n次方根的定义.
n次方根与分数指数幂课件--2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3 随堂演练
1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是
A.4 a2
B.5 a
C. 5 －a
√D.4 a
解析 当a<0时，a的偶次方根无意义.
12345
2.已知m10＝2，则m等于
A.10 2
B.－10 2
C. 210
√D.±10 2
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根. 又∵10是偶数， ∴2的10次方根有两个，且互为相反数. ∴m＝±10 2.
(4)n na为 n＝大a(于 n 为1的大奇于数1时的，奇n a数n ). a
(5)n an＝|a|＝－a a，，a≥a<00， (n 为大于 1 的偶数).
思考 根式化简开偶次方根时应注意什么问题？ 答案 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号， 化简时结合条件或分类讨论.
思考辨析 判断正误
个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少
呢？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数来表示，希帕索斯的发现
促进了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
12345
3.当
x<0
时，x＋4
3
x4＋
xx3＝___1___.
解析 原式＝x＋|x|＋xx＝x－x＋1＝1.
12345
6，x≥－3， 4.化简： x＋32－ 3 x－33＝___－__2_x_，__x_<_－__3____. 解析 原式＝|x＋3|－(x－3)， 当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
次方根的概念
次方根的概念次方根是数学中的一个重要概念，在代数学中经常会涉及到次方根的运算。
次方根是指对一个数进行幂运算的逆运算，即给定一个正整数n和一个非负实数a，求出满足x^n = a的数x，这个x就称为a的n次方根。
在代数学中，常见的次方根有平方根（n=2）、立方根（n=3）、四次方根（n=4）等，分别表示对一个数开平方、开立方、开四次方。
以平方根为例，对于任意一个非负数a，可以找到一个非负数x，满足x^2 = a。
其中，当a为正数时，x 就是a的平方根；当a为零时，x为零；当a为负数时，则不存在实数x满足该等式。
在实际应用中，次方根有广泛的用途，涉及到许多领域。
以下将从不同维度介绍次方根的概念和其应用。
首先，次方根在几何中起到重要作用。
在几何中，次方根与平方、立方运算密切相关。
通过求平方根，可以得到给定的正实数的边长。
例如，在正方形中，平方根可以用来计算对角线的长度。
同样，在立方体中，立方根可以用来计算边长。
其次，次方根在物理学中也有广泛应用。
在牛顿力学中，速度是位置的一次方根对时间的导数，加速度是位置的二次方根对时间的导数。
光的强度也与其传播距离的平方成反比关系。
通过应用次方根的概念，可以推导出这些物理现象背后的数学模型，从而更好地理解和描述自然界的运动规律。
此外，次方根在统计学和概率论中也有重要应用。
例如，在概率分布函数中，正态分布曲线的形状可以通过对数函数求平方根来得到。
在统计学中，次方根经常用来计算方差和标准差。
方差是观测值与均值之间差异程度的平方和的平均，而标准差则是方差的平方根。
通过将方差和标准差应用于数据集，可以揭示数据分布的离散程度，帮助分析和解释实际问题。
此外，次方根还在金融计算、信号处理和图像处理等领域中得到广泛应用。
在金融计算中，次方根常常用于计算利息的本质增长率。
在信号处理和图像处理中，次方根可以用来进行信号和图像的压缩和解压缩操作。
通过对信号和图像的分解和合成，可以减小数据的存储和传输开销，提高处理效率。
课次13指数函数的概念和计算
初三升高一数学预学讲学案指数函数的概念和计算一．n 次方根的定义如果一个数的平方等于a ,则这个数叫做 a 的平方根.如果一个数的立方等于a ,则这个数叫做a 的立方根. 如果xn =a ,那么x 叫做 a 的n 次方根, 其中n >1,且n ∈N*.即如果一个数的n 次方等于a (n >1，且n ∈N*)，那么这个数叫做 a 的n 次方根.二．N 次方根的性质⎩⎨⎧个负数；、负数的奇次方根是一个正数；、正数的奇次方根是一奇次方根21a 的n 次（奇次）方根用符号n a 表示⎩⎨⎧意义、负数的偶次方根没有个且互为相反数、正数的偶次方根有两偶次方根21正数a 的n 次（n 为偶数）方根用符号n a ±表示 总结：（1）奇次方根有以下性质：正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零. （2）偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.⎩⎨⎧∈=>±∈+===**,2,0,,12,,x Nk k n a a N k k n a x a n n n那么如果即：n a 开奇次方根，则有a a n n =；na 开偶次方根，则有aa nn =（3）规定正数的分数指数幂：m na =（0,,,1a m n N n *>∈>且）；1m nm naa-==.★ 要点一【典型例题】【例1】试根据n 次方根的定义分别求出下列各数的n 次方根.(1)25的平方根是_______; (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; (4)16的四次方根是_____; (5)a 6的三次方根是_____; (6)0的七次方根是______.【对应练习】【例1】求下列各式的值（1）33)8(-=-__________________;（2）（2）2)10(-=_________________________________;（3）44)3(π-=__________________;（4）（4）)()(2b a b a >-=_______________________________；★要点二 【典型例题】【例1】求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）； （2【例2】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2（a ＞0，b ＞0）；（3【对应练习】【例1】 已知21na ，求33n nn na a a a --++的值.【例2】化简与求值：（1 （2+⋅⋅⋅+【n 次方根的定义】1.用分数指数幂的形式表示下列各式；（其中a>0）a a .3=__________________; 322.a a =______________________;3.a a =________________________;【n 次方根的性质】2.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）)3()6).(2(656131212132b a b a b a -÷- ； （2）88341)(-n m3.计算下列各式；（1）4325)12525(÷-； （2）)0(.322>a aa a4.用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）（1）623.b a a b =____________;(2)a a a 2121=_______________;(3)415643.)(..m m m m m =___________; 5.计算下列各式； （1）1274331a a a ； （2）654332a a a ÷； （3）124331)(-yx ； （4）)32(431313132----÷b a ba（5）（23462)2516(--rt s ） ； （6）)4)(3)(2(324132213141y x y x y x ----（7）)32)(32(41214121---+y x y x ； （8）)6()3(43221314141----÷-y x y x x6.已知31=+-xx ，求下列各式的值；（1）2121-+x x ； （2）22-+x x ； （3）22--xx基础达标1．化简1327()125-的结果是（ ）. A. 35 B. 53 C. 3 D.52．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ）.A. 12()(0)x x ->13(0)y y =<C.340)xx -=> D.130)x x -=≠3．下列各式正确的是（ ）.A. 35a -=32xC. 111111()824824a a a a-⨯⨯-⋅⋅= D. 112333142(2)12xx x x---=-4．计算10()22-++-，结果是（ ）.A.1B.C.D. 122- 5．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++，结果是（ ）.A. 11321(12)2---B. 1132(12)---C. 13212--D. 1321(12)2--6．化简44的结果是 .7．计算2110332464()( 5.6)()0.125927--+--+= .能力提高8．化简求值：（1）211132221566()(3)13a b a b a b - ； （29．已知1122x x -+=3，求下列各式的值：（1）1x x -+；（2）33222223x x x x --++++. 探究创新10．已知函数11331()()5f x x x -=-，11331()()5g x x x -=+.（1）判断()f x 、()g x 的奇偶性；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -，并概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.。
n次方根的概念
n次方根的概念
一、定义
n次方根是指一个数的n次方等于另一个数的运算，即被开方数的n次方根等于该数。
n次方根通常使用符号√（n）表示，其中n表示根数。
二、不同根数的概念
1. 平方根：根数为2，表示一个数的平方根。
2. 立方根：根数为3，表示一个数的立方根。
3. 四次方根：根数为4，表示一个数的四次方根。
4. 五次方根：根数为5，表示一个数的五次方根。
5. n次方根：根数为n，表示一个数的n次方根。
三、求n次方根的方法
求n次方根的一般方法有以下两种：
1. 迭代法：迭代法是一种基于数学公式和程序控制结构的求解方法。
它通过重复迭代的步骤，逐步逼近求解方程的根。
2. 牛顿-拉弗森方法：牛顿-拉弗森方法是一种数值计算方法，可以求函数的零点。
求n次方根时，可以将其转化为一个函数的零点问题，然后使用牛顿-拉弗森方法来求解。
四、n次方根的实际应用
n次方根在实际生活和工作中具有广泛的应用，如计算机科学中的编码系统、密码学、数字信号处理、图像处理等领域。
同时，n次方根也应用于物理学领域，如热力学、光学等，以及统计学和金融学等领域。
在日常生活中，n次方根也常常用于计算直线距离、概率计算等。
总之，n次方根是一种重要的数学概念，具有广泛的实际应用价值。
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
有理数指数幂
B. −4
B. －3
5.81的4次方根有（
A. 0个
C.
3
−8
D.
4
16
A ）.
4.81的4次算术根是（
A. 3
B ）.
C. ±3
D.没有意义
C. 2个
D. 4个
C ）.
B. 1个
二、填空题
1.－65的3次方根可以表示为
3
−65 ，其中根指数是
－65 .
2. 9＝
3 ， 3 8＝
2 ， 3 −64＝
个
1
＝ .
4.分数指数幂： ＝ （其中m、n∈N*且n＞1，当n为偶数时，a≥0）
−
＝
1
（其中 有意义，且a≠0）
一、选择题
1.计算－24，得（
A. －8
2.计算
A. －2
D ）.
B. 8
1
，得（
4
C. 16
D. －16
C ）.
B. 2
C.
1
2
1
2
D. ±
3.下列根式中，没有意义的是（
5
()6
2.化为分数指数幂的形式：
（1）
2
5
5
2
1
（2）
()3
3
()
−2
3.计算：
（1）
5
323
2
5
8
（3）27
1
9
（2）
4
25
2
−3
（4）
27
8
9
根式定义取值范围
03
根式取值范围的性质
平方根取值范围的性质
01
实数范围内，非负数的平方根有两个值，一个正数和一个 负数。例如，√9=3和-√9=-3。
02
负数没有实数平方根，因为任何实数的平方都是非负的。
03
0的平方根是0本身。
立方根取值范围的性质
任何实数的立方根只有一个实数值。例如，三次根号下8=2，三次根号下-8=-2。
根式定义取值范围
• 根式定义 • 根式取值范围 • 根式取值范围的性质 • 根式取值范围的应用
01
根式定义
平方根定义
平方根定义
对于非负实数a，其平方根是一个实数 x，满足x²=a。平方根用符号√表示， 例如√4=2。
取值范围
平方根的定义域是非负实数，即被开 方数大于等于0。
立方根定义
立方根定义
0的立方根是0本身。
n次方根取值范围的性质
对于正整数n，非负实数的n次方根有n个值，分布在0和1之间。例如，四次根号下16=2，四次根号下 (-16)=-2，四次根号下(1/16)=1/2，四次根号下(-1/16)=-1/2。
对于负整数n，实数范围内没有n次方根。
0的n次方根是0本身。
04
根式取值范围的应用
对于实数a，其立方根是一个实数x， 满足x³=a。立方根用符号∛表示，例 如∛8=2。
取值范围
立方根的定义域是全体实数，即被开 方数可以是任意实数。
n次方根定义
n次方根定义
对于实数a，其n次方根是一个实数x，满足x^n=a。n次方根用符号∛表示，例如∛8=2。
取值范围
n次方根的定义域是全体实数，即被开方数可以是任意实数。
THANKS感谢观看源自010203
人教A版必修一课件4.1第一课时n次方根
“扣课标·素养提升”见“课时跟踪检测(十九)” (单击进入电子文档)
Thank You!
－24＝4
24＝2；
3.14－π2＝ π－3.142＝π－3.14.
(3) a－b4＝(a－b)2；
4 a－b4＝|a－b|＝ab－－ba，，aa≥<bb. ，
[名师点津]
n
n
an与( a)n 的区别
n
(1) an是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不
受 n 的奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制．其算法是
[想一想]
1．正数 a 的 n 次方根一定有两个吗？
提示：不一定．当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，
且互为相反数；当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一
个且仍为正数．
2．(n
a)n
n
与
an中的字母
a
的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子(n a)n 中隐含 a 是有意义的，若 n
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指数
新课程标准
核心素养
m
通过对有理数指数幂 a n (a>0，且 a≠1；m， n 为整数，且 n>0)、实数指数幂 ax(a>0，且 数学抽象、
数学运算 a≠1；x∈R )含义的认识，了解指数幂的拓
展过程，掌握指数幂的运算性质.
第一课时 n 次方根
[问题导入]
7
(2)∵x7＝6，∴x＝ 6.
4
(3)要使 x－2有意义，
则需 x－2≥0，即 x≥2.
因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)．
5
7
[答案] (1)±4 －27 (2) 6 (3)[2，＋∞)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、n 次方根的定义 引例
（1）(±2)2＝４，则称±2为4的 ； （2）23=8，则称2为8的 ；
（3）(±2)4=16，则称±2为16的 。
定义：一般地，如果x n =a (n>1,且n ∈N*),那么x 叫做a 的n 次方根。
记作
,其中n 叫根指数,a 叫被开方数。
练习:
(1)25的平方根等于_______________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ (5)a 6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ 二、n 次方根的性质：
1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
表示
（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.表示。
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0。
记作00=a
探究：
归纳： 1、当n 为奇数时, 2、当n 为偶数时,
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
练习１：
练习２：
(1)当6<a<7,则
(2)
=
---22)
7()6(
a
a =
-++625625n
a x= 一定成立吗？ a a n
n =
.n
a )0
>±a a n
（_____23
3
=-）（______
84
4
=-）（_____
)3()32=>-a a （=n
n a a =n
n a a
{
,0
,≥<-=
a a a a (2) (4))a
b .>_____________________________
==
三、分数指数幂
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 例如： 5
102
5525
10
)(a a a a
=== （a ＞0）
4
123443412)(a a a a === （a ＞0）
规定：正分数指数幂的意义是 负分数指数幂的意义是
如
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义。
性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用）
例1、求值
例2、用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0)
s
r s r a
a a +=)
,,0(Q s r a ∈>rs
s
r a
a =)()
,,0(Q s r a ∈>r
r r a a ab =)()
,0,0(Q r b a ∈>>定义： )
1 , , , 0 ( *
> ∈ > = n N n m a a a n m n
m
且 例2化简下列各式的值：
（1） （3） （4） （5)1,,0(>∈>=*n N n m a a a n m n m
且)1,,0(1
>∈>=*-n N n m a a a n m n m
且_____
8116______41______100_____84
3
32
13
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=
=-
--4
101
64827
()()
_______2
_______132
2
3
2
3==
⋅b
a a
b
b
a
a a
311a
8387-
⋅b a 3
4
3
43
4
51
5
15==-
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）
a a ∙3＝2
13a a ∙＝2
13+
a
＝27a 322a a ∙＝3
22a a ∙＝3
83
22a a
=+
3
a a ＝2131)(a a ∙＝3
26
1216
12
1a a
a a ==∙+
例4、计算下列各式（式子中字母都是正数）： （1）（22
13
2b a ）（－63
12
1b a ）÷（－36
56
1b a ） ＝［2×（－6）÷（－3）］6
531216
12132-+-+b
a
＝4a
（2）（8
834
1
)-n m ＝（328
838
41)()--=n m n m 无理数指数幂
25中指数是无理数，近似值看表
一般地，无理数指数幂 ( m >0, m 是无理数)是一个确定的实数。
有理数指
数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
课外练习：
1、已知
的值求x x x
a a 6
323
2,1a ---+-=+
2、计算下列各式
3、已知，求下列各式的值31
=+-x
x
（1）x
x 2
12
1-+ （2）
x
x 2
12
1-
-
a
m 2 1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
2
1 )
1 ( b
a b
a b
a b a - + +
+ - )
( ) 2 )2 ( 2
2 2 2 - - - ÷ + - a a a a
463
94369)()(a a ⋅
4、化简 的结果是（ ）
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k 等于( )
A.2-2k
B. 2-(2k-1)
C. -2-(2k+1)
D.2
6、若 有意义，则x 的取值范围是
7、_______3210
10102
y
-3x x
===，则，若
y
8、计算下列各式：
（1）4325)12525(÷- （2）
3
2
2a
a a ∙（a ＞0）
10、化简的结果是)1)(1)(1)(1)(1(22222
2
14
18
116
132
1
-
-
-
-
-
+++++
( )
A )
21(3211
21-
-- B )
21(321
1
--- C
2
1321
-
- D )1(2
11232
1
-
-
9、 , 下列各式总能成立的是（ ） R
b a ∈ b a b a b a b a b a b a b a b a + = + - = - + = + - = - 10 10 4 4 4
4 2 2 8
8 2 2 6 6 6 ) ( D C ) (
B ) ( A 2
4816 D. C. B. .A a
a a a 2 1 )
1 | (| -
- x。