矩阵n次方的几种求法的归纳
求方阵的n次幂例题
求方阵的n次幂例题当你求一个方阵的n次幂时，通常需要使用矩阵乘法。
以下是几个求方阵的n次幂的例题：1.求以下方阵的3次幂：[ 1 2 ][ 0 1 ]解答：我们需要将矩阵相乘三次。
首先，计算平方：[ 1 2 ] [ 1 2 ][ 0 1 ] ×[ 0 1 ] = [ 0 4 ][ 0 1 ]然后，再将这个矩阵乘以原矩阵：[ 1 2 ] [ 0 4 ] [ 1 10 ][ 0 1 ] ×[ 0 1 ] = [ 0 1 ]因此，这个方阵的3次幂为：[ 1 2 ] [ 1 10 ][ 0 1 ] ×[ 0 1 ]2.求以下方阵的4次幂：[ 2 3 ][ 0 1 ]解答：我们需要将矩阵相乘四次。
首先，计算平方：[ 2 3 ] [ 2 3 ] [ 4 9 ][ 0 1 ] ×[ 0 1 ] = [ 0 1 ]然后，再将这个矩阵乘以原矩阵：[ 2 3 ] [ 4 9 ] [ 8 33 ][ 0 1 ] ×[ 0 1 ] = [ 0 1 ]因此，这个方阵的4次幂为：[ 2 3 ] [ 8 33 ][ 0 1 ] ×[ 0 1 ]3.求以下方阵的5次幂：[ 1 2 3 ][ 4 5 6 ][ 7 8 9 ]解答：我们需要将矩阵相乘五次。
我们可以使用类似于上面的方法，但是这个过程会比较冗长。
另一个方法是使用矩阵的特征值和特征向量来求解，可以得到以下结果：[ -0.407 -1.294 2.701 ][ -0.096 0.843 -0.349 ][ 0.215 0.038 -0.091 ]因此，这个方阵的5次幂为：[ -0.407 -1.294 2.701 ][ -0.096 0.843 -0.349 ][ 0.215 0.038 -0.091 ]。
实对称矩阵的n次方规律
实对称矩阵的n次方规律
实对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身。
而矩阵的n次方是将矩阵连续相乘n 次的结果。
对于实对称矩阵A，其n次方可以通过特征值分解来求解。
特征值分解是将矩阵分解为特征向量和特征值的乘积。
设A的特征向量矩阵为P，对角矩阵为Λ，则有A = PΛP^(-1)。
其中，Λ是由A的特征值构成的对角矩阵。
现在我们来推导实对称矩阵的n次方规律。
根据特征值分解的性质，我们知道对角矩阵的n次方可以分别对每个对角元素进行n次方计算。
所以，对于实对称矩阵A的n次方，可以表示为 A^n = PΛ^nP^(-1)。
现在，我们来观察对角矩阵Λ^n的规律。
由于Λ是一个对角矩阵，我们只需要关注其对角元素的n次方。
假设Λ的对角元素为λ1, λ2, ..., λn，那么Λ^n的对角元素就是λ1^n, λ2^n, ..., λn^n。
综上所述，实对称矩阵A的n次方的每个元素可以通过特征向量矩阵P和特征值矩阵Λ的对角元素n次方来计算。
需要注意的是，如果特征值矩阵Λ存在复数的情况，对于复数的n次方计算需要考虑幂次法则的应用，并将结果转化为实数。
因此，实对称矩阵的n次方规律可以通过特征值分解获得每个元素的具体计算方法。
这个规律对于研究实对称矩阵的特征以及求解实对称矩阵的高次方具有重要的理论和实际意义。
矩阵n次方通用解法
矩阵n次方通用解法矩阵n次方通用解法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
矩阵的n次方也是一个重要的问题，因为它涉及到很多实际问题中的计算。
本文将介绍矩阵n次方通用解法。
一、矩阵乘法在介绍矩阵n次方通用解法之前，我们需要先了解矩阵乘法。
对于两个矩阵A和B，它们的乘积C为：C(i,j) = ∑(k=1 -> n)A(i,k)*B(k,j)其中C(i,j)表示C矩阵第i行第j列元素，n表示A和B的列数相同。
二、暴力求解最简单的方法是通过暴力求解来计算矩阵n次方。
例如，对于一个2x2的矩阵A和一个正整数n，我们可以通过以下方式计算A^n：result = Afor i in range(n-1):result = result * A这种方法可以得到正确的结果，但是时间复杂度为O(n^3)，当n较大时会非常耗时。
三、分治法分治法是一种常见的优化算法，在计算矩阵n次方时也可以使用。
假设我们要计算A^n，我们可以将其分解为两个子问题：计算A^(n/2)和(A^(n/2))^2。
然后再通过矩阵乘法将两个子问题的结果合并起来即可得到A^n。
该算法的时间复杂度为O(n^3logn)，比暴力求解要快很多。
四、矩阵快速幂矩阵快速幂是一种更加高效的算法，它可以将时间复杂度降低到O(n^3logn)。
具体来说，我们可以先将指数n转换为二进制形式，例如：n = 13 -> 1101然后根据二进制形式中1的位置来计算矩阵的乘积。
以计算A^13为例，我们可以这样做：result = Ibase = Afor i in range(k):if n & (1 << i):result = result * basebase = base * base其中I表示单位矩阵，k表示二进制位数。
该算法的时间复杂度为O(n^3logn)，比分治法还要快一些。
五、应用举例矩阵n次方通用解法在实际问题中有广泛应用。
矩阵a的n次方
矩阵a的n次方
一般有以下几种方法：
1、计算A^2，A^3找规律，然后用归纳法证明。
2、若r(A)=1，则A=αβ^T，A^n=(β^Tα)^(n-1)A
注:β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)
3、分拆法：A=B+C，BC=CB，用二项式公式展开。
适用于B^n易计算，C的低次幂为零：C^2或C^3=0
4、用对角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
扩展资料：
将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
相似关系是两个
矩阵之间的一种等价关系。
两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存
在一个n×n的可逆矩阵P。
一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。
类似地，行秩
是A的线性无关的横行的极大数目。
通俗一点说，如果把矩阵看成一个个
行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关
组中所含向量的个数。
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法1、求矩阵的n次幂的矩阵乘法法：求矩阵的n次幂的矩阵乘法法是用矩阵的乘法来求n次幂的一种方法，假设n>1。
令A为一个n阶矩阵，将A^n表示为A•A•…•A(n个A表示n次乘积)，这样就可以用矩阵的乘法运算，把矩阵的n次幂表示出来。
这种方法适合任意阶数的矩阵，但是运算量大，一般在n大于4时会给计算机造成较大压力。
快速乘法法是将连乘拆成若干小段，用平方法计算这些小段，最后把平方结果合成出原来的积，这样就可以利用矩阵的平方法降低运算的复杂度，近似时间复杂度仅为O(logn)。
遗传算法(GA)是一种模拟自然辅助搜索算法，其可利用遗传运算(Genetic Operation)求解难以用传统算法求解的复杂问题，也可用来求矩阵的n次幂。
此方法通过使用遗传运算对n次幂矩阵A求解，其中有“选择(selection)”、“交叉(crossover)”、“变异(mutation)”等随机算法组成，在一定时间内，做出一定代数运算就能求出矩阵的n次幂，这种方法的效率取决于遗传算子的设计，但是因为这种方法涉及较少的运算，所以可能运算效率会很高。
线性矩阵分解法是把矩阵A事先分解成正交矩阵和对角矩阵的向量形式，将n次幂矩阵A^n分解成m分，从而减少计算量，缩短计算时间。
这种方法可以有效减少计算过程的数量，但对于大矩阵来说，可能由于分解矩阵的复杂度过高而无法令效率上升。
树结构法是一种求解n次方矩阵A的技术，它是建立树，由树的叶节点求出矩阵A的n次方。
由于每一层都有一个乘积，树结构法可以有效减少计算次数，较为高效。
通常来说，这种方法的复杂度降低到O(logn)。
总之，上面提到的几种方法都可以用来求矩阵的n次幂，根据矩阵的阶数和n的大小，可以合理选择合适的算法，从而提高求解效率。
矩阵n次方的几种求法的归纳
矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。
例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求AB解：设C AB ==()34ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯=21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯= 34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得：C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。
求矩阵的n次方的方法
求矩阵的n次方的方法简介矩阵的n次方是指将一个矩阵连乘n次的结果。
求矩阵的n次方是在很多数学和工程问题中都会遇到的核心计算任务之一。
本文将介绍几种常见的求矩阵的n次方的方法，包括矩阵乘法运算的定义、直接求解法、分治法以及特征分解法等。
不同的方法有不同的适用场景和时间复杂度，我们将对每种方法进行详细的探讨。
1. 矩阵乘法运算的定义在开始讨论求矩阵的n次方之前，我们首先需要了解矩阵乘法运算的定义。
给定两个矩阵A和B，它们的乘积AB定义为：这里的AB是一个n行p列的矩阵，其中第i行第j列的元素可以通过矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的对应元素相乘并求和得到。
2. 直接求解法直接求解法是最直观也最容易理解的一种方法。
我们可以通过连乘n次矩阵A自身来求得矩阵的n次方，即。
具体的求解步骤如下： 1. 初始化一个单位矩阵I，它的大小与矩阵A相同。
2. 循环进行n次矩阵乘法运算，每次将结果保存在I中。
3. 当循环结束后，I即为矩阵A的n次方。
以下是使用直接求解法求解矩阵的n次方的示例代码：def matrix_power(A, n):I = [[1 if i == j else 0 for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]for _ in range(n):I = matrix_multiply(I, A)return Idef matrix_multiply(A, B):n, m, p = len(A), len(A[0]), len(B[0])result = [[0 for _ in range(p)] for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):result[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return result直接求解法的时间复杂度为O(n^3)。
初等矩阵n次方的公式归纳
初等矩阵n次方的公式归纳初等矩阵是矩阵理论中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
在这篇文章中，我们将探讨初等矩阵的n次方的公式，并解释为什么这一公式对于矩阵运算非常有意义。
首先，让我们回顾一下初等矩阵的定义。
初等矩阵是指一个矩阵，只有一个非零元素，并且它可以通过一次初等行（列）变换得到单位矩阵。
初等行变换包括：将某一行乘以一个非零常数、交换两行的位置以及将某一行加上另一行的若干倍；而初等列变换则是对应的列操作。
根据初等矩阵的定义，我们可以推断出一个重要的性质，即初等矩阵的逆矩阵仍然是一个初等矩阵。
这是由于初等行变换的逆变换仍然是一个初等行变换，同样，初等列变换的逆变换仍然是一个初等列变换。
因此，初等矩阵具有可逆性。
接下来，我们将研究初等矩阵的n次方公式。
设E为一个m x m的初等矩阵，根据迹的性质有tr(E^n) = tr(E)^n，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
由于初等矩阵只有一个非零元素，其迹等于该非零元素。
我们可以通过观察初等矩阵E的n次方的形式来归纳出其公式。
当n为奇数时，E^n仍然是一个初等矩阵，其非零元素的指数为n；当n为偶数时，E^n为单位矩阵。
换句话说，E^n的非零元素仅在n为奇数时存在。
综上所述，我们可以得出初等矩阵的n次方公式：当n为奇数时，E^n为一个初等矩阵，其非零元素为E的非零元素的n次方；当n为偶数时，E^n为单位矩阵。
初等矩阵的n次方公式对于矩阵运算具有重要的指导意义。
首先，它可以帮助我们简化矩阵的运算，特别是在求解线性方程组和矩阵的特征值等问题时。
通过将矩阵乘积中的初等矩阵的n次方替换为对应的形式，我们可以大大简化计算过程。
其次，初等矩阵的n次方公式也为我们理解矩阵行（列）变换的性质提供了便利。
通过使用初等矩阵的n次方可以将行（列）变换扩展到任意次数，从而更好地理解矩阵的结构和性质。
最后，初等矩阵的n次方公式还与线性代数的其他概念相关联。
例如，通过与对角矩阵的相似性质结合使用，我们可以推导出初等矩阵的n次方与特征值的关系。
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矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积,记为，则由定义可以看出矩阵Ａ与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知:第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。
例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求解:设C AB ==()34ij c ⨯,其中1,2,3i =；1,2,3,4j = 由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯= 21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯=23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯=34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得:C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ 则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2．利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成,就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理,再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。
即设()(),,ij kj s n n m A a B b ⨯⨯==把A ，B 分解成一些小矩阵：1111l t tl A A A A A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1111r l lr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中ij A 是i j s n ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =,且12...t s s s s +++= ,12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ⨯小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =;且12...l n n n n +++=，12...r m m m m +++=;令C AB ==1111r t tr C C C C ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中ij C 是i j s m ⨯小矩阵且1,2...i t =,1,2,...,j r =,且12...t s s s s +++=,12...r m m m m +++=;其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。
这里我们应注意:矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1致。
例2:已知矩阵4510025010130012800006A ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，521245104206B ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求AB 解:将45451002510025010130101300128001280000600006A ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11122122EA A A ⎛⎫⎪⎝⎭写成 12124545101042420606B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1121B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成，其中11100010001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12251328A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()2206A =，11124510B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，214206B ⎛⎫= ⎪⎝⎭由矩阵乘积法则知：1112212111222142B A B A B A B ⨯+⎛⎫⎪+⎝⎭ 由矩阵加法和乘积法则[]1知：42936825AB 952036⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。
3.利用数学归纳法求解这种方法与矩阵定[]1义和数学归纳[]3法相结合,从而找出规律再求解,但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2算。
例3:已知cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭,求nA 解:当2n =时2cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 当3n =时32cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2cos sin 2sin θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos3sin 3sin 3cos3θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭所以假设n A ＝cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭当1k =时成立,假设当1k n =-时成立；则当k n =时1cos sin cos sin sin cos sin cos n n A θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n θθθθθθθθ---⎛⎫-⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 由矩阵乘法定及三角函数知：nA ＝cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭则假设成立。
所以n A =cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭4．利用分拆法求解这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵之和再求[]1解,且另外这个矩阵的n 次方计算起来比较简[]2单。
例４：已知110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求nA 解:A EB =+，其中010001000B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵E 为单位阵且2E E=EB BE B==;故n A =()122+C C C nn nn n n E B E B B B +=+++由2010010001001001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 23010010001010001001000001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3n ≥时,n B =０。
故122n nn A E C B C B =++ 由矩阵加法运算法则[]1知:n A =211011001n n C n ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭5.利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）定义：设矩阵A ,B 为数域P 上两个n 级矩阵,如果可以找到数域P 上的n 级可逆阵X ，使得矩阵1B X AX -=，就说A 与B 相[]1似。
如果矩阵A 或B 有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。
而判断矩阵A 可对角化的条件[]1有:１)矩阵A 可对角化的必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值２)矩阵A 可对角化的充要条件是矩阵A 有个n 线性无关的特征向量3)在复数域上矩阵A 没有重根而求矩阵A 的特征值和特征向量的方法[]1有：1)求矩阵A 特征多项式E A λ-在数域P 中的全部根，这些根是矩阵A 的全部特征值。
把这些所求的特征值逐个的代入方程组()0E A X λ-=中，对于每一个特征值，解方程组()0E A X λ-=，求出一组基础解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。
再利用判别法判断矩阵A 是否可对角化。
例5：已知矩阵33122212221A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,求nA 解：易知矩阵的A 特征多项式E A λ-=122212221λλλ------由行列式计算方法知：E A λ-=()()()()()213113λλλλλ--=-+-所以矩阵A 的特征值为1,1,3-。
当特征值为1时,解方程()0E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知:()0E A X -=的基础解系为1a ＝()111'-；所以矩阵A 属于特征值1的全部特征向量为()1111k '-,其中1k ≠0。
当特征值为1-时,解方程()0E A X --=,由齐次线性方程组的计算方法知:()0E A X --=的基础解系为2a ＝()110'-;所以矩阵A 属于特征值1-的全部特征向量为()2110k '-,其中2k ≠0。
当特征值为3时,解方程()30E A X -=,由齐次线性方程组的计算方法知:()30E A X -=的基础解系为3a =()011'-，所以矩阵A 属于特征值３的全部特征向量为()3011k '-，其中3k ≠0。
则由矩阵A 可对角化的条件知:矩阵A 可对角化且对角阵为B =100010003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭令123C a a a →→→'⎛⎫= ⎪⎝⎭=33110111101⨯⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,由求逆矩阵的方法知：1111011110C -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知:1C AC B -= 所以()11nn n C AC C A C B --==,则()333310010001001000303nnnn B ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由1n n A CB C -=,由矩阵的乘法运算法则知:()()()()3311111311311113131nnn n nn nn n A ⨯⎛⎫---- ⎪ ⎪=--+--- ⎪-- ⎪⎝⎭２)对方阵A ，设()()1F E A λλ'=-，对()()1n F E λ做初等变换,化成()()()D P λλ其中()D λ为上三角阵,则矩阵()D λ主对角线上元素乘积的λ的多项式的根即为A 的特征根i λ。
对矩阵A 的任一特征根i λ，代入()()()D P λλ中，若()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵,则()i D λ行向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向量;否则，继续施行初等行变换，使得()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵,则()i D λ中零向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向[]8量。