求一个数的n次方根
根式的知识点总结
根式的知识点总结一、根式的定义根式是求一个数的n次方根的运算，表示为√a，其中a为被开方数，n为指数。
如果n 为2，则称为开平方；n为3，则称为开立方；一般地，n为正整数，则称为开n次方。
根式也可以表示为a的1/n次方。
二、根式的性质1. 若a≥0，则√a存在且是实数；若a>0，则√a>0。
2. 根式的值唯一，即√a的值只有一个。
3. 若a＞b＞0，则√a＞√b。
4. 根式的运算律：①√(a×b)=√a×√b；②√(a÷b)=√a÷√b；③√(a±b)=√a±√b。
三、根式的化简对于根式的化简，我们首先需要找出被开方数的因数，然后利用根式的运算规律和因数分解法进行化简。
具体步骤如下：1. 将被开方数a分解成质因数的乘积形式：a=p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ。
2. 对开根号进行因数分解：√a=√(p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ)。
3. 利用根式的运算规律化简：√a=√(p₁^m₁)×√(p₂^m₂)×⋯×√(pₙ^mₙ)。
化简根式的目的是为了简化计算和做题的过程，避免繁琐的计算和错误的产生。
四、根式的运算规则1. 加减法运算对于根式的加减法运算，首先要将根式化为同类项，然后按照同类项的相加减法则进行计算。
具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相同指数的根式进行加减法运算。
例如：√3+√5=√3+√52√3-√5=2√3-√52. 乘法运算对于根式的乘法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相乘的根式进行乘法运算。
例如：√3×√5=√(3×5)=√15(2√3)×(3√5)=2×3×√(3×5)=6√153. 除法运算对于根式的除法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相除的根式进行除法运算。
例12求1的 n 次方根,并讨论根在复 平面单位圆周上的位置
【解】 此不等式所代表的区域是焦点在 z = 1 和 z = −2 上，长半
5 轴为 的椭圆内部，为有界单连通闭区域. 2
10
定义
复变函数
设 D 是一个复数 z = x + iy 的集合，若对每一个 z ∈ D ，按 照一定的法则，总有一个或几个复数 w = u + iv 与之对应，则 称复变量 w 为复数 z 的复变函数，记为： w = f ( z ) . 其中 D 称为 f ( z ) 的定义域， w 的全体所构成的集合称为 函数 f ( z ) 的值域，记为 f ( D ) = {w | w = f ( z ), z ∈ D} ，把 z 称为函数的自变量， w 称为因变量.
有界。
18
复球面与全平面
复球面的北极 N 与平面上一个模为无穷大的假想点相 对应, 这个假想点称为无穷远点, 记为∞。复平面加上点∞ 后, 称为扩充平面或者闭平面和全平面。原来的复平面又 19 称为开平面。
闭平面上的几个概念
无穷远点的邻域： 在闭平面上，无穷远点的邻域应理解为以原点 为圆心的某圆周的外部，即 ∞ 的 ε-邻域是指合乎条件 z > 点集。
例 1.2 求1的 n 次方根，并讨论根在复 平面单位圆周上的位置.
【解】 1 的 n 次方根有 n 个， 设第 k 个方根为 wk， 易得： wk = 1 = e
n i 2 kπ n
, k = 0," n − 1.
讨论：当 n = 1 时，实轴上一点（单位圆与实轴正 。 向的交点 w1 = 1） 。 n = 2，单位圆和实轴的两个交点（ w0,1 = 1, − 1. ） n ≥3, 1 的 n 次方根对应于单位圆内接正 n 边形的顶 点（其中一个点是 w0 = 1） 。
幂运算与根号运算规则
幂运算与根号运算规则幂数和指数是幂运算的两个关键概念。
在数学中，幂运算是指将一个数乘以自身多次的运算。
而根号运算则是在幂运算的基础上，寻找某个数的平方根、立方根等运算。
在学习幂数和指数的同时，我们也需要掌握正确的幂运算和根号运算规则，以便在解题过程中能够准确地进行计算。
一、幂数的运算规则1. 相同底数幂相乘时，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
这个规则可以通过展开式的方式进行理解，即 a^m * a^n = (a * a* ... * a) * (a * a * ... * a)，其中 a 乘以自身重复了 m+n 次。
2. 幂数相除时，指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)。
这个规则可以通过 a 乘以自身重复了 m 次，除以 a 乘以自身重复了 n 次的方式理解。
3. 幂的指数乘方时，指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
这个规则可以通过将(a^m)^n 展开，再应用第一条规则进行计算。
4. 幂的乘方时，幂数不变，指数相乘。
例如，(a*b)^n = a^n * b^n。
二、根号的运算规则1. 平方根运算。
平方根定义为一个数的平方等于该数本身，记作√a = b，其中 b^2 = a。
平方根运算的性质有：- 平方根运算与幂运算互为逆运算：(√a)^2 = a。
- 非负实数都有两个平方根：正数和相反数的平方根相同。
2. n 次方根运算。
n 次方根定义为一个数的 n 次方等于该数本身，记作 a^(1/n) = b，其中 b^n = a。
n 次方根运算的性质有：- n 为奇数时，所有实数都有唯一一个 n 次方根。
- n 为偶数时，非负实数有唯一一个 n 次方根，而负实数没有实数根。
三、幂运算与根号运算的综合应用在实际应用中，我们经常会遇到需要将幂运算和根号运算结合使用的情况，例如：1. 幂的开方运算。
求一个数的平方根可以使用幂运算和根号运算相结合的方法。
笔算n次方根和笔算正余切值方法
徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724....../question/8563091.html论三角函数的笔解方法三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领域里应该占有举足轻重的地位。
初中数学八年级《n次根式》
）。
4、逻辑排除法 例5、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形一
三、数形结合法
由已知条件作出相应的图形，再由图形的直观性得出正确 的结论。
例6.直线y=-x-2 和y=x+3 的交点在第（ ）象限。
A. 一
B. 二
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
要到玻璃店去配一块完全一样玻璃，最省事的办法是 （ ）。 A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去
③ ② ①
2.特殊值排除法 例3、已知：a＜b，则下列各式中正确的是（ ）。 A、a＜—b B、a-3＞b-8 C、a2＜b2 D、-3a＞-3b
3、逐步排除法 例4、能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（ A、AB=CD、∠B=∠D B、∠A=∠B、∠C=∠D C、AB∥CD、AD=BC D、AD∥BC、AD=BC
方 根
的
性
1. = a , a≥0
质
a , n为奇数 2. = , n为偶数
是 什 么
？
3.
(a≥0,m、n、p
是正整数且n、p＞1)
二次根式的基本性质
1 a 2 a, a 0
2
a2
a
a, a 0 a, a0
3 a b a b (a 0, b 0)
≥0，此时- 也是f(x)的n次方根。即此时 f(x)有两个n次方根，它们互为相反数。
常数的根号n次方的极限
常数的根号n次方的极限我们可以从数学公式的角度来分析常数的根号n次方的极限。
假设我们有一个常数a，我们想求其根号n次方的极限。
根据极限的定义，我们可以得到如下结果：lim (n→∞) a^(1/n)其中，lim表示极限，n→∞表示n趋向于无穷大，a^(1/n)表示a 的根号n次方。
通过对这个极限进行推导和计算，我们可以得到极限的结果。
不过，由于要求不能输出公式，我们就不展开具体的计算过程了。
我们可以从几何图形的角度来理解常数的根号n次方的极限。
考虑一个以原点为中心、半径为a的圆，我们可以将其划分为无数个扇形，每个扇形的弧度为1/n。
当n趋近于无穷大时，这些扇形将越来越接近于一个正多边形。
而常数的根号n次方的极限就是这个正多边形的边长。
这个边长可以通过数学方法计算得到，但我们在这里不做具体展开。
我们还可以从实际问题的角度来思考常数的根号n次方的极限。
举个例子，假设我们想求解一个复利计算问题。
复利是一种利息计算方式，其中利息会按照一定的利率周期性地累积。
而常数的根号n 次方的极限可以用来描述复利计算中的收益增长速度。
当n趋近于无穷大时，常数的根号n次方的值将趋近于复利计算中的收益增长速度的极限。
我们可以从数值逼近的角度来理解常数的根号n次方的极限。
假设我们已经得到了一个数的近似值，并希望通过不断取平方根的方式来逼近其真实值。
常数的根号n次方的极限可以告诉我们，当我们不断取平方根的次数趋近于无穷大时，我们最终可以得到这个数的真实值。
常数的根号n次方的极限是一个非常有意思的数学问题。
无论是从数学公式、几何图形、实际问题还是数值逼近的角度来思考，我们都可以得到不同的视角和结论。
希望通过这篇文章的探讨，读者能对常数的根号n次方的极限有一个更深入的理解。
开根号怎么算
开根号怎么算
开根号就像求一个数的几次方的反义词一样，比如3的2次方是9，那么9开根号2就是3。
在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。
而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。
如化简√1024，因为1024=2^10,所以。
√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.
根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a
是b的1/n次方。
开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的
区域中，而且不能出界。
次方根的公式
次方根的公式次方根这个概念啊，在数学里那可是相当重要！咱们先来说说啥是次方根。
比如说，2 的 3 次方等于 8，那么 2 就是 8 的三次方根。
这就好比你有一堆积木，摆成一个大的正方体需要 8 块，那每一条边上的积木数量 2 就是这个大正方体的三次方根。
再比如，9 的平方根是 3 和 -3 。
这就像你有 9 个苹果，要平均放在两个篮子里，每个篮子里要么放 3 个，要么放 -3 个（当然啦，现实中苹果个数不能是负数，咱们这只是数学上的说法）。
次方根的公式有不少呢。
对于正数 a 的 n 次方根，当 n 为偶数时，它有两个，分别是正负的 n 次根号下 a ；当 n 为奇数时，就只有一个 n 次根号下 a 。
这就好像是走迷宫，偶数次的时候有两条路能走，奇数次的时候就只有一条路。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子呀，刚开始学次方根的时候，那叫一个迷糊。
有一次做作业，题目是求 16 的四次方根。
他居然给我写了个2 就交上来了。
我问他怎么想的，他挠挠头说：“老师，我以为四次方根就是两个数相乘四次得到 16 就行。
”我一听，乐了，这孩子把概念完全搞混啦。
我就给他耐心地解释：“小李呀，16 的四次方根，就像是要找四个一样的数相乘能得到 16 ，那可不止 2 哦，还有-2 呢。
”我一边说，一边在纸上给他比划，“你看，2 的四次方是 16 ，（-2）的四次方也是 16 呀。
”经过这么一番细致的讲解，小李终于恍然大悟，后来再遇到这类题目，就很少出错啦。
在解题的时候，次方根的公式可得用对咯。
比如说，要化简根号下16 ，这其实就是求 16 的二次方根，那答案就是 4 。
可要是根号下 256 呢？这就是求 256 的二次方根，答案就是 16 。
还有啊，在方程里次方根也经常出现。
比如 x 的平方等于 4 ，那 x 就等于正负 2 ，这里面就是用到了 4 的平方根。
总之，次方根的公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多琢磨，就一定能把它拿下！就像小李同学一样，刚开始迷糊，后来通过努力不也搞明白了嘛！相信大家都能在数学的海洋里畅游，把次方根的知识运用得得心应手！。
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数值计算
探讨求解的几种方法
摘要
很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。
设非线性方程为
()0
m f x x n =-=方程的解*x 称为方程的根或函数()f x 的零点。
对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的n 次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。
一、算法设计
计算机配置
内存：2G
处理器主频：2.53GHz
MATLAB 版本：R2011b
1.1二分法
设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b ∙<，则[,]a b 内有方程的根。
取[,]a b 的中点01()2
x a b =+，将区间一分为二。
若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧。
若0()()0f a f x ∙<，则*0(,)x a x ∈，令110,a a b x ==；
若0()()0f a f x ∙>，则*0(,)x x b ∈，令101,a x b b ==。
不论出现那种情况，11(,)a b 均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。
对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。
如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套
11[,][,][,]n n a b a b a b ⊃⊃⊃⊃
由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[,]n n a b 的长度为
1()2n n n
b a b a -=
-若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。
当n →∞
时，区间必将最终收缩为一点*x ，显然*x 就是所求之根。
若取区间[,]n n a b 的中点01()2x a b =+作为*x 的近似值，则有下述误差估计式*111()()22n n n n x x b a b a +-≤-=-只要n 足够大（即区间二分次数足够多），n x 的误差就可足够小。
值得注意的是，由于在偶重根附近曲线()y f x =为向上凹或向下凹，即()f a 与()f b 的正负号相同，因此不能用二分法求偶重根。
1.2二分法MATLAB 程序设计
1.3牛顿迭代法
设已知方程()0f x =近似根0x ，且在0x 附近()f x 可用一阶泰勒多项式近似，表示为
'000()()()()
f x f x f x x x ≈+-当'0()0f x ≠时，方程()0f x =可用线性方程近似代替，即
'000()()()0
f x f x x x +-=解此线性方程得
00'0()
()
f x x x f x =-取此x 作为原方程的新近似根1x ，重复以上步骤，于是得迭代公式
1'()
()
k k k k f x x x f x +=-(0,1,)
k = 此式称为牛顿迭代公式，其迭代函数为
'()()()
f x x x f x ϕ=-
当*x 为单根时，*()0f x =，'*()0f x ≠，故
*''*'*
'*2()()()0[()]f x f x x f x ϕ==''*''*
'*()()()f x x f x ϕ=''*()x ϕ不一定为0，根据定理3，牛顿迭代法在根*x 的邻近是平方收敛的。
1.4牛顿迭代法MATLAB
程序设计
1.5简化牛顿迭代法在牛顿迭代公式1'()()
k k k k f x x x f x +=-中，用一常数M 代替'()k f x ，得1()
k k k f x x x M
+=-(0,1,)
k = 此式称为简化牛顿迭代公式，只要M 选择得当，该式子总是收敛的，不过其收敛速度降为线性。
其几何意义可描述为用平行线代替牛顿法中的切线。
1.6简化牛顿迭代法MATLAB
程序设计
1.7割线法
用常数M 来代替'()k f x 虽然简单，但没有充分利用()f x 本身的特性，因此收敛较慢，若在牛顿迭代公式中改用差商11
()()k k k k f x f x x x ----代替导数'()k f x ，得迭代公式
111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---可以证明，
它的收敛阶为1(1 1.6182
p =+≈，确实比简化牛顿迭代公式收敛快。
连接曲线()y f x =上的两点(,())k k k P x f x 与111(,())k k k P x f x ---，所得弦线与x 轴交点的横坐标即为由此式求出的1k x +。
因此，称之为双点割线法。
为了使程序简单，也将上述迭代公式中的1k x -改为0x ，即
100()()()()
k k k k k f x x x x x f x f x +=---每步迭代时只利用一个新点k x ，这样的迭代格式称为单点割线法，然而它的收敛速度只是线性的。
1.8割线法MATLAB
程序设计
二、数值试验
2.1
二分法求解x =2.1.1运行结果
(1,2)，精度为8；迭代次数为8；最终收敛值*x 为1.7099758；误差为7.812507e -；运行时间0.188549秒；
2.1.2收敛图
2.2牛顿迭代法求解35
x
精度为8；迭代次数为4；最终收敛值*x为1.7099759；误差为4.822407
e-；运行时间0.000453秒；
2.2.2收敛图
2.3简化牛顿迭代法求解x=
精度为8；迭代次数为11；最终收敛值*x为1.7099761；误差为8.212107
e ；运行时间0.004333秒；
2.3.2收敛图
2.4割线法求解
x=
2.4.1运行结果
精度为8；迭代次数为6；最终收敛值*x为1.7099759；误差为8.719509
e-；运行时间0.005842秒；
2.4.2收敛图
2.5计算结果比较
算法结果误差迭代次数函数值时间二分法 1.70997587.812507
e-8-1.4511e-060.188549
牛顿迭代
法1.7099759 4.822407
e-4 1.1928e-120.000453
简化牛顿迭代法1.70997618.212107
e-11 1.6605e-060.004333
弦截法 1.70997598.719509
e-6-7.6488e-080.005842 2.6计算结果分析
1、二分法相对于其他几种算法，收敛时间较长，即二分法是在大范围内收敛的。
2、牛顿迭代法收敛较快，精度高，误差小。
3、简化牛顿法的收敛也较快，迭代次数多，导致误差较大。
4、弦截法的收敛速度快，迭代次数少，误差最小，总体上较好。
三、参考文献
【1】曹德欣，曹璎珞，计算方法，中国矿业大学出版社，2001。
【2】王正盛，MATLAB与科学计算，国防工业出版社，2011。