hamilton ）定理，可以得到计算方阵高次幂的一种非特征值方法；祁阳师范学校的刘吉祥在《方阵k 次幂计算方法探讨》一文中一样归纳了“矩阵对角化法”、若当标准型法；赤峰学院继续教育部史秀英在《方阵高次幂的若干求法》一文中结合实例给出了“求逆法”、“求积法”等方法进行解说. 上述较多的辅助资料对n 阶实矩阵求其指数幂（即kA ）几乎是很模糊的，更或者说《高等代数》及《线性代数》中讲到矩阵的幂运算差不多都是一笔带过，侃侃而谈，不是很具体.这让我们的读者在做到有关矩阵指数幂的题目时，往往踌躇不前，更甚就是放弃、直接忽略，无法思考，导致对矩阵幂运算产生恐惧感，更别说对矩阵指数幂深一步运算以及理解了.因此，我们认真的归纳总结，将不同情况下的幂运算集中在一起，方便学习者对矩阵指数次幂的解答作深层次的了解与应用，这样就可以使得对一个n 阶实矩阵求其指数次幂显得简单清晰、明了.所以，非常有必要总结归纳kA 的求解思路.于是,在众多前人的归纳下,在从三种特殊矩阵的说明再到一般实矩阵，我也做出了自己对kA 求法的集中归纳,譬如数学归纳法、Jordan 标准型法、最小多项式法、矩阵分解法、以及重点推出“一款”MATLAB 实验法，分别举例，并对MATLAB 计算的每一个步骤进行详细的说明，显得有理有据.1 矩阵的指数次幂1.1矩阵的指数次幂的概念一般的，任意n 阶实矩阵A ，规定0A =E ，k A =kA A A A A A A 其中kA 称之为n 阶实矩阵A 的k 次幂.2 几种特殊的矩阵2.1幂等阵定义2.1.1[]9：若A 为方阵，且2A =A ，则A 称为幂等矩阵.性质[]9 :1、幂等矩阵A 的特征值只能是0或者1；2、任意的幂等矩阵A 都相似于对角阵，即存在可逆阵P ，使得=-0001rE AP P 其中()A R r =3、幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为零（核）空间.2.2幂幺阵（或周期阵）定义2.2.1[]6：存在某个正整数k ,使得对矩阵A 的k 次方是单位矩阵,这样的矩阵A 就叫做幂幺矩阵.其中A 为非奇异阵且-1A =1-k A2.3幂零阵定义2.3.1[]6：A 是方阵,存在正整数k,使得kA =0,那么A 叫幂零阵.或者等价的,所有特征值均为0的方阵叫幂零阵.幂零阵A （kA = 0）的若当标准型J 的若当块，即J =S J J 1 ,其中=010101J .A 的特征根为0，且A （A ≠0）不能相似于对角矩阵. k A = 0.其中A 为奇异阵，E A ±为奇异阵.3 求一般实矩阵高次幂3.1一般实矩阵解的说明形如:A =??nn n n n n a a a a a a a a a 112222111111，求kA . 矩阵的指数次幂, k 都是正数,无需讨论k 的取值,若非让指数0＜k 时, A 的k 次幂可视为A 的逆的k 的绝对值次幂.3.2 数学归纳法求k A对于A ??=nn n n n n a a a a a a a a a 112222111111，求k A ，我们首先要求出2A ，3A ，4A ，更或者要求到10A ，从这些的出来的结果中找到A ，2A ，3A ，4A (10)A 之间有什么规律存在，根据所找到的规律，猜想出kA ；我们不仅仅只是猜想出来就完事，就能得到一个确切的结果，我们还要对猜想的结果进行证明.具体可以分三步：①当k =1（或k =2，视具体情况而定）时，代入猜想的结果中，与A =nn n n n n a a a a a a a a a112222111111是否相等；②假设当n k =时，猜想结果成立，有nA ；③当1+=n k 时，根据②的假设，A A A nn ?=+1得出结果，划归：④总结，所以猜想成立.例3.2.1 已知矩阵=λλλ001001A ，试求k A （k 为任意整数）．解：（1）由100100A λλλ?? ?= ? ??可求得2222210200A λλλλλ?? ?= ? ??, 所以323323330300A λλλλλλ?? ?= ? ??, 观察这些矩阵的规律可以看到, 2A 的第1行元素是2(1)λ+展开式的三项元素,而3A的第1行元素是3(1)λ+展开式的前三项，由此猜想，k A 的第1行元素应该是(1)k λ+的展开式的前三项元素，k λ，1k k λ-，2(1)2k k k λ--．现假设①121(1)200k k k kkk kk k k A k λλλλλλ----??= ? ? ??，②显然当2k =时是成立的；③则有1211(1)102010000k k k k kk k k k k k A A A k λλλλλλλλλ--+--??=?= ? ? ? ??? ??1111(1)(1)20(1)00k k k k kk k k k k λλλλλλ+-+++??+ ? ?=+ ? ? ??∴即1k +时结论也成立，故由数学归纳法知上述猜想正确．∴121(1)200k k k kkk kk k k A k λλλλλλ----??= ? ? ??例3.2.2[]2 已知=100101αβαA ，求nA ，其中n 为任意的正整数.分析：对于这样的高次幂的求法，我们只能一步一步来，先求出2 A ，3A ，…，然后再在其中找寻规律，猜测，证明，得出结论.由=100101αβαA所以+=10021022122αβααA+=100310333123αβααA+=100410464124αβααA猜测+=1001021-n n 12αβααn n n A n ）（但这只是一个猜想的结果，具体是不是这个结果我们还得进行验证.因此，采用数学中的数学归纳法来证明上述的猜想.当2=n 时，+=10021022122αβααA ,结论成立.当k n =时，假设结论成立，则有+=1001021-12αβααk n k k k A k ）（当1+=k n 时，A k n k k k A k+=+1001021-121αβαα）（+=1001011001021-12αβααβααk n k k k ）（[]++++++=100110121-11112αβαα）（）（）（）（）（k k k k k 因此，对于任意的正整数n ，结论都成立，∴+=1001021-12αβααn n n n n A n）（3.3最小多项式法求k A定理 3.3.1[]6（哈密尔顿—凯莱定理）设n 阶矩阵A 是其特征多项式的根，即令n n na a a A E f n ++++=-=-λλλλλ1-11）（则01-11=++++=-A a A a Aa A A f n n nn ）（．①设nn PA ?∈，[]x P 中次数最低的首项系数是1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式，记为）（λm .②矩阵A 的最小多项式是唯一的，且0)(=A f ，则)(λλf m ）丨（.③若=S A A A 1是准对角矩阵，且）（λπm 分别为πA 的最小多项式，）（λm 为A 的最小多项式，则有[])(),(1λλλs m m m ，）（ =.④设nn PA ?∈，则)(λλn d m =）（，即A 的最小多项式就是A 的最后一个不变因子.例3.3.1设-=100111001A ，求nA .解：因为矩阵A 的特征多项式3)1()(-=-=λλλA E f ，所以A 的最小多项式为3)1(-λ的因式.显然，0≠-E A ，而0)(=-E A ，可得A 的最小多项式为()()21-=λλm ，所以可令()()b a m q ++=λλλλ2，从而可得：1=+b a ，n a =，所以有n b -=1，即()-=-+=10010011n n E n nA A n3.4 分块矩阵法求k A当一个n 阶矩阵的阶数比较大时，若矩阵可分成分块对角阵形式，则可以将高阶矩阵的高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题，从而达到简化计算的目的.即对于分块对角矩阵??=n A A A A21，有??=k n kk kA A A A 21，其中),,2,1(n i A i =均为方阵.常用的子块高次幂有：=???? ?????=???? ??--n 1n nnn 1n n nn 010001ααααααααααn可以用数学归纳法证明，从略. 例3.4.1 设矩阵.01 001000002000422n A A ，求= 解：先将A 分块???? ?=2100A A A ,其中=20421A ，???? ??=01102A 则=n nA A A 2221n 200，则只需要求出n A 21、nA 22即可.=?==n n n nn nnn A 22222221 20242210121 42101214）（ E E A A n n n ===)(2222所以=10000100 0020002422222n n n nn A ）（.3.5 Jordan 标准型法求k A定义3.5.1[7]i n 阶矩阵ii n n i iii J=λλλ11为Jordan 块.设1J ,2J ,…，s J ，为Jordan 块，称准对角矩阵=s 21J J J J为Jordan 标准型. 定理3.5.1（Jordan 定理）[8]设nn C A ?∈，则A 与一个Jordan 矩阵J 相似，这个Jordan 矩阵J 除去其中Jordan 块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的，称J 为A 的Jordan 标准形．（即存在n 阶可逆矩阵P ，使：),,,(211s J J J diag J AP P ==-，其中),,2,1(s i J i =为i m 阶Jordan 块，则1-=PJP A ，故有1-=P PJ A n n ）．例3.5.1 设--=201034011A ，求nA .解：()()--→ ??----+=-21200010001201034011λλλλλλA E∴A 与Jordan 矩阵=100110002J 相似.令其相似变换阵为可逆矩阵()321,,x x x P =，因为1-=PJP A ，所以有：()()()3221321321,,2100110002,,,,x x x x x x x x x x A +===即有：()021=-x A E ，()02=-x A E ，()23x x A E =- 解得特征向量()rx 1,0,01=，()rx 1,2,12-=以及广义特征向量()rx 1,1,03-=所以有：--=111120010P又因为1-=PJP J ，所以：11100110002--==P P P PJ A nn n111112001010010002111120010-----=n n--++-+--=n n n n n n n n n 2121220124021例3.5.2 设矩阵126103114A --??=- ? ?--??，求k A （k 为正整数）．解：由于21261001301011400(1)E A λλλλλλ+-???? ? ?-=-→- ? ? ? ?--所以令0)1(00100012=--=-λλλA E从而A 的初等因子为21(1)λλ--，，∴特征值11=λ，132==λλ，=110010001J ．有矩阵P ，使：1P AP J -=,设123(,,)P ααα=有123123(,,)(,,)A J αααααα=123(3,0,1);(1,0,0);(2,1,1)T T T ααα==-=则123312(,,)001101P ααα-?? ?== ? ???且有1A PJP -=故有111001001226010010130110113kk k kk A P P P P k k k k k k k ----?????? ? ? ?===-- ? ? ? ? ? ?--+3.6 矩阵分解法求k A由于矩阵乘法一般不满足交换律，从而一般情况下∑=≠+ni i in in nB AC B A 0-)(.不难以证明以下结论：当BA AB =时，∑==+ni n n nB AC B A 0ii -i)(，利用这一结果，在一些特殊情况下作矩阵A 的分解P E A +=λ,其中E λ和P 可交换.则∑∑==+++===+=nk nk mm n m n n n k k n k n kkn knnnP C P P E C P C P E A 0-1---n ))(λλλλλλ （注：一般地，若n 阶矩阵A 的主对角线是同一元素，则)(P E A +=λ的分解可行，特别地，若P 恰好为幂零矩阵，则更为方便.例3.6.1 已知=100101αβαA ，求nA ，其中n 为任意的正整数.解：由于A =B +C ,其中=100010001B ,=000000αβαC这里C 是幂零阵,且=0000000022αC ,03=C∴n A n C B ）（+=222-21-121-BC n n nBC B C B C C B C B n n n n n ）（++=++=+=1001021-12αβααn n n n n ）（Note:此法运用的是幂零阵的性质和二项式定理求解,显得更简单.3.7 利用MATLAB 求k A3.7.1 MATLAB 软件在矩阵解题中的应用MATLAB 能处理数、向量和矩阵，但是一个数事实上也是一个1×1的矩阵，1个n 维向量也不过是一个1×n 或者n ×1的矩阵.从这个角度讲，MATLAB 处理的所有的数据都是矩阵.MATLAB 的矩阵处理能力是非常灵活、强大的. 3.7.2当k 为正数时在MATLAB 中的求kA 与说明在MATLAB 中，矩阵的输入时，矩阵里面的元素（数或者字母），用“[ ]”括起来，元素之间用空格或者逗号隔开，矩阵行与行之间用分号“；”分开，大的矩阵可以分行输入，用回车键代替分号.当遇到矩阵里面含有符号的时候，要注意：①在MATLAB 中，用命令sym 定义矩阵.这时的函数sym 实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者表达式，而且长度没有限制；②用命令syms 定义矩阵.先是定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后就像普通矩阵一样输入符号矩阵. 而乘方经常性要用到的就是运算符“^”. (1)当k ＞0时，A 为方阵，且k 为整数，k A ^表示的是A的k 次幂.(2)当k ＞0时，A 为方阵，且k 为非整数时，则先在MATLAB 中求出A 的特征值（MATLAB中主要是用eig 求矩阵的特征值和特征向量，求特征值使用函数命令“eig （A）”，求特征向量使用的函数命令“[X ,D ]=eig (A )”，其中D 的对角线元素是特征值，X 是矩阵，它的列是相应的特征向量）.然后就有1-11d d ^V V k A k nn k=其中V为A 的特征向量，k nn kd d 11 为特征值对角矩阵.如果有重根，以上指令不成立.例3.7.1 已知-----=411301621A ,求）（2^A ，）（20^A ，）（200^A ，）（2000^A ，）（2000^A . 解：打开MATLAB 软件，在命令窗口中输入>> clear;>> A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4] A =-1 -2 6 -1 0 3 -1 -1 4>> Y=(A)^2单击Enter 键，得出结果 Y =-3 -4 12 -2 -1 6 -2 -2 7>> N=(A)^20单击Enter 键，得出结果 N =-39 -40 120 -20 -19 60 -20 -20 61>> M=(A)^200单击Enter 键，得出结果 M =-399 -400 1200 -200 -199 600 -200 -200 601>> K=(A)^2000单击Enter 键，得出结果 K =-3999 -4000 12000 -2000 -1999 6000 -2000 -2000 6001 >> L=(A)^20000单击Enter 键，得出结果 L =-39999 -40000 120000 -20000 -19999 60000 -20000 -20000 60001例3.7.2 已知-----=c b a A 113162，求）（2^A ，）（5^A . 解：打开MATLAB 软件，在命令窗口中输入>> clear;>> syms a b c;>> A=[-a -2 6;-1 b 3;-1 -1 c] A =[ -a, -2, 6] [ -1, b, 3] [ -1, -1, c]>> Y=(A)^2 Y =[ a^2-4, 2*a-2*b-6, -6*a-6+6*c] [ a-b-3, -1+b^2, -6+3*b+3*c] [ a+1-c, 2-b-c, -9+c^2]>> B=(A)^5B =[ -a*(-a*(-a*(a^2-4)+4*a+2*b+12-6*c)-4* a^2+28-2*b*(a-b-3)-12*a+6*c+6*b+6*c*(a+1-c))+4*a*(a^2-4)-28*a-14*b-132+42*c-2*b *(-a^2+7+b*(a-b-3)+3*a-3*c)+12*a^2-6*c*(a+1-c)-6*b*(a-b-3)+6*c*(-a^2+7-a+b+c*(a +1-c)),-a*(-a*(-a*(2*a-2*b-6)+14-2*b^2-6*b-6*c)-8*a+14*b+18-2*b*(-1+b^2)+6*c-6*b^2+6*c *(2-b-c))+4*a*(2*a-2*b-6)-170+14*b^2+18*b+42*c-2*b*(-2*a-b+12+b*(-1+b^2)-3*c)+24*a-6*c*(2-b-c)-6*b*(-1+b^2)+6*c*(-2*a+2*b+7-b^2+c*(2-b-c)), -a*(-a*(-a*(-6*a-6+6*c)-42-6*b-6*c+6*c^2)+24*a+114-42*c-2*b*(-6+3*b+3*c)-6*c^2-18*b+6*c*(-9+c^2))+4*a*(-6*a-6+6*c)+222+42*b+114*c-42*c^2-2*b*(6*a-21-6*c+b*(-6+3*b+3*c)+3*c^2)-72*a-6*c*(-9+c^2)-6*b*(-6+3*b+3*c)+6*c*(6*a+12-9*c-3*b+c*(-9+c ^2))][ a*(-a*(a^2-4)+4*a+2*b+ 12-6*c)+7*a^2-85-b*(a-b-3)-9*a+21*c-12*b-6*c*(a+1-c)+b*(a*(a^2-4)-7*a+b+9+6*c+b *(-a^2+7+b*(a-b-3)+3*a-3*c)-3*a^2+3*c*(a+1-c))+3*a*(a^2-4)+3*c*(-a^2+7-a+b+c*(a +1-c)),a*(-a*(2*a-2*b-6)+14-2*b^2-6*b-6*c)+14*a+7*b-96-b*(-1+b^2)+21*c+12*b^2-6*c*(2-b -c)+b*(a*(2*a-2*b-6)+7-b^2+12*b+6*c+b*(-2*a-b+12+b*(-1+b^2)-3*c)-6*a+3*c*(2-b-c ))+3*a*(2*a-2*b-6)+3*c*(-2*a+2*b+7-b^2+c*(2-b-c)),a*(-a*(-6*a-6+6*c)-42-6*b-6*c+6*c^2)-42*a+75+78*c-b*(-6+3*b+3*c)-21*c^2+36*b-6* c*(-9+c^2)+b*(a*(-6*a-6+6*c)+78-3*b-21*c-6*c^2+b*(6*a-21-6*c+b*(-6+3*b+3*c)+3*c ^2)+18*a+3*c*(-9+c^2))+3*a*(-6*a-6+6*c)+3*c*(6*a+12-9*c-3*b+c*(-9+c^2))][ a*(-a*(a^2-4)+4*a+2 *b+12-6*c)+7*a^2-37+2*b*(a-b-3)+19*a-12*c-7*b-9*c*(a+1-c)-a*(a^2-4)-b*(-a^2+7+b *(a-b-3)+3*a-3*c)+c*(a*(a^2-4)-7*a-2*b-19+9*c+a^2-b*(a-b-3)+c*(-a^2+7-a+b+c*(a+ 1-c))),a*(-a*(2*a-2*b-6)+14-2*b^2-6*b-6*c)+14*a-26*b-25+2*b*(-1+b^2)-12*c+7*b^2-9*c*(2 -b-c)-a*(2*a-2*b-6)-b*(-2*a-b+12+b*(-1+b^2)-3*c)+c*(a*(2*a-2*b-6)-26+2*b^2+7*b+ 9*c+2*a-b*(-1+b^2)+c*(-2*a+2*b+7-b^2+c*(2-b-c))), a*(-a*(-6*a-6+6*c)-42-6*b-6*c+6*c^2)-42*a-192+63*c+2*b*(-6+3*b+3*c)+12*c^2+21*b -9*c*(-9+c^2)-a*(-6*a-6+6*c)-b*(6*a-21-6*c+b*(-6+3*b+3*c)+3*c^2)+c*(a*(-6*a-6+6 *c)+63+6*b+12*c-9*c^2-6*a-b*(-6+3*b+3*c)+c*(6*a+12-9*c-3*b+c*(-9+c^2)))]4 求一些矩阵高次幂的例题4.1 求一些矩阵高次幂的例题例4.1.1。
毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系
毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在毕业论文中，研究矩阵的特征值和特征向量是非常具有意义的。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在数值λ和非零向量x，使得下式成立：Ax=λx其中，λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的特征向量。
二、求解特征值与特征向量的方法1.特征值的求解：要求解矩阵A的特征值，可以通过以下步骤进行：(1) 解特征方程 det(A-λI) = 0，其中I为单位矩阵。
(2)求解得到的特征方程所对应的λ的值，即为矩阵A的特征值。
2.特征向量的求解：已知矩阵A的特征值λ后，可以通过以下步骤求解矩阵A的特征向量：(1)将特征值λ代入到方程(A-λI)x=0中，并求解该齐次线性方程组。
(2)求得的非零解即为矩阵A的特征向量。
三、特征值与特征向量的关系1.特征向量之间的关系：若x1和x2分别是矩阵A相应于特征值λ1和λ2的特征向量，则对于任意实数k1和k2，k1x1+k2x2也是矩阵A相应于特征值λ1和λ2的特征向量。
2.特征值的性质：(1)矩阵A与其转置矩阵AT具有相同的特征值。
(2)对于方阵A和B，若AB=BA，则矩阵A和B具有相同的特征值。
3.特征向量的性质：(1)对于方阵A的任意特征值λ，与其对应的特征向量构成的集合形成一个向量子空间，称为A的特征子空间。
(2)若特征值λ的重数为m，则与λ相关联的特征向量的个数至少为m个。
四、应用举例特征值和特征向量在实际问题中具有广泛的应用，包括：(1)矩阵的对角化：通过矩阵的特征值和特征向量，可以将矩阵对角化，简化问题的求解。
(2)矩阵的谱分解：将矩阵表示为特征值和特征向量的线性组合形式，用于求解矩阵的高次幂和逆。
(3)矩阵的奇异值分解：奇异值分解是特征值分解的推广，能够对非方阵进行分解，用于降维和数据压缩等问题。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】方阵高次幂的计算方法 (2)
方阵高次幂的计算方法引言方阵高次幂的计算方法是数学与应用数学专业中一个重要的研究方向。
在许多领域中，如图像处理、机器学习和密码学等，需要对方阵进行高次幂的计算。
本文将对方阵高次幂的计算方法进行文献综述和开题报告。
文献综述直接幂乘法直接幂乘法是最简单直观的方阵高次幂计算方法。
假设我们要计算方阵A的n次幂，其中A是一个n×n的方阵。
直接幂乘法的思想是将A连乘n次，即A^n =A × A × A × … × A。
该方法的时间复杂度是O(n^3)。
但是，当n较大时，直接幂乘法的计算效率较低。
因此，研究者提出了其他更高效的方阵高次幂计算方法。
分治法分治法是一种将问题分解成更小规模子问题求解的方法。
对于方阵高次幂计算，分治法的基本思想是将A的n次幂拆分成A的两个n/2次幂的乘积，即A^n =(A^(n/2)) × (A^(n/2))。
通过递归地应用以上公式，可以将方阵高次幂的计算复杂度降低到O(n^log₂2) = O(n^log₂n)。
分治法在实际应用中表现出了较好的效果，被广泛应用于方阵高次幂的计算。
矩阵快速幂算法矩阵快速幂算法是一种基于二进制思想的高效方阵高次幂计算方法。
该方法的关键思想是，将幂指数n的二进制展开，然后通过不断平方和相乘的方式计算方阵的高次幂。
具体步骤如下：1. 将幂指数n用二进制表示。
2. 将方阵A初始化为单位矩阵，记为E。
3. 从幂指数n的二进制表示中读取下一位。
4. 如果该位是0，则将方阵A平方，即A = A × A。
5. 如果该位是1，则将方阵A平方后乘以原方阵A，即A = A × A × A。
6. 重复步骤3-5，直到读取完幂指数n的所有位。
7. 最终，方阵A即为所求方阵的高次幂。
矩阵快速幂算法的时间复杂度为O(log₂n)，效率较高。
开题报告研究目的本研究旨在研究方阵高次幂的计算方法，重点关注矩阵快速幂算法在实际应用中的效果。
方阵的n次幂计算
方阵的n次幂计算
王文;魏春强
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2011(031)004
【摘要】在线性代数中,方阵A的n次幂计算很不容易.如果从对角化、归纳、二项式定理等角度去看待问题,那么问题就简化了.1 利用结合律性质计算定理1 若A是一个n阶方阵,r(A)=1,则A =(a1,…,an)T(b1,…,bn）,An=ln-1A（其
中:l=(b1,…,bn)(a1,…,an)T为一常数）.
【总页数】1页(P22)
【作者】王文;魏春强
【作者单位】安康学院数学系,陕西安康725000;安康学院数学系,陕西安康725000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.方阵高次幂计算的几种典型方法 [J], 王丹
2.低阶方阵的高次幂的计算技巧 [J], 田凯
3.n阶方阵高次幂的计算方法 [J], 余跃玉
4.方阵高次幂计算的几种典型方法 [J], 王丹;
5.关于方阵高次幂计算方法的一个注记 [J], 邓勇
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N阶矩阵高次幂的求法及应用
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摘要
矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成 部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域 有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学 习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个 非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而， 矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了 计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究， 本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二 项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法， Jordan 标准形法，最小多项式的方 法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为 n 阶矩阵的幂运算来提 供一个参考.
幻方小论文200字
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
幻方也是一种中国传统游戏。
旧时在官府、学堂多见。
它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
幻方（OEIS中的数列A006052）的数目还没有得到解决。
完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等。
乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。
高次幻方n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。
高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。
矩阵的n次方
方阵的乘幂在各个领域中有着广泛的应用,研究其算法自然有着非常重要的意义。目前 对方阶矩阵 n 次方幂的求解[1~2]研究较为充分，其基本方法仍然是利用矩阵的对角化或 Jordan 标准形的方法去求,但对一些矩阵的表达式,往往对其对角化或 Jordan 标准形相当困 难，甚至行不通，本文针对矩阵的不同形式，对前人研究成果[3~7]进行整理，旨在探讨出多 元求解方阵高次幂一般方法。
1⎥
⎢⎣
⎥⎦
现用数学归纳法证明：
（1） 当 n=1、2、3 时已经成立；
（2） 假设设 n=k 时成立，那么 n=k+1 时，有：
⎢⎡1 Ak+1 = Ak ⋅ A = ⎢⎢0
ka 1
k(k −1)
2 ka
+
kb⎥⎤⎡1 ⎥⎥⎢⎢0
a 1
b⎤ ⎢⎡1 a⎥⎥ = ⎢⎢0
⎢0 0 ⎢⎣
1
⎥⎥⎦⎢⎣0
0
1 多元求解方阵高次幂
方阶矩阵的幂：当一个方阶矩阵与自身相乘有限次时，使用幂记号表示较方便。因此，
记 n 为一个正整数，则 An = AA...A
n
作者简介：张靖芝，女，（1983-），安徽亳州人，中国矿业大学理学院 09 级研究生，主要从事金融数学 研究 通信联系人：夏同强，男（1985-），安徽亳州人，中国矿业大学（09）安全学院硕士，主要从事矿井安全 通风的科研工作. E-mail: 15062191329@
中国科技论文在线
又
bT
⋅
a
=
(1,-
1 2
,
13)⎜⎜⎜⎝⎛13- 2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
=
3
则： An = (abT )...(abT ) = a(b T a)...(bT a)b T = a(b T a)n−1b T = 3n−1 A
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且有 MN NM O ， 从而 An M N 0 2m 0 0
0 2 n 1 0 0 n 1 0 2
0 22 0
2 n 1 0 ． 2 n 1
相似变换法 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时，即存在可逆矩阵 P ，使 P 1 AP ，
故猜想成立．
1 99 60 1 60 99 3 219 60 , A , A 2 A 于是有 A99 0 1 0 1 0 3 ．
2.2 利用矩阵乘法结合律求方阵的幂 对于 n 阶矩阵 A ，若 r ( A) 1 ，则矩阵 A 至少有一行元素不为零，且其余各行元素都 是它的倍数，于是秩为 1 的 n n 的矩阵的一般形式为
毕业论文
题 学 姓 专 学
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方阵高次幂的若干算法
(天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,741000) 摘 要: 方阵的高次幂计算量较大，本文针对不同类型的方阵给出了计算其高次幂的方
法，并对其应用进行举例. 关键词:数学归纳法；矩阵的乘法结合律；项式展开法；相似变换法
Several algorithms for matrix high power
a1b1 a1b2 a1bn a1 b1 a2b1 a2b2 a2bn a2 b ，若设 ， 2 ， ai , bi (i 1, 2, , n) A anb1 anb2 anbn an bn
这种方法就称矩阵的乘法结合律．
1 例 2 已知矩阵 A 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 ，求 An （ n 为自然数） ． 3 1
解
对 A 施行初等变换，不难发现 r ( A) 1 ，考虑用乘法结合律：
1 1 取 (1, 2,3)T , (1, , )T ，则 A T ，且 a T tr ( A) 3 ， 2 3
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目录 1 基础知识..........................................................................................................................1 1.1 矩阵的幂的定义...................................................................................................1 1.2 方阵的幂...............................................................................................................1 2 n 阶矩阵的 A 的幂的若干算法....................................................................................1 2.1 数学归纳法求矩阵的幂.......................................................................................1 2.2 利用矩阵的乘法结合律求矩阵的幂..................................................................2 2.3 利用二项式展开法就矩阵的幂...........................................................................3 2.4 相似变换法.........................................................................................................3
1 A k M N M k C k M k 1 N Ck2 M k 2 N 2 Ckk 1MN k ． k
1 0 1 例 3 设 A 0 2 0 ，求 An ． 1 0 1 1 0 1 0 0 0 解 A 0 0 0 0 2 0 M N 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 其中 M 0 0 0 0 1 0 1 ， N 0 2 0 ， 1 0 1 1 0 0 0
1
数学与统计学院 2014 届毕业论文
1 n 猜想 An 0 1
数学归纳法证明： 当 n 1 时显然成立．
1 k 假设当 n k 时猜想成立，即 Ak 0 1 . 1 k 1 1 1 k 1 ，即 n=k+1 时猜想等式也成立． 则 Ak 1 Ak A 0 1 1 0 1 0
k 1 n
称 C 为 A 与 B 的乘积，记为
C AB .
1.2 方阵的幂 定义 2 设 A 是一个 n 级方阵，m 是正整数，则
Am AA A
m个
称 Am 为 A 的 m 次幂． 相关运算律
Ak Al Ak l ， Ak Akl ， A k Ak ， Ak A .
(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract :This paper shows the different types of matrix method for calculating its high power, and an example of its applications. Key Words: mathematical induction, binding matrix multiplication law, polynomial expansion method, similar transformation
2
数学与统计学院 2014 届毕业论文
1 1 2 n n 1 n 1 于是 A a A 3 2 1 3 3 2
1 3 2 ． 3 1
2.3 利用二项式展开法就方阵的幂 若 n 阶矩阵 A 可分解为 A M N ,且矩 M 与 N 的高次幂容易计算， BC CB （即 ，则有 B 与 C 可交换，否则二项展开公式不成立）
l k k
2
n 阶方阵的 A 的幂的若干算法
2.1 数学归纳法求方阵的幂 这种方法的计算步骤为：先算 A2 ， A3 ，考察其特点，再对 A 进行猜想.
1 1 99 60 例1 设A 0 1 ，求 A 2 A .
n
解
1 1 1 1 1 2 A2 0 1 ， 0 1 0 1 1 2 1 1 1 3 A3 A2 A 0 1 . 0 1 0 1
其 中 为 对 角 阵 ， 其 对 角 线 上 元 素 为 矩 阵 A 的 特 征 值 ． 由 上 可 得 A P P 1 ，
An PP 1 ．于是求 A 的方幂就转化为求过渡矩阵 P 和对角阵 n ，而对于 P 和阵 n ，
2.5 利用哈密顿——凯莱定理求矩阵的幂...............................................................4 2.6 特殊矩阵法求矩阵的幂.......................................................................................4 2.61 对合矩阵.....................................................................................................4 2.6.2 幂等矩阵....................................................................................................5 2.6.3 分块对角矩阵............................................................................................6 3 结束语..............................................................................................................................7 参考文献..............................................................................................................................8 致谢......................................................................................................................................9